能量按自由度均分定理

vNNvf dd)( 麦 克 斯 韦 速 率 分 布 规 律 最 概 然 速 率d 0d( )f vv mkTv p 2 平 均 速 率 0 ( )dv vf v v mkTv 82 20 ( )dv v f v v mkTv 32 方 均 根 速 率 复 习 速 率 分 布 规 律 满 足 归 一 化 条 件 0 1)( dvvf vpv 2v讨 论 三 种 速 率 的 意 义 及 其 数 值 比 较 pvvv 2计 算 平 动 能 研 究 分 子 碰 撞讨 论 速 率 分 布 能 量 按 自 由 度 均 分 定 理 重 点 自 由 度 能 量 按 自 由 度 均 分 定 理 理 想 气 体 的 内 能 1.自 由 度 （ Degree of freedom）决 定 物 体 空 间 位 置 所 需 的 独 立 坐 标称 该 物 体 的 自 由 度举 例 1 自 由 质 点 自 由 度 数 的 确 定一 维 运 动 的 质点 x 自 由 度 数 为 1三 维 运 动 的 质 点 (x, y, z)自 由 度 数 为 3二 维 运 动 的 质 点 (x, y) 自 由 度 数 为 2 对 自 由 刚 体 （ Free rigid body）自 由 刚 体 的 自 由 度 数 是 ， 其 中 个 平 动 自 由度 ， 个 转 动 自 由 度 xyz a xO yz 用 来 决 定 其 质 心 的 位置 平 动 自 由 度 数 为 zyx ,用 决 定 转 过 的 角 度 转 动 自 由 度 数 为 用 来 决 定 其 转 轴 的 位置 转 动 自 由 度 数 为 , 举 例 2 海 面 上 航 行 的 轮 船 的 自 由 度举 例 3 xyO 海 面(x, y)O y x确 定 质 心 ： (x, y)确 定 方 向 ： 3个 自 由 度 举 例 4 空 间 自 由 运 动 的 细 棒xy z O O yz x(x, y, z) 确 定 质 心 ： (x, y, z)确 定 方 位 ： ) ,( 个自由度 气 体 分 子 自 由 度 的 确 定 x O yz ),( zyx)H e(单 原 子 分 子 自 由 度 为 3（ i=3） ， 如 He、 Ne等 。 xOyz ),( zyx )O( 2 确 定 质 心 的 位置 需 三 个 独 立坐 标 ； 确 定 两原 子 连 线 的 方位 需 两 个 坐 标 .故 刚 性 双 原 子分 子 自 由 度 为 5（ i=5） 。刚 性 双 原 子 分 子 非 刚 性 双 原 子 分 子 附 加 一 个 确 定两 原 子 相 对 位置 的 相 对 坐 标 ，非 刚 性 双 原 子分 子 的 自 由 度为 6(i=6）非 刚 性 双 原 子 分子 1m2m *Cyz x 动 画 :非 刚 性 双 原 子 分 子 的 运 动 结 论单原子分子 3 0 3双原子分子 3 2 5多原子分子 3 3 6 刚 性 分 子 的 自 由 度t r i分子自由度（平动）(转动) (总)vrti 自 由 度 平 动 自 由 度 转 动 自 由 度 振 动 自 由 度 2.能 量 按 自 由 度 均 分 定 理 （ Theorem of equipartition of energy ） 处 于 温 度 为 T 的 平 衡 态 的 气 体 中 ， 分 子 热 运动 动 能 平 均 分 配 到 每 个 分 子 的 每 个 自 由 度 上 。每 个 分 子 的 每 个 自 由 度 的 平 均 动 能 都 是kT21 (1) 一 个 刚 性 分 子 的 总 动 能 kTikTrtk 2)(21 (2) 均 分 原 理 是 某 一 平 衡 态 下 的 统 计 规 律 (3) 分 子 碰 撞 Collision of molecules是 能量 均 分 的 成 因 （ cause）讨 论 3.理 想 气 体 的 内 能 （ Internal energy）根 据 能 量 均 分 原 理 ， 我 们 可 以 得 到 理 想 气 体 的 内能 为 ： RTiMmkTiNMmE A 22 理 想 气 体 的 内 能 只 是 温 度 的 函 数 （ function）这 个 结 论 可 以 作 为 理 想 气 体 的 定 义 （ 从能 量 角 度 ） 例 题 ： 当 温 度 为 0 C时 ， 试 求 ： （ 1） 氧 气 分 子 的 平 均平 动 动 能 和 平 均 转 动 动 能 ； (2) 氧 气 的 内 能以 及 当 温 度 升 高 T=2K时 氧 气 内 能 的 增 量 E。kg3100.4 解 ： （ 1） 氧 气 分 子 是 双 原 子 分 子 ， 自 由 度 数 i=5， 其 中 平 动 自 由度 数 t=3， 转 动 自 由 度 数 r=2， 因 此 ， 氧 气 分 子 的 平 均 平 动 动 能 和平 均 转 动 动 能 分 别 为 JJkT JJkT rt 2123 2123 1077.32731038.1122 1065.52731038.12323 （ 2） 将 ,31.8,1000.4,1032 11313 molKJRkgmmolkgM和 带 入 式 理 想 气 体 内 能 公 式 中 ， 可 得 氧 气 的 内 能 为KT 273 JJRTiMmE 233 1009.727331.8251032 100.42 由 内 能 公 式 可 得 TRiMmE 2将 T=2K及 其 他 各 量 代 入 可 得 内 能 的 变 化 量 为 JJTRiMmE 19.5231.8251032 100.42 33 思 考 题1. 两 瓶 不 同 种 类 的 理 想 气 体 ， 它 们 的 温 度 和 压 强 相 同 ，但 体 积 不 同 。 试 问 ： （ 1） 单 位 体 积 内 的 分 子 数 是 否 相同 ？ （ 2） 单 位 体 积 内 的 气 体 质 量 是 否 相 同 ？ （ 3） 单 位体 积 内 的 气 体 分 子 总 平 动 动 能 是 否 相 同 ？ （ 4） 单 位 体积 气 体 的 内 能 是 否 相 同 ？2. 若 盛 有 某 种 理 想 气 体 的 容 器 漏 气 ， 使 气 体 的 压 强 和分 子 数 密 度 各 减 为 原 来 的 一 半 ， 气 体 的 内 能 和 分 子 平 均动 能 是 否 改 变 ？ 为 什 么 ？ 相 同不 相 同 相 同不 相 同答 ： 气 体 的 内 能 改 变 ， 变 为 原 来 的 一 半 ， 因 为 摩 尔 数变 为 原 来 的 一 半 了 ， 而 温 度 没 有 变 化 ； 分 子 的 平 均 动能 不 变 。