贝朗特悖论的解决

理学院School of Science课程设计报告学生姓名：李凡学生学号：200701121所在班级： 07数学1所在专业：数学与应用数学指导教师：樊嵘实习场所：青岛理工大学实习时间：第六学期课程设计成绩总评学习态度报告质量使用SAS统计模拟方法解决Bertrands paradoxBertands paradox 是法国数学家Bertrand于1889提出的一个概率悖论：在圆内任作一弦，其长度超过圆内内接正三角形边长的概率是多少？他在提出问题之后，给出了三种不同的解法，得到了三个不同的结果，是为悖论。第一种解法如下：由于弦交圆于两点。我们先固定弦的一个端点。以此端点作一个等边三角形(如图)。显然，只有穿过此三角形内的弦才符合要求。而符合条件的弦的另一端正好占整个圆弧的1/3。并且，不论固定的那个端点在圆上的哪个位置，情况都是一样的。所以结果为1/3。第二种解法如下：由于弦长只和圆心到它的距离有关。所以固定圆内一条半径。当且仅当圆心到它的距离小于1/2才满足条件。并且，不论固定的是哪条半径，情况都是一样的。所以结果为1/2。 第三种解法如下；弦被其中点唯一确定（除了圆心）。当且仅当其中点在半径为1/2的圆内时才满足条件。此小圆面积为大圆的1/4。所以结果为1/4。三种看似都有道理的解法却得到了不同的答案，所以被称为悖论。在以前对这问题的分析中，倾向于认为得到三种结果的原因是因为采用了不同的等可能性假定。解法一假定端点在圆上均匀分布。解法二假定半径在圆内均匀分布以及弦的中点在半径上均匀分布。解法三假定弦的中点在圆内均匀分布。先不论他们的假设是否合理，从这个问题的提法来看，问题考察的是圆内的随机弦问题。我们应该从弦的本质定义出发，即圆上任意两点的连线为弦。从这个思路，我们可以使用SAS进行统计模拟，确定问题的答案。具体思路如下：1.先进行1000次试验，每次试验进行1000次模拟，每次模拟从圆上随机取两点，计算距离，记录的次数。如此得到1000个数据，数据集为cs，其中的变量只有一个x。对此数据进行分析，得到其方差与均值，可以求出概率。 2.为了得到弦长的分布，我们进行1000次模拟，每次模拟从圆上随机取两点，计算距离并记录。如此得到数据集为strx，其中的变量有三个，分别记录两点的角度参数x，y与两点之间距离d。 3.从圆进行推广，得到椭圆内随机弦长的分布，思路同上。 4.从得到的结果进行理论分析。数据的得到与数据集的建立： 使用matlab编程可以得到模拟需要的数据，在SAS中建立各数据集的程序如下： cs数据集：Data lf.cs;Input x;/*x为1000中满足条件的弦的个数*/Cards;331 329 346 337 333 338 355 348 319 328 333 341 318 315 349 307 320 327 337 371 353 341 325 348 329 323 332 319 316 341 341 348 340 312 353 330 335 317 318 315 341 334 318 358 346 351 362 353 290 332 368 335 359 346； strx数据集：Data lf.strx；Input x y z；/*x，y为随机角度，z为弦长*/Cards；5.1191 5.6913 0.564420.79788 5.7389 1.24373.9732 0.61286 1.9881.7499 3.4362 1.49356.0162 6.0626 0.046376； strx1数据集：Data lf.strx1；/*椭圆的数据*/Input x y z；/*x，y为随机角度，z为弦长，长轴为2，短轴为1*/Cards；4.6801 5.6063 1.10261.5243 0.81428 0.839511.4141 2.1992 0.825351.8038 5.8276 3.04310.32241 3.7238 2.4873； 对数据的分析与结果解读：对于cs数据集中的数据，我们根据林德贝格-勒维中心极限定理，记xn为第n次试验中，满足弦长平方大于3的弦的个数，则不管xn的分布如何，只要n充分大，就可以用正态分布去逼近。于是我们先对数据进行正态性检验，使用Solutions-Analysis-Guided Data Analysis，对数据进行分析，得到下面的结果： 图1图2 从图2中可以看到数据的均值为333.89，标准偏差为14.7。其中Q1，与Q3分别为四分之一和四分之三分位。P：normal=0.25025为正态性检验的概率值。图1为数据直方图与正态曲线，图3为正态概率检验图，从两个图可以看出来，数据是服从正态分布的。且可以估计其期望为334次，于是可以得到结论，圆内随机弦长度大于圆内内接正三角形边长长度的概率为334/1000=1/3。对于strx数据集中的数据，我们的目的是得到弦长的分布，即绘制其密度函数曲线和分布函数的曲线。首先是对弦长数据的一个基本分析如下：从图中可以看到，弦长的均值为1.29，标准差为0.625，众数为1.35，对数据进行kurtosis和T检验得到的值分别为-1.14和63.12，故可知道弦长的分布不是特殊的分布。下面绘制其条样图：然后绘制它的分布函数，并与正态分布的进行对比：得到的结果如下：可以看出来，分布函数有一定的规律，大部分的值集中在0.5到1.5这个区间中。数据集strx1，即弦长在椭圆中的分布情况，处理方法与圆中类似，得到的结果如下：（a=2，b=1）从中可以看出，椭圆的情况与圆的弦长分布类似，而且还有向正态分布逼近的趋势。回到原始问题从上面的分析我们知道，通过随机弦最原始的定义，使用随机模拟的方法，我们得到了随机弦超过圆内接正三角形边长的概率为1/3,与使用的第一解法得到的结论一样。在我们的实验中，是随机取的圆上的两个点，而第一种方法固定了一点，另一点在圆上随机移动，故得到的结论会一样。而第二种方法与第三种方法，我认为错误的地方在于没有抓住随机弦的本质，而是试图通过弦的中点来定位弦，而很容易知道，在圆心上对应于无数条弦，即弦与圆内的点不是一一对应的，第二种解法和第三种解法的假设前提就是错误的。而对应于第二个答案的题目应改为，在直径上任取一点，过这点且与该直径垂直的弦的弦长大于根号3的概率是多少？对应于第三个答案的题目应改为，在圆内任取一点（不包括圆心），以该点为中心的弦长大于根号3的概率为多少？至此随机弦悖论便不存在，结论是唯一的。