数学分析第二章习题课

S S无上界无上界：S S无下界无下界：S S无界：无界：S S无上界或无上界或S S无下界无下界f(x)f(x)在在D D上无界：上无界：第二章习题课第二章习题课数列极限的定义数列极限的定义数列极限的等价命题数列极限的等价命题 收敛数列的性质收敛数列的性质 1、唯一性；、唯一性；2、有界性；、有界性；3、保号性；、保号性；4、保不等式性；、保不等式性；5、迫敛性；、迫敛性；6、子列收敛性；、子列收敛性；7、四则运算性。、四则运算性。数列极限存在的条件数列极限存在的条件单调有界定理。单调有界定理。Cauchy收敛准则。收敛准则。这这两个定理都只是在实数系内成立。两个定理都只是在实数系内成立。求数列求数列an极限的方法：极限的方法：1 1、恒等变形（通分、约分、分子或分母有理化等）；、恒等变形（通分、约分、分子或分母有理化等）；2 2、极限的四则运算；、极限的四则运算；4 4、利用单调有界定理；、利用单调有界定理；3 3、利用重要极限、利用重要极限5 5、证明奇偶子列收敛于同一个数。、证明奇偶子列收敛于同一个数。6 6、凭直觉估计极限值，再用极限定义证明。、凭直觉估计极限值，再用极限定义证明。7 7、利用迫敛性。、利用迫敛性。几个常用数列的极限几个常用数列的极限解题方面注意点：解题方面注意点：1、-N定义求极限，定义求极限，N的找法。的找法。*不再含有不再含有n*取整后取作取整后取作N2、证明数列、证明数列an单调的方法。单调的方法。例例1 1下列数列是否存在极限，若存在，求出其值。答答（1）发散。发散。（2）1。（3）1/6。（4）0。由由迫敛性即得。迫敛性即得。（5）1/2。例例2 2证证例例3 3解解 将分子、分母同乘以因子将分子、分母同乘以因子(1-x),则则例例4 下面极限是否存在？若存在，求之。解解例例5例例6证证由由Cauchy准则，准则，xn收敛。收敛。例例7 证明证明证证由由Cauchy准则，准则，xn收敛。收敛。例例8 斐波那契（斐波那契（Fibonaci,1170-1250,意大利数学家）意大利数学家）斐波那契数列：斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，后人求出了它的通项：一个正整数数列竟然要用无理数来表示！更令人叫绝的是黄金分割数！解例例9例例9例例9作业中的问题作业中的问题P39 3(1)证证P39 3(2)证证极限存在，并求其值。极限存在，并求其值。证明证明设设,),0(11nnnaacacca+=+P39 6.解解单调有界，从而收敛。单调有界，从而收敛。nx