Langevin方程与数值模拟

第二章Langevin方程与数值模拟问题：系统的作用量或Hamiltonian量为 S平衡态分布为e S ，（这里温度已吸收到 S）。假设系统 t 0 时处于一初始状态系统如何演化至平衡态？如果初始状态不是平衡态，这便是一个驰豫动力学过程。如果初始状态是平衡态，这是平衡态的动力学涨落问题。第一节单自由度的 Langevin 方程和 Fokker-Planck方程SS xx :实数Langevin 方程dx tS xdttx: 高斯随机数t0tt2 t t对固定 t2Pe12tde0ZZd e2这里的 t通常也是介观时间。如果没有随机力，平衡态为dx tS x，即能量取极小值。dt0x如果存在随机力， 体系会被推离能量极小， 处于某种能量较高的平衡态。例如：布朗运动 花粉在液体中的运动m dvvtt0dtv tte mt t1tdtv0t一维解0me mv2 t2tt2t ttttv2 0 e me m2dt dt0mv20e2t2t2ttmm2emdt02t12t如0v2 0 e m1 e mm如02t，这便是随机行走。m2在布朗运动的方程中加入自身的相互作用vvSmdvtv tdtx可以理解为广义的Langevin 方程。设想这一方程是真正的微观运动方程，对时间做某种介观的平均，常常加速度的项可以忽略。由于随机力的存在，Langevin 方程有他的复杂性，因为我们必须考虑对随机力平均带来的奇异性。为了简单起见，我们对时间分立化在数值模拟中应用较直观t21tttt t ， t t0tttZ12=ln Z12t4Langevin 方程x tx ttx tS x(t )tttx令t2( t)( t )t tx tS x tt tx tt2方程的解x t 是随机变量，在数值模拟中给定初始值x0 , x t 还不确定，与随机力有关。也就是说，在t 时刻， x遵从一个分布Px ; t。物理量x 的平均值xtdx Px ; txP x ; t 是 x 在 t 时刻遵从的分布问题：xt的含义？答：必须对 t 之前的所有随机力做平均。xtxtxt12txx2xtt2 xxt2txtS xt2 ttxttx t12xtSx t22 tt22 xtxtt xt 与t 无关，只与tt 以及更早的随机力有关xtxtS xtxx txtxtttt0又 xt 22tt 2xtS2txxx2S2dx Px ; tx2xx2Sdxxx ; tx2xPx分步积分还作用于P x ; tx这里做分步积分时，假设P(; t)0另一方面x tP x , tdxxttFokker-Planck方程Px ; tH FPP x ; ttH FPS xxxx当 t, Px ; t0tH FP P x ;0显然P x ;e S x思考题：试讨论 e S x 为平衡态的条件第二节多自由度的 Langevin 方程和自由场S Sx这里 x 是空间指标d x , tSx , tx , tdtx , tx , t0x , tx , t2 x xt t时空分立化itiitiijtdPtti tSjt2 t i ttit0itj ti jt tdPi ; ti12jijj2ij2SttjjjS2dPi; tiiii2S; tiPiiiii; ti ; ttH FP PH FPSiii注意，不仅仅作用于SiP;e S关于 Kerneli tK i jS2 t ittj0i tj tK i jt t 练习：推导 F-P 方程，证明平衡态为e S 。自由场S0dx 121 m2222dx , t2m2x , tx , tdt0x , tx , t2 x xt t动量变换p14dxx ei p x2p14dxx ei p x2?p , tp2m2p , tp , ttp2 m2 t tp , t dtp , 0 ep2 m2 tp , te0d p , tp2m2tp2 m2t tp , 0 ep2 m2 tdtep , t dtp , t0p2m2p , tp , t关于 Kernel的作用?K p2m2p , tKp , tp , ttK2m2t tK p22p , tpp , t dtp , 0 em t0eKernel 不改变平衡态，但可以改变动力学演化过程。e.g. 如p2m20 ，演化极慢，我们可取 K1/( p2m2 ) ，则p , ttt tp , t dtp , 0 ete0这主意似乎可应用于解决临界点附近的临界慢化问题，称为Fourier加速法。但在有相互作用时，如何选取K 可以达到“加速”的目的，是重合悬而未决的问题。第三节 Langevin方程的路径积分表述?Sx , tx , t生成泛函J1JZ Jde 4eA Bdx dt A x , t B x , tdAdA x , txt对 Z J 求 J 的微商，可以得到任何物理量的平均值。恒等式1d %&S%d det%&S%AAx , tx , t 为积分变换， det0对单自由度如果fx, yx0只有唯一解1dxfx, yx这恒等式对任意 y 成立。作积分变换xx(y)1dy d xf x, yxd y在积分号内， y是 x的任意函数。但积分后，由于函数的作用， y 取f x, yx0的解。关键 ： 令 ， 则积 分 后为 Langevin方 程的 解 。i.e.x , teJdeJdet&S由于函数的存在，这里的可以看成和无关。1J&Se 4ZJdddet12&SJe 4ddetA2A A引入辅助场玻色场x , t，费米场 cx , t , c x , tZ Jdde HJ2&S2SHc t2c第四节复 Langevin 方程S x 为复数 ， S xSr x i SI x自然延拓x 到 Z xi ydZ tS ZdttZ注意 :t 保持为实数。问题：这样的 Langevin 方程是否给出平衡态分布e S ?引入复分布 PCx ; t ，令Ztdx PCx ; tx注意：这里 x 为实数形式上不难推导练 习t PC x ; tH FP PC x ; tH FPxxSx假设当ttPC x ; t0似乎也有平衡态PCx ;e S x作相似变换PC x ; teS x 2 PC x ; t则t PCx ; tH FP PC x ; tH FPeS x 2 H FP e S x 2eS x 2xxSe S x 2xeS x 2x e S x 2x1 S2 xx1Sx1S2x2x注意：在类似于量子力学的框架下，定义内积( f ( x), g (x)dx f *( x)g (x)则tt对比 iixxxx假设 S x 为实函数，则tH FPx1S2x1Sx2x H FP 为正定算符En设 H FP nnE000e S x 2假设H FP 的基态没简并En 0, n 0则a0 eS x2ann eEn tP x ; tn 1ae S( x) / 2t0P x ; tte S x但是，如果 S x为复函数， H FP 失去正定性， En 可以小于零，情形变得不确定。第五节动力学临界现象和临界慢化设 S描述的平衡态处于二级相变点（临界点）附近Langevin 方程dSdt描写的动力学行为是一种动力学临界现象。当然，也存在没有平衡态的动力学临界系统，即动力学二级相变系统。更广义的动力学临界现象包括自组织临界现象等。动力学临界现象的特征行为是发散的关联时间和动力学标度形式。例如，定义M (k ) t1kx, tLk dx假设 t 足够大，二、三十年前人们便发现M kt ,b kM kb Z t , b1(TTc) / Tc ，Tc为相变温度z : 称之为动力学临界指数，b ：任意标度因子动力学标度形式代表一种自相似性，这一自相似性具有普遍意义。例： M t ,b/ v M b z t , b1/ 把 t , 的单位“恰当”地改一下，后果只是把M 的单位改一下（相似性）令 b t1/ zM t ,t/ z M 1,t1/ z 除了一个相似因子 t/ z,Mt ,只与 t 1/z有关，平衡态的空间关联长度，所以 t1/ zt1 / z1/t 1/ z1/所以， t1/ z 应当代表一空间标度。事实上，它是t 时刻的空间关联长度。Mt ,b/Mb 1 t1/ z , b 1 空间单位的改变，仅导致M的单位的改变！动力学标度形式可用重整化群方法导出, 而且可以推广重有限尺度体系。Mkt , LbkMkb z t , b1, b1Lt、 L 足够大，足够小。但是，重整化群方法的结果只能与实验或准确结果定性比较。当然，我们可以数值求解 Langevin 方程，但运算量太大，特别是当 t 0 时，由 t 引起的误差难以控制。一般相信， Monte Carlo 动力学和 Langevin 动力学处于同一普适类。 MC 模拟可以给出较好的定量结果。但是， MC模拟仍受临界慢化的困扰。时间关联函数1x tx t tet / t，t 足够大C tL dx,.包括随机力平均和对 t 平均，tt 称之为关联时间*L， tz当0 ， t标度形式的物理基础*0 ， tLz当 L， tLz临界慢化 无法获得独立的自旋构形， 这不仅仅困扰动力学 MC模型，而且困扰平衡态 MC模型， 这称之为临界慢化。设 LC t ,b 2 /C b z t , b1/假设C t , L e t / t当然ttC b Z t , b1/b Z tt b1/ L e显然，指数上的b 的因子必须自身抵消掉b ztb1/t ( )zb zb1/zz思 考 题为什么0tLZ传统的测量 Z 的方法t L1L1ZZ lnt L1ln L12 l2LZ2t L2L2两难境地：要测准 Z ，需要大 L但当 L 大，临界慢化。第六节 Ising模型的 Monte Carlo模拟Ising model1 HH KS Sjh S , S1k Tiiii jiH 称之为哈密顿量，代表能量Si 置于格点上，例如正方格点h 为外磁场Si对 h 0随机状态H0有序状态Si1H 极小当体系和大热源接触达到“平衡”时，遵从正则分布 e H物理量的平均值1ZZeSie HSiH 归一化常数配分函数对 MC模拟， 1 e H 可以给予概率分布的意义。引入恰当随机Z过程，产生一系列自旋构形S0, S1SN e qSN e q Niiii当 Ne q 足够大时，SiN e q1N e q NSi遵从 1e H 分布ZSi1 NSiNe q nN n1例Si1SiL格点尺度2Li关键：构造算法各态历经细致平衡单自旋翻转法每次只试图改变一个自旋的值，称迭代顺序扫描法按规则依次迭代点阵上所有自旋Heat-bath algorithm选定 Si ，取eESi1e Ee EW Si S iEeSi1e Ee E注意：这一算法的跃迁概率与Si 的值无关！这与 Metropolis的方法不同。E是 Si1的能量E是 Si1的能量由于每次只迭代一个自旋，与Si 无关的自旋的能量不必计算。设 h 0ESiK SiS jSjiiEKSjjiEKSjji各态历经是显然的。细致平衡WSi1Si1eWSi1Si1eEEeeHSi1HSi1练习：构造 Metropolis算法构造二自旋迭代的Heat-bath 和 Metropolis算法在计算机上实现 Heat-bath的算法选定 Si计算E ,e EEe Ee产生随机数r0 , 1 ，均匀分布如果re EE则 Si1Eee否则Si1e Ee Ee E01Si1概率磁化强度及其 k 次矩k1kMSi1当L2LiM0TTCTTCKK C1TCTK CT KTC 是二级相变点，亦称临界点，临界点附近的现象称临界现象，特征标度行为Mb/Mb1/b 为任意标度因子验证： Mb/b1/对有限尺度体系M k, Lb k /M kb1/, b 1 L普适性, , M k, L 只与对称性和空间维数有关。我们的任务：测量 TC 或 K C, M k, L在有限体系测量, TC 的方法Binder cumulantU1M4223 MU , LUb1/, b 1LUL1/,1当 TTC,0 ,U U 0 , 1const测得 TCUL1L2L3U, L0L1/U,1TCT0测得ln U1斜率ln LM 2, L b 2 /M b1/, b 1 LL 2 /M L1/,1bLM 20 , LL 2 /M0 ,1测得/ln M 2斜率 -2/ln LMC方法* 计算机上的实验* 可以逼进准确解普适标度行为关联系统的普遍规律过去几十年留下的重要概念之一以标度行为基础，可测量 TC 、 、广泛应用于自然和社会第七节短时临界动力学问题 1.如何解决临界慢化困难？杰出的工作： Cluster方法非局域的迭代方法局限性不能研究定域的动力学不能任意推广例如：无序系统格点规范理论问题 2.当 t 不太大，甚至相当小时， 是否存在普适的标度行为？传统答案不存在近十年的答案存在并且，可以给出问题 1 的一种答案， 原则可以应用于任何体系。关键： *区分微观和宏观时间标度* 认真对待宏观初始条件初始条件T,m0 很小对 Ising model或4 理论，磁化的 K 次矩Janssen 等人， 1989 年展开M kt , , m0 , Lb kM kb z t , b1, bx0 m0 , b 1 LL 足够大 ，足够小 ，m0足够小tt mic微观足够大特征行为1 、 m00 ,0 ,L,t 不太大M t , mbM b z t , bx0 m00tz M 1, t x0 z mb t1 z0tz M 1, 0 t x0 z m0Mm0 0Lm0m0 足够小m0 tx0MZtt mict有趣，几乎总有0磁化的初始增加。2、 m 0 ,0,L, t 不太大M t , , mbM b z t , b1, bx0 m00tFt1zb t1/ z , m0 很小0回到 1、的结果ln M?00幂次行为被修正=0寻找幂次行为最好的温度，?0即得到 TC ，曲线的斜率即。TTCln tTC1 M0t1/z定出 1zM3、 m00,0 , L 足够大 ， t 不太大M 2t , Lbt2M2zM2 b z t , b 1 L2 L 1, t1/ z4、 m00,0,L时刻 t 的空间关联函数1Si t Si x xC xLdixtex 足够大x在指数上，空间标度维数为零。设tb z t应有xb 1xtt1/ ztbz t12M 2SitL2 di当 t 不太大时， Sit 之间的空间关联长度不太大。M 211Si tSjtLdLdi , j i1Ldji 是 i的邻域M 2 t , Lt yyd 2LdZ定出 y5、 m00,0,L 足够大， t 不太大Ut , L1M4223 MU t , LU b z t , b 1 LU 1,1/Lztt d z LdL 足够大可能会涨落大取b2L1L,L2L2U t , L1 U 2 z t , L2: U t2 , L2U t 2 , L2UU t , L1Ut , L 2取正确的 z，U t , L1 和 U t2 , L2 完全重合。t优点：涨落小缺点：会有有限尺度效应小结：Uz M2M1Mx0,TC初始条件m01 ,T0M kt , , Lb kM kb z t , b1, b 1 LL,0M t bM b z t tz M 0L,0M t ,bM b z t , b1tz M1, t1zTC ,z1 MM0t1 zUMM21 ，td / zU t , L2dL