圆锥曲线的参数方程

新 课 标 人 教 版 课 件 系 列 高 中 数 学 选 修 4 4 2.2.1 椭 圆 的 参 数 方 程 教 学 目 标 掌 握 椭 圆 的 参 数 方 程 及 其 解 法 ； 理 解 方 程参 数 是 椭 圆 的 离 心 角 ， 不 是 旋 转 角 。cossinx ay b 参 数 方 程 。 轴 上 的 椭 圆 的， 焦 点 在这 是 中 心 在 原 点 为 参 数一 个 参 数 方 程 为 的我 们 得 到 了 椭 圆由 例 xO by ax babyax )(sincos )0(14 2222 的 意 义 是 什 么 ？方 程 中 参 数 数 的 意 义 ， 椭 圆 的 参 数类 比 圆 的 参 数 方 程 中 参思 考 ： 如 下 图 ， 以 原 点 为 圆 心 ， 分 别 以 a， b（ a b 0） 为 半 径作 两 个 圆 ， 点 B是 大 圆 半 径 OA与 小 圆 的 交 点 ， 过 点 A作AN ox， 垂 足 为 N， 过 点 B作 BM AN， 垂 足 为 M， 求当 半 径 OA绕 点 O旋 转 时 点 M的 轨 迹 参 数 方 程 . O AM xy NB分 析 ： 点 M的 横 坐 标 与 点 A的 横 坐 标 相 同 ,点 M的 纵 坐 标 与 点 B的 纵 坐 标 相 同 . 而 A、 B的 坐 标 可 以 通 过引 进 参 数 建 立 联 系 . 设 XOA= xyo AMB sinsin coscos, ,),( bOBy aOAx BAy BxAyx MOAox 定 义 有 的的 终 边 上 ， 由 三 角 函 数均 在 角， 由 点 的 纵 坐 标 为点的 横 坐 标 为， 那 么 点是 的 坐 标， 点为 终 边 的 角为 始 边 ，设 以 轴 上 的 椭 圆 。， 焦 点 在这 是 中 心 在 原 点为 参 数 是的 轨 迹 ， 它 的 参 数 方 程 点旋 转 一 周 时 ， 就 得 到 了绕 点当 半 径 xOby ax MOOA )(sincos )2,0 范 围 是 的通 常 规 定 参 数在 椭 圆 的 参 数 方 程 中 ， 的 意 义 类 似 吗 ？中 参 数为 参 数程 的 意 义 与 圆 的 参 数 方椭 圆 的 参 数 方 程 中 参 数思 考 ： )(sincos ry rx 的 旋 转 角 。是 半 径的 旋 转 角 ， 参 数是 ， 不的 离 心 角称 为 点的 旋 转 角或径 所 对 应 的 圆 的 半是 点由 图 可 以 看 出 ， 参 数 OMOM MOBOA M )()( sincos )(sincos .1 11 1 22 2222 by axyx yx byaxyby xax 方 程 为 可 以 得 到 椭 圆 的 参 数为 参 数利 用 圆 的 参 数 方 程 可 以 变 成则 椭 圆 的 方 程 通 过 伸 缩 变 换从 几 何 变 换 的 角 度 看 ，椭 圆 参 数 方 程 的 推 导 1 .参 数 方 程 是 椭 圆 的 参 数 方 程 . cosx a siny b 2 .在 椭 圆 的 参 数 方 程 中 ， 常 数 a、 b分别 是 椭 圆 的 长 半 轴 长 和 短 半 轴 长 . ab另 外 , 称 为 离 心 角 ,规 定 参 数的 取 值 范 围 是 0,2 ) cos , sin .x aX y b 焦 点 在 轴 cos ,sin .x bY y a 焦 点 在 轴 O AM xy NB知 识 归 纳椭 圆 的 标 准 方 程 : 12222 byax椭 圆 的 参 数 方 程 中 参 数 的 几 何 意 义 :)(sinby cosa 为 参 数 x xyO圆 的 标 准 方 程 :圆 的 参 数 方 程 : x2+y2=r2 )(siny cos 为 参 数 rrx的 几 何 意 义 是 AOP= P A椭 圆 的 参 数 方 程 :是 AOX=,不 是 MOX=. 【 练 习 1】 把 下 列 普 通 方 程 化 为 参 数 方 程 . 2 2 14 9x y 22 116yx (1) (2)3 cos 5 sinxy 8 co s1 0 sinxy (3) (4)把 下 列 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程 2 cos(1) 3 sinxy cos(2) 4 sinxy 2264 100(4) 1yx 229 25(3) 1yx 练 习 2： 已 知 椭 圆 的 参 数 方 程 为 ( 是参 数 ) ， 则 此 椭 圆 的 长 轴 长 为 （ ） ， 短 轴 长 为（ ） ， 焦 点 坐 标 是 （ ） ， 离 心 率 是（ ） 。 2cos sinxy 42 32 ( , 0)3 2 223 4 cos 2 sin3cos 0,( )_x y x y 练 习 ：已 知 圆 的 方 程 为为 参 数 ， 那 么 圆 心 的 轨 迹 的 普 通方 程 为 14 )(sincos2 1)sin()cos2( 0cos3sin2cos4 22 22 222 yx yxyx yxyx化 为 普 通 方 程 是 为 参 数所 以 圆 心 的 参 数 方 程 为可 以 化 为解 ： 方 程 例 1 在 椭 圆 上 求 一 点 M，使 点 M到 直 线 x 2y 10 0的 距 离 最 小 ，并 求 出 最 小 距 离 .2 2 19 4x y xyO M9 8( , )5 5M最 小 值 为 5 例 2、 如 图 ， 在 椭 圆 x2+8y2=8上 求 一 点 P， 使 P到 直 线 l： x-y+4=0的 距 离 最 小 . xyOP分 析 1： ),y,y( 288P设 288 2 |4yy| d则分 析 2： ),sin,cos(P 22设 222 |4sincos| d则分 析 3： 平 移 直 线 l 至 首 次 与 椭 圆 相 切 ， 切 点 即 为 所 求 .小 结 ： 借 助 椭 圆 的 参 数 方 程 ， 可 以 将 椭 圆 上 的 任 意 一点 的 坐 标 用 三 角 函 数 表 示 ， 利 用 三 角 知 识 加 以 解 决 。 例 3、 已 知 椭 圆 有 一 内 接 矩 形 ABCD，求 矩 形 ABCD的 最 大 面 积 。2 2 1100 64x y : 10cos ,8sinA 解 设 20 cos , 16sin20 16sin cos160sin 2AD ABS , ABCD 160所 以 矩 形 最 大 面 积 为 y XO A2A1 B1B2F1 F2ABCD Y X 练 习 3:已 知 A,B两 点 是 椭 圆 与 坐 标 轴 正 半 轴 的 两 个 交 点 ,在 第 一 象 限 的 椭圆 弧 上 求 一 点 P,使 四 边 形 OAPB的 面 积 最 大 .229 4 1yx : , ABO ABP解 椭 圆 参 数 方 程 设 点 P(3cos ,2sin ) S 面 积 一 定 需 求 S 最 大 即 可2 6 4132 2 1 2 3 6 0| cos sin 6 | 2 sin( )2 3, ,yxP AB x yd dP 3 3 22 即 求 点 到 线 的 距 离 最 大 值线 AB的 方 程 为6 6所 以 当 = 时 有 最 大 值 面 积 最 大4这 时 点 的 坐 标 为 ( , 2) 练 习 41、 动 点 P(x,y)在 曲 线 上 变 化 ， 求 2x+3y的 最大 值 和 最 小 值 149 22 yx ., 2626 最 小 值最 大 值2、 取 一 切 实 数 时 ， 连 接 A(4sin,6cos)和 B(-4cos, 6sin)两 点 的 线 段 的 中 点 轨 迹 是 . A. 圆 B. 椭 圆 C. 直 线 D. 线 段B设 中 点 M (x, y) x=2sin-2cosy=3cos+3sin 2 2y 18 18x 小 结 ：圆 的 参 数 方 程 ： （ 为 参 数 ）cossinx ry r （ 以 原 点 为 圆 心 ， r为 半 径 ， 为 旋转 角 ） 小 结 ：椭 圆 的 参 数 方 程 ： cossinx ay b （ 为 参 数 ） 表 明 分 别 是 椭 圆 的 长 轴 长 与 短 轴 长 ，且 焦 点 在 轴 上 ， 参 数 是 椭 圆的 离 心 角 ， 不 是 旋 转 角 ， 由 例 可 以 可 看 出 ， 利 用 椭 圆 的 参 数 方程 解 最 值 问 题 会 比 较 简 单 0a b 2 , 2a bx 二 、 圆 锥 曲 线 的 参 数 方 程2、 双 曲 线 的 参 数 方 程 b a o xy ) MBA B A OBB y 在 中 ，( , )M x y设 | | | | tanBB OB tan .b OAA x 在 中 ，| | | cosOAOA cosb sec ,b sec ( )tanx aM y b 所 以 的 轨 迹 方 程 是 为 参 数 2a2 22x y消 去 参 数 后 ， 得 - =1,b这 是 中 心 在 原 点 ， 焦 点 在 x轴 上 的 双 曲 线 。 双 曲 线 的 参 数 方 程 双 曲 线 的 参 数 方 程 b a o xy ) MBA B Asec ( )tanx ay b 为 参 数2a2 22x y- =1(a0,b0)的 参 数 方 程 为 ：b 3 ,2 ) 2 2o 通 常 规 定 且 ， 。 双 曲 线 的 参 数 方 程 可 以 由 方 程 与 三 角 恒 等 式 2 22 2 1x ya b 2 2sec 1 tan 相 比 较 而 得 到 ， 所 以 双 曲 线 的 参 数 方 程 的 实 质 是 三 角 代 换 .说 明 ： 这 里 参 数 叫 做 双 曲 线 的 离 心 角 与 直 线 OM的 倾 斜 角 不 同 . 1.双 曲 线 为 参 数 )的 渐 近 线 方 程 为 _. 3sec (tanxy 例 2、 2 22 2 1 0 0 x yM a b Oa bM A BMAOB ( , ) 如 图 ， 设 为 双 曲 线 任 意 一 点 ， 为 原 点 ，过 点 作 双 曲 线 两 渐 近 线 的 平 行 线 ， 分 别 与 两 渐 近 线 交 于 ， 两 点 。探 求 平 行 四 边 形 的 面 积 ， 由 此 可 以 发 现 什 么 结 论 ？O B MA xy.by xa双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 ：解 ： tan ( sec ).M by b x aaA 不 妨 设 M为 双 曲 线 右 支 上 一 点 ， 其 坐 标 为 ,则 直 线 的 方 程 为 （ asec ,btan ）： b将 y= x代 入 ， 解 得 点 A的 横 坐 标 为a A ax = （ sec tan ）2 . B ax = （ se同 理 可 得 ， 点 B的 横 坐 c ta2标 n为 ） .ba 设 AOx= ,则 tan .MAOB所 以 的 面 积 为 MAOB S =|OA|OB|sin2 = A Bx x sin2cos cos 2 2 22a (sec -tan )= sin24cos tan .2b aba 2 2a a= 2 2MAOB由 此 可 见 ， 平 行 四 边 形 的 面 积 恒 为 定 值 ， 与 点 M在 双 曲 线 上 的 位 置 无 关 。 3、 抛 物 线 的 参 数 方 程 xyo M(x,y) 抛 物 线 的 参 数 方 程 oy x) HM(x， y)M 设 （ x,y） 为 抛 物 线 上 除 顶 点 外 的 任 意 一 点 ，以 射 线 OM为 终 边 的 角 记 作 。 tan .M y因 为 点 （ x,y） 在 的 终 边 上 ， 根 据 三 角 函 数 定 义 可 得 x.2又 设 抛 物 线 普 通 方 程 为 y =2px , ( ).y 22px=tan解 出 x,y得 到 抛 物 线 （ 不 包 括 顶 点 ） 的 参 数 方 程 ： 为 参 数2ptan 1如 果 设 t= ,t (- ,0) (0,+ ),则 有tan, ( ). ty 2x=2pt 为 参 数2pt0t 当 时 ， 参 数 方 程 表 示 的 点 正 好 就 是 抛 物 线 的 顶 点 （ 0， 0） 。, ( ). t t Ry 2x=2pt所 以 ， 为 参 数 ， 表 示 整 条 抛 物 线 。2pt 思 考 ： 参 数 t的 几 何 意 义 是 什 么 ? 抛 物 线 的 参 数 方 程 oy x) HM(x， y)2抛 物 线 y =2px(p0)的 参 数 方 程 为 : 1其 中 参 数 t= ( 0),当 =0时 ， t=0.tan几 何 意 义 为 ：, ( ). t t Ry 2x=2pt 为 参 数 ，2pt 抛 物 线 上 除 顶 点 外 的 任 意 一 点 与 原 点 连 线 的 斜 率 的 倒 数 。.x即 P(x,y)为 抛 物 线 上 任 意 一 点 ,则 有 t=y 2121 212121 2121 2 1,1 , ,)(221 ttDttC ttBttAMM ttMM tpty ptx 、 、 所 在 直 线 的 斜 率 是 则 弦所 对 应 的 参 数 分 别 是，两 点 上 异 于 原 点 的 不 同为 参 数、 若 曲 线 ( )c 212221 212 22221211 2121 21 122 22 )2,2(),2,2( , 1 ttptpt ptptk ptptMptptM MMtt MMMM 的 坐 标 分 别 为和， 则 可 得 点和别 是 两 点 对 应 的 参 数 方 程 分解 ： 由 于 的 轨 迹 方 程 。 ， 求 点相 交 于 点并 于 且上 异 于 顶 点 的 两 动 点 ，是 抛 物 线是 直 角 坐 标 原 点 ，、 如 图例M MABABOMOBOA ppxy BAO , )0(2 ,32 xyo BA M )8.(.1,0)2()2( ,0, )(2),(2( )2,2(),2,2(),( )0,)(2,2(),2,2( ),(, 21212221 122122 222121 2121222121 ttttptpt OBOAOBOA ttpttpAB ptptOBptptOAyxOM ttttptptptpt yxBAM所 以 即所 以因 为 则且的 坐 标 分 别 为解 ： 根 据 条 件 ， 设 点 2 22 1 2 11 2 1 2 21 1 22 2 , 0,2 ( ) 2 ( ) 0( ) 0,( 0).(9) ( 2 , 2 ),(2 ,2 ) , , OM AB OM ABpx t t py t tx t t yyt t xx AM x pt y ptMB pt x pt y A M B 因 为 所 以 即所 以即 因 为 且 三 点 共 线 ， 的 轨 迹 方 程这 就 是 点即 得 到代 入将化 简 ， 得所 以 M xpxyx xpxyy xtpttty ptyxptyptptx )0(02 02)( ),10()9(),8( )10.(.02)( )2)(2()2)(2( 22 2121 122221 ?,3最 小 ？ 最 小 值 是 多 少 的 面 积在 什 么 位 置 时 ，中 ， 点在 例探 究 ： AOBBA .4, 44)(222 )1()1(2 12)2()2( 12)2()2(3 221 2221222212 2221212 22222222 21121221 pAOB xBAtt pttpttp ttttpS AOB ttpptptOB ttpptptOAAOB 的 面 积 最 小 ， 最 小 值 为 轴 对 称 时 ，关 于， 即 当 点当 且 仅 当 的 面 积 为所 以 ， 可 得由 例 小 节 ：1、 抛 物 线 的 参 数 方 程 的 形 式2、 抛 物 线 参 数 的 意 义