《2015数模培训》PPT课件

2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2013数 学 建 模 培 训 优 秀 论 文 精 讲 2011年 优 秀 论 文 2010年 优 秀 论 文 2009年 优 秀 论 文 2008年 优 秀 论 文 2005年 优 秀 论 文 城 市 表 层 土 壤 重 金 属 的 污 染 分 析 随 着 城 市 经 济 的 快 速 发 展 和 城 市 人 口 的 不 断 增 加 ， 人 类 活 动 对 城 市 环境 质 量 的 影 响 日 显 突 出 。 对 城 市 土 壤 地 质 环 境 异 常 的 查 证 ， 以 及 如 何应 用 查 证 获 得 的 海 量 数 据 资 料 开 展 城 市 环 境 质 量 评 价 ， 研 究 人 类 活 动影 响 下 城 市 地 质 环 境 的 演 变 模 式 ， 日 益 成 为 人 们 关 注 的 焦 点 。 按 照 功能 划 分 ， 城 区 一 般 可 分 为 生 活 区 、 工 业 区 、 山 区 、 主 干 道 路 区 及 公 园绿 地 区 等 ， 分 别 记 为 1类 区 、 2区 、 、 5类 区 ， 不 同 的 区 域 环 境 受人 类 活 动 影 响 的 程 度 不 同 。 现 对 某 城 市 城 区 土 壤 地 质 环 境 进 行 调 查 。 为 此 ， 将 所 考 察 的 城 区 划 分为 间 距 1公 里 左 右 的 网 格 子 区 域 ， 按 照 每 平 方 公 里 1个 采 样 点 对 表 层 土（ 010 厘 米 深 度 ） 进 行 取 样 、 编 号 ， 并 用 GPS记 录 采 样 点 的 位 置 。 应用 专 门 仪 器 测 试 分 析 ， 获 得 了 每 个 样 本 所 含 的 多 种 化 学 元 素 的 浓 度 数据 。 另 一 方 面 ， 按 照 2公 里 的 间 距 在 那 些 远 离 人 群 及 工 业 活 动 的 自 然区 取 样 ， 将 其 作 为 该 城 区 表 层 土 壤 中 元 素 的 背 景 值 。 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2011优 秀 论 文 讲 解 A题 附 件 1列 出 了 采 样 点 的 位 置 、 海 拔 高 度 及 其 所 属 功 能 区 等 信 息 ， 附 件 2列 出 了 8种 主 要 重 金 属 元 素 在 采 样 点 处 的 浓 度 ， 附 件 3列 出 了 8种 主 要 重金 属 元 素 的 背 景 值 。 现 要 求 你 们 通 过 数 学 建 模 来 完 成 以 下 任 务 ： (1) 给 出 8种 主 要 重 金 属 元 素 在 该 城 区 的 空 间 分 布 ， 并 分 析 该 城 区 内 不同 区 域 重 金 属 的 污 染 程 度 。 (2) 通 过 数 据 分 析 ， 说 明 重 金 属 污 染 的 主 要 原 因 。 (3) 分 析 重 金 属 污 染 物 的 传 播 特 征 ， 由 此 建 立 模 型 ， 确 定 污 染 源 的 位置 。 (4) 分 析 你 所 建 立 模 型 的 优 缺 点 ， 为 更 好 地 研 究 城 市 地 质 环 境 的 演 变模 式 ， 还 应 收 集 什 么 信 息 ？ 有 了 这 些 信 息 ， 如 何 建 立 模 型 解 决 问 题 ？ 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2011年 优 秀 论 文 讲 解 A题 问 题 分 析 ： 第 一 问 ： 尽 量 详 细 地 描 述 8种 重 金 属 的 位 置 关系 ， 分 布 情 况 ， 包 括 与 坐 标 、 海 拔 的 关 系 ， 8种 金 属 的 相 关 性 ， 与 5个 区 域 的 关 系 等 。 该 城区 内 不 同 区 域 重 金 属 的 污 染 程 度 要 分 别 针 对 每一 种 重 金 属 评 判 其 污 染 的 等 级 从 而 确 定 其 污 染程 度 。 污 染 的 等 级 是 个 客 观 的 常 数 ， 但 可 用 不同 方 法 确 定 ， 每 种 方 法 得 到 的 结 果 不 尽 相 同 。（ 如 内 梅 罗 指 数 污 染 模 型 ） 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2011年优 秀论 文讲 解 A题 2011年 优 秀 论 文 讲 解 A题 第 二 问 ： 分 析 污 染 的 原 因 ， 首 先 要 弄 清 楚 每 个区 域 污 染 物 的 情 况 ， 因 此 应 该 按 照 5个 区 域 里的 8种 重 金 属 的 污 染 排 序 ， 然 后 再 分 析 每 个 区域 里 排 序 的 原 因 。 （ 模 糊 综 合 评 判 的 方 法 很 多 ，如 TOPSIS法 ） 第 三 问 ： 该 问 题 是 本 论 文 的 重 心 及 难 点 所 在 。分 析 污 染 的 方 向 性 ， 不 仅 仅 只 是 利 用 附 件 的 数据 进 行 污 染 源 的 “搜 索 ”， 而 应 当 结 合 现 有 的 污染 扩 散 模 型 ， 因 为 各 金 属 污 染 是 有 相 互 作 用 的 。 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2011年 优 秀 论 文 讲 解 A题 第 四 问 ： 本 问 题 作 为 模 型 的 推 广 ， 主 要 是 针 对第 三 问 所 建 模 型 的 缺 点 进 行 发 散 性 推 广 ， 只 需建 模 ， 不 需 求 解 。 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2010年 优 秀 论 文 讲 解 A题A题 储 油 罐 的 变 位 识 别 与 罐 容 表 标 定 通 常 加 油 站 都 有 若 干 个 储 存 燃 油 的 地 下 储 油 罐 ， 并 且 一 般都 有 与 之 配 套 的 “ 油 位 计 量 管 理 系 统 ” ， 采 用 流 量 计 和 油位 计 来 测 量 进 /出 油 量 与 罐 内 油 位 高 度 等 数 据 ， 通 过 预 先 标定 的 罐 容 表 （ 即 罐 内 油 位 高 度 与 储 油 量 的 对 应 关 系 ） 进 行实 时 计 算 ， 以 得 到 罐 内 油 位 高 度 和 储 油 量 的 变 化 情 况 。 许 多 储 油 罐 在 使 用 一 段 时 间 后 ， 由 于 地 基 变 形 等 原 因 ， 使罐 体 的 位 置 会 发 生 纵 向 倾 斜 和 横 向 偏 转 等 变 化 （ 以 下 称 为变 位 ） ， 从 而 导 致 罐 容 表 发 生 改 变 。 按 照 有 关 规 定 ， 需 要定 期 对 罐 容 表 进 行 重 新 标 定 。 图 1是 一 种 典 型 的 储 油 罐 尺 寸及 形 状 示 意 图 ， 其 主 体 为 圆 柱 体 ， 两 端 为 球 冠 体 。 图 2是 其罐 体 纵 向 倾 斜 变 位 的 示 意 图 ， 图 3是 罐 体 横 向 偏 转 变 位 的 截面 示 意 图 。 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 请 你 们 用 数 学 建 模 方 法 研 究 解 决 储 油 罐 的 变 位 识 别 与 罐 容 表标 定 的 问 题 。 （ 1） 为 了 掌 握 罐 体 变 位 后 对 罐 容 表 的 影 响 ， 利 用 如 图 4的 小椭 圆 型 储 油 罐 （ 两 端 平 头 的 椭 圆 柱 体 ） ， 分 别 对 罐 体 无 变 位和 倾 斜 角 为 =4.10的 纵 向 变 位 两 种 情 况 做 了 实 验 ， 实 验 数 据如 附 件 1所 示 。 请 建 立 数 学 模 型 研 究 罐 体 变 位 后 对 罐 容 表 的 影响 ， 并 给 出 罐 体 变 位 后 油 位 高 度 间 隔 为 1cm的 罐 容 表 标 定 值 。 （ 2） 对 于 图 1所 示 的 实 际 储 油 罐 ， 试 建 立 罐 体 变 位 后 标 定 罐容 表 的 数 学 模 型 ， 即 罐 内 储 油 量 与 油 位 高 度 及 变 位 参 数 （ 纵向 倾 斜 角 度 和 横 向 偏 转 角 度 ） 之 间 的 一 般 关 系 。 请 利 用 罐体 变 位 后 在 进 /出 油 过 程 中 的 实 际 检 测 数 据 （ 附 件 2） ， 根 据你 们 所 建 立 的 数 学 模 型 确 定 变 位 参 数 ， 并 给 出 罐 体 变 位 后 油位 高 度 间 隔 为 10cm的 罐 容 表 标 定 值 。 进 一 步 利 用 附 件 2中 的实 际 检 测 数 据 来 分 析 检 验 你 们 模 型 的 正 确 性 与 方 法 的 可 靠 性 。2010年优 秀论 文讲 解 A题 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2010年 优 秀 论 文 讲 解 A题 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2010年 优 秀 论 文 讲 解 A题 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2010年 优 秀 论 文 讲 解 A题 命 题 过 程 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2010年 优 秀 论 文 讲 解 A题问 题 分 析 ： 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2010年 优 秀 论 文 讲 解 A题 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2010年 优 秀 论 文 讲 解 A题 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2010年 优 秀 论 文 讲 解 A题 优 秀 论 文 1 储 油 罐 的 变 位 识 别 与 罐 容 表 标 定 湖 南 农 业 大 学 （ 张 晨 成 李 亮 李 吉 仙 ） 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2010年 优 秀 论 文 讲 解 A题本 文 点 评 ：本 文 特 色u 通 用 模 型 功 能 强 大u 采 用 近 似 计 算 降 低 难 度注 意 事 项u 分 析 基 本 功 要 加 强 u 行 文 逻 辑 结 构 要 清 晰 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 优 秀 论 文 2 储 油 罐 的 变 位 识 别 与 罐 容 表 标 定 湖 南 农 业 大 学 （ 王 志 勇 雷 达 万 志 鸿 ） 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2010年 优 秀 论 文 讲 解 A题本 文 点 评 ：本 文 特 色u 分 析 、 计 算 功 底 强u 模 型 简 单 实 用u 行 文 流 畅 ， 逻 辑 清 晰注 意 事 项 u 模 型 检 验 须 丰 富u 时 间 分 配 要 合 理 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2010年 优 秀 论 文 讲 解 A题 竞 赛 中 存 在 的 问 题 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2010年 优 秀 论 文 讲 解 A题 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2010年 优 秀 论 文 讲 解 A题 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2010年 优 秀 论 文 讲 解 A题 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2009年 优 秀 论 文 讲 解 B题B题 眼 科 病 床 的 合 理 安 排 医 院 就 医 排 队 是 大 家 都 非 常 熟 悉 的 现 象 ， 它 以这 样 或 那 样 的 形 式 出 现 在 我 们 面 前 ， 例 如 ， 患者 到 门 诊 就 诊 、 到 收 费 处 划 价 、 到 药 房 取 药 、到 注 射 室 打 针 、 等 待 住 院 等 ， 往 往 需 要 排 队 等待 接 受 某 种 服 务 。 我 们 考 虑 某 医 院 眼 科 病 床 的合 理 安 排 的 数 学 建 模 问 题 。 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2009年 优 秀 论 文 讲 解 B题 该 医 院 眼 科 门 诊 每 天 开 放 ， 住 院 部 共 有 病 床 79张 。 该 医 院 眼科 手 术 主 要 分 四 大 类 ： 白 内 障 、 视 网 膜 疾 病 、 青 光 眼 和 外 伤 。附 录 中 给 出 了 2008年 7月 13日 至 2008年 9月 11日 这 段 时 间 里 各类 病 人 的 情 况 。 白 内 障 手 术 较 简 单 ， 而 且 没 有 急 症 。 目 前 该 院 是 每 周 一 、 三做 白 内 障 手 术 ， 此 类 病 人 的 术 前 准 备 时 间 只 需 1、 2天 。 做 两只 眼 的 病 人 比 做 一 只 眼 的 要 多 一 些 ， 大 约 占 到 60%。 如 果 要 做双 眼 是 周 一 先 做 一 只 ， 周 三 再 做 另 一 只 。 外 伤 疾 病 通 常 属 于 急 症 ， 病 床 有 空 时 立 即 安 排 住 院 ， 住 院 后第 二 天 便 会 安 排 手 术 。 其 他 眼 科 疾 病 比 较 复 杂 ， 有 各 种 不 同 情 况 ， 但 大 致 住 院 以 后2-3天 内 就 可 以 接 受 手 术 ， 主 要 是 术 后 的 观 察 时 间 较 长 。 这 类疾 病 手 术 时 间 可 根 据 需 要 安 排 ， 一 般 不 安 排 在 周 一 、 周 三 。由 于 急 症 数 量 较 少 ， 建 模 时 这 些 眼 科 疾 病 可 不 考 虑 急 症 。 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2009年 优 秀 论 文 讲 解 B题 该 医 院 眼 科 手 术 条 件 比 较 充 分 ， 在 考 虑 病 床 安 排时 可 不 考 虑 手 术 条 件 的 限 制 ， 但 考 虑 到 手 术 医 生的 安 排 问 题 ， 通 常 情 况 下 白 内 障 手 术 与 其 他 眼 科手 术 （ 急 症 除 外 ） 不 安 排 在 同 一 天 做 。 当 前 该 住院 部 对 全 体 非 急 症 病 人 是 按 照 FCFS（ First come, First serve） 规 则 安 排 住 院 ， 但 等 待 住 院 病 人 队列 却 越 来 越 长 ， 医 院 方 面 希 望 你 们 能 通 过 数 学 建模 来 帮 助 解 决 该 住 院 部 的 病 床 合 理 安 排 问 题 ， 以提 高 对 医 院 资 源 的 有 效 利 用 。 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2009年 优 秀 论 文 讲 解 B题 问 题 一 ： 试 分 析 确 定 合 理 的 评 价 指 标 体 系 ， 用 以 评价 该 问 题 的 病 床 安 排 模 型 的 优 劣 。 问 题 二 ： 试 就 该 住 院 部 当 前 的 情 况 ， 建 立 合 理 的 病床 安 排 模 型 ， 以 根 据 已 知 的 第 二 天 拟 出 院 病 人 数 来确 定 第 二 天 应 该 安 排 哪 些 病 人 住 院 。 并 对 你 们 的 模型 利 用 问 题 一 中 的 指 标 体 系 作 出 评 价 。 问 题 三 ： 作 为 病 人 ， 自 然 希 望 尽 早 知 道 自 己 大 约 何时 能 住 院 。 能 否 根 据 当 时 住 院 病 人 及 等 待 住 院 病 人的 统 计 情 况 ， 在 病 人 门 诊 时 即 告 知 其 大 致 入 住 时 间区 间 。 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2009年 优 秀 论 文 讲 解 B题 问 题 四 ： 若 该 住 院 部 周 六 、 周 日 不 安 排 手 术 ，请 你 们 重 新 回 答 问 题 二 ， 医 院 的 手 术 时 间 安 排是 否 应 作 出 相 应 调 整 ? 问 题 五 ： 有 人 从 便 于 管 理 的 角 度 提 出 建 议 ， 在一 般 情 形 下 ， 医 院 病 床 安 排 可 采 取 使 各 类 病 人占 用 病 床 的 比 例 大 致 固 定 的 方 案 ， 试 就 此 方 案 ，建 立 使 得 所 有 病 人 在 系 统 内 的 平 均 逗 留 时 间（ 含 等 待 入 院 及 住 院 时 间 ） 最 短 的 病 床 比 例 分配 模 型 。 附 录 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2009年 优 秀 论 文 讲 解 B题问 题 分 析 ：第 一 问 ： 此 问 主 要 考 核 对 问 题 的 考 虑 是 否 全面 、 周 到 ， 对 问 题 实 质 的 理 解 是 否 到 位 。 需要 优 化 的 指 标 可 能 较 多 ， 但 本 问 题 中 病 床 非常 繁 忙 ， 因 此 主 要 指 标 是 病 床 有 效 利 用 率 和公 平 度 ， 这 两 个 指 标 可 以 有 各 种 不 同 的 定 义 ，其 合 理 性 是 评 分 依 据 。 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2009年 优 秀 论 文 讲 解 B题 第 二 问 ： 本 问 主 要 考 核 能 否 给 出 一 个 相 对 合 理 的病 床 安 排 模 型 ， 主 要 目 标 为 ： 提 高 病 床 有 效 利 用率 以 及 提 高 公 平 度 。 由 于 问 题 的 复 杂 性 ， 很 难 利用 现 成 的 排 队 论 结 论 来 处 理 ， 采 用 仿 真 方 法 是 一种 选 择 。 仿 真 步 骤 应 清 晰 交 代 ； 通 过 建 立 模 型 的随 机 仿 真 比 仅 用 给 定 样 本 仿 真 要 好 。 就 提 高 病 床有 效 利 用 率 而 言 ， 病 人 术 后 住 院 时 间 是 一 个 不 可优 化 的 量 ， 所 以 只 能 在 术 前 等 待 时 间 上 作 文 章 。经 对 问 题 的 分 析 可 知 ： 对 白 内 障 病 人 的 入 院 时 间加 以 限 制 成 为 提 高 效 率 的 必 然 选 择 。 需 要 制 定 一种 对 白 内 障 病 人 的 “ 可 入 院 日 ” 加 以 一 定 限 制 的方 案 ， 并 与 FCFS(先 来 先 服 务 )方 案 进 行 比 较 。 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2009年 优 秀 论 文 讲 解 B题 第 三 问 ： 此 问 要 给 出 一 个 满 足 一 定 置 信 度 的 预 约住 院 时 间 区 间 ， 并 且 区 间 长 度 越 短 越 好 。 这 里 介绍 一 种 方 法 自 适 应 区 间 方 法 ： 根 据 当 前 系 统内 （ 含 住 院 及 等 待 ） 人 数 ， 利 用 该 类 病 人 每 日 出院 人 数 的 统 计 平 均 值 ， 计 算 得 到 当 前 病 人 预 计 住院 时 间 ， 然 后 再 通 过 统 计 数 据 得 到 置 信 度 为 95%的置 信 区 间 ， 并 通 过 仿 真 方 法 检 验 其 效 果 ， 该 方 法对 当 前 排 队 人 数 有 一 定 的 自 适 应 功 能 。 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2009年 优 秀 论 文 讲 解 B题 第 四 问 ：与 问 题 二 的 分 析 类 似 ， 仍 采 用 “ 入 院 限 制 方 案 ” ，但 简 单 沿 用 第 二 问 方 法 进 行 仿 真 的 结 果 将 不 理 想 ，主 要 原 因 是 对 视 网 膜 与 青 光 眼 病 人 而 言 ， 会 造 成病 床 使 用 效 率 降 低 ， 需 改 进 手 术 时 间 安 排 。 例 如采 取 “ 二 四 方 案 ” ， 即 周 二 、 周 四 为 白 内 障 病 人手 术 时 间 ， 病 床 使 用 效 率 会 有 所 提 高 。 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2009年 优 秀 论 文 讲 解 B题 第 五 问 ： 可 以 考 虑 建 立 以 床 位 数 分 配 为 决策 变 量 的 排 队 论 优 化 模 型 。 但 由 于 服 务 时间 不 严 格 服 从 负 指 数 分 布 ， 建 立 和 求 解 这类 模 型 较 为 复 杂 。 亦 可 通 过 模 拟 计 算 得 到结 论 。 对 于 其 他 直 观 或 者 简 化 的 处 理 方 法 ，应 考 虑 模 型 是 否 合 理 、 能 否 得 到 适 当 的 结论 。 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2009年 优 秀 论 文 讲 解 B题 优 秀 论 文 眼 科 病 床 的 优 先 级 调 度 模 型问 题 分 析 : 问 题 一 是 要 建 立 一 个 评 价 指 标 体 系 ， 以 评 价各 种 安 排 住 院 的 规 则 。 医 院 住 院 排 队 问 题 是 一 个排 队 论 问 题 ， 因 此 拟 借 鉴 排 队 论 中 的 评 价 指 标 。如 病 人 的 平 均 等 待 时 间 、 平 均 排 队 长 度 等 。 并 拟用 一 种 方 法 将 几 个 评 价 指 标 建 立 成 一 个 评 价 体 系 。 问 题 二 的 建 模 目 的 是 建 立 一 个 模 型 ， 以 安 排第 二 天 的 病 床 安 排 模 型 。 这 可 以 看 作 是 一 个 规 划问 题 或 者 调 度 问 题 。 由 于 规 划 问 题 的 约 束 条 件 难于 确 定 ， 准 备 用 采 用 一 些 先 进 的 调 度 算 法 。 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2009年 优 秀 论 文 讲 解 B题 问 题 三 可 以 看 作 问 题 二 的 递 推 。 由 当 前 住 院 病 人 的 情况 推 出 住 院 病 人 的 出 院 时 间 ， 估 计 这 个 病 人 的 排 队 顺序 ， 即 这 个 病 人 前 面 有 多 少 人 在 排 队 ， 然 后 估 计 一 个大 致 的 时 间 。 问 题 四 ， 显 然 当 住 院 部 周 六 、 周 日 不 安 排 手 术 时 对 于问 题 二 的 模 型 就 必 须 作 出 调 整 。 因 为 周 六 、 周 日 不 安排 手 术 但 是 可 以 安 排 住 院 ， 而 这 会 使 得 医 院 更 加 繁 忙 。将 试 图 通 过 调 整 白 内 障 的 手 术 时 间 为 周 二 、 周 四 或 周三 、 周 五 来 改 善 医 院 的 病 床 安 排 。 问 题 五 ， 这 个 优 化 问 题 的 目 标 是 使 所 有 病 人 在 系 统 内的 平 均 逗 留 时 间 最 短 ， 要 作 的 决 策 是 病 床 的 分 配 计 划 ，即 将 一 定 的 病 床 数 分 别 按 照 多 少 比 例 分 配 给 各 类 病 人 。问 题 的 关 键 在 于 求 平 均 逗 留 时 间 。 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2009年 优 秀 论 文 讲 解 B题 问 题 一 ： 加 权 TOPSIS模 型 TOPSIS法 (Technique for order preference by similarity to ideal solution)是 一 种 逼 近 于 理 想 的 排 序方 法 ， 比 较 科 学 且 能 综 合 评 价 的 方 法 。 该 方 法 只 要 求 各 效用 函 数 具 有 单 调 递 增 （ 或 递 减 ） 性 就 行 。 TOPSIS法 是 多 目标 决 策 分 析 中 一 种 常 用 的 有 效 方 法 ， 又 称 为 优 劣 解 距 离 法 。 其 基 本 原 理 ， 是 通 过 检 测 评 价 对 象 与 最 优 解 、 最 劣 解的 距 离 来 进 行 排 序 ， 若 评 价 对 象 最 靠 近 最 优 解 同 时 又 最 远离 最 劣 解 ， 则 为 最 好 ； 否 则 为 最 差 。 其 中 最 优 解 的 各 指 标值 都 达 到 各 评 价 指 标 的 最 优 值 。 最 劣 解 的 各 指 标 值 都 达 到各 评 价 指 标 的 最 差 值 。 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2008年 优 秀 论 文 讲 解 A题A题 数 码 相 机 定 位 数 码 相 机 定 位 在 交 通 监 管 （ 电 子 警 察 ） 等 方 面 有 广 泛 的 应用 。 所 谓 数 码 相 机 定 位 是 指 用 数 码 相 机 摄 制 物 体 的 相 片 确定 物 体 表 面 某 些 特 征 点 的 位 置 。 最 常 用 的 定 位 方 法 是 双 目定 位 ， 即 用 两 部 相 机 来 定 位 。 对 物 体 上 一 个 特 征 点 ， 用 两部 固 定 于 不 同 位 置 的 相 机 摄 得 物 体 的 像 ， 分 别 获 得 该 点 在两 部 相 机 像 平 面 上 的 坐 标 。 只 要 知 道 两 部 相 机 精 确 的 相 对位 置 ， 就 可 用 几 何 的 方 法 得 到 该 特 征 点 在 固 定 一 部 相 机 的坐 标 系 中 的 坐 标 ， 即 确 定 了 特 征 点 的 位 置 。 于 是 对 双 目 定位 ， 精 确 地 确 定 两 部 相 机 的 相 对 位 置 就 是 关 键 ， 这 一 过 程称 为 系 统 标 定 。 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2008年 优 秀 论 文 讲 解 A题 标 定 的 一 种 做 法 是 ： 在 一 块 平 板 上画 若 干 个 点 ， 同 时 用 这 两 部 相 机 照相 ， 分 别 得 到 这 些 点 在 它 们 像 平 面上 的 像 点 ， 利 用 这 两 组 像 点 的 几 何关 系 就 可 以 得 到 这 两 部 相 机 的 相 对位 置 。 然 而 ， 无 论 在 物 平 面 或 像 平面 上 我 们 都 无 法 直 接 得 到 没 有 几 何尺 寸 的 “ 点 ” 。 实 际 的 做 法 是 在 物平 面 上 画 若 干 个 圆 （ 称 为 靶 标 ） ，它 们 的 圆 心 就 是 几 何 的 点 了 。 而 它们 的 像 一 般 会 变 形 ， 如 图 1所 示 ， 所以 必 须 从 靶 标 上 的 这 些 圆 的 像 中 把圆 心 的 像 精 确 地 找 到 ， 标 定 就 可 实现 。 图 1 靶 标 上 圆 的 像 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2008年 优 秀 论 文 讲 解 A题 有 人 设 计 靶 标 如 下 ， 取 1个 边 长 为 100mm的 正 方 形 ，分 别 以 四 个 顶 点 （ 对 应 为 A、 C、 D、 E） 为 圆 心 ，12mm为 半 径 作 圆 。 以 AC边 上 距 离 A点 30mm处 的 B为 圆 心 ， 12mm为 半 径 作 圆 ， 如 图 2所 示 。 用 一 位 置 固定 的 数 码 相 机 摄 得 其 像 ， 如 图 3所 示 。 图 3 靶 标 的 像图 2 靶 标 示 意 图 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2008年 优 秀 论 文 讲 解 A题 请 你 们 ： 建 立 数 学 模 型 和 算 法 以 确 定 靶 标 上 圆 的 圆 心 在 该 相 机 像 平面 的 像 坐 标 , 这 里 坐 标 系 原 点 取 在 该 相 机 的 焦 点 ， x-y平面 平 行 于 像 平 面 ； 对 由 图 2、 图 3分 别 给 出 的 靶 标 及 其 像 ， 计 算 靶 标 上 圆 的圆 心 在 像 平 面 上 的 像 坐 标 , 该 相 机 的 像 距 （ 即 焦 点 到 像 平面 的 距 离 ） 是 1577个 像 素 单 位 (1毫 米 约 为 3.78个 像 素单 位 )， 相 机 分 辨 率 为 1024 786； 设 计 一 种 方 法 检 验 你 们 的 模 型 ， 并 对 方 法 的 精 度 和 稳 定 性进 行 讨 论 ； 建 立 用 此 靶 标 给 出 两 部 固 定 相 机 相 对 位 置 的 数 学 模 型 和 方法 。 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2008年 优 秀 论 文 讲 解 A题 优 秀 论 文 数 码 相 机 定 位 湖 南 农 业 大 学 （ 杨 阳 ， 成 星 ， 成 小 龙 ） 模 型 假 设 题 中 所 给 图 像 能 真 实 反 映 数 码 相 机 标 定 结 果 假 设 数 码 相 机 不 存 在 光 学 系 统 的 加 工 误 差 和 装 配等 误 差 ， 即 不 考 虑 畸 变 。1. 分 别 表 示 图 像 坐 标 系 方 向 上 相 邻两 像 素 间 的 距 离 ， 这 里 我 们 设,dx dy ,X Y dx dy 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2008年 优 秀 论 文 讲 解 A题2. 问 题 分 析 数 码 相 机 模 型 是 对 真 实 数 码 相 机 的 几 何 抽 象 ， 其 成像 过 程 是 对 空 间 点 的 射 影 变 换 ， 而 数 码 相 机 参 数 则 决 定 了变 换 的 具 体 映 射 方 式 ， 只 要 知 道 了 这 些 参 数 和 空 间 点 的 坐标 就 能 够 计 算 出 相 应 的 像 点 坐 标 。 标 定 是 双 目 立 体 视 觉 研 究 的 重 要 组 成 部 分 ， 标 定 结果 的 好 坏 直 接 影 响 了 测 量 的 精 度 。 这 是 由 于 数 码 相 机 成 像的 几 何 模 型 决 定 了 空 间 物 体 表 面 某 点 的 三 维 几 何 位 置 与 其在 图 像 中 对 应 点 之 间 的 关 系 。 而 这 些 几 何 模 型 参 数 就 是 数码 相 机 参 数 ， 必 须 由 实 验 与 计 算 来 确 定 ， 这 个 实 验 与 计 算的 过 程 称 数 码 相 机 标 定 。 它 主 要 是 确 定 摄 像 机 内 外 参 数 的过 程 。 其 图 像 拍 摄 实 际 上 是 一 个 光 学 成 像 过 程 。 可 以 将 此过 程 分 为 三 个 步 骤 、 建 立 四 个 坐 标 系 。 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2008年 优 秀 论 文 讲 解 A题2.1 四 种 坐 标 系 的 建 立（ 1） 世 界 坐 标 系 由 于 数 码 相 机 和 物 体 可 以 安 放 在 环 境 中 的 任 何 位 置 ，因 此 还 需 要 在 环 境 中 选 择 一 个 基 准 坐 标 系 来 描 述 数 码 相机 的 位 置 ， 并 用 它 来 描 述 环 境 中 任 何 物 体 的 位 置 ， 这 个坐 标 系 就 是 世 界 坐 标 系 。 这 是 一 个 假 定 的 坐标 系 ， 用 作 对 实 物 一 般 参 考 ， 根 据 实 际 情 况 确 定 。（ 2） 像 平 面 物 理 坐 标 系 坐 标 原 点 在 CCD图 像 平 面 的 中 心 ， X轴 、 Y轴 分 别平 行 于 图 像 平 面 两 条 垂 直 边 ， 坐 标 以 表 示 。( , , ) W W WX Y Z( , )x y 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2008年 优 秀 论 文 讲 解 A题（ 3） 像 素 坐 标 系 在 像 平 面 上 定 义 直 角 坐 标 系 ， 原 点在 图 像 平 面 的 左 上 角 ， 每 一 像 素 的 坐 标 分别 是 该 像 素 在 数 组 中 的 列 像 素 数 和 行 像 素 数 。（ 4） 光 心 坐 标 系 光 心 坐 标 系 是 固 定 在 数 码 相 机 透 镜 上 的直 角 坐 标 系 ， 其 原 点 定 义 在 相 机 的 光 心 ， X轴 、Y轴 分 别 平 行 于 图 像 坐 标 系 的 X轴 、 Y轴 、 Z轴与 光 轴 重 合 ， 坐 标 以 表 示 。OUV ( , )u v ( , , )C C CX Y Z 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2008年 优 秀 论 文 讲 解 A题2.2 数 码 相 机 光 学 成 像 三 步 骤 3个 步 骤 分 别 将 世 界 坐 标 系 中 的 信 息 转 换 到 光 心 坐标 系 ， 再 由 光 心 坐 标 系 转 换 到 图 像 坐 标 系 ， 最 后 由 图 像坐 标 系 转 换 到 像 素 坐 标 系 。 坐 标 之 间 转 换 的 特 性 有 ： (1)刚 性 的 ， (2)仿 射 的 ，(3)投 影 的 ， (4)弹 性 的 。 不 考 虑 坐 标 轴 尺 度 缩 放 时 ， 如果 仅 存 在 坐 标 轴 的 平 移 和 旋 转 ， 图 像 的 坐 标 变 换 是 刚 性变 换 ， 这 时 直 线 的 平 行 性 和 垂 直 性 在 映 射 后 保 持 不 变 。数 码 相机 坐 标 系 图 像 坐 标系 像 素 坐 标系刚 性变 换 针 孔模 型 刚 性变 换世 界 坐标 系 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2008年 优 秀 论 文 讲 解 A题（ 1） 世 界 坐 标 系 到 光 心 坐 标 系 的 转 换 (1) 其 中 ： 是 光 心 坐 标 系 中 空 间 一 点 p的坐 标 ， 是 对 应 世 界 坐 标 系 中 点 p的 坐 标 。 R为 世 界 坐 标 系 相 对 于 光 心 坐 标 系 的 旋 转 矩 阵 ， T为 平 移 向 量 。 0 11 1C WC WT C WX XY R T YZ Z ( , , )C C CX Y Z( , , )W W WX Y Z 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2008年 优 秀 论 文 讲 解 A题（ 2） 光 心 坐 标 系 到 图 像 坐 标 系 的 转 换 光 学 成 像 的 理 论 模 型 是 针 孔 模 型 。 根 据 这 个模 型 由 光 心 坐 标 系 向 图 像 坐 标 系 转 换 过 程 符 合 中心 影 射 或 透 视 投 影 。 该 转 换 关 系 可 用 齐 次 坐 标 与矩 阵 表 示 (2) 其 中 ： f是 拍 摄 相 机 的 焦 距 ， 是 对 应 图像 坐 标 系 中 点 p的 坐 标 。0 0 00 0 01 0 0 1 0 CCC Cx f Xy f YZz ( , )x y 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2008年 优 秀 论 文 讲 解 A题（ 3） 图 像 坐 标 系 与 像 素 坐 标 系 的 转 换 (3) 其 中 ： 是 图 像 坐 标 系 原 点 在 像 素 坐 标 系 中 的 坐标 ， 分 别 是 像 素 坐 标 系 在 X方 向 和 Y方 向 相 邻 像 素 间 的距 离 。 将 (1)式 ， (2)式 代 入 (3)式 并 化 简 得 ： (4)001/ 00 1/1 0 0 1 1u dx u xv dy v y 0 0( , )u v,dx dy 00/ 00 /1 0 0 1 1WWC WXu f dx u Yv f dy v R T Zz 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2008年 优 秀 论 文 讲 解 A题可 将 (4)式 化 简 成 (5) (4)式 右 边 第 1项 为 相 机 的 内 部 参 数 矩 阵 ， (4)式 右 边第 2项 为 相 机 的 外 部 参 数 矩 阵 ， 为 投 影 矩 阵 。 (5)式即 为 数 码 相 机 的 三 步 成 像 几 何 模 型 。1 1 1W WW WC W WX Xu Y Yv NQ MZ Zz 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2008年 优 秀 论 文 讲 解 A题3. 问 题 原 理 3.1 问 题 1原 理 ： （ 1） 在 靶 标 示 意 图 中 取 n个 点 （ 主 要 考 虑 特 殊 点 ，如 5个 圆 的 圆 心 ） 得 到 其 世 界 坐 标 （ 2） 在 像 平 面 上 找 到 上 述 n个 点 的 像 素 坐 标 。 （ 3） 由 问 题 分 析 中 的 数 码 相 机 的 标 定 一 节 所 介 绍的 原 理 求 解 出 旋 转 矩 阵 R和 平 移 向 量 T。 ( , , ) i i iW W WX Y Z( 1, )i n 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2008年 优 秀 论 文 讲 解 A题3.2 问 题 2原 理 利 用 问 题 1中 所 建 立 的 模 型 ， 将 靶 标 示 意 图 中 的 几 个特 殊 点 的 世 界 坐 标 分 别 带 入 (3)式 ， 可 以 分 别 得 到 它 们 在像 坐 标 系 下 的 像 素 坐 标 。3.3 问 题 3原 理 ： 为 了 检 验 所 建 模 型 的 精 度 ， 将 问 题 1中 的 6个 点 的 世 界坐 标 分 别 利 用 (3)式 模 拟 得 到 它 们 在 像 坐 标 系 下 的 像 素 坐标 。 再 与 它 们 的 真 实 像 素 坐 标 进 行 对 比 ， 计 算 得 到 模 拟值 与 真 实 值 的 误 差 。 为 了 检 验 所 建 模 型 的 稳 定 性 ， 在 靶 标 示 意 图 中 另 取 6个 点 ， 将 其 世 界 坐 标 利 用 (3)式 得 到 其 对 应 的 6个 像 素 坐标 ， 再 与 它 们 的 真 实 像 素 坐 标 进 行 对 比 ， 计 算 得 到 模 拟值 与 真 实 值 的 误 差 。 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2008年 优 秀 论 文 讲 解 A题3.4 问 题 4原 理 ： 假 设 双 目 立 体 视 觉 系 统 中 左 右 照 相 机 的 外 部 参 数分 别 为 与 ， 表 示 左 相 机 与 世 界坐 标 系 的 相 对 位 置 ， 表 示 右 相 机 与 世 界 坐 标系 的 相 对 位 置 。 则 两 个 相 机 之 间 的 几 何 关 系 表 示 如 下 ： 其 中 ， ， 可 有 上 述 模 型 来 确 定 。l lR T、 r rR T、 l lR T、 r rR T、 R T、1r lR RR 1r r l lT T RR T l lR T、 r rR T、 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2008年 优 秀 论 文 讲 解 A题4 建 立 模 型 由 第 2节 中 针 孔 模 型 下 的 成 像 系 统 的 坐 标变 换 过 程 ， 不 需 事 先 测 定 相 机 的 焦 距 f， 只 需 测 定相 邻 像 素 点 的 距 离 ， 文 献 6和 11分 别 给 出 了考 虑 相 机 非 线 性 畸 变 和 无 畸 变 的 情 况 下 的 相 邻 像素 点 距 离 的 求 解 方 法 。 本 文 采 取 文 献 11的 方 法 。利 用 数 码 相 机 采 集 图 像 信 息 及 原 物 点 的 世 界 坐 标信 息 ， 再 根 据 逆 向 投 影 的 方 法 来 求 解 投 影 矩 阵 M从 而 得 到 旋 转 矩 阵 R和 平 移 向 量 T。 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2008年 优 秀 论 文 讲 解 A题4.1 图 像 信 息 的 采 集 标 定 的 一 种 做 法 是 ： 在 物 平 面 上 画 若 干 个 圆 （ 称 为靶 标 ） ， 它 们 的 圆 心 就 是 几 何 的 点 了 。 而 它 们 的 像 一 般会 变 形 ， 可 视 为 椭 圆 ， 如 图 1所 示 。 为 得 到 靶 标 点 的 对 应 像 图 点 的 像 素 坐 标 ， 由 仿 射 变换 直 线 不 变 形 原 理 ， 利 用 MATLAB程 序 将 像 图 图 形 信 息 转化 为 0-1矩 阵 ， 可 求 出 所 有 两 两 椭 圆 切 线 上 的 切 点 像 素 坐标 ， 利 用 这 些 切 点 像 素 坐 标 及 对 应 的 世 界 坐 标 作 为 训 练 数 据 建 立 模 型 。 图 1 靶 标 上 圆 的 像 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2008年 优 秀 论 文 讲 解 A题4.2 相 机 外 部 参 数 矩 阵 的 确 定 见 数 码 相 机 定 位 方 法 分 析 及 仿 真 研 究 3.2 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2008年 优 秀 论 文 讲 解 A题 5. 模 型 求 解 表 1 实 验 初 始 参 数 设 计 靶 标 如 下 ， 取 1个 边 长 为 100mm的 正 方 形 ， 分 别以 四 个 顶 点 （ 对 应 为 A、 C、 D、 E） 为 圆 心 ， 12mm为 半 径作 圆 。 以 AC边 上 距 离 A点 30mm处 的 B为 圆 心 ， 12mm为 半 径作 圆 ， 如 图 2所 示 。 用 一 位 置 固 定 的 数 码 相 机 摄 得 其 像 ，如 图 3所 示 。 设 两 两 圆 相 切 的 13个 切 点 世 界 坐 标 为 ， 对 应的 像 素 坐 标 为 。 像 素1/3.78 1/3.78 1024768 512 384dx dy 0u 0v 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2008年 优 秀 论 文 讲 解 A题 图 2 靶 标 示 意 图 图 3 靶 标 的 像 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2008年 优 秀 论 文 讲 解 A题 如 图 4， 以 圆 A的 圆 心 为 坐 标 原 点 ， 以 圆 A、D圆 心 连 线 方 向 为 Y轴 ， 以 圆 A、 C圆 心 连 线 绕Y轴 逆 时 针 方 向 旋 转 45 为 X轴 ， 以 左 手 规 则建 立 Z轴 。 选 取 图 2中 的 点 1-点 6作 为 训 练 数据 点 建 模 。 图4 靶标世界坐标系 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2008年 优 秀 论 文 讲 解 A题 采 用 第 3节 中 所 介 绍 的 方 法 将 上 述 6个 点 的 世 界坐 标 代 入 模 型 ， 得 到 实 验焦 距 、 投 影 矩 阵 、 旋 转 矩 阵 及 平 移 矩 阵 分 别 为 ： ( , , )i i iW W WX Y Z ( 1, ,6)i f=126.1972 5112 -262.2 -415.0 299098672.8 3147 -176.8 1749660.7820 0.6174 0.8563 917.50 M 0.2264 -0.1533 -0.9619-0.5808 0.7715 -0.2597 0.7819 0.6174 0.0856 R -357.7646-371.7918917.5016 T 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2008年 优 秀 论 文 讲 解 A题因 此 模 型 可 表 示 为 ： (6)其 中 ： 5112 -262.2 -415.0 299098672.8 3147 -176.8 1749660.7820 0.6174 0.8563 917.501 1WWC WX u YZ v Z 0.7820 0.6174 0.8563 917.50 C W W WZ X Y Z 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2008年 优 秀 论 文 讲 解 A题6. 模 型 的 检 验 本 文 采 用 两 种 检 验 方 法 ： 精 确 性 判 定 和 稳 定 性 判 定 6.1 模 型 精 确 度 的 判 定 把 靶 标 示 意 图 6个 点 的 世 界 坐 标 系 代 入 (6)式 ， 分 别 模 拟 出 其 对 应 的 像 平 面 像 素 坐 标 。 如 表 2和 图 5所 示 ： ( , ),( 1, ,6) i iu v i ( , , )i i iW W WX Y Z 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2008年 优 秀 论 文 讲 解 A题WXWYWZUVUV训 练 参 数 1 2 3 4 5 60 21.2132 70.7107 0 70.7107 8.48530 0 0 100 100 00 27.2132 76.7107 0 76.7107 14. 4853320 416 634 287 586 364230 236 250 465 470 192319.9781 416.4969 633.9830 284.0209 585.9234 363.5968230.0010 235.4127 250.0434 464.9990 470.0683 192.4765 绝 对误 差 方 向 0.0219 0.4969 0.0170 0.0209 0.0766 0.4032方 向 0.0010 0.5873 0.0434 0.0010 0.0683 0.4765相 对误 差 方 向 -0.0001 0.0012 -0.0001 0.0001 -0.0001 -0.0011方 向 0.0001 -0.0025 0.0002 -0.0001 0.0001 0.0025表 2 靶 标 的 世 界 坐 标 、 像 素 坐 标 和 模 拟 像 素 坐 标 及 误 差 (I) 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2008年 优 秀 论 文 讲 解 A题 250 300 350 400 450 500 550 600 650150 200 250 300 350 400 450 500 U V 真实点 模拟点 1 3 2 6 4 5 图 5 6个 靶 标 像 点 的 真 实 值 与 模 拟 值 (I) 2021-5-13 湖 南 农 业 大 学 数 学 建 模 暑 期 培 训 2008年 优 秀 论 文 讲 解 A题 可 计 算 得 到 上 述 6个 点 的 模 拟 坐 标 与 真 实 坐