中国地质大学(武汉)大学物理习题集答案

第 一 章 真 空 中 的 静 电 场1-11-21-31-41-5 1-71-81-91-10 1-111-121-131-141-15 1-161-171-181-6 1-19 1-1比 较 点 电 荷 与 试 验 电 荷 的 差 异 。 1-2两 个 正 点 电 荷 q1与 q2间 距 为 r， 在 引 入 另 一 点电 荷 q3后 ， 三 个 点 电 荷 都 处 于 平 衡 状 态 ， 求 q3的位 置 及 大 小 。 解 ： 要 想 使 三 个 点 电 荷 都 处 于 平 衡 状 态 ， q3必 须为 负 电 荷 ， 且 q3必 须 位 于 q1与 q2之 间 的 连 线 上 ，如 图 示 。 由 库 仑 定 律 有 ： 212 21012 4 1 rqqF q1q2q3 21331013 41 rqqF 22332023 41 rqqF r12r13 r23 1312 FF 122123 FFF 解 得 ： 221 213 )( qq qqq rqq qr 21 113 q1q2q3r12r13 r23 1-3在 电 场 中 某 点 P放 入 实 验 电 荷 q0,测 得 电 场 力 为F,则 该 点 的 场 强 为 F/q0,若 放 入 另 一 实 验 电 荷 -q0,则该 点 的 场 强 为 ： （ ） (A)-F/q0 (B)0 (C) F/q0答 ： C 1-4等 值 同 号 的 两 个 点 电 荷 .间 距 为 2l， 求 其 连 线 中 垂面 上 场 强 最 大 处 到 两 电 荷 连 线 中 点 的 距 离 .解 ： yEE 12 cos412 220 ly q 23220 )(2 1 ly qy 令 0dd yE即 0)( 2322 ly ydyd 则 03 222 yly所 以 ly 22q ql2 E 2E1E Pyy=最 大 值 1-5在 一 个 带 负 电 荷 的 均 匀 带 电 球 外 ， 放 置 一 偶 极 子 ,其 电 矩 的 方 向 如 图 1-1所 示 .当 偶 极 子 被 释 放 后 ,该 偶极 子 将 （ ） r图 1-1(A)绕 逆 时 针 方 向 旋 转 ， 直 到 电矩 P沿 径 向 指 向 球 面 而 停 止 。 (B)绕 逆 时 针 方 向 旋 转 至 P沿 径 向指 向 球 面 ， 同 时 顺 电 力 线 方 向 向着 球 面 移 动 ;(C)绕 逆 时 针 方 向 旋 转 至 P沿 径 向 指 向 球 面 ,同 时 逆 电 力 线 方 向 远 离 球 面 移 动 ;(D)绕 顺 时 针 方 向 旋 转 至 P沿 径 向 向 外 ， 同时 顺 电 力 线 方 向 向 着 球 面 移 动 。 答 B 1-6在 正 方 形 的 两 个 相 对 的 角 上 各 放 一 个 点 电 荷 Q， 在 其 他两 个 相 对 的 角 上 各 放 一 个 点 电 荷 q， 如 果 作 用 在 Q上 的 力 为 零 ，求 Q与 q的 关 系 。 Q QqqO xy解 ： 设 正 方 形 边 长 为 a,以 原 点 处 的Q为 研 究 对 象 ， 则 其 受 力 为 ： qqQ FFFF 20 2 )2(4 aQFQ QF qFqF204 aQqFq 045cos42)2(4 0020 2 aQqaQF qQ 22 1-7用 不 导 电 的 细 塑 料 棒 弯 成 半 径 为 50.0cm的 圆 弧 ,两 端 间 空 隙 为 2.0cm,电 量 为 的 正 电 荷均 匀 分 布 在 棒 上 ,求 圆 心 处 场 强 的 大 小 和 方 向 .C91012.3 解 :(补 偿 法 )由 于 对 称 性 ， 均 匀 带 电 圆 环 在 圆 心 处场 强 为 零 。均 匀 带 电 圆 环 Ld 所 以 q可 视 为 点 电 荷= E+ dq E 204 RqE 204 Rd dRQ 2 RQ2 32 299 )1050(2 1021012.3109 E mv/715.0 1-8如 图 所 示 ， 一 细 玻 璃 棒 被 弯 成 半 径 为 的 半 圆 周 ，沿 其 上 半 部 均 匀 分 布 有 电 荷 +q,沿 其 下 半 部 均 匀 分 布有 电 荷 q， 求 半 圆 中 心 O点 的 场 强 。解 :建 立 如 图 的 坐 标 系 xOy,2 04 RdqdE 204 RRd xy+- -dq Ed0 xdE 20 20 cos422 RRddEE Y Rd 202 Rq2Rq dRq 20 202 cos 方 向 沿 y负 向E 1-9一 半 径 为 的 半 球 面 ， 均 匀 地 带 有 电 荷 ， 电 荷面 密 度 为 ， 求 球 面 中 心 处 的 场 强 。 解 :1） 如 图 在 半 球 面 上 用极 坐 标 取 任 意 面 元RdrddS 204 RdqdE 204 RdS 04sin dd 0 xx dEE 0yy dEE zEd sinRr rd Rd ddR sin2它 在 球 心 产 生 的 场 强由 对 称 性 分 析 可 知 cosdEdEE z ddE 20 020 4 cossin04 zEd sinRr Rd 方 向 沿 z 轴 负 向解 :2） 如 图 在 半 球 面 上 取 面 元rRddS 2它 在 球 心 产 生 的 场 强 304 RxdqdE dsdq Rx cos ddEE 20 02 cossin 04 方 向 沿 z 轴 负 向 1-10半 径 为 的 带 电 细 园 环 ， 线 电 荷 密 度 ,为 常 数 ， 为 半 径 与 x轴 夹 角 ， 如 图 所 示 ， 求圆 环 中 心 处 的 电 场 强 度 。 cos00 解 ： Rddq dR cos0 XYR 204 RdqdE Rd004cos Ed cosdEdEE xx dR 20020 cos4 xEd yEd sindEdEE yy R0040 沿 x轴 负 方 向 .E 1-11.半 径 为 R， 长 度 为 L的 均 匀 带 电 圆 柱 面 ， 其 单 位 长度 带 电 量 为 ， 在 带 电 圆 柱 的 中 垂 面 上 有 一 点 P， 它 到 轴线 距 离 为 r（ rR） ， 则 P点 的 电 场 强 度 的 大 小 ： 当 rL时 ， E=；当 rL时 ， E=。rE 02解 ： rL时 ,可 视 为 点 电 荷204 rLE Lq 1-12.在 某 点 电 荷 系 空 间 任 取 一 高 斯 面 ， 已 知 qi=0， 则 sEds=qi/0。 （ ） （ A） 高 斯 面 上 所 在 点 的 电 场 为 零 ；（ B） 场 强 与 电 通 量 均 为 零 ；（ C） 通 过 高 斯 面 的 电 通 量 为 零 。 答 ： C 1-13.有 两 个 点 电 荷 电 量 都 是 +q相 距 为 2a， 今 以 左 边 的点 电 荷 所 在 处 为 球 心 ， 以 a为 半 径 ， 作 一 球 形 高 斯 面 。在 球 面 上 取 两 块 相 等 的 小 面 积 S1、 S2。 其 位 置 如 图 1-4所示 。 设 通 过 S1、 S2的 电 场 强 度 通 量 分 别 为 1、 2， 通 过整 个 球 面 的 电 场 强 度 通 量 为 3， 则 （ A） 12， 3=q/0（ B） 12， 3=2q/0（ C） 1=2， 3=q/0；（ D） 12， 3=q/0； 答 ： D XS1S2 q 2qo图 1-4 o2a 1-14(a)点 电 荷 q位 于 边 长 为 a的 正 立 方 体 的 中 心 ， 通过 此 立 方 体 的 每 一 面 的 电 通 量 各 是 多 少 ？(b)若 电 荷 移 至 正 方 体 的 一 个 顶 点 上 ， 则 通 过 每 个 面的 电 通 量 又 各 是 多 少 ？ 06 q(b)该 顶 点 可 视 为 边 长 等 于 2a 的 大 立 方体 的 中 心 ,通 过 每 个 大 面 的 电 通 量 为 06q解 :(a)因 为 6个 全 等 的 正 方 形 组 成 一 个 封 闭面 ,所 以每 个 小 立 方 体 中 不 经 过 该 顶 点 的三 个 小 面 上 的 电 通 量 为而 通 过 该 顶 点 的 另 三 个小 面 的 电 通 量 为 0. 024q 1-15.两 个 同 心 球 面 ， 半 径 分 别 为 0.10m和 0.30m， 小 球 上带 有 电 荷 +1.0C， 大 球 上 带 有 电 荷 +1.5C， 求离 球 心 为 (1)0.05m;(2)0.20m;(3)0.50m各 处 的 电 场强 度 ， 问 电 场 强 度 是 否 是 坐 标 r(离 球 心 的 距 离 )的 连 续 函数 ? 810810解 :系 统 具 球 对 称 性 ,取 球 形 高 斯 面 , 024 内qErSdEs (1)E1 =02 89 )2.0( 100.1109 22012 4 rqE （ 2） mv/1025.2 3 q1 q22 89 )5.0( 10)5.10.1(109 2 30 213 4 rqqE (3) mv/109 2E不 是 r的 连 续 函 数 ,在 两 个 球 面 处 有 跃 变 . 1-16(1)设 地 球 表 面 附 近 的 场 强 约 为 200vm-1,方 向 指 向地 球 中 心 ， 试 求 地 球 所 带 的 总 电 量 。 (2)在 离 地 面1400m高 处 ， 场 强 降 为 20vm-1， 方 向 仍 指 向 地 球 中 心 ,试 计 算 在 1400m下 大 气 层 里 的 平 均 电 荷 密 度 .解 :该 系 统 具 球 对 称 性 ,可 取 球 形 高 斯 面 , (1)地 表 附 近 场 强 024 地表 qRE 26920 )10378.6)(200(109 14 表地 ERq C51004.9 (2)(方 法 一 ): 02)(4 气地 qqhREh 而 h = 1400mR气地总 qqQ 20 )(4 hREh 204 REh26 9 )10378.6)(20(109 1 C41004.9 气q 地总 qQ C510147.8 hRV 24气1400)10378.6(4 10147.8 26 5 气气Vq 312 /10137.1 mC (2)(方 法 二 ): h = 1400mR地 面E地 面 不 太 宽 的 区 域 作 如 图 所 示 的 封 闭 柱 面 为 高 斯 面 0内qSdES 左 边 = 下 底 表 SdE 上 底 SdEh 侧 面 SdE 且 等 高 处 E值 相 等 地 面 hhE表E shSESE 表0 Sh右 边 h EE h)(0 表 312 /10137.1 mC 1-17电 荷 均 匀 分 布 在 半 径 为 的 无 限 长 圆 柱 上 ，其 电 荷 体 密 度 为 (c/m3)， 求 圆 柱 体 内 、 外 某 一 点的 电 场 强 度 。 解 :由 高 斯 定 律 0内qSdES 因 为 电 荷 分 布 具 有 轴 对 称 性 ,所以 场 强 也 具 有 轴 对 称 性 ,以 圆 柱轴 线 为 轴 ,作 半 径 r ,高 h的 封 闭 圆柱 面 S,则 两 底 面侧 面 SdESdESdES rhEEdS 2 侧 面 hr hrqE 02内当 0 r R时 , rRhrhRE 020 22 22 hr hr 1-18一 大 平 面 中 部 有 一 半 径 为 的 小 孔 ， 设 平 面 均匀 带 电 ， 面 电 荷 密 度 为 ， 求 通 过 小 孔 中 心 并 与 平面 垂 直 的 直 线 上 的 场 强 分 布 。0解 :1） 补 偿 法 0 + 0 = P场 强 叠 加 ， 取 竖 直 向 上 为 正 方 向 平 面E圆 面E 圆 面平 面 EEE 圆 面平 面 EEE 220000 122 xRx 220 02 xRx dEE 220 02 Rxx rdrdq 20 23220 0 )(4 2 xr rdrxdE 解 :2） 叠 加 法 PEd R xr rdrx 23220 0 )(4 2 方 向 竖 直 向 上 1-19一 层 厚 度 为 d的 无 限 大 平 面 ， 均 匀 带 电 ， 电 荷 体 密 度为 ， 求 薄 层 内 外 的 电 场 强 度 分 布 。 xo 2d2d解 ： 1） 用 叠 加 法 求 解 ， 在 x处 取 宽 为dx的 薄 层 ， 电 荷 面 密 度 为 ： dxxdx 00 22 dxdE 该 薄 层 产 生 的 电 场 为 ：薄 层 内 一 点 的 电 场 ： xdxdxE dxxd 02 02 0 22 内 内内 ExEx ,0;,0薄 层 外 一 点 的 电 场 ： 022 0 22 ddxE xd 外 外外 ExEx ,0;,0 xo2） 用 高 斯 定 律 法 求 解 ， 过 场 点 作 底 面积 S的 闭 合 圆 柱 面薄 层 内 一 点的 电 场 ： xSSdE 20 内 内内 ExEx ,0;,0薄 层 外 一 点的 电 场 ： 外外 ExEx ,0;,0 2d2d x SxSSE 22 0内 xE 0内 dSSdE 0 外 dSSE 02 外 02dE 外 第 三 章 电 势3-13-23-33-4 3-53-63-73-8 3-93-103-113-12 3-13 3-1.点 电 荷 -q位 于 圆 心 处 ， A、 B、 C、 D位 于同 一 圆 周 上 的 四 点 ， 如 图 3-1所 示 ， 分 别 求 将一 实 验 电 荷 q0从 A点 移 到 B、 C、 D各 点 电 场 力的 功 。 D图 3-1A -q BCDA=0 3-2.有 两 个 点 电 荷 带 电 量 为 nq 和 -q（ n ） ， 相 距 ， 如 图 所 示 ， 试 证 电 势 为 零 的 等 势 面 为 一 球 面 ， 并求 出 球 面 半 径 及 球 心 坐 标 （ 设 无 穷 远 处 为 电 势 零 点 ） 。解 : UUU 0)(4 1 0 rqrnq0)1( rrn rnr nqX YZ -q图 3-2r+ r-222 zyxr 222 )( zdyxr 代 入 (1)式 ,平 方 后 整 理 得 ： (1)22222 22 )1()1( dnnzdnnyx 球 面 方 程球 半 径 : dnnR 1 2 球 心 :(0,0)dnn12 2 3-3.半 径 为 R的 均 匀 带 电 圆 盘 ， 电 荷 面 密 度 为 ， 设无 穷 远 处 为 电 势 零 点 ， 则 圆 盘 中 心 O点 的 电 势 0=? 解 : q rdqV 00 4 O r R rrdr0 042 000 22 RdrR 3-4求 在 电 偶 极 子 轴 线 上 ， 距 离 偶 极 子 中 心 为 处 的 电 势 ， 已 知 电 偶 极 矩 的 值 为 p.解 : UUU )(41 0 rqrq rr rrq 04 204 rql 204 rp(观 察 点 位 于 +q一 侧 取 正 ,位 于 -q一 侧 取 负 )q ql rr Pr 3-5点 电 荷 q1、 q2、 q3、 q4各 为 ， 置 于 一 正方 形 的 四 个 顶 点 上 ， 各 点 距 正 方 形 中 心 O点 均 为 5cm.(1)计 算 O点 的 场 强 和 电 势(2)将 试 验 电 荷 q0 从 无 穷 远 处 移 至 O点 ， 电 场力 作 功 多 少 ?(3)问 电 势 能 的 改 变 为 多 少 ？ C9104 C910解 :(1)由 对 称 性 O点 的 场 强 E=0电 势 rqU 044 299 105 1041094 v31088.2 (2) 0)0( qUA J61088.2 (3) WWW 0 J61088.2 q1 q2q3 q4 3-6场 强 大 的 地 方 ， 电 势 是 否 一 定 高 ？ 电 势 高 的 地方 是 否 场 强 大 ？ 为 什 么 ？ 试 举 例 说 明 答 :否 ! -Q E=0+ +负 电 荷 附 近 E大 ，但 U低 均 匀 带 电 球 面 内 E=0，但 U高 3-7一 均 匀 带 电 圆 盘 ,半 径 为 R,电 荷 面 密 度 为 ,求（ ） 轴 线 上 任 一 点 的 电 势 （ 用 x表 示 该 点 至 圆 盘 中 心的 距 离 ） ；（ ） 利 用 电 场 强 度 与 电 势 的 关 系 ， 求 该 点 的 场 强 。解 : rdrdq 2P点 处 dU 2204 xrdq RQ xrrdrdUU 0 2204 2 P Xxdqr R xrrdr 0 2202 )(2 220 xRx xUEE x )1(2 220 Rxx 3-8电 量 q均 匀 分 布 在 长 为 l的 细 杆 上 ， 求 在 杆外 延 长 线 上 与 杆 端 距 离 为 a 的 P点 的 电 势 （ 设 无穷 远 处 为 电 势 零 点 ） 。解 :取 dxlqdq 2dU axdq 04 )(8 0 axlqdxU l axdxlq 2008 a allq 2ln8 0POdx2l x x 3-9把 一 个 均 匀 带 电 量 +Q 的 球 形 肥 皂 泡 由 半 径 r1吹 胀 到 r2， 则 半 径 为 （ r1 r2） 的 高 斯 球 面上 任 一 点 的 场 强 大 小 E由 变 为 ，电 势 由 变 为 （ 选 无 穷 远处 为 电 势 零 点 ） 。 204 RQRQ 04 204 rQ 0 3-10半 径 为 R的 “ 无 限 长 ” 圆 拄 形 带 电 体 ， 其 电 荷体 密 度 为 ， 式 中 A为 常 数 ,试 求 :（ ） 圆 拄 体 内 、 外 各 点 场 强 大 小 分 布 ； （ ） 选 距 离 轴 线 的 距 离 为 l（ l R） 处 为 电 势 零点 ， 计 算 圆 柱 体 内 、 外 各 点 的 电 势 分 布 。)( RrAr 解 :(1)以 圆 柱 轴 线 为 轴 作 长 h、半 径 r 的 闭 合 圆 柱 面 为 高 斯 面 .因 为 电 荷 分 布 具 轴 对 称 性 ,所 以电 场 分 布 也 具 轴 对 称 性 ,于 是 由高 斯 定 律 : 侧S rhEEdSSdE 2 0内q hr hr 在 圆 柱 体 内 , Rr r rdrhq 01 2内 30 322 AhrrdrhArr rhE 21 3 032 Ahr 021 3ArE 在 圆 柱 体 外 , Rr R rdrhq 02 2内 30 322 AhRrdrhArR hr hrrhE 2 2 3032 AhR rARE 032 3 lr ldEU 1 Rr drE1 lR drE2 drArRr 023 lr drrAR033)(91 33 0 rRA rlAR ln3 03 Rr lr ldEU 22 lr drE2 lr drrAR033rlAR ln3 03 Rr 3-11(张 三 慧 219-3-4)两 个 同 心 球 面 ， 半 径 分 别 为 R1、 R2（ R1f2 dd4-3 电 量 分 别 为 +q、 -q的 两 金 属 球 ， 半 径 为 R， 两 球 心的 距 离 为 d， 且 d2R其 间 的 作 用 力 设 为 f1， 另 有 两 个 带 电 量相 等 的 点 电 荷 +q、 -q， 相 距 也 是 d， 其 间 作 用 力 设 为 f2， 可 以肯 定 f1_f2(填 或 =) 解 ： 依 题 意 ,球 壳 带 电 q,且 都 分 布 于 内 表 面 .于 是 球外 E=0,球 壳 上 U壳 =0+q单 独 存 在 时 RqUO 04球球 壳 单 独 存 在 时 dqU Oq 04运 用 叠 加 原 理 可 求得 O的 电 势 为 )11(4 0 RdqU 4-4.一 个 未 带 电 的 空 腔 导 体 球 壳 ， 内 半 径 为 R， 在 腔 内 离 球 心 的距 离 为 d处 （ dE2;(C)E1a .解 ： 设 两 导 线 单 位 长 度 带 电 分 别 为 和 ,在 两导 线 的 轴 所 在 平 面 上 任 选 一 点 P,则 )(22 00 rdrEP )11(2 0 rdr drEldEU adaada da Pr X ada drrdr )11(2 0 aad ln 0 adln0 adUC ln 0 单 位 长 度 da Pr X 或 根 据 电 势 叠 加 ， 无 限 长 直 导 线 单 独 存 在 时 的 电 势 差 ： adaada drrEdrU 01 2 aad ln2 0aadUUU ln 021 2Uadln0 解 ： (1)(方 法 一 )：设 电 容 器 带 电 量 为 Q, ,忽 略 边 缘 效 应 ,则 系 统 具无 限 大 平 面 对 称 性 abd/3d DE0ESQD 00 E rE 01 5-12有 一 面 积 为 S ,间 距 为 d 的 平 行 板 电 容 器 .（ 1） 今 在 板 间 平 行 于 板 平 面 插 入 厚 度 为 d/3,面 积 S的相 对 介 电 常 数 为 的 均 匀 电 介 质 板 ,计 算 其 电 容 .（ 2） 若 插 入 的 是 同 样 尺 寸 的 导 体 板 ， 其 电 容 又 如 何 ？（ 3） 上 、 下 平 移 介 质 板 或 导 体 板 对 电 容 有 无 影 响 ？r bEdEaEU 010 3 332 10 dEdE )12(3 0 rrd dSVSVQC r r )12(3 0 abd/3d DE0E(方 法 二 )： 此 问 题 等 效 于 三 个 简 单 电 容 器 的 串 联 .321 1111 CCCC SbSdSa r 000 3 Sdrr 03 )12( dSC r r )12(3 0 (2)若 插 入 的 是 导 体 板 ,可 视 为 两 个 简 单 电 容 器 的 串 联 .21 111 CCC SbSa 00 Sd032dSC 23 0 abd/3d 0E 0E(3)因 为 (1)(2)中 C值 均 与 a、 b无 关 ,所 以 平 板 水平 放 置 的 电 容 器 ,上 、 下 平 移 介 质 板 或 导 体 板 对 电容 无 影 响 . 5-13两 只 电 容 器 ， C1=8F,C2=2F,分 别 把 它们 充 电 到 1000 ， 然 后 将 它 们 反 接 （ 如 图 示 ） ， 此时 两 极 板 间 的 电 势 差 为 600v.解 : CVCq 33611 10810108 CVCq 33622 10210102 Cqqq 321 106 反 接 后并 联 FCCC 1021 vCqU 600 C1C2 q1q2+-+ 5-14如 图 示 ,一 球 形 电 容 器 ,在 外 球 壳 的 半 径 b及 内外 导 体 间 的 电 势 差 维 持 恒 定 的 条 件 下 ， 内 球 半径 a为 多 大 时 才 能 使 内 球 表 面 附 近 的 电 场 强 度 最 小 ？并 求 这 个 最 小 电 场 强 度 的 大 小 ？解 ： 设 球 形 电 容 器 带 电 量 为 q 24 rqE 电 势 差 为 b a ldEU )11(44 2 baqdrrqba ab Uabq 4 Uabaaab UabEa )11(4)( 4 2 令 0dadE 0)( 22 ab UaU2ba bUE 4 min a b 5-15半 径 为 R 的 金 属 球 ， 接 电 源 充 电 后 断 开 电源 ， 这 时 它 们 储 存 的 电 场 能 量 为 ,今 将该 球 与 远 处 一 个 半 径 也 是 R的 导 体 球 B用 细 导 线连 接 ， 则 球 储 存 的 电 场 能 量 变 为 .J5105 J51025.1 解 : JCQW 520 1052/ 2/QQ JWCQW 502 1025.14/2/ 5-16如 图 5-7所 示 ， 用 力 F把 电 容 器 中 的 电 介 质 板抽 出 ， 在 图 （ a） 和 图 （ b） 中 的 两 种 情 况 下 ， 电 容器 储 存 的 静 电 能 量 将 （ A） 都 增 加 ；（ B） 都 减 小 ；（ C） （ a） 增 加 ， （ b） 减 小 ；（ D） （ a） 减 小 ， （ b） 增 加 。F 充 电 后 仍 与 电 源 连 接 F充 电 后 与 电 源 断 开 CQW 2222CUWU不 变 ， C变 小因 此 W 减 小 Q不 变 ， C变 小因 此 W 增 大答 ： （ D） 5-17电 容 器 由 两 个 很 长 的 同 轴 薄 圆 筒 组 成 ， 内 、 外 圆筒 半 径 分 别 为 R1=2cm， R2=5cm， 其 间 充 满 相 对 介电 常 数 为 的 各 向 同 性 均 匀 电 介 质 ， 电 容 器 接 在 电 压 U = 32v的 电 源 上 (如 图 示 )， 试 求 距 离 轴 线 R =3.5cm处的 点 的 电 场 强 度 和 点 与 外 筒 间 的 电 势 差 .r解 ： 因 电 容 器 具 轴 对 称 性 ,且 内 筒带 正 电 ,所 以 两 极 间 电 场 强 度 方 向 沿径 向 向 外 ,大 小 为 rE r02电 势 为 2121 02RR rRR drrEdrU 32ln2 120 RRr U=32vARR1R2 923.345.2ln322 0 r mvRE rA /8.997105.3 923.342 20 方 向 沿 径 向 向 外 . 2 02RR rA drrU RRr 20 ln2 v46.125.35ln923.34 U=32vARR1R2 5-18如 图 示 ， 两 个 同 轴 圆 柱 面 ， 长 度 均 为 l， 半 径分 别 为 a和 b（ a b） ， 两 柱 面 之 间 充 满 介 电 常 数 的 均 匀 介 质 ， 当 圆 柱 面 带 有 等 量 异 号 电 荷 +Q ， -Q时（ 略 去 边 缘 效 应 ） ， 求 ：(1)介 质 层 内 外 场 强 的 分 布 ； (2)内 圆 柱 面 (R =a )处电 势 ;(3)介 质 层 中 总 能 量 是 多 少 ： (4)若 将 其 视 为 圆柱 形 电 容 器 ， 其 电 容 是 多 少 ？解 ： (1)略 去 边 缘 效 应 ,则 系 统 具 无 限 长 轴 对 称 性 ,作 半 径 为 r,长 度 为 l 的 闭 合 同 轴 圆 柱 面 为 高 斯 面 , 内qSdD 内qlrD 2arbr 0D 0 内E0D 0 外Ebra rlQD 2 lrQE 2 介 ab l （ 2） ablQdrlrQdrEU babaa ln22 介 222 2821 rlQDEwe （ 3） ab l baV ee rldrrlQdVwW 28 222 2ablQ ln4 2（ 4） ablUQC ln2 5-19（ 张 三 慧 252-5-3） 两 共 轴 的 导 体 圆 筒 的 内 、 外 半 径 分别 为 R1、 R2， R22R1。 其 间 有 两 层 均 匀 电 介 质 ， 分 界 面 半径 为 r0， 内 层 介 质 的 介 电 常 数 为 1， 外 层 介 质 的 介 电 常 数 为1/2， 两 层 介 质 的 击 穿 场 强 都 是 Emax， 当 电 压 升 高 时 ， 哪 层介 质 先 击 穿 ？ 两 筒 间 能 加 的 最 大 电 势 差 多 大 ？解 ： 设 内 筒 带 电 线 电 荷 密 度 为 rErE 2211 2,2 2001 21 RrrR drEdrEU 022101 ln2ln2 rRRr 01 221 ln2 rRR 01 221ln2 rRRU 01 22201 221 ln2,ln rRRr UErRRr UE 12 01max1max2 rREE 因 此 当 电 压 升 高 时 ， 外 层 介 质 中先 达 到 Emax而 被 击 穿 。 内 层 介 质 中 的 最 大 场 强 为 ： 1Rr 01 221max1 ln rRRR UE 0rr 01 220max2 ln2 rRRr UE 外 层 介 质 中 的 最 大 场 强 为 ：最 大 电 势 差 由 E2max=Emax而 求 得 ： 01 220max0max0max ln22 2001 rRRrEdrrrEdrrrEU RrrR 第 七 章 磁 力7-17-27-37-4 7-57-67-77-8 7-9 7-1.有 一 质 量 为 的 倒 形 导 线 ， 两 端 浸 没 在 水 银 槽 中 ， 导线 的 上 段 长 l 处 在 均 匀 磁 场 B中 ， 如 果 使 一 个 电 流 脉 冲 ， 即电 量 通 过 导 线 ,这 导 线 就 会 跳 起 来 ， 假 定 电 脉冲 持 续 时 间 与 导 线 跳 起 时 间 相 比 非 常 小 ， 试 由 导 线 所 达 高 度 计 算 电 流 脉 冲 的 大 小 t idtq 0 t idtq 0解 :冲 量 =动 量 的 增 量 ilBF mvlBq tt ilBdtFdt 00 t idtlB 0于 是 有而 ghv 2 lBghmlBmvq 2 l方 向 向 上 ， 且 为 变 力 B mp7-2.如 图 示 ， 平 面 圆 盘 ， 半 径 为 R , 表 面 带 有 均 匀面 电 荷 密 度 ， 若 圆 盘 绕 其 轴 线 PP/以 角 速 度 转 动 ， 匀 强 磁 场 B的 方 向 垂 直 于 PP/,求 磁 场 对 圆 盘的 力 矩 的 大 小 。 解 ： 在 圆 盘 上 取 一 电 荷 元 rdrdSdq 2 TdqdI 它 产 生 的 磁 矩 为 2rdIdpm 圆 盘 转 动 时 产 生 的 总 磁 矩 为 mm dpp 44190sin BRBpM m 它 在 转 动 中 形 成 的 电 流 为 rdrrdr 22 R Rdrr 0 43 41 解 ： (俯 视 逆 时 针 旋 转 .)eBmvR eBmvh /2 2/2 vvv 22 2 hRmeB RmeBv 2/ hmeBv 由 洛 伦 兹 力 可 判 断 出BveF B沿 螺 旋 轴 竖 直 向 上 (如 图 示 ). 7-3.电 子 在 匀 强 磁 场 B中 沿 半 径 为 R的 螺 旋 线 运 动 ，螺 距 为 h ,如 图 。 求 ： 电 子 的 速 度 和 B的 方 向 。BF 证 ： 电 流 元 Idl受 力 为 BlIdFd ba BlIdF 7-4如 图 示 ， 一 条 任 意 形 状 的 载 流 导 线 位 于 均 匀 磁 场中 ， 试 证 明 它 所 受 到 的 安 培 力 等 于 载 流 直 导 线 ab所受 到 的 安 培 力 。 BldI ba BabI 载 流 导 线 受 力 为 方 向 ： 竖 直 向 上 BI R 7-5.一 个 平 面 圆 形 载 流 线 圈 ， 半 径 为 R， 通 电 流 I，把 它 放 到 一 均 匀 磁 场 中 ， 使 线 圈 平 面 与 磁 场 平 行 ，用 电 流 元 所 受 力 矩 的 积 分 求 出 此 线 圈 受 的 磁 力 矩 ， 并验 证 它 也 等 于 线 圈 的 磁 矩 与 磁 场 的 矢 量 积 。B B解 : sin22 rIdlBdMM sinIdlBdF RddlRr sin BRI 2 BpM n .lIdMdFd FdMd rsinrIdlBrdFdM dIBRM 0 22 sin2PB 考 虑 方 向 解 ： （ 1） 如 图 所 示 ， 电 子 在 地 球 磁 场 的 影 响 下 向 东 偏 转 。 （ 2） 电 子 的 动 能 ： 221 mvEk 31 194101.9 196.1102.122 mEv k sm/105.6 77-6在 一 个 电 视 显 像 管 里 ， 电 子 在 水 平 面 内 从 南 到 北 运 动 ，如 图 ， 动 能 是 2 104ev。 该 处 地 球 磁 场 在 竖 直 方 向 的 分 量 向 下 ，大 小 是 5.5 10-5T。 问 ： （ 1） 电 子 受 地 球 磁 场 的 影 响 往 哪 个方 向 偏 转 ？ （ 2） 电 子 的 加 速 度 有 多 大 ？ （ 3） 电 子 在 显 像 管内 南 北 方 向 上 飞 经 20cm时 ， 偏 转 有 多 大 ？ v f B电 子 受 到 洛 仑 兹 力 ： evBf电 子 的 加 速 度 为 ： mevBa 31 5719 101.9 105.5105.6106.1 24 /103.6 sm （ 3） 电 子 的 轨 道 半 径 ： meBmvR 7.6105.5106.1 105.6101.9 519 731 Rd 21.1 2RdRRx mRd 322 100.37.62 20.02 d表 示 电 子 从 南 到 北 的 飞 行 路 程 ， 则 电 子 向 东 偏 转 为 x21222 1 RdRRdRRx v fB Rdx 7-7（ 张 三 慧 278-7-3） 把 2.0 103eV的 一 个 正 电 子 ， 射 入 磁感 应 强 度 B=0.1T的 匀 强 磁 场 中 ， 其 速 度 矢 量 与 B成 890角 ， 路径 成 螺 旋 线 ， 其 轴 在 B的 方 向 。 试 求 这 螺 旋 线 运 动 的 周 期 T、螺 距 h和 半 径 r。解 ： 正 电 子 的 速 率 mEv k2螺 旋 线 运 动 的 周 期 eBmT 2螺 距 Tvh 089cos半 径 eBmvr 089sin 7-8（ 张 三 慧 279-7-7） 在 一 汽 泡 室 中 ， 磁 场 为 20T， 一 高 能质 子 垂 直 于 磁 场 飞 过 时 留 下 一 半 径 为 3.5cm的 圆 弧 轨 迹 。 求此 质 子 的 动 量 和 能 量 。解 ： smkgeRBp /1012.1 17 质 子 的 动 量能 量 按 非 相 对 论 计 算 为 ： GeVJcpcmpcE 211036.3 94222 远 大 于 质 子 的 静 止 能 量 ， 约 1GeV能 量 应 按 相 对 论 计 算 为 GeVJmpE 2341075.32 72 7-9（ 张 三 慧 282-7-12） 如 图 所 示 ， 一 铜 片 厚 为 d=1.0mm，放 在 B=1.5T的 磁 场 中 ， 磁 场 方 向 与 铜 片 表 面 垂 直 。 已 知 铜片 里 每 立 方 厘 米 有 8.4 1022个 自 由 电 子 ， 当 铜 片 中 有 200A的 电 流 通 过 时 ， （ 1） 求 铜 片 两 侧 电 势 差 Uaa ； （ 2） 铜 片宽 度 b对 Uaa 有 无 影 响 ？ 为 什 么 ？ d b aa IBVnqdIBU aa 51023.2 解 ： 负 号 表 示 a侧 电 势 高铜 片 宽 度 b对 U aa无 影 响 。因 为 与 b有 关 ， 而 在 I一 定时 ， 漂 移 速 率 与 b成 反 比 。bHvbEU Haa nqdbIv 第 八 章 磁 场8-18-28-38-48-58-6 8-78-88-98-108-118-12 8-198-208-218-228-138-148-158-168-178-18 8-238-24 解 ： (a) 直圆 BBBO 直圆 BBBO )1(222 000 RIRIRI8-1 如 图 8-1示 ， 电 流 沿 两 种 不 同 形 状 的 导 线 流 动 ， 则 在 两 种 电 流分 布 情 况 下 ， 两 圆 心 处 的 磁 感 应 强 度 大 小 为 多 少 ？O R(b) OR 圆B 直B设 为 正 ， 则 直圆 BBBO )1(44212 000 RIRIRI圆B直B 设 为 正 ， 则 解 ： 在 ab上 任 取 一 线 元 dr, 由 AB产 生的 磁 感 应 强 度 方 向 : rdB rIB 2 10 BdrIdrBIdF 22 90sin drrIIBdrIdFF baba rrrr 2 1022 abrrII ln2 210 向 下 . F 8-2 一 长 直 导 线 AB， 通 有 电 流 I,其 旁 放 一 段 导 线 ab， 通 过 电 流为 I2且 AB与 ab在 同 一 平 面 上 ， ABab， 如 图 8-2所 示 ， a端 距 离 AB为 ra， b端 距 离 AB为 rb， 求 导 线 ab受 到 的 作 用 力 。 a bABI1 I2大 小 ： r dr同 向 叠 加 8-3 三 条 无 限 长 的 直 导 线 ， 等 距 离 的 并 排 安 放 ， 导 线 a， b， c分 别 载 有 1A， 2A， 3A同 方 向 的 电 流 。 由 于 磁 相 互 作 用 的 结 果 ，导 线 a、 b、 c单 位 长 度 上 分 别 受 力 F1、 F2、 F3， 如 图 8-3所 示 ，则 F1、 F2的 比 值 是 多 少 ？ a b c)(1 1 cba BBIF )222( 00 rIrII cba )2(2 0 caba IIIIr )(12 acb BBIF )22( 00 rIrII acb )(2 0 abcb IIIIr 解 :导 线 b 、 c在 导 线 a 处 的 磁 感 强 度方 向 均 为导 线 a 、 c在 导 线 b 处 的 磁 感 强 度 方 向 分 别 为 87 21 FF 解 ： 可 认 为 和 c , 1v 2v 2112101 4 rvaqB q1对 q2的 作 用 力 ： (向 右 )12221 BvqFm 22122121 em FFF 222120202021 14 vvaqq 1v 1q2v 2q21r21202121 4 raqqFe (向 下 )8-4 如 图 8-4所 示 ， 两 正 电 荷 q1， q2相 距 为 a时 ， 其 速 度 各 为v1和 v2， 且 v1v2， v2指 向 q1， 求 q1对 q2和 q2对 q1的 电 磁 场 力 是多 少 ？ 21F 21mF21eF )tan(argtanarg 210022 vvFFem 012 mF （ 向 上 ）12202112 4 raqqFe 1212 eFF q2对 q1的 作 用 力 ： 04 1222102 rvaqB 1v 1q2v 2q12r O点 到 各 边 的 距 离32323 LLr BBBBO 21解 ： II 21abacb RR 2 电 阻 abcbac BBBB 0)65cos6)(cos(4 0 IIIr 8-5 电 流 由 长 直 导 线 1沿 平 行 bc边 方 向 经 过 a点 流 入 一 电 阻 均 匀 分 布的 正 三 角 形 线 框 ， 再 由 b点 沿 cb方 向 流 出 ， 经 长 直 导 线 2返 回 电 源 ，如 图 8-5所 示 ， 已 知 导 线 上 的 电 流 为 I， 三 角 框 的 每 一 边 长 为 L， 求 三角 框 中 心 O点 的 磁 感 应 强 度 的 大 小 。设 为 正 ， 则 12 ab cII III )231(23)6cos0(cos4 002 LIrIB )321(43 0 21 LI BBBBO )13(43 0 LI 而 LIrIB 4324 001 12 ab cII III 方 向 均 为方 向 为 设 环 的 半 径 为 a , 两 导 线 夹 角 为 , 则 解 ： 因 点 在 两 导 线 延 长 线 上 0线B 221RR8-6 如 图 示 ， 两 根 导 线 沿 半 径 方 向 引 到 铁 环 上 的 ， 两 点 ，并 在 很 远 处 与 电 源 相 连 ， 求 环 中 心 的 磁 感 应 强 度 。 221II dRIRdlIdB 490sin4 102101 RIdRIdBB 44 1002011 24 202 RIB 121 BB 021 BBBO dIrdB 2 0 idxxx )(2 00 解 ： 22 axa 建 立 如 图 示 坐 标 系 在 x处 取 宽 dx的 窄 带其 电 流 为 idxdI 22ln2 000 ax axaI 22 00 22 00)(2 )(2aa aa xxdxi xxidxdBB 22ln2 000 ax axi 8-7 如 图 示 ， 在 纸 面 内 有 一 宽 度 a的 无 限 长 的 薄 载 流 平 面 ， 电流 I 均 匀 分 布 在 面 上 （ 或 线 电 流 密 度 i=I/a )， 试 求 与 载 流 平 面共 面 的 点 处 的 磁 场 （ 设 点 到 中 心 线 距 离 为 x0 ） . 用 补 偿 法 ： 均 匀 分 布 电 流 的 圆 管 （ i） 宽 度 为 h 的 窄 条 （ -i） 解 ： 圆 管窄 条轴 线 BBB 0圆 管B 窄 条轴 线 BB RihB 2 0轴 线大 小 8-8 将 半 径 为 R的 无 限 长 导 体 薄 壁 管 （ 厚 度 忽 略 ） 沿 轴 向 割 去 一宽 度 为 h (h L2Bdl(B) L1Bdl= L2Bdl(C) L1Bdl L2Bdl(D) L2Bdl=0 ERRD SdDSd 22 解 : tERtI dd dddd 28-20 一 平 行 板 电 容 器 的 两 极 板 都 是 半 径 为 R的 圆 导 体 片 ，在 充 电 时 ， 板 间 电 场 强 度 变 化 率 为 dE/dt ， 若 忽 略 边 缘 效 应 ，则 两 板 间 的 位 移 电 流 为 多 少 ？ 8-21 半 径 为 R = 0.10m的 两 块 圆 板 ， 构 成 平 行 板 电 容 器 ， 放 在真 空 中 ， 现 对 电 容 器 匀 速 充 电 ， 使 两 板 间 电 场 的 变 化 率 为 vm-1s-1 .求 两 板 间 的 位 移 电 流 , 并 计 算 电 容 器内 离 两 板 中 心 连 线 r (r R） 处 的 磁 感 应 强 度 Br， 以 及 r R处的 BR 。 13100.1/ dtdE dtSdEdtdI ed 00 解 : dtdERdtdES 200 = = 2.78(A) rIB dr 20 内 dd IRrIrRr 20022 22 rrdtdE 500 1056.52 600 1056.52 RdtdEBR (T) 圆mp 0 030 022 22 BRRBRIR 31020 B IaR RIB 200 0 02RBI 解 :8-22 已 知 载 流 圆 线 圈 中 心 处 的 磁 感 应 强 度 为 B0， 此 圆 线 圈的 磁 矩 与 一 边 长 为 a通 过 电 流 为 I的 正 方 形 线 圈 的 磁 矩 之 比 为 2 : 1， 求 载 流 圆 线 圈 的 半 径 。 aR IIIapm 222 方 8-23 如 图 所 示 ， 在 长 直 导 线 旁 有 一 矩 形 线 圈 ， 导 线 中 通 有电 流 I1， 线 圈 中 通 有 电 流 I2， 求 矩 形 线 圈 上 受 到 的 合 力 是 多少 ？ I1 ld bI2解 ： 矩 形 线 圈 的 四 条 边 均 受 到 安 培 力 ，上 下 两 根 导 线 受 力 大 小 相 等 ， 方 向 相反 ， 故 竖 直 方 向 合 力 为 零 ；左 导 线 受 力 ：方 向 向 左 ；右 导 线 受 力 ：方 向 向 右 ；合 力 ：方 向 向 左 。 dIIF 2 210左 )2 210 bdIIF （右 )112 210 bddIIFFF （右左 当 直 导 线 与 矩 形 线 圈 处 在 同 一 平 面 内 时 ， 两 力 作 用 在 同一 直 线 上 ， 此 时 线 圈 不 受 力 矩 。 8-24 一 半 径 为 R的 平 面 圆 形 线 圈 中 载 有 电 流 I1， 另 无 限 长 直 导线 AB中 载 有 电 流 I2， 设 AB通 过 圆 心 ， 并 和 圆 形 线 圈 在 同 一 平面 内 ， 求 圆 形 线 圈 所 受 的 磁 力 。解 ： 圆 形 电 流 在 非 均 匀 磁 场 中 ， 建 立坐 标 系 xOy， 电 流 元 I1dl所 在 处 磁 场 为 ： ABI2 I1 xyO I1dldcos2 20R IB 电 流 元 受 力 大 小 为 ： cos2 2101 R dlIIdlBIdF Fd 由 对 称 性 可 知 ， 右 半 圆 电 流 在 y方 向 受 合 力 为 零 ， 故 右 半 圆电 流 受 力 方 向 沿 x 轴 正 向 ： Rxx IIRdlIIdFdFF 0 210210 22cos左 半 圆 受 力 与 之 相 同 ， 故 整 个 圆 电 流 受 力 2102 IIFF x 第 九 章 磁 场 中 的 磁 介质9-1 9-2 9-3 9-4 9-5 9-6 9-7 9-1把 两 种 不 同 的 磁 介 质 放 在 磁 铁 N、 S极 之 间 ，磁 化 后 也 成 为 磁 体 ， 但 两 种 磁 介 质 的 两 极 的 位 置不 同 ， 如 图 (a)、 (b)所 示 ， 试 指 出 (a)图 为 抗 磁 ，(b)图 为 顺 磁 介 质 试 指 出 表 示 顺 磁 介 质 ， 表 示 抗 磁 介 质 ， 表 示 铁 磁 介 质 。B H9-2如 图 示 的 三 条 线 分 别 表 示 三 种 不 同 的 磁 介质 的 B-H曲 线 ， 9-3以 下 说 法 是 否 正 确 ？（ 1） 有 人 认 为 ， 磁 场 强 度 H的 安 培 环 路 定 理 LHdl=I内 表 明 ， 若 闭 合 回 路 L内 没 有 包 围 自 由 电流 ， 则 回 路 L上 各 点 H必 为 零 。 也 表 明 若 闭 合 回 路 上各 点 H为 零 ， 则 该 回 路 所 包 围 的 自 由 电 流 的 代 数 和 一定 为 零 。（ 2） H只 与 自 由 电 流 有 关 。（ 3） 对 各 向 同 性 的 非 铁 磁 介 质 ， 不 论 抗 磁 质 与 顺磁 质 ， B总 与 H同 向 。（ 4） 对 于 所 有 的 磁 介 质 H=B /均 成 立 。 前 半 部 分 错 ,后 半 部 分 正 确 . 错 .（ 非 均 匀 介 质 中 H还 与 介 质 有 关 ！ ） 正 确 . 对 各 向 同 性 介 质 正 确 ;对 铁 磁 质 ， 不 为 常 数 . 9-4一 磁 导 率 为 的 无 限 长 圆 柱 形 导 体 半 径 为 R1， 其中 均 匀 地 通 过 电 流 I， 导 体 外 包 一 层 磁 导 率 为 的 圆 筒形 不 导 电 的 磁 介 质 ， 其 外 半 径 为 R2， 如 图 示 。 试 求 ：磁 场 强 度 和 磁 感 应 强 度 的 分 布 。1 2解 ： 作 半 径 r 的 圆 形 环 路 ，由 环 路 定 理 ： L IldH 内 内IrH 21时 1Rr R1 R212IRrRIrI 212212 内 rRIH 2 12 rRIB 2112 r 时 21 RrR II 内rIH 2 rIB 22 时 2Rr R1 R212 r II 内rIH 2 rIB 20R1 R212 r 9-5如 图 9-5， 流 出 纸 面 的 电 流 为 2I， 流 进 纸 面 的 电流 为 I， 则 下 述 各 式 中 那 一 个 是 正 确 的 ？ 其 中 正 确 的 是 D(A) 1 2L IldH (B) 2L IldH 3L IldH (D) 4L IldH (C) L1 L2L3 L42I I 9-6证 明 原 子 内 电 子 的 轨 道