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1l矩阵矩阵的概念及运算的概念及运算l可逆矩阵可逆矩阵*l矩阵矩阵的的初等变换初等变换与与初等初等阵阵l矩阵矩阵的秩的秩l分块矩阵分块矩阵本章主要内容本章主要内容本章主要内容本章主要内容第1页/共133页1.1.矩阵的定义矩阵的定义由由m n 个数排成的个数排成的m行、行、n列的矩形数列的矩形数表表称为阶数为称为阶数为的的矩阵矩阵.2.1.1.2.1.1.矩阵的概念矩阵的概念2.1 矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念第2页/共133页简记为简记为当当 m=n 时称为时称为n 阶阶方阵方阵.l 矩阵同形矩阵同形它们它们行数行数和和列数列数相同相同.l 矩阵相等矩阵相等它们它们同形且同形且对应元素对应元素相等相等.2.2.特殊矩阵特殊矩阵l 零矩阵零矩阵:l 方阵的行列式方阵的行列式:或或.第3页/共133页l l 对角矩阵对角矩阵:l l 单位矩阵单位矩阵:E,In或或l l 数数(纯纯)量矩阵量矩阵:l l 上三角矩阵上三角矩阵:第4页/共133页l 下三角矩阵下三角矩阵:l 行矩阵行矩阵:l 列矩阵列矩阵:第5页/共133页2.2 2.2 矩阵运算矩阵运算矩阵运算矩阵运算l 矩阵的线性运算矩阵的线性运算l 矩阵的乘法运算矩阵的乘法运算l 方阵的幂及行列式方阵的幂及行列式 的乘法公式的乘法公式l 矩阵的转置矩阵的转置第6页/共133页7l l 加加 法法:负矩阵负矩阵:减减 法法:(A与与B要同形要同形).).2.2.1 2.2.1 矩阵的加法矩阵的加法:l l 运算性质运算性质:第7页/共133页l l 运算性质运算性质:2.2.22.2.2 数乘数乘数乘数乘第8页/共133页其中其中,则则l l 2.2.3 2.2.3 矩阵乘法矩阵乘法矩阵乘法矩阵乘法第9页/共133页l可乘原则可乘原则:前列数前列数=后行数后行数.l l乘积元素乘积元素:cij 是是A 的第的第 i 行的元素与行的元素与B 的第的第j 列对应元素乘积之和列对应元素乘积之和.l乘积阶数：乘积阶数：AB 阶数为前行数阶数为前行数后列数后列数.总结如下总结如下:第10页/共133页l 运算性质运算性质:l学习矩阵运算学习矩阵运算,尤其要注意其不具备什尤其要注意其不具备什么熟知的运算规律么熟知的运算规律.特别是乘法运算特别是乘法运算.(A是是m n的矩的矩阵阵)第11页/共133页设设求求AB.解解注意注意:在这个例子中在这个例子中BA 无意义无意义.例例1 1第12页/共133页则则注意注意:在这个例子中在这个例子中,虽然虽然AB 与与 BA 均有意义均有意义,但是但是AB 是是22 矩阵矩阵,而而BA是是11矩阵矩阵.例例2 2第13页/共133页设设则则注意注意:(1)AB与与BA是同阶方阵是同阶方阵，但但AB不等于不等于BA.(2)虽然虽然A,B都是非零矩阵都是非零矩阵,但是但是AB=0.例例3 3第14页/共133页设设求求AB 及及 AC.解解注意注意:虽然虽然A不是零矩阵不是零矩阵,而且而且AB=AC,但是但是B不等于不等于C.这说明消去律不成立这说明消去律不成立!例例4 4第15页/共133页 总结一下总结一下矩阵乘法的一些矩阵乘法的一些反常性质反常性质:l不满足交换律不满足交换律:l l不满足消去律不满足消去律:l可能有零因子可能有零因子:如果如果AB=BA,则称则称A 与与B 可交换可交换.第16页/共133页17祝祝 大大 家家 中秋节中秋节 快快 乐乐预习预习2.3-2.42.3-2.4!第17页/共133页182.2.4 2.2.4 方阵的幂方阵的幂方阵的幂方阵的幂lAA有意义当且仅当有意义当且仅当A为方阵为方阵.l对于方阵相乘可以定义乘幂的概念对于方阵相乘可以定义乘幂的概念:l因为矩阵乘法不满足交换律因为矩阵乘法不满足交换律,所以对于所以对于 同阶方阵同阶方阵A与与B,一般一般运算性质运算性质:第18页/共133页19l矩阵多项式矩阵多项式仍是方阵仍是方阵.设设为为A的矩阵多项式，的矩阵多项式，A是方阵，则称是方阵，则称第19页/共133页20由由n 阶方阵阶方阵A的元素按原来的位置组成的元素按原来的位置组成的的行列式行列式称为方阵称为方阵A的行列式的行列式,记为记为|A|,即即2.2.5 方阵的行列式及乘法公式方阵的行列式及乘法公式方阵的行列式及乘法公式方阵的行列式及乘法公式第20页/共133页21(行列式乘法公式行列式乘法公式)l运算性质运算性质(定理定理2.1):设设A,B,为为n 阶方阵阶方阵,k 为数为数,则有则有第21页/共133页22例例1 1 设设A为为3阶方阵阶方阵,B为为4阶矩阵阶矩阵,且且|A|=3,|B|=-2,则则|B|A|=.解解|B|A|=|-2A|=(-2)3|A|=(-8)3=-24.例例2 2 设设A为为n阶矩阵阶矩阵,k为非零常数为非零常数,则则|-kA|=.(A)k|A|(B)k|A|(C)(-1)nk n|A|(D)kn|A|-24第22页/共133页23l 定义定义称为称为A的转置矩阵的转置矩阵.2.2.6 矩阵的转置矩阵的转置矩阵的转置矩阵的转置第23页/共133页24l l 运算性质运算性质第24页/共133页25l特殊矩阵特殊矩阵对称矩阵对称矩阵:AT=A反对称矩阵反对称矩阵:AT=-A第25页/共133页262.矩阵与行列式有什么区别矩阵与行列式有什么区别?问题:第26页/共133页27本节主要内容本节主要内容 逆逆逆逆矩阵的定义矩阵的定义矩阵的定义矩阵的定义 可逆可逆可逆可逆的的的的条件条件条件条件 伴随伴随伴随伴随矩阵矩阵矩阵矩阵2.3 逆逆逆逆 矩矩矩矩 阵阵阵阵第27页/共133页28在解方程在解方程ax=b的时候的时候,如果如果 a 0,等式等式两边同乘以两边同乘以a-1,得得x=a-1b.线性方程组线性方程组AX=b,能否在一定条件下引进能否在一定条件下引进 A-1 的概念的概念,使得解为使得解为X=A-1b?由由a-1a=1想想到到A-1A=E.问题的提出:A应当满足什么条件应当满足什么条件?如何定义如何定义A-1?第28页/共133页29定义定义 A为为n阶方阵阶方阵,若存在若存在n阶方阵阶方阵B,使使 AB=BA=E则称则称A为为可逆矩阵可逆矩阵,称称B为为A的的逆矩阵逆矩阵.记作记作B=A-1.2.3.1 逆矩阵的定义逆矩阵的定义逆矩阵的定义逆矩阵的定义注注定义中矩阵定义中矩阵A 与与B的地位是相同的的地位是相同的,如果如果A可逆可逆,且且B是是A的逆的逆,则则B也可也可逆逆,且且A 也也是是B的逆的逆,即即A与与B互逆互逆.第29页/共133页30问题问题:你学过的方阵中你学过的方阵中,哪些是可逆阵哪些是可逆阵,哪些是不可逆阵哪些是不可逆阵?1.E-1=E2.当当k1k2kn0 时时,有有:第30页/共133页31性质性质若矩阵若矩阵A可逆可逆,则则A的逆矩阵的逆矩阵唯一唯一.证证 设设B,C都是矩阵都是矩阵A的逆矩阵的逆矩阵,则有则有第31页/共133页32可推广至有限个积可推广至有限个积可逆阵还具有如下性质可逆阵还具有如下性质:A,B 可可逆逆第32页/共133页33 如何判断一个矩阵是否存在逆矩阵如何判断一个矩阵是否存在逆矩阵?如何求一个可逆矩阵的逆矩阵如何求一个可逆矩阵的逆矩阵?复习行列式的展开性质复习行列式的展开性质若若A,B可逆可逆,而而A+B 不一定可逆，不一定可逆，即使可逆即使可逆即乘法的消去律成立即乘法的消去律成立.可以推出可以推出 当当A可逆时可逆时,由由第33页/共133页34伴随矩阵伴随矩阵:A为为n 阶方阵阶方阵2.3.2 可逆的条件可逆的条件可逆的条件可逆的条件第34页/共133页35称称为矩阵为矩阵A的的伴随矩阵伴随矩阵.A*是用方阵是用方阵A的元素的代数余子式的元素的代数余子式 组成的矩阵组成的矩阵.第35页/共133页36A A=AA=AEAA(A)=(A)A=E引理引理2.1 2.1(基本公式基本公式)A为为n阶方阵阶方阵第36页/共133页37设设 A 为数域为数域 F 上上 n 阶方阵阶方阵,则则1.A 可逆可逆A02.A 可逆时可逆时,A-1=定理定理 2.2从而从而|A|0.必要性得证必要性得证.证证若若A可逆可逆,则则第37页/共133页38故矩阵故矩阵A可逆可逆,且且 在在|A|0时时,若若|A|0,则则由由也可逆也可逆第38页/共133页39 A=0时时,称称A 为为奇异阵奇异阵A0时时,称称A 为为非奇异阵非奇异阵第39页/共133页40例1 讨论并求讨论并求2阶矩阵的逆矩阵阶矩阵的逆矩阵解解 当当时时A 可逆可逆,利用伴随矩阵求逆矩阵利用伴随矩阵求逆矩阵利用伴随矩阵求逆矩阵利用伴随矩阵求逆矩阵第40页/共133页41求满足矩阵方程求满足矩阵方程 AX=B 的矩阵的矩阵 X,解解 A=-270,X=A-1B=还可以用初等变换求解还可以用初等变换求解还可以用初等变换求解还可以用初等变换求解例2其中其中第41页/共133页42解解 设设设设,计算计算则则例例3 3第42页/共133页43第43页/共133页44u总结关于方阵总结关于方阵A:A 可逆可逆|A|0 AA*=A*A=|A|E在在|A|0时,求逆公式求逆公式:第44页/共133页45本节内容提要本节内容提要 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 矩阵的等价矩阵的等价 矩阵的等价标准形矩阵的等价标准形2.42.4 矩阵的初等变换矩阵的初等变换矩阵的初等变换矩阵的初等变换第45页/共133页46解线性方程组的过程中经常用到解线性方程组的过程中经常用到:问题的引入问题的引入1.1.互换两个方程的位置互换两个方程的位置.2.2.用一个非零常数乘某个方程用一个非零常数乘某个方程.3.3.把一个方程的倍数加到另一个方程上去把一个方程的倍数加到另一个方程上去.这三种变换不改变方程组的解这三种变换不改变方程组的解,且对且对应与矩阵的三种变换应与矩阵的三种变换.第46页/共133页47l 矩阵的三种初等矩阵的三种初等行变换行变换:换法变换换法变换:rirj倍法变换：倍法变换：ri(0)ri消法变换消法变换:krj+riril矩阵的三种初等矩阵的三种初等列变换列变换：换法变换换法变换:cicj倍法变换：倍法变换：ci(0)ci消法变换：消法变换：kcj+cici 2.4.12.4.1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换矩阵的初等变换矩阵的初等变换第47页/共133页48问问题题如果矩阵如果矩阵A 经过初等变换变为经过初等变换变为B,那么那么A 与与B 之间究竟有何种关系之间究竟有何种关系?定义定义矩阵的三种初等矩阵的三种初等行行变换和三种初等变换和三种初等列列变换统称为矩阵的变换统称为矩阵的初等变换初等变换.初等变换可逆初等变换可逆.第三种初等变换保持行列式值不变第三种初等变换保持行列式值不变.初等变换保持矩阵可逆性不变初等变换保持矩阵可逆性不变.A B记为记为第48页/共133页49性质性质:自反性自反性 A 与与 A 等价等价;对称性对称性若若A 与与B等价等价，则则B与与A等价等价;传递性传递性若若A与与B等价等价，B 与与C等价等价，则则A与与C等价等价.初初 若若A B，则称则称A 与与 B 等价等价.2.4.22.4.2 矩阵的等价矩阵的等价矩阵的等价矩阵的等价 A与与B等价等价A与与B同形同形且且等秩等秩.第49页/共133页502.4.3 2.4.3 矩阵的等价标准形矩阵的等价标准形矩阵的等价标准形矩阵的等价标准形定义定义满足下面两个条件的矩阵称为满足下面两个条件的矩阵称为行阶行阶梯形梯形矩阵或矩阵或阶梯形阶梯形矩阵矩阵:(1)零行全部位于非零行下方零行全部位于非零行下方;(2)非非零零行行的的左左起起第第一一个个非非零零元元素素的的列数由上至下严格递增列数由上至下严格递增.例例11.1.行阶梯形行阶梯形第50页/共133页512.行最简行最简形形定义定义如果阶梯形矩阵如果阶梯形矩阵A满足满足:(1)非零行左起第一个非零元素都是非零行左起第一个非零元素都是1;(2)非零行左起第一个非零元所在列只有非零行左起第一个非零元所在列只有一个非零元一个非零元.则称则称A为为行最简形行最简形矩阵矩阵.例例2第51页/共133页523.矩阵的等价标准形矩阵的等价标准形定理定理3.3任意矩阵任意矩阵A都与一个形如都与一个形如矩阵等价矩阵等价.A的等价标准形的等价标准形定义定义如果一个矩阵的左上角为单位矩阵如果一个矩阵的左上角为单位矩阵,其余元素都是零其余元素都是零.则称这个矩阵为则称这个矩阵为标准形标准形矩阵（唯一）矩阵（唯一）.第52页/共133页53的矩阵都是的矩阵都是标准形标准形矩阵矩阵.用分块矩阵的表示方法用分块矩阵的表示方法,形如形如:第53页/共133页54结结 论论 1任一矩阵任一矩阵A都可经都可经初等行初等行变换化成变换化成行阶梯形行阶梯形;2任一矩阵任一矩阵A都可经都可经初等行初等行变换化成变换化成行最简形行最简形;3任一矩阵任一矩阵A都可经都可经初等初等变换化成变换化成标准形标准形.A 行阶梯形行阶梯形行行行行A 行最简形行最简形A标准形标准形初初第54页/共133页55 32345931021501326106468122432345901324400002600000010-10010/301320-8000013000000100000010000001000000000行行行行列列行阶梯形行阶梯形行最简形行最简形标准形标准形E3 00 0=例例3 3 化化 简简第55页/共133页56预预预预 习习习习 完完完完 2.6(-)Bye!第56页/共133页57祝大家祝大家国庆节国庆节快乐快乐预习预习2.4,2.52.4,2.5！第57页/共133页58设设A,B是三阶方阵是三阶方阵，则则解解例例1 1由由第58页/共133页59 设设A为为3阶方阵阶方阵,A*为为A的伴随矩的伴随矩阵阵,且且|A|=1/2,则则|(3A)-1-2 A*|的的值为值为().(A)16/27 (B)-4/3 (C)5 (D)-16/27分析分析 已知条件涉及已知条件涉及A*,应该立即联想应该立即联想到公式到公式A A*=A*A=|A|E，A还可逆还可逆,利用这个公式可以得到利用这个公式可以得到A*=|A|A-1.解解|(3A)-1-2A*|=|(1/3)A-1-2|A|A-1|=|(1/3)A-1-A-1|=|(-2/3)A-1|=(-2/3)3|A-1|=(-8/27)2=-16/27例例2 2第59页/共133页60设设A是是n 阶方阵阶方阵，的伴随矩阵的伴随矩阵,试证试证:证证由由下面分三种情况讨论下面分三种情况讨论:(1)若若则则(2)若若且且则则显然结论成立显然结论成立:有有例例3 3第60页/共133页61(3)若若而而下面证明下面证明反证反证:若若则则可可逆逆,所以所以这与这与矛盾矛盾.第61页/共133页622.52.5 矩阵的秩矩阵的秩本节内容提要本节内容提要 矩阵的秩的概念矩阵的秩的概念 矩阵的矩阵的秩的求法秩的求法秩的求法秩的求法第62页/共133页632.5.12.5.1 矩阵的秩的概念矩阵的秩的概念矩阵的秩的概念矩阵的秩的概念定义定义矩阵矩阵A的子方阵的行列式称为矩阵的子方阵的行列式称为矩阵A 的的一一个子式个子式.1 1 子矩阵子矩阵定义定义划去划去A的某些行或列后剩下的元素，的某些行或列后剩下的元素，按原顺序构成的矩阵称为矩阵按原顺序构成的矩阵称为矩阵A的一的一个子矩阵个子矩阵.2 2 子子 式式第63页/共133页643 3 矩阵秩的定义矩阵秩的定义A的的非零子式的最高阶数非零子式的最高阶数r.记作记作:r(A)=r并规定并规定:r(0)=0.,例例2 23 3阶子式只有一个阶子式只有一个,且且 ,所以所以lr(A)=rA中存在一个中存在一个r阶非零子式阶非零子式,但但 其中任意其中任意r+1阶子式都等于零阶子式都等于零.r(A)=2.A的的秩秩:第64页/共133页654 4 运算性质运算性质若若 A 是是mn 矩矩阵，则阵，则1.1.0 r(A)min)minm,n 2.2.r(AT)=)=r(A)3.3.r(kA)=)=0 k=0r(A)k04.4.r(A1)r(A),(),(A1为为 A的子阵的子阵)第65页/共133页66定理定理2.32.3 初等变换不改变矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩.求法求法:A 行阶梯形阵行阶梯形阵初初1.2.行阶梯形矩阵的秩行阶梯形矩阵的秩=非零行的个数非零行的个数.2.5.2 秩的求法秩的求法l可以通过初等变换把矩阵化为阶梯形可以通过初等变换把矩阵化为阶梯形 来求矩阵的秩来求矩阵的秩.第66页/共133页67注注称称A A为为行满秩行满秩行满秩行满秩.,称称A A为为列满秩列满秩.n方阵方阵A可逆可逆,称称A A为为满秩阵满秩阵.第67页/共133页68例例1 1其中其中解解1并求并求可求可求第68页/共133页6900思考思考第69页/共133页70本节内容提要本节内容提要 初等矩阵与初等变换的关系初等矩阵与初等变换的关系 求逆矩阵的初等变换求逆矩阵的初等变换法法 矩阵等价的充要条件矩阵等价的充要条件2.62.6 初等矩阵初等矩阵第70页/共133页71问题问题:为什么要引入为什么要引入“初等矩阵初等矩阵”呢呢？如果对于单位矩阵如果对于单位矩阵E进行一次初等变进行一次初等变 换换,它会变成什么样它会变成什么样?如果矩阵如果矩阵A经过一次初等变换变为经过一次初等变换变为B,那么那么A与与B间如何建立间如何建立等量等量关系关系?第71页/共133页72定义定义单位矩阵单位矩阵E经过经过一次一次初等变换初等变换所得所得到的矩阵称为到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵:2.6.12.6.1 初等矩阵的概念初等矩阵的概念初等矩阵的概念初等矩阵的概念第72页/共133页731.(换法)交换单位矩阵交换单位矩阵E 的第的第 i 行与第行与第 j 行行（或交换或交换E的第的第i 列与第列与第j 列列）:第第i行行第第j行行第第i 列列第第j列列第73页/共133页74第第i行行第第i列列2.(倍法)给单位矩阵给单位矩阵E的第的第i行乘以非零数行乘以非零数(或给或给E的第的第 i 列乘以非零数列乘以非零数):第74页/共133页753.(消法)将单位矩阵将单位矩阵E 的第的第j行的行的k 倍加倍加到到 第第i 行行:第第j行行第第i行行第第i 列列第第j列列l或看作是将或看作是将E的第的第i列的列的k 倍加到第倍加到第j列列.第75页/共133页76性质性质1 1初等阵可逆且逆还是初等矩阵初等阵可逆且逆还是初等矩阵.2.6.22.6.2 初等矩阵的性质初等矩阵的性质初等矩阵的性质初等矩阵的性质第76页/共133页77 初等矩阵转置还是初等矩阵初等矩阵转置还是初等矩阵.性质性质3 3用初等矩阵用初等矩阵左乘左乘一个矩阵一个矩阵,相当于相当于对它进行一次相应的初等对它进行一次相应的初等行变换行变换.用初等矩阵用初等矩阵右乘右乘一个矩阵一个矩阵,相当于相当于对它进行一次相应的初等对它进行一次相应的初等列变换列变换.性质性质2 2第77页/共133页78例例1 1第78页/共133页79第79页/共133页80第80页/共133页81计算计算解解 原式原式例例2 2第81页/共133页82 对一般情况我们有对一般情况我们有:总结总结:第82页/共133页83A B一次行一次行存在相应初等阵存在相应初等阵P 使使:PA=BA B一次列一次列存在相应初等阵存在相应初等阵Q使使:AQ=B 初等阵初等阵与与一次一次初等变换初等变换的关系的关系第83页/共133页84A B行行存在存在初等阵初等阵P1 P2Ps使使:P1P2PsA=BA B列列存在存在初等阵初等阵Q1 Q2Qt使使:AQ1Q2Qt=B存在存在初等阵初等阵P1 P2Ps Q1 Q2Qt使使:P1P2PsAQ1Q2Qt=B A B（A B）初初初等阵初等阵与与初等变换初等变换的关系的关系第84页/共133页85(-)Bye!预习完预习完 2.7第85页/共133页86*定理定理2.4 A可逆可逆初等阵初等阵使使:证证显然显然A可逆可逆 A E初初仍是仍是初等阵初等阵.即存在初等即存在初等阵阵 P1P2PsAQ1Q2Qt=E使使2.6.32.6.3 矩阵等价的充要条件矩阵等价的充要条件矩阵等价的充要条件矩阵等价的充要条件r(A)=n(A可可分解分解为初等阵的积为初等阵的积)第86页/共133页87设设A,B都是都是m n阶矩阵阶矩阵,则则A B m阶阶可逆矩阵可逆矩阵P,n阶阶可逆矩阵可逆矩阵Q 使使证证是初等阵之积是初等阵之积,故可逆且使故可逆且使A B 初初A B 令令存在初等阵存在初等阵P1P2Ps AQ1Q2Qt=B使使推论推论1 1第87页/共133页88设设A是是m n阶矩阵阶矩阵,P 是是m阶阶可逆阵可逆阵,Q 是是n 阶阶可逆矩阵可逆矩阵,则则推论推论3 3设设A是是可逆可逆矩阵矩阵,则则A E行行因为初等变换不变秩因为初等变换不变秩.证证 A可逆可逆,则则 使使可逆可逆,所以存在所以存在初等阵初等阵推论推论2 2第88页/共133页89由由A可逆可逆，有有l 说明说明A仅经过初等仅经过初等行行(列列)变换可化为变换可化为En.l完全相同的变换可以把完全相同的变换可以把En化为化为A-1.2.6.4 2.6.4 求逆矩阵的初等变换法求逆矩阵的初等变换法可得可得第89页/共133页90由此可得到由此可得到求逆矩阵的初等变换法求逆矩阵的初等变换法:构造一个构造一个n(2n)矩阵矩阵:构造一个构造一个(2n)n矩阵矩阵:行行列列*方法方法1 1方法方法2 2第90页/共133页91用初等行变换求矩阵用初等行变换求矩阵A的逆矩阵的逆矩阵:解解 先将先将A化为行阶梯阵化为行阶梯阵,再化为单位阵再化为单位阵例例3 3第91页/共133页92可验证可验证第92页/共133页93例例4 4则则 B=().(A)AP1P2 (B)AP2P1 (C)P1P2A (D)P2P1A第93页/共133页94注注 可用初等变换法求矩阵方程可用初等变换法求矩阵方程可逆可逆方法为方法为：行行例例5 5用初等变换法求矩阵方程用初等变换法求矩阵方程其中其中第94页/共133页95解解故故第95页/共133页96本节内容提要本节内容提要 分块矩阵的运算分块矩阵的运算 分块矩阵的初等变换分块矩阵的初等变换2.7 分块矩阵分块矩阵分块矩阵分块矩阵第96页/共133页97l处理有特点的大矩阵时需要进行分块处理有特点的大矩阵时需要进行分块l分法:将矩阵用纵线和横线分成若干小将矩阵用纵线和横线分成若干小 矩阵矩阵,每个小矩阵称为原矩阵的每个小矩阵称为原矩阵的子块子块.2.7.1 分块矩阵的概念分块矩阵的概念分块矩阵的概念分块矩阵的概念定义定义 以子块为元素的矩阵称为以子块为元素的矩阵称为分块阵分块阵.矩阵分块的三个原则矩阵分块的三个原则:体现原矩阵体现原矩阵特点特点.根据问题根据问题需要需要.能够把子块看作元素进行能够把子块看作元素进行运算运算.l 第97页/共133页98l 加法加法:原矩阵同形且分块方式相同原矩阵同形且分块方式相同l 数乘数乘:分块方式任意分块方式任意2.7.2 分块矩阵的运算分块矩阵的运算第98页/共133页99l乘法乘法:AB=C(Am p,Bp n)A的的列列数数=B 的的行行数数A的的列列的分法的分法=B 的的行行的分法的分法第99页/共133页100例例1 1第100页/共133页101l 转置转置:特别特别第101页/共133页102例例2 2第102页/共133页103尤其要注意尤其要注意AB=0时的特殊情况时的特殊情况:说明说明B 的每一列都是齐次线性方程组的每一列都是齐次线性方程组AX=0的一个解的一个解.*例例3 3A为一子为一子块块第103页/共133页104(-)Bye!预习预习 2.82.8第104页/共133页1052.7.3 特殊特殊特殊特殊的分块矩阵的分块矩阵的分块矩阵的分块矩阵n 分块对角矩阵分块对角矩阵如如第105页/共133页106|A|=|A1|A2|As|Ai是方阵时是方阵时，|Ai|0时时,即即Ai可逆时可逆时,A可逆可逆第106页/共133页107第107页/共133页108Ai 是方阵时是方阵时，|A|=|A1|A2|As|A可可逆逆|Ai|0（i=1,2,s）n 分块三角矩阵分块三角矩阵可逆可逆或或第108页/共133页109本节内容提要本节内容提要 利用利用分块矩阵的初等变换求秩分块矩阵的初等变换求秩 分块矩阵的初等变换分块矩阵的初等变换2.8 分块矩阵的初等变换分块矩阵的初等变换分块矩阵的初等变换分块矩阵的初等变换 分块初等阵分块初等阵第109页/共133页110 对分块矩阵同样可以引进初等变换和对分块矩阵同样可以引进初等变换和初等矩阵的概念初等矩阵的概念.分块矩阵分块矩阵关于子块的关于子块的一次初等变换一次初等变换,可以看作是关于可以看作是关于元素元素的的一批初等变换一批初等变换的合成的合成.我们只以分成我们只以分成4 4块块的情况简单解释的情况简单解释.设设2.8.1 分块矩阵的初等变换分块矩阵的初等变换分块矩阵的初等变换分块矩阵的初等变换第110页/共133页111定义定义下面三种针对分块矩阵下面三种针对分块矩阵M 的变形的变形,统称为分块矩阵的初等变换统称为分块矩阵的初等变换:初等行变换 初等列变换(1)换法换法:(2)倍法倍法:(3)消法消法:l这里要假定运算满足可行性原则这里要假定运算满足可行性原则.l为什么要求为什么要求P 可逆可逆?可逆可逆矩阵矩阵第111页/共133页112分块初等阵分块初等阵分块单位阵分块单位阵一次初等变换2.8.2 分块初等阵分块初等阵分块初等阵分块初等阵换法换法:倍法倍法:消法消法:第112页/共133页113l 分块初等变换不改变分块阵的分块初等变换不改变分块阵的秩秩.消法分块初等变换保持消法分块初等变换保持行列式值不变行列式值不变.l用分块初等变换用分块初等变换求逆求逆.ll 对分块阵进行对分块阵进行一次一次初等行初等行(列列)变换变换,相当相当 于对原矩阵进行于对原矩阵进行一系列一系列初等行初等行(列列)变换变换.分块分块行行分块分块列列第113页/共133页114例例1 1 求求 其中其中A，B 可逆可逆.解解行行行行行行第114页/共133页115设设A,B 都是可逆方阵都是可逆方阵,则有下列公式则有下列公式.总结：常用的分块矩阵求逆公式总结：常用的分块矩阵求逆公式第115页/共133页116证证例例2 2 用分块方法证明用分块方法证明|AB|=|A|B|其中其中A、B为为n阶方阵阶方阵.第116页/共133页117例例3 3证证证明证明其中其中A 为为n阶阶可逆矩阵可逆矩阵,B为为m阶阶方阵方阵.(行列式第一降阶定理行列式第一降阶定理)第117页/共133页118例例4 4 证明证明|Em-AB|=|En-BA|,其中其中 A 为为mn阶阶矩阵矩阵,B为为nm阶阶阵阵.证证第118页/共133页119利用上式可得利用上式可得时可见书上的说明时可见书上的说明.为任意数为任意数.第119页/共133页120例例5 5计算计算解解第120页/共133页121第121页/共133页1222.8.3 秩的运算性质秩的运算性质（2）证证 设设 （5 5）则存在可逆阵则存在可逆阵 使使第122页/共133页123令令第123页/共133页124（6 6）证证 设设 则存在可逆阵则存在可逆阵 使使令令第124页/共133页125=Er10 0 0 0 0 Er r2 2 00 0 0 0P1CQ2第125页/共133页126例例1 1证证（7 7）第126页/共133页127（8 8）r（A+B）r（A）+r（B）证证证证r(A)=r(A,0)=r（A,AB）r(AB)例例2 2（9 9）第127页/共133页128证证r(A)+r(B)且且 AB=0时，时，（1010）A为为 矩阵，矩阵，B为为 矩阵矩阵,则则第128页/共133页129矩阵基本运算逆矩阵初等变换秩分块矩阵线性运算（加法、数乘）乘法方幂（求方幂的方法）转置定义及运算性质求法伴随矩阵法初等变换法初等阵等秩、等价，行阶梯、标准形定义性质10条求法：初等（行）变换加、数乘、乘、转置、初等变换行列式乘法公式定义法判别7条应用：线性方程组第129页/共133页130可逆的判别可逆的判别可逆的判别可逆的判别(7 7条条条条)A与与E 等价等价,PAQ=E,A E为初等阵为初等阵AX=0只有零解只有零解AX=b只有唯一解只有唯一解初初行行列列使使可逆可逆第130页/共133页131伴随矩阵伴随矩阵1.1.基本公式基本公式:2.2.求逆求逆:若若A可逆可逆,3.3.性质性质:(n 2)(n 2)第131页/共133页132(-)Bye!下次习题课预习第下次习题课预习第3章章第132页/共133页133感谢您的观看！第133页/共133页
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