教学课件第四章静态场的解析法

第四章第四章 静态场的解析法静态场的解析法唯一性定理唯一性定理镜像法镜像法格林函数法格林函数法分离变量法分离变量法解析法解析法分布型：分布型：已知某一种分布求另一种分布已知某一种分布求另一种分布边值型：边值型：已知边值求分布已知边值求分布已知边值已知边值(局部点)求分布求分布(全部)解能唯一吗？解能唯一吗？中国地质大学中国地质大学4.1 唯一性定理唯一性定理边值分类边值分类1 1类：类：n2 2类：类：3 3类：类：及及1n2(=1+2)定义定义：满足给定边值满足给定边值(1 1、2 2、3 3类中任意一类类中任意一类)的拉普拉斯的拉普拉斯 方程方程(或泊松方程或泊松方程)的解是唯一的。的解是唯一的。意义：意义：表明，静态场中只要空间中的源和边界一定，表明，静态场中只要空间中的源和边界一定，那么，空间的场也就被唯一的确定。那么，空间的场也就被唯一的确定。为为求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供了判据。求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供了判据。这意味着，我们可绕开对复杂问题下的泊松方程的求解，这意味着，我们可绕开对复杂问题下的泊松方程的求解，而采用一些简单的方法，如：猜测、等效而采用一些简单的方法，如：猜测、等效的方法。的方法。从数学上看，不同的命题会有相同的方程和边值，因此从数学上看，不同的命题会有相同的方程和边值，因此 它们会有相同的解，但该解对每命题来说都是唯一的。它们会有相同的解，但该解对每命题来说都是唯一的。中国地质大学中国地质大学4.1 唯一性定理唯一性定理1、2都是方程：都是方程：2=v/e 的解，那么：的解，那么：即有：即有：n证明：证明：反证法，采用第反证法，采用第1 1类边值类边值设：场有两个解设：场有两个解1、2，令：令：=2 1 21=v/e及及22=v/e 2=2221=0 同样，同样，1、2若都是方程的解，那么也都应满足若都是方程的解，那么也都应满足边值边值：1=2=及及1=02由格林第一恒等式：由格林第一恒等式：(2+)dV=ds将将 =0 及及2=0 代入上式：代入上式：dV=0 2 0 上式若成立，则必有上式若成立，则必有 =0，即即:=常数常数该=常数是整个域中的解，当然也包括边值，即：常数是整个域中的解，当然也包括边值，即：=常数常数=0 即：即：=2 1=0 故故：2=1 中国地质大学中国地质大学4.2 镜像法镜像法镜像法镜像法平面镜像法平面镜像法柱面镜像法柱面镜像法球面镜像法球面镜像法镜像法是一种等效的方法，解决是导体或介质镜像法是一种等效的方法，解决是导体或介质在静电场中被感应后的场的分布问题。在静电场中被感应后的场的分布问题。而场源仅限于点或线电荷而场源仅限于点或线电荷 中国地质大学中国地质大学一、平面镜像法一、平面镜像法中国地质大学中国地质大学二、球面镜像法二、球面镜像法中国地质大学中国地质大学三、柱面镜像法三、柱面镜像法中国地质大学中国地质大学四、介质面镜像法四、介质面镜像法*问题：问题：点电荷位于两种电介质分界面上方点电荷位于两种电介质分界面上方h h，求空间电位分布。，求空间电位分布。分析：分析：在介质分界面上将存在极化电荷，空间电位由在介质分界面上将存在极化电荷，空间电位由极极化电荷化电荷和和电荷电荷q q共同产生。共同产生。中国地质大学中国地质大学解决问题方法：镜像法，即用解决问题方法：镜像法，即用镜像电荷等效极化电荷作用。镜像电荷等效极化电荷作用。解决问题过程：解决问题过程：设媒质设媒质1 1中电位函数为中电位函数为 ，媒质媒质2 2中电位函数为中电位函数为 。1 1、建立、建立 求解方程。镜像求解方程。镜像电荷电荷 位于位于z0z0z0区域中，整区域中，整个空间充满媒质个空间充满媒质2 2。位置与位置与q q重合。重合。3 3、在、在z=0z=0面上应用电位边界条件面上应用电位边界条件中国地质大学中国地质大学上式即在点电荷在介质分界面上镜像电荷电量。上式即在点电荷在介质分界面上镜像电荷电量。说明：若为真空与介质分界面，则将对应介质介电常说明：若为真空与介质分界面，则将对应介质介电常数代换为数代换为 即可。即可。五、例题五、例题 例题一例题一 例题二例题二中国地质大学中国地质大学镜像法小结镜像法小结v 镜像法基本思路镜像法基本思路：在：在所研究的场所研究的场域外域外的某些适当的某些适当 位置，用一些位置，用一些虚拟电荷等效替代虚拟电荷等效替代导体分界面上的导体分界面上的 感应电荷感应电荷或媒质分界面上的或媒质分界面上的极化电荷极化电荷的影响。的影响。v 镜像法理论依据镜像法理论依据：唯一性定理。：唯一性定理。v 镜像电荷位置选择原则镜像电荷位置选择原则：1 1、镜像电荷必须位于、镜像电荷必须位于求解区域以求解区域以外外的空间的空间。2 2、镜像电荷的引入、镜像电荷的引入不能不能改变原问题的边界条件改变原问题的边界条件。中国地质大学中国地质大学镜像法小结镜像法小结xq(l)mqODO aaa=360o/n ；n=2,4,6当：当：0 a 时时=RmqODRdmh-qOOh当：当：r R 时时=lODROqR=mh/(m-1);R2=Dd D-mR;m1lmhmhODRdmh-lOh当：当：R 时时=lR=mh/(m-1);R2=Dd D-mR;m1平面平面球面球面柱面柱面R2=d1d2l-lq(l)中国地质大学中国地质大学4.3 格林函数法格林函数法v中国地质大学中国地质大学格林函数法就是一个积分公式格林函数法就是一个积分公式:(r)V中任一场点的电位中任一场点的电位(r)V中源点的电荷密度中源点的电荷密度G(r,r)格林函数格林函数vdv 讨论讨论(所求所求)的空间域的空间域G(r,r)；G(r,r)/n 格林函数的边值格林函数的边值(r)；(r)/n 已知的边值条件已知的边值条件sds 所讨论空间的边界面所讨论空间的边界面定义定义：s可见，格林函数法就是利用边值可见，格林函数法就是利用边值(r)及及(r)/n 通过积分求出有源或无源空间的位函数。通过积分求出有源或无源空间的位函数。(r)=v(r)G(r,r)dv+sG(r,r)(r)/n _(r)G(r,r)/n ds中国地质大学中国地质大学什么是格林函数？什么是格林函数？指：单位源指：单位源(即即q=1或或l=1)在一定的边界在一定的边界(即原命题的边界即原命题的边界)条件下所建立的场的位函数，用条件下所建立的场的位函数，用G表示。表示。G=(当当q=1或或l=1时时)以以q=1为例，写出以下常见情况的为例，写出以下常见情况的G：1、无界空间：、无界空间：G=1/4r-r2、接地无穷大平板导体的半空间：接地无穷大平板导体的半空间：G=1/r-r 1/r-r/43、接地球导体的内、外空间：接地球导体的内、外空间：G=m/r-r 1/r-r/4O qrrr mq-qOqPrrr由上可见由上可见格林函数是一距离函数格林函数是一距离函数 G(r,r)=G(r,r)这就是这就是格林函数格林函数的对称性的对称性4.3 格林函数法格林函数法原命题：原命题：2(r)=v(r)/;(r)s及及(r)/n s格林函数：格林函数：2G(r,r r)=(r-r r)/;G(r,r r)s及及G(r,r r)/n s推导：推导：由格林第二恒等式：由格林第二恒等式：G2(r)-(r)2G dV=sG(r,r)(r)/n_(r)G(r,r)/nds中国地质大学中国地质大学互换源点与场点的坐标且，互换源点与场点的坐标且，由由格林函数的对称性，得结果：格林函数的对称性，得结果：令：令：G(r,r r)2(r)(r)2G(r,r r)dV则：则：G2(r)(r)2GdV=-Gv(r)/+(r)(r-r r)/dV=-Gv(r)/dV+(r)(r-r r)/dV=-Gv(r)/dV+(r)/(r)=v(r)G(r,r)dv+sG(r,r)(r)/n _(r)G(r,r)/nds(r)=v(r)G(r,r)dv+sG(r,r)(r)/n _(r)G(r,r)/n ds整理：整理：格林函数法的应用格林函数法的应用技巧：技巧：中国地质大学中国地质大学(r)=v(r)G(r,r)dv+sG(r,r)(r)/n _(r)G(r,r)/n ds若已知：第若已知：第2 2类边值类边值 (r)/ns 则：取则：取G(r,r)/ns=0因而有：因而有：(r)=v(r)G(r,r)dv+sG(r,r)(r)/n ds此时，此时，对对格林函数格林函数来说，要求解的是如下问题：来说，要求解的是如下问题：若已知：第若已知：第1 1类边值类边值 (r)s 则：取则：取Gs=0因而有：因而有：(r)=v(r)G(r,r)dv+s _(r)G(r,r)/n ds此时，此时，对对格林函数格林函数来说，要求解的是如下问题：来说，要求解的是如下问题：按上式求解须知第按上式求解须知第1 1、2 2类边值，这佷苛刻，求解也复杂。类边值，这佷苛刻，求解也复杂。若在求解格林函数上，做合理安排，那么问题会简单若在求解格林函数上，做合理安排，那么问题会简单:2G(r,r r)=(r-r r)/;G(r,r r)s=0 2G(r,r r)=(r-r r)/;G(r,r r)/ns=0 例例：中国地质大学中国地质大学(r)=v(r)G(r,r)dv+sG(r,r)(r)/n _(r)G(r,r)/n ds若已知：第若已知：第2 2类边值类边值 (r)/ns 则：取则：取G(r,r)/ns=0因而有：因而有：(r)=v(r)G(r,r)dv+sG(r,r)(r)/n ds若已知：第若已知：第1 1类边值类边值 (r)s 则：取则：取Gs=0因而有：因而有：(r)=v(r)G(r,r)dv+s _(r)G(r,r)/n ds有关有关格林函数格林函数的注意事项的注意事项：中国地质大学中国地质大学(r)=(1/4)(v(r)G(r,r)dv+sG(r,r)(r)/n _(r)G(r,r)/n ds)2G(r,r r)=(r-r r)/2G(r,r r)=4(r-r r)2G(r,r r)=(r-r r)(r)=v(r)G(r,r)dv+sG(r,r)(r)/n _(r)G(r,r)/n ds(r)=v(r)G(r,r)/dv+sG(r,r)(r)/n _(r)G(r,r)/n ds 由前面的推导中可知，格林函数若不完全按标准定义由前面的推导中可知，格林函数若不完全按标准定义则格林函数法将有不同的表达式，常见的有三种：则格林函数法将有不同的表达式，常见的有三种：由此可见：由此可见：1、使用格林函数法应注意、使用格林函数法应注意G与与(r)的对应关系。的对应关系。2、不管使用哪一种，、不管使用哪一种，(r)的含义不变，三者相等。的含义不变，三者相等。4.4 分离变量法分离变量法中国地质大学中国地质大学直角坐标分离变量法直角坐标分离变量法柱坐标分离变量法柱坐标分离变量法球坐标分离变量法球坐标分离变量法格林函数法格林函数法是一种积分求解有源和无源区内电位解的方法是一种积分求解有源和无源区内电位解的方法分离变量法分离变量法是一种微分求解无源区内电位解的方法是一种微分求解无源区内电位解的方法(无源区，即：无源区，即：)分离变量方法：分离变量方法：将将一一个多元微分方程个多元微分方程分分解为解为几几个一元微分方程，个一元微分方程，然后再进行求解的方法。然后再进行求解的方法。中国地质大学中国地质大学一、直角坐标分离变量法一、直角坐标分离变量法1 1、分离变量：分离变量：将式将式 代入到代入到：f(x)g h+g(y)f h+h(z)f g=0 为为x,y,zx,y,z的函数的函数,则可令则可令:=f(x)g(y)h(z)由定义：由定义：/:f(x)/f(x)+g(y)/g(y)+h(z)/h(z)=0 f(x)、g(y)、h(z)分别独立分别独立式式若成立，则必有各分项为常数若成立，则必有各分项为常数即有：即有：f(x)/f(x)=kx ;g(y)/g(y)=ky ;h(z)/h(z)=kz 2 2 22 2 2且由式且由式可得：可得：kx+ky+kz=0 显然，分离的过程已实现显然，分离的过程已实现中国地质大学中国地质大学一、直角坐标分离变量法一、直角坐标分离变量法2、知识回顾：知识回顾：若方程的一般形式：若方程的一般形式：u(t)+a u(t)+b u(t)=0 (A)则其特征方程则其特征方程:2+a +b =0 二阶二阶一元一元常系数齐次微分常系数齐次微分方程方程及其及其解解特征根特征根：1，2=(-a a24b)/2 (该根有以下三种情况该根有以下三种情况)重根重根(a2=4b)：1，2=-a/2 解：解：u(t)=(A1+A2t)exp(-at/2)(a)实根实根(a2 4b)：1，2 解：解：u(t)=A1 exp(1t)+A2exp(2t)(b)虚根虚根(a2 4b)：1，2=(-a/2)j 解：解：u(t)=(A1cost+A2sint)exp(-at/2)(c)付里叶级数付里叶级数任一周期函数任一周期函数u(t)，在周期在周期T T内内绝对可积，则可展成绝对可积，则可展成u(t)=ao+(ancos nt+bnsin nt)其中：其中：ao=(2/T)u(t)dt an=(2/T)u(t)cos nt dtT o bn=(2/T)u(t)sin nt dtT oT o=2/Tn=1付里叶级数：付里叶级数：如图所示无限长金属导体槽，如图所示无限长金属导体槽，其顶面电位为其顶面电位为u，其余三面接地，其余三面接地，求导体槽内电位分布求导体槽内电位分布。中国地质大学中国地质大学3、例：例：、建方程：建方程：导体槽在导体槽在Z Z向为无限长向为无限长 为为x,y的函数，即：的函数，即：=(x,y)导体槽内为无源区导体槽内为无源区 2=0 2/x2 2/y2=0、写边值：、写边值：由题意可得由题意可得 分离变量、分离变量、解方程：、解方程：利用二阶一元齐次利用二阶一元齐次方程方程及其及其解、解、应用应用付里叶级数付里叶级数(0,y)=0(a,y)=0(x,0)=0 (x,b)=U解解中国地质大学中国地质大学 分离变量：分离变量：由前面已知：由前面已知：2/x2 2/y2=0 将式将式 代入到代入到：f(x)g h+g(y)f h=0 为为x,yx,y的函数的函数,则可令则可令:=f(x)g(y)/:f(x)/f(x)+g(y)/g(y)=0 显然，若能知道显然，若能知道kx 和和 ky，那么式，那么式的解即可得的解即可得然而，然而，kx 和和 ky是未知的，需要通过边值条件来确定的是未知的，需要通过边值条件来确定的所以需要进入下一环节所以需要进入下一环节f(x)、g(y)分别独立分别独立式式若成立，则必有各分项为常数若成立，则必有各分项为常数即有：即有：f(x)/f(x)=kx f(x)kx f(x)=0 g(y)/g(y)=ky g(y)ky g(y)=0 22 2 且由式且由式可得：可得：kx+ky=0 222一、直角坐标分离变量法一、直角坐标分离变量法中国地质大学中国地质大学一、直角坐标分离变量法一、直角坐标分离变量法将式将式与式与式(A)相比相比，显然在此显然在此 a=0,b=-k2 (k=kx或或 ky)因此因此的特征根为：的特征根为：1，2=k 其可能的解为：其可能的解为：利用二阶一元齐次利用二阶一元齐次方程方程及其及其解解重根重根：1，2=0 解：解：u(t)=A1+A2t (a)实根实根：1=k，2=-k 解：解：u(t)=A1 exp(kt)+A2exp(-kt)(sh0=0 ch0=1)=B1 sh(kt)+B2ch(kt)(b)虚根虚根：1，2=jk 解：解：u(t)=A1coskt+A2sinkt (c)究竟哪一个是解，取决于边值。判定的方法有多种究竟哪一个是解，取决于边值。判定的方法有多种由式由式 ：kx=ky=实数实数 g(y)=B1 sh(kyy)+B2ch(kyy)由由:(x,0)=0 则：则：f(x)g(0)=f(x)B2=0 f(x)0 B2=0 a、分析法：分析法：式式(a)、(b)是一单调函数，而当是一单调函数，而当 x=0 和和 a 时，时，=0显然显然(a)、(b)不适合不适合 f(x)，因此因此适合适合 f(x)的解为式的解为式(c)即：即：1，2=jkx f(x)=A1cos kx x+A2sin kx x由：由：(0,y)=0 则：则：f(0)g(y)=A1 g(y)=0 g(y)0 A1=0 故：故：(x,y)=A2sin kx x B1 sh(kyy)=Csin kx x sh(kyy)利用二阶一元齐次方程及其解利用二阶一元齐次方程及其解假设式假设式(b)u(t)=B1 sh(kt)+B2ch(kt)是是f(x)的解，则：的解，则：由由(0,y)=0 f(0)g(y)=B2 g(y)=0 g(y)0 B2=0 由由(a,y)=0 f(a)g(y)=B1sh(ka)g(y)=0 sh(ka)g(y)0 B1=0 b、代入法：代入法：假设式假设式(a)u(t)=A1+A2t是是f(x)的解，则：的解，则：由由(0,y)=0 f(0)g(y)=A1 g(y)=0 g(y)0 A1=0 由由(a,y)=0 f(a)g(y)=A2 a g(y)=0 ag(y)0 A2=0 A1=A2=0 式式(a)不不是是f(x)的解的解假设式假设式(c)u(t)=A1cos kx t+A2sin kx t是是f(x)的解，则：的解，则：由由(0,y)=0 f(0)g(y)=A1 g(y)=0 g(y)0 A1=0 由由(a,y)=0 f(a)g(y)=A2 sin kxa g(y)=0 当当kxa=n 时时：sin kxa=0 A2 0 (n=0,1,2,3,)B1=B2=0 式式(b)不不是是f(x)的解的解 A2 0 式式(c)是是f(x)的解的解 f(x)=A2sin kx x由式由式 ：kx=ky=实数实数 g(y)=B1 sh(kyy)+B2ch(kyy)由由:(x,0)=0 f(x)g(0)=f(x)B2=0 f(x)0 B2=0故：故：(x,y)=A2sin kx x B1 sh(kyy)=Csin kx x sh(kyy)应用应用付里叶级数付里叶级数由前可知：由前可知：kx=ky=n/a 式式,则则式式中的(x,y)n(x,y)即：即：n(x,y)=Cn sin(n/a)x sh(n/a)y (n=0,1,2,3,)故：故：(x,y)=Cn sin(n/a)x sh(n/a)y u(t)=ao+(ancos nt+bnsin nt)bn=(2/T)u(t)sin nt dtT o=2/Tn=1显然上式是一正弦付里叶级数，是一奇函数，显然上式是一正弦付里叶级数，是一奇函数，因此：因此：ao=an=0;=/a=2/T T=2a n=o由：由：(x,b)=U(x,b)=Cn sin(n/a)x sh(n/a)b=U n=obn=Cn sh(n b/a)=(4/2a)U sin(n/a)xdx=2U(1-cos n)/na o Cn=2U(1-cos n)/n sh(n b/a)=4U/n sh(n b/a)故：故：(x,y)=4U/n sh(n b/a)sin(n/a)x sh(n/a)y n=1,3(n=1,3,5)解毕解毕、建方程：建方程：导体槽在导体槽在Z Z向为无限长向为无限长 为为x,y的函数，即：的函数，即：=(x,y)导体槽内为无源区导体槽内为无源区 2=0 2/x2 2/y2=0 如图所示无限长金属导体槽，如图所示无限长金属导体槽，其顶面电位为其顶面电位为u，其余三面接地，其余三面接地，求导体槽内电位分布求导体槽内电位分布。中国地质大学中国地质大学例例2：、写边值：、写边值：由题意可得由题意可得 分离变量、分离变量、解方程：、解方程：利用二阶一元齐次利用二阶一元齐次方程方程及其及其解、解、应用应用付里叶级数付里叶级数(0,y)=0(a,y)=0(x,0)=0 (x,b)=U解解中国地质大学中国地质大学二、柱坐标分离变量法二、柱坐标分离变量法1 1、分离变量：分离变量：由定义：由定义：代到代到：f()gh+f()gh/+g()fh/2+h(z)f g=0 为为,z的函数的函数,则可令则可令:=f()g()h(z)/:f()/f()+f()/f()+g()/2 g()+h(z)/h(z)=0 f(),g(),h(z)分别独立分别独立式式若成立，则若成立，则h(z)/h(z)必为常数必为常数 即有：即有：h(z)/h(z)=k2z h(z)k2z h(z)=0 2 2 2 2 22 z2 2=+2:2 f()/f()+f()/f()+g()/g()+2k2z=0 与上同理，式与上同理，式若成立，则若成立，则g()/g()项必为常数项必为常数即有：即有：g()/g()=-m2 g()+m2 g()=0 f()：2 f()+f()+(2k2z-m2)f()=0 显然，分离的过程已实现显然，分离的过程已实现中国地质大学中国地质大学二、柱坐标分离变量法二、柱坐标分离变量法2、对式对式、的分析：的分析：证明：证明：g()+m2 g()=0 式式、一元二阶常系数齐次方程，而式一元二阶常系数齐次方程，而式 是是贝塞尔方程贝塞尔方程 的取值为的取值为(0,2)，且由唯一性定理可知，当且由唯一性定理可知，当 一定：一定：g()=g(+2)称自然周期条件称自然周期条件式式的可能解为式的可能解为式(a),(c)。z z的取值为的取值为(-,)式式的可能解为式的可能解为式(a),(b),(c)。若若 m=0，则解为则解为：g()=A1+A2 再再由由g()=g(+2)则有：则有：A1+A2 =A1+A2 +A22，20 A2=0 若若 m2 0，则解为则解为：g()=B1 sh(m)+B2ch(m)再再由由g()=g(+2),且令：且令：=0 则有：则有：g(0)=B2 ；g(2)=B1 sh(2m)+B2ch(2m)显然：显然：g(0)g(2)，即式即式(b)不满足不满足自然周期条件自然周期条件这说明这说明m2 0时，时，式式(b)不是不是式的解。式的解。这说明这说明m=0时，时，g()=A1是是式的解。式的解。中国地质大学中国地质大学二、柱坐标分离变量法二、柱坐标分离变量法 若若 m2 0，则解为则解为：g()=A1 cos(m)+A2sin(m)、若讨论空间为满空间，即：、若讨论空间为满空间，即：(0 2)则：则：g(+2)=A1 cos(m)cos 2m A1sin(m)sin 2m +A2 sin(m)cos 2m+A2 cos(m)sin 2m,显然：显然：若要满足自然周期条件，则必有若要满足自然周期条件，则必有m=1,2,3整数整数这说明这说明m2 0时，式时，式(c)是是式的解。式的解。、若讨论空间为角空间，即：、若讨论空间为角空间，即：(0 a)为讨论方便，且又不失一般性，可设边值为齐次解，为讨论方便，且又不失一般性，可设边值为齐次解，即：即：g(0)=g(a)=0则：则：g(0)=A1=0 解：解：g()=A2sin(m)g(a)=A2sin(ma)=0 ma=n 显然，此时显然，此时mm的取值为的取值为分数分数角空间角空间不不必满足自然周期条件必满足自然周期条件a00中国地质大学中国地质大学二、柱坐标分离变量法二、柱坐标分离变量法3、贝塞尔方程及其解：贝塞尔方程及其解：贝塞尔方程：贝塞尔方程：2 f()+f()+(2k2z-m2)f()=0 若若k2z0 则则解解：f()=A1 Jm(kz,)+A2Nm(kz,)Jm(kz,)第一类第一类贝塞尔函数贝塞尔函数Nm(kz,)第二类第二类贝塞尔函数贝塞尔函数 若若k2z0 则则解解：f()=A1 Km(kz,)+A2Im(kz,)Km(kz,)，Im(kz,)修正修正贝塞尔函数贝塞尔函数 贝塞尔函数的求解采用的是查表或曲线的方法贝塞尔函数的求解采用的是查表或曲线的方法中国地质大学中国地质大学二、柱坐标分离变量法二、柱坐标分离变量法4、欧拉方程及其解：欧拉方程及其解：若若 kz=0 则：则：2 f()+f()-m2 f()=0 欧拉方程欧拉方程 其解其解,m 0:f()=Am m +Bm-m m=0:f()=Ao +Bo ln kz=0 实质上是将三维空间实质上是将三维空间 二维空间二维空间(即极坐标即极坐标)综合以上所有的分析和讨论，可得综合以上所有的分析和讨论，可得极坐标下的通解：极坐标下的通解：(,)=Ao+Bo ln +(Am m +Bm-m)(A1m cos(m)+A2msin(m)m=o、建方程：建方程：导体槽在导体槽在Z Z向为无限长向为无限长 为为x,y的函数，即：的函数，即：=(x,y)导体槽内为无源区导体槽内为无源区 2=0 2/x2 2/y2=0 如图所示无限长金属导体槽，如图所示无限长金属导体槽，其顶面电位为其顶面电位为u，其余三面接地，其余三面接地，求导体槽内电位分布求导体槽内电位分布。中国地质大学中国地质大学5、例：例：、写边值：、写边值：由题意可得由题意可得 分离变量、分离变量、解方程：、解方程：利用二阶一元齐次利用二阶一元齐次方程方程及其及其解、解、应用应用付里叶级数付里叶级数(0,y)=0(a,y)=0(x,0)=0 (x,b)=U解解用分离变量法求解过程：用分离变量法求解过程：很明显，很明显，为为x,yx,y的函数。则可令的函数。则可令代入方程得代入方程得中国地质大学中国地质大学仅为仅为x x坐标函数坐标函数仅为仅为y y坐标函数坐标函数要使对任意要使对任意x,yx,y两式相等，则须两式两式相等，则须两式均为常数均为常数。令。令分离常数分离常数中国地质大学中国地质大学 通过引入分离常数通过引入分离常数k k，将二维拉普拉斯方程分解为，将二维拉普拉斯方程分解为两个齐次常微分方程。分别解两个常微方程就可以得两个齐次常微分方程。分别解两个常微方程就可以得出原问题的解。出原问题的解。解常微分方程（解常微分方程（k k取值不同解形式不同）：取值不同解形式不同）：当当k=0k=0时：时：当当k k0 0时：时：中国地质大学中国地质大学由于三角函数具有由于三角函数具有周期性周期性，因此解中的分离变量，因此解中的分离变量k k可以可以取一系列特定的值取一系列特定的值k kn n(n=1,2,3(n=1,2,3），即：），即：由于拉普拉斯方程是线性方程，因此方程的特解由于拉普拉斯方程是线性方程，因此方程的特解的线性组合仍然是方程的解。的线性组合仍然是方程的解。将所有的特解线性组合起来，得到电位函数的通解。将所有的特解线性组合起来，得到电位函数的通解。解中所有未知系数和分离变量解中所有未知系数和分离变量k kn n由由边界条件边界条件确定。确定。中国地质大学中国地质大学由条件（由条件（1 1）由条件（由条件（2 2）由条件（由条件（3 3）中国地质大学中国地质大学由条件（由条件（4 4）将将u u在（在（0 0，a)a)区间展开为区间展开为 傅立叶级数傅立叶级数中国地质大学中国地质大学所以，接地导体槽内部电位分布为所以，接地导体槽内部电位分布为讨论：讨论：前面的结果是在以下假设条件下得到的前面的结果是在以下假设条件下得到的若假设为：若假设为：一、平面接地导体边界一、平面接地导体边界1 1、点电荷对无限大接地平面导体边界的镜像、点电荷对无限大接地平面导体边界的镜像原问题：原问题：无限大接地导体平面（无限大接地导体平面（z=0z=0）,点电荷点电荷q q：z=hz=h求空间中电位分布。求空间中电位分布。等效问题：等效问题：要求：要求：与原问题边界条件相同与原问题边界条件相同原电荷：原电荷：q:z=hq:z=h镜像电荷镜像电荷(等效电荷等效电荷):-q-z=-h):-q-z=-h取消导体边界面，取消导体边界面，z0z0空间媒质空间媒质充满整个空间。充满整个空间。由等效问题，可以求出在由等效问题，可以求出在z0z0空间内的电位分布为：空间内的电位分布为：讨论：无限大导体分解面上感应电荷总量讨论：无限大导体分解面上感应电荷总量即：镜像电荷电量与感应电荷电量相等。即：镜像电荷电量与感应电荷电量相等。2 2、线电荷对无限大接地平面导体边界的镜像、线电荷对无限大接地平面导体边界的镜像 对于线电荷对于接地导体面的镜像，类似地可对于线电荷对于接地导体面的镜像，类似地可得到等效问题：得到等效问题：在在z0z0空间的电位分布为：空间的电位分布为：3 3、点电荷对相交接地平面导体边界的镜像、点电荷对相交接地平面导体边界的镜像 如图，两半无限大接如图，两半无限大接地导体平面垂直相交。地导体平面垂直相交。要满足在导体平面上要满足在导体平面上电位为零，则必须引入电位为零，则必须引入3 3个镜像电荷。如图所示。个镜像电荷。如图所示。对于非垂直相交的两对于非垂直相交的两导体平面构成的边界，导体平面构成的边界，若夹角为若夹角为 ，则所有，则所有镜像电荷数目为镜像电荷数目为2n-12n-1个个。二、点电荷对球面导体分解界的镜像二、点电荷对球面导体分解界的镜像1 1、点电荷对、点电荷对接地接地球面导体边界的镜像球面导体边界的镜像镜像电荷位于球心与电荷镜像电荷位于球心与电荷q q连线上。连线上。令镜像电荷电量为令镜像电荷电量为 ，与球，与球心距离为心距离为 。要保持边界条。要保持边界条件不变，则：件不变，则：在空间中任意点在空间中任意点 处电位为：处电位为：由边界条件可知：由边界条件可知：可以推得：电荷可以推得：电荷q q在接地导体球面上产生的感应电荷在接地导体球面上产生的感应电荷即：感应电荷总量定于镜像电荷电量。即：感应电荷总量定于镜像电荷电量。结论：点电荷结论：点电荷q q对接地导体球面的镜像电荷为对接地导体球面的镜像电荷为球外电位：球外电位：讨论：若点电荷讨论：若点电荷q q位于接地位于接地导体导体球壳内球壳内：类似地，可以求得镜像电荷：类似地，可以求得镜像电荷：球壳内电位：球壳内电位：球壳外电位：球壳外电位：2 2、点电荷对、点电荷对不接地不接地球面导体边界的镜像球面导体边界的镜像不接地：导体球面电位不为不接地：导体球面电位不为0 0，球面上存在正、负感应电荷球面上存在正、负感应电荷（感应电荷总量为（感应电荷总量为0 0）。）。处理方法：电位叠加原理处理方法：电位叠加原理处理过程：处理过程：1 1、先假设导体球面接地，则球面上存在电量为、先假设导体球面接地，则球面上存在电量为 的感的感应电荷，镜像电荷可采用前面的方法确定。应电荷，镜像电荷可采用前面的方法确定。2 2、断开接地。将电量为、断开接地。将电量为 的电荷加到导体球面上，这的电荷加到导体球面上，这些电荷必然均匀分布在球面上，以使导体球为等势体。些电荷必然均匀分布在球面上，以使导体球为等势体。3 3、均匀分布在导体球面上的电荷、均匀分布在导体球面上的电荷 可以用位于球心可以用位于球心的等量点电荷等效。的等量点电荷等效。结论：点电荷结论：点电荷q q对对非接地导体非接地导体球面球面的镜像电荷有的镜像电荷有两个两个：镜像电荷镜像电荷1 1：电量：电量：位置：位置：镜像电荷镜像电荷2 2：电量：电量：位置：位置：位于球心。位于球心。球外空间某点电位为：球外空间某点电位为：三、线电荷对导体圆柱分解界的镜像三、线电荷对导体圆柱分解界的镜像如图：线电荷位于导体圆柱如图：线电荷位于导体圆柱外，距离轴心外，距离轴心d d。设镜像线电荷为设镜像线电荷为 ，与轴，与轴心距离为心距离为 。由边界条件：由边界条件：结论：线电荷关于接地导体圆柱面的镜像为结论：线电荷关于接地导体圆柱面的镜像为四、点电荷对电介质分解面的镜像四、点电荷对电介质分解面的镜像问题：问题：点电荷位于两种电介质分界点电荷位于两种电介质分界面上方面上方h h，求空间电位分布。，求空间电位分布。分析：分析：在介质分界面上将存在极化电荷，空间电位由在介质分界面上将存在极化电荷，空间电位由极极化电荷化电荷和和电荷电荷q q共同产生。共同产生。解决问题方法：镜像法，即用解决问题方法：镜像法，即用镜像电荷等效极化电荷作用。镜像电荷等效极化电荷作用。解决问题过程：解决问题过程：设媒质设媒质1 1中电位函数为中电位函数为 ，媒质媒质2 2中电位函数为中电位函数为 。1 1、建立、建立 求解方程。镜像求解方程。镜像电荷电荷 位于位于z0z0z0区域中，整区域中，整个空间充满媒质个空间充满媒质2 2。位置与位置与q q重合。重合。3 3、在、在z=0z=0面上应用电位边界条件面上应用电位边界条件上式即在点电荷在介质分界面上镜像电荷电量。上式即在点电荷在介质分界面上镜像电荷电量。说明：若为真空与介质分界面，则将对应介质介电常说明：若为真空与介质分界面，则将对应介质介电常数代换为数代换为 即可。即可。五、例题五、例题 例题一例题一 例题二例题二例题一例题一 真空中一点电荷真空中一点电荷Q Q位于导体球附近。导体球半径位于导体球附近。导体球半径为为a a，点电荷距离球心距离为，点电荷距离球心距离为d d（dada）。求：）。求：（1 1）导体球接地时空间电位分布及电荷）导体球接地时空间电位分布及电荷Q Q受电场力；受电场力；（2 2）导体球未接地时空间电位分布及电荷）导体球未接地时空间电位分布及电荷Q Q受电场力；受电场力；解解:(1):(1)当导体球接地时，由镜当导体球接地时，由镜像法，原问题可等效为空间只像法，原问题可等效为空间只存在存在Q Q和镜像电荷和镜像电荷qq，不存在，不存在边界的问题。边界的问题。易知：易知：则球外空间任意点则球外空间任意点 处电位为：处电位为：电荷电荷Q Q受静电力为：受静电力为：导体球接地，因此球内空间电位为导体球接地，因此球内空间电位为0 0。(2)(2)当导体球不接地时，由当导体球不接地时，由镜像法，原问题可等效为镜像法，原问题可等效为空间只存在空间只存在Q Q和镜像电荷和镜像电荷qq和和qq，不存在边界，不存在边界的问题。的问题。易知：易知：位置位于球心。位置位于球心。则球外空间任意点则球外空间任意点 处电位为：处电位为：例题二例题二 两无限长平行导体圆柱，半径均为两无限长平行导体圆柱，半径均为a a，轴线距离，轴线距离为为d d，求：两导体间的电容。，求：两导体间的电容。解：设两圆柱体分别带电解：设两圆柱体分别带电 和和 。分析：带电导体圆柱可用位分析：带电导体圆柱可用位于镜像位置的线电荷等效。于镜像位置的线电荷等效。由分析可知，原问题可等效为位于镜像位置的两线由分析可知，原问题可等效为位于镜像位置的两线电荷间电容的问题。求解关键在于求解等效电荷位置。电荷间电容的问题。求解关键在于求解等效电荷位置。如图：由镜像电荷位置关系，有如图：由镜像电荷位置关系，有等效问题：两无限长线电荷构成等效问题：两无限长线电荷构成的系统。的系统。易知，在导体球面上电位分易知，在导体球面上电位分别为别为第四章作业第四章作业分离变量法分离变量法4.44.4平面导体的镜像平面导体的镜像4.214.214.224.22球面镜像习题球面镜像习题不接地空心导体球内外径分别为不接地空心导体球内外径分别为a a和和b b，在球内、外分，在球内、外分别放置两点电荷别放置两点电荷q q1 1和和q q2 2，如图所示。，如图所示。求求:q:q1 1和和q q2 2分别受到的电场力。分别受到的电场力。提示：提示：q q1 1只受导体内表面感只受导体内表面感应电荷力的作用；应电荷力的作用；q q2 2受导体内表面感应电荷、外受导体内表面感应电荷、外表面感应电荷的作用；表面感应电荷的作用；