小学五年级奥数举一反三教师版教师教案文档资料

12把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？下面的数量关系必须牢记：下面的数量关系必须牢记：平均数平均数=总数量总数量总份数总份数 总数量总数量=平均数平均数总份数总份数 总份数总份数=总数量总数量平均数平均数3【例例题题1】有有4箱箱水水果果，已已知知苹苹果果、梨梨、橘橘子子平平均均每每箱箱42个个，梨梨、橘橘子子、桃桃平平均均每每箱箱36个个，苹苹果果和和桃桃平平均均每每箱箱37个个。一一箱箱苹果多少个？苹果多少个？【思路导航思路导航】（1）1箱苹果箱苹果1箱梨箱梨1箱橘子箱橘子=423=136（个）；（个）；（2）1箱桃箱桃1箱梨箱梨1箱橘子箱橘子=363=108（个）（个）（3）1箱苹果箱苹果1箱桃箱桃=372=72（个）（个）由（由（1）（）（2）两个等式可知：）两个等式可知：1箱箱苹苹果果比比1箱箱桃桃多多126108=18（个个），再再根根据据等等式式（3）就就可可以以算算出出：1箱箱桃桃有有（7418）2=28（个个），1箱箱苹苹果果有有2818=46（个）。（个）。1箱苹果和箱苹果和1箱桃共有多少个：箱桃共有多少个：372=74（个）（个）1箱苹果比箱苹果比1箱桃多多少个：箱桃多多少个：42336=18（个）（个）1箱苹果有多少个：箱苹果有多少个：2818=46（个）（个）4【练习【练习1】1，一一次次考考试试，甲甲、乙乙、丙丙三三人人平平均均分分91分分，乙乙、丙丙、丁丁三三人人平平均均分分89分分，甲、丁二人平均分甲、丁二人平均分95分。问：甲、丁各得多少分？分。问：甲、丁各得多少分？2，甲甲、乙乙、丙丙、丁丁四四人人称称体体重重，乙乙、丙丙、丁丁三三人人共共重重120千千克克，甲甲、丙丙、丁丁三三人人共共重重126千千克克，丙丙、丁丁二二人人的的平平均均体体重重是是40千千克克。求求四四人人的的平平均均体体重是多少千克？重是多少千克？3，甲甲、乙乙、丙丙三三个个小小组组的的同同学学去去植植树树，甲甲、乙乙两两组组平平均均每每组组植植树树18棵棵，甲甲、丙丙两两组组平平均均每每组组植植树树17棵棵，乙乙、丙丙两两组组平平均均每每组组植植树树19棵棵。三三个个小小组各植树多少棵？组各植树多少棵？5【例题【例题2】一一次次数数学学测测验验，全全班班平平均均分分是是91.2分分，已已知知女女生生有有21人人，平平均均每每人人92分分；男男生生平平均均每每人人90.5分分。求求这这个个班班男男生生有有多多少少人？人？【思路导航】【思路导航】女女生生每每人人比比全全班班平平均均分分高高9291.2=0.8（分分），而而男男生生每每人人比比全全班班平平均均分分低低91.290.5=0.7（分分）。全全体体女女生生高高出出全全班班平平均均分分0.821=16.8（分分），应应补补给给每每个个男男生生0.7分分，16.8里里包包含含有有24个个0.7，即即全全班班有有24个个男生男生6【练习练习2】1，两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳152下。甲组有6人，平均每人跳140下，乙组平均每人跳160下。乙组有多少人？2，有两块棉田，平均每亩产量是92.5千克，已知一块地是5亩，平均每亩产量是101.5千克；另一块田平均每亩产量是85千克。这块田是多少亩？3，把甲级和乙级糖混在一起，平均每千克卖7元，乙知甲级糖有4千克，平均每千克8元；乙级糖有2千克，平均每千克多少元？7【例题【例题3】某某3个个数数的的平平均均数数是是2，如如果果把把其其中中一一个个数数改改为为4，平平均均数数就变成了就变成了3。被改的数原来是多少？。被改的数原来是多少？【思路导航】【思路导航】原原来来三三个个数数的的和和是是23=6，后后来来三三个个数数的的和和是是33=9，9比比6多多出出了了3，是是因因为为把把那那个个数数改改成成了了4。因因此此，原原来来的的数数应应该该是是43=1。8【练习练习3】1，已已知知九九个个数数的的平平均均数数是是72，去去掉掉一一个个数数之之后后，余余下下的的数数的的平平均均数数是是78。去掉的数是多少？去掉的数是多少？2，有有五五个个数数，平平均均数数是是9。如如果果把把其其中中的的一一个个数数改改为为1，那那么么这这五五个个数数的的平均数为平均数为8。这个改动的数原来是多少？。这个改动的数原来是多少？3，甲甲、乙乙、丙丙、丁丁四四位位同同学学，在在一一次次考考试试中中四四人人的的平平均均分分是是90分分。可可是是，甲甲在在抄抄分分数数时时，把把自自己己的的分分错错抄抄成成了了87分分，因因此此，算算得得四四人人的的平平均均分分是是88分。求甲在这次考试中得了多少分？分。求甲在这次考试中得了多少分？9【例题【例题4】五五一一班班同同学学数数学学考考试试平平均均成成绩绩91.5分分，事事后后复复查查发发现现计计算算成成绩绩时时将将一一位位同同学学的的98分分误误作作89分分计计算算了了。经经重重新新计计算算，全全班班的的平平均均成成绩绩是是91.7分，五一班有多少名同学？分，五一班有多少名同学？【思路导航】【思路导航】98分分比比89分分多多9分分。多多算算9分分就就能能使使全全班班平平均均每每人人的的成成绩绩上上升升91.791.5=0.2（分）。（分）。9里面包含有几个里面包含有几个0.2，五一班就有几名同学，五一班就有几名同学10【练习练习4】1，五五（1）班班有有40人人，期期中中数数学学考考试试，有有2名名同同学学去去参参加加体体育育比比赛赛而而缺缺考考，全全班班平平均均分分为为92分分。缺缺考考的的两两位位同同学学补补考考均均为为100分分，这这次次五五（1）班班同同学期中考试的平均分是多少分？学期中考试的平均分是多少分？2，某某班班的的一一次次测测验验，平平均均成成绩绩是是91.3分分。复复查查时时发发现现把把张张静静的的89分分误误看看作作97分分计计算算，经经重重新新计计算算，该该班班平平均均成成绩绩是是91.1分分。问问全全班班有有多多少少同同学学？3，五五个个数数的的平平均均数数是是18，把把其其中中一一个个数数改改为为6后后，这这五五个个数数的的平平均均数数是是16。这个改动的数原来是多少？。这个改动的数原来是多少？11【例题【例题5】把把五五个个数数从从小小到到大大排排列列，其其平平均均数数是是38。前前三三个个数数的的平平均均数数是是27，后三个数的平均数是，后三个数的平均数是48。中间一个数是多少？。中间一个数是多少？【思路导航】【思路导航】先先求求出出五五个个数数的的和和：385=190，再再求求出出前前三三个个数数的的和和：273=81，后后三三个个数数的的和和：483=144。用用前前三三个个数数的的和和加加上上后后三三个个数数的的和和，这这样样，中中间间的的那那个个数数就就算算了了两两次次，必必然然比比190多多，而而多多出出的的部部分分就就是是所所求求的的中中间间的的一一个数。个数。12【练习练习5】1，甲甲、乙乙、丙丙三三人人的的平平均均年年龄龄为为22岁岁，如如果果甲甲、乙乙的的平平均均年年龄龄是是18岁岁，乙、丙的平均年龄是乙、丙的平均年龄是25岁，那么乙的年龄是多少岁？岁，那么乙的年龄是多少岁？2，十十名名参参赛赛者者的的平平均均分分是是82分分，前前6人人的的平平均均分分是是83分分，后后6人人的的平平均均分分是是80分。那么第分。那么第5人和第人和第6人的平均分是多少分？人的平均分是多少分？3，下下图图中中的的内内有有五五个个数数A、B、C、D、E，内内的的数数表表示示与与它它相相连连的的所所有有中的平均数。求中的平均数。求C是多少？是多少？1314把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？下面的数量关系必须牢记：下面的数量关系必须牢记：平均数平均数=总数量总数量总份数总份数 总数量总数量=平均数平均数总份数总份数 总份数总份数=总数量总数量平均数平均数15【例题【例题1】小小明明前前几几次次数数学学测测验验的的平平均均成成绩绩是是84分分，这这次次要要考考100分分，才能把平均成绩提高到才能把平均成绩提高到86分。问这是他第几次测验？分。问这是他第几次测验？【思路导航】【思路导航】100分分比比86分分多多14分分，这这14分分必必须须填填补补到到前前几几次次的的平平均均分分84分分中中去去，使使其其平平均均分分成成为为86分分。每每次次填填补补8684=2（分分），14里里面面有有7个个2，所所以以，前面已经测验了前面已经测验了7次，这是第次，这是第8次测验。次测验。16【练习【练习1】1，老老师师带带着着几几个个同同学学在在做做花花，老老师师做做了了21朵朵，同同学学平平均均每每人人做做了了5朵朵。如果师生合起来算，正好平均每人做了如果师生合起来算，正好平均每人做了7朵。求有多少个同朵。求有多少个同学在做花？学在做花？2，一一位位同同学学在在期期中中测测验验中中，除除了了数数学学外外，其其它它几几门门功功课课的的平平均均成成绩绩是是94分分，如如果果数数学学算算在在内内，平平均均每每门门95分分。已已知知他他数数学学得得了了100分分，问问这这位位同同学一共考了多少门功课？学一共考了多少门功课？3，两两组组同同学学进进行行跳跳绳绳比比赛赛，平平均均每每人人跳跳152次次。甲甲组组有有6人人，平平均均每每人人跳跳140次，如果乙组平均每人跳次，如果乙组平均每人跳160次，那么，乙组有多少人？次，那么，乙组有多少人？17【例题【例题2】小小亮亮在在期期末末考考试试中中，政政治治、语语文文、数数学学、英英语语、自自然然五五科科的的平平均均成成绩绩是是89分分，政政治治、数数学学两两科科平平均均91.5分分，政政治治、英英语语两两科科平平均均86分分，语语文文、英英语语两两科科平平均均84分分，英英语语比比语语文文多多10分。小亮的各科成绩是多少分？分。小亮的各科成绩是多少分？【思路导航】【思路导航】因因为为语语文文、英英语语两两科科平平均均分分84分分，即即语语文文英英语语=168分分，而而英英语语比比语语文文多多10分分，即即英英语语语语文文=10分分，所所以以，语语文文是是（16810）2=79分分，英英语语是是7910=89分分。又又因因为为政政治治、英英语语两两科科平平均均86分分，所所以以政政治治是是86289=83分分；而而政政治治、数数学学两两科科平平均均分分91.5分分，数数学学是是91.5283=100分分；最最后后根根据据五五科科的的平平均均成成绩绩是是89分分可可知知，自自然然分分是是895（798983100）=94分。分。18【练习【练习2】1，甲甲、乙乙、丙丙三三个个数数的的平平均均数数是是82，甲甲、乙乙两两数数的的平平均均数数是是86，乙乙、丙丙两数的平均数是两数的平均数是77。乙数是多少？甲、丙两个数的平均数是多少？。乙数是多少？甲、丙两个数的平均数是多少？2，小小华华的的前前几几次次数数学学测测验验的的平平均均成成绩绩是是80分分，这这一一次次得得了了100分分，正正好好把这几次的平均分提高到把这几次的平均分提高到85分。这一次是他第几次测验？分。这一次是他第几次测验？3，五五个个数数排排一一排排，平平均均数数是是9。如如果果前前四四个个数数的的平平均均数数是是7，后后四四个个数数的的平均数是平均数是10，那么，第一个数和第五个数的平均数是多少？，那么，第一个数和第五个数的平均数是多少？19【例题【例题3】两两地地相相距距360千千米米，一一艘艘汽汽艇艇顺顺水水行行全全程程需需要要10小小时时，已已知知这这条条河河的的水水流流速速度度为为每每小小时时6千千米米。往往返返两两地地的的平平均均速速度度是每小时多少千米？是每小时多少千米？【思路导航】【思路导航】用用往往返返的的路路程程除除以以往往返返所所用用的的时时间间就就等等于于往往返返两两地地的的平平均均速速度度。显显然然，要要求求往往返返的的平平均均速速度度必必须须先先求求出出逆逆水水行行全全程程时时所所用用的的时时间间。因因为为36010=36（千千米米）是是顺顺水水速速度度，它它是是汽汽艇艇的的静静水水速速度度与与水水流流速速度度的的和和，所所以以，此此汽汽艇艇的的静静水水速速度度是是366=30（千千米米）。而而逆逆水水速速度度=静静水水速速度度水水流流速速度度，所所以以汽汽艇艇的的逆逆水水速速度度是是306=24（千千米米）。逆逆水水行行全全程程时时所所用用时时间间是是36024=15（小小时时），往往返返的的平平均均速速度度是是3602（1015）=28.8（千米）。（千米）。20【练习【练习3】1，甲、乙两个码头相距144千米，汽船从乙码头逆水行驶8小时到达甲码头，已知汽船在静水中每小时行驶21千米。求汽船从甲码头顺流行驶几小时到达乙码头？2，一艘客轮从甲港驶向乙港，全程要行165千米。已知客轮的静水速度是每小时30千米，水速每小时3千米。现在正好是顺流而行，行全程需要几小时？3，甲船逆水航行300千米，需要15小时，返回原地需要10小时；乙船逆水航行同样的一段水路需要20小时，返回原地需要多少小时？21【例题【例题4】幼儿园小班的20个小朋友和大班的30个小朋友一起分饼干，小班的小朋友每人分10块，大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均数多2块。求一共分掉多少块饼干？【思路导航】【思路导航】只要知道了大、小班小朋友分得的平均数，再乘（3020）人就能求出饼干的总块数。因为大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均数多2块，30个小朋友一共多230=60（块），这60块平均分给20个小班的小朋友，每人可得6020=3（块）。因此，大、小班小朋友分得平均块数是103=13（块）。一共分掉13（3020）=650（块）。22【练习练习4】1，数数学学兴兴趣趣小小组组里里有有4名名女女生生和和3名名男男生生，在在一一次次数数学学竞竞赛赛中中，女女生生的的平平均均分分是是90分，男生的平均分比全组的平均分高分，男生的平均分比全组的平均分高2分，全组的平均分是多少分？分，全组的平均分是多少分？2，两两组组同同学学跳跳绳绳，第第一一组组有有25人人，平平均均每每人人跳跳80下下；第第二二组组有有20人人，平平均均每每人人比两组同学跳的平均数多比两组同学跳的平均数多5下，两组同学平均每人跳几下？下，两组同学平均每人跳几下？3，一一个个技技术术工工带带5个个普普通通工工人人完完成成了了一一项项任任务务，每每个个普普通通工工人人各各得得120元元，这这位位技术工人的收入比他们技术工人的收入比他们6人的平均收入还多人的平均收入还多20元。问这位技术工得多少元？元。问这位技术工得多少元？23【例题【例题5】王王强强从从A地地到到B地地，先先骑骑自自行行车车行行完完全全程程的的一一半半，每每小小时时行行12千千米米。剩剩下下的的步步行行，每每小小时时走走4千千米米。王王强强行行完完全全程程的的平平均均速速度度是是每每小小时时多多少少千千米米？【思路导航】【思路导航】求求行行完完全全程程的的平平均均速速度度，应应该该用用全全程程除除以以行行全全程程所所用用的的时时间间。由由于于题题中中没没有有告告诉诉我我们们A地地到到B地地间间的的路路程程，我我们们可可以以设设全全程程为为24千千米米（也也可可以以设设其其他他数数），这这样样，就就可可以以算算出出行行全全程程所所用用的的时时间间是是1212124=4（小时），再用（小时），再用244就能得到行全程的平均速度是每小时就能得到行全程的平均速度是每小时6千米。千米。24【练习练习5】1，小小明明去去爬爬山山，上上山山时时每每小小时时行行3千千米米，原原路路返返回回时时每每小小时时行行5千千米米。求求小明往返的平均速度。小明往返的平均速度。2，运运动动员员进进行行长长跑跑训训练练，他他在在前前一一半半路路程程中中每每分分钟钟跑跑150米米，后后一一半半路路程中每分钟跑程中每分钟跑100米。求他在整个长跑中的平均速度。米。求他在整个长跑中的平均速度。3，把把一一份份书书稿稿平平均均分分给给甲甲、乙乙二二人人去去打打，甲甲每每分分钟钟打打30个个字字，乙乙每每分分钟钟打打20个字。打这份书稿平均每分钟打多少个字？个字。打这份书稿平均每分钟打多少个字？2526 同同学学们们都都知知道道，长长方方形形的的周周长长=（长长宽宽）2，正正方方形形的的周周长长=边边长长4。长长方方形形、正正方方形形的的周周长长公公式式只只能能用用来来计计算算标标准准的的长长方方形形和和正正方方形形的的周周长长。如如何何应应用用所所学学知知识识巧巧求求表表面面上上看看起起来来不不是是长长方方形形或或正正方方形形的的图图形形的的周周长长，还还需需同同学学们们灵灵活活应应用用已已学学知知识识，掌掌握握转转化化的的思思考考方方法法，把把复复杂杂的的问问题题转转化化为标准的图形，以便计算它们的周为标准的图形，以便计算它们的周长。长。27【例题【例题1】有有5张张同同样样大大小小的的纸纸如如下下图图（a）重重叠叠着着，每每张张纸纸都都是是边边长长6厘厘米米的的正正方方形形，重重叠叠的的部部分分为为边边长长的的一一半半，求求重重叠叠后后图图形形的周长。的周长。28【思路导航思路导航】根根据据题题意意，我我们们可可以以把把每每个个正正方方形形的的边边长长的的一一半半同同时时向向左左、右右、上上、下下平平移移（如如图图b），转转化化成成一一个个大大正正方方形形，这这个个大大正正方方形形的的周周长长和和原原来来5个个小小正正方方形形重重叠叠后后的的图图形形的的周周长长相相等等。因因此，所求周长是此，所求周长是184=72厘米。厘米。29【练习练习1】1，下图由，下图由8个边长都是个边长都是2厘米的正方形组成，求这个图形的周长。厘米的正方形组成，求这个图形的周长。2，下图由，下图由1个正方形和个正方形和2个长方形组成，求这个图形的周长。个长方形组成，求这个图形的周长。3，有有6块块边边长长是是1厘厘米米的的正正方方形形，如如例例题题中中所所说说的的这这样样重重叠叠着着，求求重重叠叠后后图形的周长。图形的周长。30【例题【例题2】一一块块长长方方形形木木板板，沿沿着着它它的的长长度度不不同同的的两两条条边边各各截截去去4厘厘米米，截截掉掉的的面面积为积为192平方厘米。现在这块木板的周长是多少厘米？平方厘米。现在这块木板的周长是多少厘米？【思路导航】【思路导航】把把截截掉掉的的192平平方方厘厘米米分分成成A、B、C三三块块（如如图图），其其中中AB的的面面积积是是19244=176（平平方方厘厘米米）。把把A和和B移移到到一一起起拼拼成成一一个个宽宽4厘厘米米的的长长方方形形，而而此此长长方方形形的的长长就就是是这这块块木木板板剩剩下下部部分分的的周周长长的的一一半半。1764=44（厘米），现在这块木板的周长是（厘米），现在这块木板的周长是442=88（厘米）。（厘米）。31【练习练习2】1，有有一一个个长长方方形形，如如果果长长减减少少4米米，宽宽减减少少2米米，面面积积就就比比原原来来减减少少44平平方米，且剩下部分正好是一个正方形。求这个正方形的周长。方米，且剩下部分正好是一个正方形。求这个正方形的周长。2，有有两两个个相相同同的的长长方方形形，长长是是8厘厘米米，宽宽是是3厘厘米米，如如果果按按下下图图叠叠放放在在一一起，这个图形的周长是多少？起，这个图形的周长是多少？3，有有一一块块长长方方形形广广场场，沿沿着着它它不不同同的的两两条条边边各各划划出出2米米做做绿绿化化带带，剩剩下下的的部部分分仍仍是是长长方方形形，且且周周长长为为280米米。求求划划去去的的绿绿化化带带的的面面积积是是多多少少平平方方米？米？32【例题【例题3】已已知知下下图图中中，甲甲是是正正方方形形，乙乙是是长长方方形形，整整个个图图形形的的周周长长是是多少？多少？【思路导航】【思路导航】从从图图中中可可以以看看出出，整整个个图图形形的的周周长长由由六六条条线线段段围围成成，其其中中三三条条横横着着，三三条条竖竖着着。三三条条横横着着的的线线段段和和是是（ab）2，三三条条竖竖着着的的线线段段和和是是b2。所以，整个图形的周长是（所以，整个图形的周长是（ab）2b2，即，即2a4b。33【练习练习3】1，有有一一张张长长40厘厘米米，宽宽30厘厘米米的的硬硬纸纸板板，在在四四个个角角上上各各剪剪去去一一个个同同样样大大小小的的正正方方形形后后准准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板的周长。备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板的周长。2，一一个个长长12厘厘米米，宽宽2厘厘米米的的长长方方形形和和两两个个正正方方形形正正好好拼拼成成下下图图（1）所所示示长长方方形形，求求所所拼拼长方形的周长。长方形的周长。3，求下面图形（图，求下面图形（图2）的周长（单位：厘米）。）的周长（单位：厘米）。图一图二34【例题【例题4】下图是边长为下图是边长为4厘米的正方形，求正方形中阴影部分的周长。厘米的正方形，求正方形中阴影部分的周长。【思路导航】【思路导航】我我们们把把阴阴影影部部分分周周长长中中左左边边的的5条条线线段段全全部部平平移移到到左左边边，其其和和正正好好是是4厘厘米米。再再把把下下面面的的线线段段全全部部平平移移到到下下面面，其其和和也也正正好好是是4厘厘米米。因因此此，阴阴影部分的周长与边长是影部分的周长与边长是4厘米的正方形的周长是相等的。厘米的正方形的周长是相等的。35【练习练习4】1，求下面图形的周长（单位：厘米）。，求下面图形的周长（单位：厘米）。2，在在（）里里填填上上“”、“”或或“=”。甲甲的的周周长长（）乙乙的的周长周长3，下图中的每一小段的长度都相等，求图形的周长。，下图中的每一小段的长度都相等，求图形的周长。图一图二图三36【例题【例题5】如如下下图图，阴阴影影部部分分是是正正方方形形，DF=6厘厘米米，AB=9厘厘米米，求求最最大的长方形的周长。大的长方形的周长。【思路导航思路导航】根根据据题题意意可可知知，最最大大长长方方形形的的宽宽就就是是正正方方形形的的边边长长。因因为为BC=EF，CF=DE，所所以以，ABBCCF=ABFEED=96=15（厘厘米米），这这正正好好是是最最大大长长方方形形周周长长的的一一半半。因因此此，最大长方形的周长是（最大长方形的周长是（96）2=30（厘米）。（厘米）。37【练习练习5】1，下下面面三三个个正正方方形形的的面面积积相相等等，剪剪去去阴阴影影部部分分的的面面积积也也相相等等，求求原原来来正正方形的周长发生了什么变化？（单位：厘米）方形的周长发生了什么变化？（单位：厘米）2，下下面面是是一一个个零零件件的的平平面面图图，图图中中每每条条短短线线段段都都是是5厘厘米米，零零件件长长35厘厘米，高米，高30厘米。这个零件的周长是多少厘米？厘米。这个零件的周长是多少厘米？3，有有两两个个相相同同的的长长方方形形，长长7厘厘米米，宽宽3厘厘米米，如如下下图图重重叠叠着着，求求重重叠叠图图形的周长。形的周长。3839 长长方方形形的的面面积积=长长宽宽，正正方方形形的的面面积积=边边长长边边长长。掌掌握握并能运用这两个面积公式，就能计算它们的面积。并能运用这两个面积公式，就能计算它们的面积。但但是是，在在平平时时的的学学习习过过程程中中，我我们们常常常常会会遇遇到到一一些些已已知知条条件件比比较较隐隐蔽蔽、图图形形比比较较复复杂杂、不不能能简简单单地地用用公公式式直直接接求求出出面面积积的的题题目目。这这就就需需要要我我们们切切实实掌掌握握有有关关概概念念，利利用用“割割补补”、“平平移移”、“旋旋转转”等等方方法法，使使复复杂杂的的问问题题转转化化为为普普通通的的求求长长方方形形、正方形面积的问题，从而正确解答。正方形面积的问题，从而正确解答。40【例题【例题1】已已知知大大正正方方形形比比小小正正方方形形边边长长多多2厘厘米米，大大正正方方形形比比小小正正方方形形的的面面积积大大40平平方方厘厘米米。求求大大、小小正正方方形形的的面面积积各各是是多多少少平方厘米？平方厘米？41【思路导航思路导航】从从图图中中可可以以看看出出，大大正正方方形形的的面面积积比比小小正正方方形形的的面面积积大大出出的的40平平方方厘厘米米，可可以以分分成成三三部部分分，其其中中A和和B的的面面积积相相等等。因因此此，用用40平平方方厘厘米米减减去去阴阴影影部部分分的的面面积积，再再除除以以2就就能能得得到到长长方方形形A和和B的的面面积积，再再用用A或或B的的面面积积除除以以2就就是是小小正正方方形形的的边边长长。求求到到了了小小正正方方形形的的边边长长，计计算算大大、小小正正方方形形的的面面积积就就非常简单了。非常简单了。42【练习练习1】1，有有一一块块长长方方形形草草地地，长长20米米，宽宽15米米。在在它它的的四四周周向向外外筑筑一一条条宽宽2米米的小路，求小路的面积。的小路，求小路的面积。2，正正方方形形的的一一组组对对边边增增加加30厘厘米米，另另一一组组对对边边减减少少18厘厘米米，结结果果得得到到一一个与原正方形面积相等的长方形。原正方形的面积是多少平方厘米？个与原正方形面积相等的长方形。原正方形的面积是多少平方厘米？3，把把一一个个长长方方形形的的长长增增加加5分分米米，宽宽增增加加8分分米米后后，得得到到一一个个面面积积比比原原长长方形多方形多181平方分米的正方形。求这个正方形的边长是多少分米？平方分米的正方形。求这个正方形的边长是多少分米？43【例题【例题2】一一个个大大长长方方形形被被两两条条平平行行于于它它的的两两条条边边的的线线段段分分成成四四个个较较小小的的长长方方形形，其其中中三三个个长长方方形形的的面面积积如如下下图图所所求求，求求第第四四个个长长方形的面积。方形的面积。【思路导航思路导航】因因 为为 AECE=6，DEEB=35，把把 两两 个个 式式 子子 相相 乘乘AECEDEEB=356，而而CEEB=14，所所以以AEDE=35614=15。44【练习练习2】1，下下图图一一个个长长方方形形被被分分成成四四个个小小长长方方形形，其其中中三三个个长长方方形形的的面面积积分分别别是是24平方厘米、平方厘米、30平方厘米和平方厘米和32平方厘米，求阴影部分的面积。平方厘米，求阴影部分的面积。2，下下面面一一个个长长方方形形被被分分成成六六个个小小长长方方形形，其其中中四四个个长长方方形形的的面面积积如如图图所所示（单位：平方厘米），求示（单位：平方厘米），求A和和B的面积。的面积。3，下下图图中中阴阴影影部部分分是是边边长长5厘厘米米的的正正方方形形，四四块块完完全全一一样样的的长长方方形形的的宽宽是是8厘米，求整个图形的面积。厘米，求整个图形的面积。题一题二题三45【例题【例题3】把把20分分米米长长的的线线段段分分成成两两段段，并并且且在在每每一一段段上上作作一一正正方方形形，已已知知两两个个正正方方形形的的面面积积相相差差40平平方方分分米米，大大正正方方形形的的面面积积是是多少平方分米？多少平方分米？46【思路导航思路导航】我我们们可可以以把把小小正正方方形形移移至至大大正正方方形形里里面面进进行行分分析析。两两个个正正方方形形的的面面积积差差40平平方方分分米米就就是是图图中中的的A和和B两两部部分分，如如图图。如如果果把把B移移到到原原来来小小正正方方形形的的上上面面，不不难难看看出出，A和和B正正好好组组成成一一个个长长方方形形，此此长长方方形形的的面面积积是是40平平方方分分米米，长长20分分米米，宽宽是是4020=2（分分米米），即即大大、小小两两个个正正方方形形的的边边长长相相差差2分分米米。因因此此，大大正正方方形形的的边边长长就就是是（20+2）2=11（分分米米），面面积积是是1111=121（平方分米）（平方分米）47【练习练习3】1，一一块块正正方方形形，一一边边划划出出1.5米米，另另一一边边划划出出10米米搞搞绿绿化化，剩剩下下的的面面积积比原来减少了比原来减少了1350平方米。这块地原来的面积是多少平方米？平方米。这块地原来的面积是多少平方米？2，一一个个正正方方形形，如如果果它它的的边边长长增增加加5厘厘米米，那那么么，面面积积就就比比原原来来增增加加95平方厘米。原来正方形的面积是多少平方厘米？平方厘米。原来正方形的面积是多少平方厘米？3，有有一一个个正正方方形形草草坪坪，沿沿草草坪坪四四周周向向外外修修建建一一米米宽宽的的小小路路，路路面面面面积积是是80平方米。求草坪的面积。平方米。求草坪的面积。48【例题【例题4】有有一一个个正正方方形形ABCD如如下下图图，请请把把这这个个正正方方形形的的面面积积扩扩大大1倍倍，并画出来。并画出来。49【思路导航思路导航】由由于于不不知知道道正正方方形形的的边边长长和和面面积积，所所以以，也也没没有有办办法法计计算算出出所所画画正正方方形形的的边边长长或或面面积积。我我们们可可以以利利用用两两个个正正方方形形之之间间的的关关系系进进行行分分析析。以以正正方方形形的的四四条条边边为为准准，分分别别作作出出4个个等等腰腰直直角角三三角角形形，如如图图中中虚虚线线部部分分，显显然然，虚虚线线表表示示的的正正方方形形的的面积就是原正方形面积的面积就是原正方形面积的2倍。倍。50【练习练习4】1，四四个个完完全全一一样样的的长长方方形形和和一一个个小小正正方方形形组组成成了了一一个个大大正正方方形形，如如果果大大、小正方形的面积分别是小正方形的面积分别是49平方米和平方米和4平方米，求其中一个长方形的宽。平方米，求其中一个长方形的宽。2，正正图图的的每每条条边边都都垂垂直直于于与与它它相相邻邻的的边边，并并且且28条条边边的的长长都都相相等等。如如果果此图的周长是此图的周长是56厘米，那么，这个图形的面积是多少？厘米，那么，这个图形的面积是多少？3，正图中，正方形，正图中，正方形ABCD的边长的边长4厘米，求长方形厘米，求长方形EFGD的面积。的面积。题一题二题三51【例题【例题5】有有一一个个周周长长是是72厘厘米米的的长长方方形形，它它是是由由三三个个大大小小相相等等的的正正方方形拼成的。一个正方形的面积是多少平方厘米？形拼成的。一个正方形的面积是多少平方厘米？【思路导航】【思路导航】三三个个同同样样大大小小的的正正方方形形拼拼成成的的长长方方形形，它它的的周周长长是是原原正正方方形形边边长长的的8倍倍，正正方方形形的的边边长长为为728=9（厘厘米米），一一个个正正方方形形的面积就是的面积就是99=81（平方厘米）。（平方厘米）。52【练习练习5】1，五五个个同同样样大大小小的的正正方方形形拼拼成成一一个个长长方方形形，这这个个长长方方形形的的周周长长是是36厘厘米米，求每个正方形的面积是多少平方厘米？求每个正方形的面积是多少平方厘米？2，有有一一张张长长方方形形纸纸，长长12厘厘米米，宽宽10厘厘米米。从从这这张张纸纸上上剪剪下下一一个个最最大大的的正方形后，剩下部分的周长是多少厘米？正方形后，剩下部分的周长是多少厘米？3，有有一一个个小小长长方方形形，它它和和一一个个正正方方形形拼拼成成了了一一个个大大长长方方形形ABCD（如如下下图图），已已知知大大长长方方形形的的面面积积是是35平平方方厘厘米米，且且周周长长比比原原来来小小长长方方形形的的周周长多长多10厘米。求原来小长方形的面积。厘米。求原来小长方形的面积。5354 我我们们在在数数数数的的时时候候，遵遵循循不不重重复复、不不遗遗漏漏的的原原则则，不不能能使使数数出出的的结结果果不不准准确确。但但是是在在数数图图形形的的个个数数的的时时候候，往往往往就就不不容容易易了了。分分类类数数图图形形的的方方法法能能够够帮帮助助我我们们找找到到图图形形的的规规律律，从而有秩序、有条理并且正确地数出图形的个数。从而有秩序、有条理并且正确地数出图形的个数。55【例题【例题1】下面图形中有多少个正方形？下面图形中有多少个正方形？【思路导航思路导航】图图中中的的正正方方形形的的个个数数可可以以分分类类数数，如如由由一一个个小小正正方方形形组组成成的的有有63=18个个，22的的正正方方形形有有52=10个个，33的的正正方方形形有有41=4个。因此图中共有个。因此图中共有18104=32个正方形。个正方形。56【练习练习1】1，下图中共有多少个正方形？，下图中共有多少个正方形？2，下图中共有多少个正方形？，下图中共有多少个正方形？3，下图中共有多少个正方形，多少个三角形？，下图中共有多少个正方形，多少个三角形？57【例题【例题2】下图中共有多少个三角形？下图中共有多少个三角形？【思路导航思路导航】为为了了保保证证不不漏漏数数又又不不重重复复，我我们们可可以以分分类类来来数数三三角角形形，然然后后再再把把数数出出的的各各类类三三角角形的个数相加。形的个数相加。（1）图中共有）图中共有6个小三角形；个小三角形；（2）由两个小三角形组合的三角形有）由两个小三角形组合的三角形有3个；个；（3）由三个小三角形组合的三角形有）由三个小三角形组合的三角形有5个；个；（4）由六个小三角形组合的三角形有）由六个小三角形组合的三角形有1个。个。所以共有所以共有6351=15个三角形。个三角形。58【练习练习2】1，下面图中共有多少个三角形？，下面图中共有多少个三角形？2，数一数，图中共有多少个三角形。，数一数，图中共有多少个三角形。3，数一数，图中共有多少个三角形？，数一数，图中共有多少个三角形？59【例题【例题3】数出下图中所有三角形的个数。数出下图中所有三角形的个数。【思路导航思路导航】和和三三角角形形AFG一一样样形形状状的的三三角角形形有有5个个；和和三三角角形形ABF一一样样形形状状的的三三角角形形有有10个个；和和三三角角形形ABG一一样样形形状状的的三三角角形形有有5个个；和和三三角角形形ABE一一样样形形的三角形有的三角形有5个；和三角形个；和三角形AMD一样形状的三角形有一样形状的三角形有5个，共个，共35个三角形。个三角形。60【练习练习3】数出下面图形中分别有多少个三角形。数出下面图形中分别有多少个三角形。61【例题【例题4】如如下下图图，平平面面上上有有12个个点点，可可任任意意取取其其中中四四个个点点围围成成一一个个正正方方形形，这这样样的正方形有多少个？的正方形有多少个？【思思路路导导航航】把把相相邻邻的的两两点点连连接接起起来来可可以以得得到到下下面面图图形形，从从图图中中可可以以看看出：出：（1）最小的正方形有）最小的正方形有6个；个；（2）由）由4个小正方形组合而成的正方形有个小正方形组合而成的正方形有2个；个；（3）中间还可围成）中间还可围成2个正方形。所以共有个正方形。所以共有622=10个。个。62【练习练习4】1，下下图图中中共共有有8个个点点，连连接接任任意意四四点点围围成成一一个个长长方方形形，一一共共能能围围成成多多少少个长方形？个长方形？2，下下图图中中共共有有6个个点点，连连接接其其中中的的三三点点围围成成一一个个三三角角形形，一一共共能能围围成成多多少个三角形？少个三角形？3，下下图图中中共共有有9个个点点，连连接接其其中中的的四四个个点点围围成成一一个个梯梯形形，一一共共能能围围成成多多少个梯形？少个梯形？63【例题【例题5】数一数，下图中共有多少个三角形？数一数，下图中共有多少个三角形？【思路导航】【思路导航】我们可以分类来数：我们可以分类来数：1，单一的小三角形有，单一的小三角形有16个；个；2，两个小三角形组合的有，两个小三角形组合的有10个；个；3，四个小三角形组合的有，四个小三角形组合的有8个；个；4，八个小三角形组合的有，八个小三角形组合的有2个。个。所以，图中一共有所以，图中一共有161082=36个三角形。个三角形。64【练习练习5】1，图中共有（，图中共有（）个三角形。）个三角形。2，图中共有（，图中共有（）个三角形。）个三角形。3，图中共有（，图中共有（）个）个正方形正方形。6566 自自然然数数末末位位的的数数字字称称为为自自然然数数的的尾尾数数；除除法法中中，被被除除数数减减去去商商与与除除数数积积的的差差叫叫做做余余数数。尾尾数数和和余余数数在在运运算算时时是是有有规规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。67【例题【例题1】写出除写出除213后余后余3的全部两位数的全部两位数【思路导航思路导航】因因为为213=2103，把把210分分解解质质因因数数：210=2357，所所以以，符符号号题题目目要要求求的的两两位位数数有有25=10，27=14，35=15，37=21，57=35，235=30，237=42，一一共共有有7个个两两位位数数68【练习练习1】1，写出除，写出除109后余后余4的全部两位数。的全部两位数。2，178除除以以一一个个两两位位数数后后余余数数是是3，适适合合条条件件的的两两位位数数有有哪哪些些3，写出除，写出除1290后余后余3的全部三位数。的全部三位数。69【例题【例题2】（1）125125125125100个个25积的尾数是几？积的尾数是几？（2）（）（2126）（2126）（2126）100个个 （2126）积的尾数是几？积的尾数是几？【思路导航思路导航】（1）因因为为个个位位5乘乘5，积积的的个个位位仍仍然然是是5，所所以以不不管管多多少少个个125相乘，个位还是相乘，个位还是5；（2）每每个个括括号号里里21乘乘26积积的的个个位位是是6，我我们们只只要要分分析析100个个6相相乘乘，积积的的尾尾数数是是几几就就行行了了。因因为为个个位位6乘乘6，积积的的个个位位仍仍然然是是6，所以不管多少个（，所以不管多少个（2126）连乘，积的个位还是）连乘，积的个位还是6。70【练习练习2】1，2121212150个个21积的尾数是几？积的尾数是几？2，1.51.51.51.5200个个1.5积的尾数是几？积的尾数是几？3，（1263）（1263）（1263）（1263）1000个（个（1263）积的尾数是几？积的尾数是几？71【例题【例题3】（1）444450个个4积的个位数是几？积的个位数是几？（2）999951个个9积的个位数是几？积的个位数是几？【思路导航思路导航】（1）我我们们先先列列举举前前几几个个4的的积积，看看看看个个位位数数在在怎怎样样变变化化，1个个4个个位位就就是是4；44的的个个位位是是6；444的的个个位位是是4；4444的的个个位位是是6由由此此可可见见，积积的的尾尾数数以以“4，6”两两个个数数字字在在不不断断重重复复出出现现。502=25没没有有余余数数，说说明明50个个4相乘，积的个位是相乘，积的个位是6。（2）用用上上面面的的方方法法可可以以发发现现，51个个9相相乘乘时时，积积的的个个位位是是以以“9，1”两两个个数字不断重复，数字不断重复，512=251，余数是，余数是1，说明，说明51个个9本乘积的个位是本乘积的个位是9。72【练习练习3】1，242424242001个个24，积的尾数是多少？，积的尾数是多少？2，1239899，积的尾数是多少？，积的尾数是多少？3，94949494102个个94494949101个个49，差的个位是多少？差的个位是多少？73【例题【例题4】把把1/7化成小数，那么小数点后面第化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？位上的数字是多少？【思路导航思路导航】因因为为1/70.142857142857，化化成成的的小小数数是是一一个个无无限限循循环环小小数数，循循环环节节“142857”共共有有6个个数数字字。由由于于1006=164，所所以以，小小数数点点后后面面的的第第100位位是是第第17个个循循环环节节的的第第4个个数数字字，是是8。74【练习练习4】1，把，把1/11化成小数，求小数点后面第化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。位上的数字。2，5/7写成循环小数后，小数点后第写成循环小数后，小数点后第50个数字是几？个数字是几？3，有有一一串串数数：5、8、13、21、34、55、89，其其中中，从从第第三三个个数数起起，每每个个数数恰恰好好是是前前两两个个数数的的和和。在在这这串串数数中中，第第1000个数被个数被3除后所得的余数是多少？除后所得的余数是多少？75【例例题题5】555552001个个513，当当商商是是整整数数时时，余余数数是是几几？【思路导航思路导航】如如果果用用除除法法硬硬除除显显然然太太麻麻烦烦，我我们们可可以以先先用用竖竖式式来来除除一一除除，看一看余数在按怎样的规律变化。看一看余数在按怎样的规律变化。从从竖竖式式中中可可以以看看出出，余余数数是是按按3、9、4、6、0、5这这六六个个数数字字不不断断重重复复出出现现。20016=3333，所所以以，当当商商是是整整数数时时，余数是余数是476【练习练习5】1，44446100个个4，当商是整数时，余数是几？，当商是整数时，余数是几？2，当商是整数时，余数各是几？，当商是整数时，余数各是几？（1）66664100个个6（2）444474200个个4（3）88887200个个8（4）1111750个个17778 一一般般复复合合应应用用题题往往往往是是有有两两组组或或两两组组以以上上的的数数量量关关系系交交织织在在一一起起，有有的的已已知知条条件件是是间间接接的的，数数量量关关系系比比较较复复杂杂，叙叙述述的的方方式式和和顺顺序序也也比比较较多多样样。因因此此，一一般般应应用用题题没没有有明明显显的的结结构构特特征征和和解解题题规规律律可可循循。解解答答一一般般应应用用题题时时，可可以以借借助助线线段段图图、示示意意图图、直直观观演演示示手手段段帮帮助助分分析析。在在分分析析应应用用题题的的数数量量关关系系时时，我我们们可可以以从从条条件件出出发发，逐逐步步推推出出所所求求问问题题（综综合合法法）；也也可可以以从从问问题题出出发发，找找出出必必须须的的两两个个条条件件（分分析析法法）。在在实实际际解解时时，可可以以根根据据题题中中的的已已知知条条件件，灵灵活活运运用用这这两两种种方方法法。79【例例题题1】五五年年级级有有六六个个班班，每每班班人人数数相相等等。从从每每班班选选16人人参参加加少少先先队队活活动动，剩剩下下的的同同学学相相当当于于原原来来4个个班班的的人人数数。原原来来每班多少人？每班多少人？【思路导航思路导航】从从每每班班选选16人人参参加加少少先先队队活活动动，6个个班班共共选选166=96（人人）。剩剩下下的的同同学学相相当当于于原原来来4个个班班的的人人数数，那那么么，96人人就就相相当当于于原来（原来（64）个班人人数，所以，原来每班）个班人人数，所以，原来每班962=48（人）。（人）。80【练习练习1】1，五五个个同同学学有有同同样样多多的的存存款款，若若每每人人拿拿出出16元元捐捐给给“希希望望工工程程”后后，五五位位同同学学剩剩下下的的钱钱正正好好等等于于原原来来3人人的的存存款款数数。原原来来每人存款多少？每人存款多少？2，把把一一堆堆货货物物平平均均分分给给6个个小小组组运运，当当每每个个小小组组都都运运了了68箱箱时，正好运走了这堆货物的一半。这堆货物一共有多少箱？时，正好运走了这堆货物的一半。这堆货物一共有多少箱？3，老老师师把把一一批批树树苗苗平平均均分分给给四四个个小小队队栽栽，当当每每队队栽栽了了6棵棵时时，发发现现剩剩下下的的树树苗苗正正好好是是原原来来每每队队分分得得的的棵棵数数。这这批批树树苗苗一一共共有多少棵？有多少棵？81【例题【例题2】某某车车间间按按计计划划每每天天应应加加工工50个个零零件件，实实际际每每天天加加工工56个个零零件件。这这样样，不不仅仅提提前前3天天完完成成原原计计划划加加工工零零件件的的任任务务，而而且且还还多多加加工了工了120个零件。这个车间实际加工了多少个零件？个零件。这个车间实际加工了多少个零件？【思路导航思路导航】如如果果按按原原计计划划的的天天数数加加工工，加加工工的的零零件件就就会会比比原原计计划划多多563120=288（个个）。为为什什么么会会多多加加工工288个个呢呢？是是因因为为每每天天多多加加工工了了5650=6（个个）。因因此此，原原计计划划加加工工的的天天数数是是2886=48（天天），实实际际加加工工了了5048120=1520（个个）零零件。件。82【练习练习2】1，汽汽车车从从甲甲地地开开往往乙乙地地，原原计计划划每每小小时时行行40千千米米，实实际际每每小小时时多多行行了了10千千米米，这这样样比比原原计计划划提提前前2小小时时到到达达了了乙乙地地。甲、乙两地相距多少千米？甲、乙两地相距多少千米？2，小小明明骑骑车车上上学学，原原计计划划每每分分钟钟行行200米米，正正好好准准时时到到达达学学校校，有有一一天天因因下下雨雨，他他每每分分钟钟只只能能行行120米米，结结果果迟迟到到了了5分分钟。他家离学校有多远？钟。他家离学校有多远？3，加加工工一一批批零零件件，原原计计划划每每天天加加工工80个个，正正好好按按期期完完成成任任务务。由由于于改改进进了了生生产产技技术术，实实际际每每天天加加工工100个个，这这样样，不不仅仅提提前前4天天完完成成加加工工任任务务，而而且且还还多多加加工工了了100个个。他他们们实实际际加工零件多少个？加工零件多少个？83【例例题题3】甲甲、乙乙二二人人加加工工零零件件。甲甲比比乙乙每每天天多多加加工工6个个零零件件，乙乙中中途途停停了了15天天没没有有加加工工。40天天后后，乙乙所所加加工工的的零零件件个个数数正正好是甲的一半。这时两人各加工了多少个零件？好是甲的一半。这时两人各加工了多少个零件？【思路导航思路导航】甲甲工工作作了了40天天，而而乙乙停停止止了了15天天没没有有加加工工，乙乙只只加加工工了了25天天，所所以以他他加加工工的的零零件件正正好好是是甲甲的的一一半半，也也就就是是甲甲20天天加加工工的的零零件件和和乙乙25天天加加工工的的零零件件同同样样多多。由由于于甲甲每每天天比比乙乙多多加加工工6个个，20天天一一共共多多加加工工620=120（个个）。这这120个个零零件件相相当当于于乙乙25-20=5（天天）加加 工工 的的 个个 数数，乙乙 每每 天天 加加 工工 120（25-20）=24（个个）。乙乙一一共共加加工工了了2425=600（个个），甲甲一一共共加工了加工了6002=1200（个）（个）84【练习练习3】1，甲甲、乙乙二二人人加加工工一一批批帽帽子子，甲甲每每天天比比乙乙多多加加工工10个个。途途中中乙乙因因事事休休息息了了5天天，20天天后后，甲甲加加工工的的帽帽子子正正好好是是乙乙加加工工的的2倍，这时两人各加工帽子多少个？倍，这时两人各加工帽子多少个？2，甲甲、乙乙两两车车同同时时从从A、B两两地地相相对对开开出出，甲甲车车每每小小时时比比乙乙车车多多行行20千千米米。途途中中乙乙因因修修车车用用了了2小小时时，6小小时时后后甲甲车车到到达达两两地地中中点点，而而乙乙车车才才行行了了甲甲车车所所行行路路程程的的一一半半。A、B两两地地相相距多少千米？距多少千米？3，甲甲、乙乙两两人人承承包包一一项项工工程程，共共得得工工资资