直接证明与间接证明课件

间接证明间接证明:反证法反证法思考题思考题:甲、乙、丙三箱共有小球甲、乙、丙三箱共有小球384384个个,先先由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个所放个数分别为乙、丙箱内原有个数数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱继而由乙箱取出若干个球放进甲、丙两箱内取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙最后由丙箱取出若干个球放进甲、乙两箱内箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同方法同前前.结果三箱内的小球数恰好相等结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、乙、求甲、乙、丙三箱原有小球数丙三箱原有小球数甲甲:208:208个个,乙乙:112:112个个,丙丙:64:64个个复习复习 古时候有个人叫王戎，古时候有个人叫王戎，7岁那年岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，看见的某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动。他说：有王戎站着没动。他说：“李子是李子是苦的苦的,我不吃。我不吃。”小伙伴摘来一尝，小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃。李子果然苦的没法吃。路边苦李路边苦李 小故事小小伙伴伙伴问王戎问王戎:“:“这就怪了这就怪了!你又你又没有吃没有吃,怎么知道李子是苦的啊怎么知道李子是苦的啊?”?”王戎说王戎说:“:“如果李子是甜的如果李子是甜的,树长在路边树长在路边,李子早就没了！李子早就没了！李子现在还那么多李子现在还那么多,所以啊所以啊,肯定李子是苦的，不好吃肯定李子是苦的，不好吃!”!”证明：在一个三角形中至少证明：在一个三角形中至少 有一个角不小于有一个角不小于60.引例引例已知：已知：A，B，C是是ABC的内角的内角.求证：求证：A，B，C中至少有一个中至少有一个 不小于不小于60已知：已知：A，B，C是是ABC的内角的内角.求证：求证：A，B，C中至少有一个中至少有一个 不小于不小于60证明：证明：证明：证明：假设假设假设假设 的三个内角的三个内角的三个内角的三个内角A A，B B，C C都小于都小于都小于都小于6060，所以所以所以所以 A A 6060，B B 60 60，C C 6060 A+A+B+B+C180C180 这与这与这与这与 相矛盾相矛盾相矛盾相矛盾.三角形内角和等于三角形内角和等于180180 不能成立，所求证的结论成立不能成立，所求证的结论成立.假设假设反证法的一般步骤：反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立假设命题的结论不成立,即假即假 设结论的反面成立；设结论的反面成立；(2)从这个假设出发，经过推理从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；论证，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。从而肯定命题的结论正确。反设反设归谬归谬结论结论 适宜使用反证法的情况适宜使用反证法的情况 （1）结论以否定形式出现）结论以否定形式出现 （2）结论以）结论以“至多至多-，”，“至少至少-”“有无穷多个有无穷多个-”形式出现形式出现（3）唯一性、存在性问题）唯一性、存在性问题（4）结论的反面比原结论更具体更容易结论的反面比原结论更具体更容易 研究的命题研究的命题,如结论需分成很多类进如结论需分成很多类进 行讨论行讨论常见否定用语常见否定用语是是不是不是 有有没有没有等等不等不等 成立成立不成立不成立都是都是不都是，即至少有一个不是不都是，即至少有一个不是都有都有不都有，即至少有一个没有不都有，即至少有一个没有都不是都不是部分或全部是，即至少有一个是部分或全部是，即至少有一个是唯一唯一至少有两个至少有两个至少有一个有（是）至少有一个有（是）全部没有（不是）全部没有（不是）至少有一个不至少有一个不全部都全部都反馈练习反馈练习1 1、写出用、写出用“反证法反证法”证明下列命题的第证明下列命题的第一步一步“假设假设”.”.(1)(1)互补的两个角不能都大于互补的两个角不能都大于90.90.(2)ABC(2)ABC中中,最多有一个钝角最多有一个钝角 假设互补的两个角都大于假设互补的两个角都大于90.假设假设ABC中中,至少有两个钝角至少有两个钝角2 2、“已知已知:ABC:ABC中中,AB=AC.,AB=AC.求证求证:B90”.:B180.B+C+A180.这与三角形内角和这与三角形内角和定理相矛盾定理相矛盾.(2)(2)所以所以B90.(3)Bb0ab0，那么，那么演练反馈演练反馈2.2.已知已知a0a0，证明，证明x x的方程的方程ax=bax=b有且只有一有且只有一个根。个根。演练反馈演练反馈 3.3.求证：求证：是无理数。是无理数。演练反馈演练反馈总结提炼总结提炼1 1.用反证法证明命题的一般步骤是什么用反证法证明命题的一般步骤是什么?用反证法在归谬中所导出的矛盾可以用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾是与题设矛盾,与假设矛盾与假设矛盾,与已知定义、与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等公理、定理矛盾，自相矛盾等反设反设 归谬归谬 结论结论2.用反证法证题用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些矛盾的主要类型有哪些?演练反馈演练反馈1、写出下列命题，用反证法证明的第一步、写出下列命题，用反证法证明的第一步（1）已知）已知a=b，则，则a2=b2（2）三角形最小的角小于或等于）三角形最小的角小于或等于600（3）两条直线相交，只有一个交点）两条直线相交，只有一个交点（4）在同一平面内，若一条直线和两条平行线）在同一平面内，若一条直线和两条平行线 中的一条相交，那么和另一条也相交中的一条相交，那么和另一条也相交2、平面内有四个点，没有三点共线，、平面内有四个点，没有三点共线，证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能 都是锐角三角形都是锐角三角形演练反馈演练反馈1、写出下列命题，用反证法证明的第一步、写出下列命题，用反证法证明的第一步（1）已知）已知a=b，则，则a2=b2（2）三角形最小的角小于或等于）三角形最小的角小于或等于600（3）两条直线相交，只有一个交点）两条直线相交，只有一个交点（4）在同一平面内，若一条直线和两条平行线）在同一平面内，若一条直线和两条平行线 中的一条相交，那么和另一条也相交中的一条相交，那么和另一条也相交2、平面内有四个点，没有三点共线，、平面内有四个点，没有三点共线，证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能 都是锐角三角形都是锐角三角形演练反馈演练反馈2 2、平面内有四个点，没有三点共线，、平面内有四个点，没有三点共线，、平面内有四个点，没有三点共线，、平面内有四个点，没有三点共线，证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形证明：假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个 点为A、B、C、D。考虑点D在 之内或之外两种情况。(1)如果点D在 之内，根据假设，DABC都为锐角三角形所以这与一个周角为这与一个周角为360矛盾。矛盾。演练反馈演练反馈2 2、平面内有四个点，没有三点共线，、平面内有四个点，没有三点共线，、平面内有四个点，没有三点共线，、平面内有四个点，没有三点共线，证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形(1)如果点D在 之外，根据假设，ADBC都是锐角三角形，即这与四边形内角和矛盾。这与四边形内角和矛盾。所以，综上所述，假设不成立，从而题目结论成立所以，综上所述，假设不成立，从而题目结论成立。即这些三角形不可能都为锐角三角形。即这些三角形不可能都为锐角三角形。思考？思考？A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎，撒谎，B B说说C C撒谎，撒谎，C C说说A A、B B都撒谎。则都撒谎。则C C必定必定是在撒谎，为什么？是在撒谎，为什么？分析分析:假设假设C没有撒谎没有撒谎,则则C真真.-那么那么A假且假且B假假;由由A A假假,知知B B真真.这与这与B B假矛盾假矛盾.那么那么假设假设C C没有撒谎不成立没有撒谎不成立;则则C C必定是在撒谎必定是在撒谎.