《材料力学》公式汇总

序号3.1公式名称截面形心位置公式符号说明z=A zdA， y=AZ 为水平方向Y 为竖直方向cAc3.2截面形心位置z=c z Aii ，y=ydAA y AiiAciAi3.3面积矩S= ydA ， S= zdAZy3.4面积矩S= A y ， SAziiy= A zi iA3.5截面形心位置z=cSySA， y=czA3.6面积矩S= Az ， S= Ayyczc3.7轴惯性矩I= y2dA ， Izy3.8A= z2dAA极惯必矩I=rAr2dA3.9极惯必矩I= I+ Irzy3.10 惯性积I= zydAzyA3.11 轴惯性矩I= i 2 A， Izzy= i 2 Ay3.12 惯性半径回转半径i=zIzA， i=yIyA3.13 面积矩S= Szzi， S= Sy， I= Iyi轴惯性矩极惯性矩惯性积I= IzziyyiI= I， I= Irrizyzyi3.14 平行移轴公式I= Iz+ a2 AzcI= I+ b2 AyycI= Izy+ abAzcyc3 截面的几何参数104 应力和应变序号4.14.2公式名称轴心拉压杆横截面上的应力危急截面上危急点上的应力公式s = NAs= NmaxA符号说明4.3a轴心拉压杆的纵向线应变e = Dll4.3b4.4a轴心拉压杆的纵向确定应变虎克定理Dl = l - l1s = Ee= e .l4.4abe = sE4.54.6虎克定理虎克定理Dl =Dl =N.l EAe li i= NiilEAi4.7横向线应变Dbb - be ” =14.8泊松比横向变形系数bbn =e ”ee ” = -ne4.94.104.114.12剪力双生互等定理剪切虎克定理实心圆截面扭转轴横截面上的应力实心圆截面扭转轴横截面的圆周上的应力t= txyt = Ggt= TrrIrt= TRmaxIr4.134.14抗扭截面模量扭转抵抗矩实心圆截面扭转轴横截面的圆周上的应力WTtmax= Ir R= T WT4.15圆截面扭转轴的变形j = T .lGI4.16圆截面扭转轴的变形rj = jiT l= iiGIri4.17单位长度的扭转角q = j ，q =TlGIr4.18矩形截面扭转轴长边中点上的剪应力t= TmaxWT=Tbb3W是矩形截T面W的扭转抵T4.19矩形截面扭转轴短边中点上的剪应力t = gt1抗矩max4.20矩形截面扭转轴单位长度的扭转q =TGI=TGab4I是矩形截T角T面的I相当极惯T4.21矩形截面扭转轴全轴的扭转角j = q.l =T .l Gab4性矩a, b,g 与 截面高宽比 h / b 有关的参数4.22平面弯曲梁上任一点上的线应变e = yr4.234.24平面弯曲梁上任一点上的线应力平面弯曲梁的曲率s = Eyr1 = MrEIz4.254.26纯弯曲梁横截面上任一点的正应力离中性轴最远的截面边缘各点上的最大正应力s =smaxMy Iz= M .yIzmax4.27抗弯截面模量截面对弯曲的抵抗矩离中性轴最远的截面边缘各点上的最大正应力 横力弯曲梁横截面上的剪应力W=zIymax4.28smax=MWz4.29t=VS*zI bzS * 被切割面z积对中性轴的面积矩。4.30中性轴各点的剪应力t=VS*z maxmaxI bz4.31矩形截面中性轴各点的剪应力工字形和 T 形截面的面积矩平面弯曲梁的挠曲线近似微分方程平面弯 曲梁的挠曲线上任一截面的转角方程t= 3Vmax4.32S* = z2bhA* y*ici4.33EIv “ = -M (x)zV 向下为正X 向右为正4.34EI v” = EI q = - M (x)dx + Czz4.35平面弯 曲梁的挠曲线上任 一点挠度方程双向弯 曲梁的合成弯矩拉压弯组合矩形截面的中性轴在Z轴上的截距EI v = - M (x)dxdx + Cx + Dz4.36M =M 2 + M 2zy4.37aa= zz0= - i2yzpz , y是集中pp力作用点的标4.37b 拉压弯组合矩形截面的中性轴在轴上的截距Ya= yy0= -i2zyp5 应力状态分析序号公式名称公式5.1单元体上任意s=a截面上的正应力5.2单元体上任意t=a截面上的剪应力s+ ss- s符号说明xy +2xy cos 2a -t sin 2a2xs- sxy sin 2a +t cos 2a2x5.3主平面方位a=- 2tat5.4角大主应力的tan 20s - sx 与 反号0xxys+ ss-s2计算公式s=maxxy +xy+t 222x5.5主应力的计xy算公式s= s+ s-max2s-s22xy +t 2x5.6单元体中的 t最大剪应力maxs - s=1325.7主单元体的t = 1(s - s)2 + (s- s )2 + (s- s )2八面风光上3121323的剪应力5.8a 面上的线e + ee - eg应变ea =x 2y +xy cos 2a +2xy sin 2a 25.9a面与 gxya+ 90 o 面之间的角应变5.10主应变方向= -(ex- e )sin 2a + gyxygcos 2a公式5.11 大主应变tan 2a0=xyee -xye=maxe + exy2 e - e 2g2+x 2y xy5.12 小主应变4e=maxe + exy2 e - e 2g2-+x 2y xy45.13 g的替代公g= 2e- e - exyxy450xy式5.14 主应变方向公式tan 2a2e- e- e=450xy0e- exy5.15 大主应变e + e e - e2 e- e2e=maxxy +2x4502 + y45025.16 小主应变e=maxe + exy -2 e - ex22450 e- e+y22450 5.17 简洁应力状态下的虎克定理e= s x ， ex Ey= -n s x ， eEz= -n s xE5.18 空间应和状态下的虎克定理e= 1 sxxEe= 1 sy Ey-n (sy-n (sz+ s )z+ s )xe= 1 sz Ez-n (sx+ s )y5.19 平面应力状态下的虎克定理应变形式e= 1 (sx Exe= 1 (sy Ey-ns )y-ns )xe= - n (sz Ex+ s )y5.20 平面应力状 s态下的虎克x定理应力形 s式y=E(e 1 -n 2x=E(e 1 -n 2y+ne )y+ne )xs= 0z5.21 按主应力、主应变形式写出广义虎克定理e = 1 s1 E1e= 1 s2 E2e= 1 s-n (s2-n (s3-n (s+ s )3+ s )1+ s )3E3125.22二向应力状态的广义虎克定理e = 1 (s -ns )1E12e2= 1 (s-ns )e= - n (s + s )E213二向应力状态的广义虎克定理s=1EE1 -n 2125.23(e +ne )12s=1E1 -n 2E1 -n 2(e +ne )12s2=(e+ne )21s3= 05.24 剪切虎克定理t= -Ggxyxyt= -Ggyzyzt= -GgzxzxT= 9.55kT= 7.02p2.2分布荷载集度剪力、弯矩之间的关系dV (x) = q(x) dxq(x) 向上为正2.3dM (x) = V (x)dx2.4d 2 M (x) = q(x)dx22 内力和内力图序号公式名称公式符号说明2.1a外力偶的换算公式Nen2.1bNen6 强度计算序号公式 公式符名称号说明6.1第一s强度 当 1= f(脆性材料ut时，材料发生脆性断裂破坏。理s1论： 最大拉应力理论。= f *.(塑性材料u6.2其次s强度 当 1-n (s2+ s ) = f3 ut(脆性材料1时，材料发生脆性断s -n s + s = f *(塑性材料理123u论： 裂破坏。最大伸长线应变理论。6.3第三强度当理论：最大剪应力理论。6.4第四强度理当论：八面s - s13= f (塑性材料y时，材料发生剪切破坏。s - s= f13uc(脆性材料1 (s21-s )2 + (s21-s )2 + (s32-s )2 = f3y(塑性材料1 (s21-s )2 + (s21-s )2 + (s32-s )2= f3uc(脆性材料6.5风光 时，材料发生剪切破坏。剪切理 论。第一 s* = s强度11理论的相当应力6.6 其次强度理论的相当应力6.7第三s* = s21-n s2+ s 3s*强度 3理论的相当应力= s -s136.8 第四强度理论的相当应力6.9a由强s* =41 (s21-s )2 + (s21-s )2 + (s32-s )2 3s* s度理论建立的强度条件6.9b由直接试6.9c验建立的st maxsc max s t s c6.9d强度条件tmax t 6.10a 轴心拉压6.10b 杆的st max= N s AtN强度 s条件=c max s Ac6.11a由强T6.11b度理 s*1论建立的= s = t1=maxWT st(适用于脆性材料)s*扭转2= s -n s12+ s =t3max-n(0 -tmax) = (1 +n )tmax s t轴的 tTs W强度=max条件T 1 +tn(适用于脆性材料)6.11cs* = s -s313= tmax- (-tmax)= 2tmax s t= TmaxWT s(适用于塑性材料) 26.11ds* =1 (s421-s )2 + (s21-s )2 + (s32-s )2 3=1 (t 2max- 0)2 + (0 +tmax)2 + (- tmax-tmax)2 =3t smaxt= TmaxWT s(适用于塑性材料) 36.11e由扭转试验建立的强度条件tmax= T t WT6.12a 平面弯曲梁的6.12b 正应st max= M s WtZM力强度条件6.13平面s=c maxWZ s c弯曲 tVS*=Z max t maxI b梁的Z剪应力强度条件序号公式名称7.1 构件的刚度条件公式Dmaxl符号说明 .lD7.2 扭转轴的刚度条件qmax=TGIr q 7.3 平面弯曲梁的刚度条件vmax vll6.14a6.14b平面弯曲梁的主应力强度条件 圆截面弯扭组合变形构件的相当弯矩螺栓的抗剪强度条件 螺栓的抗挤压强度条件贴角焊缝的剪切强度条件s * =3s 2 + 4t 2 s s=*s+ 3t224 s 6.15as*3= s -1s=M 2 + M 2 + T 2Zy3W=M *3W6.15as* 4=12(ss)(ss)(ss)1-22+1-23+2-23=M 2 + M 2 + 0.75T 2ZM* 46.16t=yW t =W4Nnpd 26.17s b =cNd s b tc6.18t =N0.7h lf tw fw7 刚度校核8 压杆稳定性校核序号公式名称公式8.1 两端铰支的、细符号说明I 取最小值长压杆P= p 2 EI的、临界力的欧拉公式8.2 瘦长压杆在不同支承情况下的临界力公crl 2p 2 EIcrP= (m.l)2l 计算长度。0式l= m .l08.3 压杆的柔度l = m.lm 长度系数；一端固定，一端自由：m = 2一端固定，一端铰支：m = 0.7两端固定： m = 0.5Iii =A半径是截面的惯性8.4 压杆的临界应力 scuscu=crPA= p 2 El2回转半径8.5 欧拉公式的适用范围l l= pEPf8.6 抛物线公式当l lcP= pE时，0.57 ff压杆材料的屈服ys= f 1 -a( lcrylcy)2 l极限；a 常数， 一般取a = 0.43P= scrcrA = fy 1 -a(lc)2 .A8.7 安全系数法校核P压杆的稳定公式P crkw= P cr8.8 折减系数法校核 s =P j.s j折减系数压杆的稳定性A序号10.1公式名称动荷系数公式符号说明K=dPdPj=NNd=ssd =DDdjjj(10.2)P-荷载N-内力s -应力D -位移d-动j-静a-加速度g-重力加速度10.3构件匀加速上升或下降时的动荷系数构件匀加速上升或下降时的动应力动应力强度条件K= 1 +dagsd= K sdj= (1 +)sgaj(10.4)sd max= K sdj max s 10.5构件受竖直方向冲击时的动荷系数构件受骤加荷载时的动荷系数构件受竖直方向冲击时的动荷系数疲乏强度条件K= 1 +1 +d2HDjs - 杆件在静荷载作用下的容许应力H-下落距离10.6Kd= 1 +1 + 0 = 2H=010.7v-冲击时的速度K= 1 +1 +dv2gDj j10.8s s =ssrr-疲乏极限maxrKs r-疲乏应力容许值K-疲乏安全系数10 动荷载j = scr ，小于 1s9 能量法和简洁超静定问题序号9.1公式名称公式外力虚功：W = PD + P D + M q+ . = PDe1122e3 3iI9.2内力虚功：W = - Mdq - VdDg - NdDl - Tdjllll9.3虚功原理：变形体平衡的充要条件是：We+ W = 09.4虚功方程：变形体平衡的充要条件是：We= -W9.5莫尔定理：D = M- dq + V- dDg + N- dDl + T- djllll9.6莫尔定理：M- -D =Mdx + K V- -Vdx + N-N-dx +T- - TdxlEIlGAl EAl GIr9.7桁架的莫尔定理：N-N-D = l EA9.89.9变形能：U = -W 内力功 变形能：9.10U = We外力功外力功表示的变形能：U = 1 PD + 1 P D+ . 1 PD = 1 PD2112222ii2iI9.11 内力功表示的变形能：D = M 2 (x)dx + KV 2 (x) dx + N 2 (x) dx + T 2 (x) dxl2EIl2GAl 2EAl 2GIr9.12 卡氏其次定理：D = UiPi9.13 卡氏其次定理计算位移公式：D = M Mdx + KV Vdx + N Ndx + TTdxril EI Pl GA Pl EA Pl GIPiiii9.14 卡氏其次定理计算桁架位移公式：D = NN liEA Pi9.15 卡氏其次定理计算超静定问题：D= M M dx = 0Byl EI RB9.16 莫尔定理计算超静定问题：-D= M M dx = 0BylEI9.17 一次超静定构造的力法方程：dX + D= 01111P9.18X 方向有位移D 时的力法方程：1dX + D= D1111P9.19 自由项公式：-D= M1 MP dx1PlEI9.20 主系数公式：- 2d= M1 dx11l EI9.21 桁架的主系数与自由项公式： N- 2d=1 l11l EAN-D=1 NPl1PlEA