复习线性回归方程的求法

必修 3(第二章 统计 )知识结构 收集数据 (随机抽样 ) 整理、分析数据 估计、推断 简 单 随 机 抽 样 分 层 抽 样 系 统 抽 样 用样本估计总体 变量间的相关关系 用样本 的频率 分布估 计总体 分布 用样本 数字特 征估计 总体数 字特征 线 性 回 归 分 析 统计的基本思想 y = f(x) y = f(x) y = f(x) 实际 样本 模 拟 抽 样 分 析 问题 1： 正方形的面积 y与正方形的边长 x之间 的 函数关系 是 y = x2 确定性关系 问题 2： 某水田水稻产量 y与施肥量 x之间是否 -有一个确定性的关系？ 例如： 在 7 块并排、形状大小相同的试验田 上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到 如下所示的一组数据： 施化肥量 x 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 y 330 345 365 405 445 450 455 回顾变量之间的两种关系 自变量取值一定时，因变量的取值带有一 定随机性的两个变量之间的关系叫做 相关关系 。 1、定义： 1）：相关关系是一种不确定性关系； 注 对具有相关关系的两个变量进行 统计分析的方法叫 回归分析 。 2）： 2、 现实生活中存在着大量的相关关系。 如：人的身高与年龄； 产品的成本与生产数量； 商品的销售额与广告费； 家庭的支出与收入。等等 探索：水稻产量 y与施肥量 x之间大致有何 规律？ 10 20 30 40 50 500 450 400 350 300 发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。 探索 2：在这些点附近可画直线不止一条， 哪条直线最能代表 x与 y之间的关系呢？ x y 施化肥量 水稻产量 施化肥量 x 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 y 330 345 365 405 445 450 455 散点图 10 20 30 40 50 500 450 400 350 300 x y 施化肥量 水稻产量 n 2 ii i= 1 Q ( a , b ) = ( y - b x - a ) 取最小值时, a , b 的值. ii(x ,y ) ii(x ,y ) |ii|y -y 怎样求回归直线？ 最小二乘法： y = b x + a ( x ,y ) 称为样本点的中心 。 n ( x - x ) ( y - y ) ii i = 1 b= n 2 ( x - x ) i i = 1 a = y - b x . nn 11 其中x = x ,y = y . ii nn i = 1 i = 1 n ii i = 1 n 22 i i = 1 x y - n x y =, x - n x （ 3）对两个变量进行的线性分析叫做 线性回归分析 。 2、回归直线方程： nn i i i i i = 1 i = 1 nn 2 22 ii i = 1 i = 1 ( x - x ) ( y - y ) x - n x y b = = , ( x - x ) x - n x a = y - b x y （ 2）相应的直线叫做 回归直线 。 （ 1）所求直线方程 叫做 回归直线方程 ； 其中 y = b x + a （注意回归直线一定经过样本点的中心） 例 1 假设关于某设备的使用年限 x和所有支出的维修费用 y(万 元 )有如下的统计数据： x 2 3 4 5 6 Y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由此资料所知 y对 x呈线性相关关系，试求： 1.回归直线方程 2.估计使用年限为 10年时，维修费用是多少？ 解题步骤： 1.作散点图 2.把数据列表，计算相应的值，求出回归系数 3.写出回归方程 ,并按要求进行预测说明。 例 2 （ 2007年广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产 甲产品过程中记录的产量 x（吨）与相应的生产能耗 y (吨标准 煤 )的几组对应数据。 X 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图 (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y关于 x的 性回归方程 y bx a (3)已知该厂技改前 100吨甲产品的生产能耗为 90吨标准 煤，试根据（ 2）求出的线性回归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值： 3 2 . 5 4 3 5 4 6 4 . 5 6 6 . 5 ） 小结：求回归直线方程的步骤 nn i i i i i = 1 i = 1 nn 2 22 ii i = 1 i = 1 ( x - x ) ( y - y ) x - n x y b = = , ( x - x ) x - n x a = y - b x y （ 2）所求直线方程 叫做 回归直线方程 ； 其中 y = b x + a （ 1）作散点图，通过图看出样本点是否呈条状分 布，进而判断两个量是否具有线性相关关系。 （ 3）根据回归方程，并按要求进行预测说明。 第一章 统计案例 1.1回归分析的基本思想及其初步应用 （第二课时） a. 比 数学 3 中“回归”增加的内 容 数学 统计 1. 画散点图 2. 了解最小二乘法 的思想 3. 求回归直线方程 y bx a 4. 用回归直线方程 解决应用问题 选修 - 统计案例 5. 引入线性回归模型 y bx a e 6. 了解模型中随机误差项 e产 生的原因 7. 了解相关指数 R2 和模型拟 合的效果之间的关系 8. 了解残差图的作用 9. 利用线性回归模型解决一类 非线性回归问题 10. 正确理解分析方法与结果 什么是回归分析： “回归”一词是由英国生物学家 F.Galton在研究人体身高的遗传问题时首先提出的。 根据遗传学的观点，子辈的身高受父辈影响，以 X记父辈身高， Y记子辈身高。 虽然子辈身高一般受父辈影响，但同样身高的父亲，其子身高并不一致，因此， X和 Y之间存在一种相关关系。 一般而言，父辈身高者，其子辈身高也高，依此推论，祖祖辈辈遗传下来，身 高必然向两极分化，而事实上并非如此，显然有一种力量将身高拉向中心，即子辈 的身高有向中心回归的特点。“回归”一词即源于此。 虽然这种向中心回归的现象只是特定领域里的结论，并不具有普遍性，但从它 所描述的关于 X为自变量， Y为不确定的因变量这种变量间的关系看，和我们现在的 回归含义是相同的。 不过，现代回归分析虽然沿用了“回归”一词，但内容已有很大变化，它是一种应用 于许多领域的广泛的分析研究方法，在经济理论研究和实证研究中也发挥着重要作用。 回归分析的内容与步骤： 统计检验通过后，最后是 利用回归模型，根据自变量去估计、预测因变量 。 回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。 其主要内容和步骤是， 首先根据理论和对问题的分析判断， 将变量分为自变量和因变量 ； 其次，设法 找出合适的数学方程式（即回归模型） 描述变量间的关系； 由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要 对回归模型进行统计检验 ； 例 1 从某大学中随机选取 8名女大学生，其身高和体重数据如表 1-1所示。 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高 /cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重 /kg 48 57 50 54 64 61 43 59 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。 案例 1：女大学生的身高与体重 解： 1、选取身高为自变量 x，体重为因变量 y，作散点图： 2、由散点图知道身高和体重有比较好的 线性相关关系，因此可以用线性回归方程 刻画它们之间的关系。 3、从散点图还看到，样本点散布在某一条 直线的附近，而不是在一条直线上，所以 不能用一次函数 y=bx+a描述它们关系。 我们可以用下面的 线性回归模型 来表示： y=bx+a+e，其中 a和 b为模型的未知参数， e称为随机误差 。 思考 P3 产生随机误差项 e 的原因是什么？ 思考 P4 产生随机误差项 e的原因是什么？ 随机误差 e的来源 (可以推广到一般）： 1、其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只是体重 x，可能 还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素； 2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差； 3、身高 y 的观测误差。 探究 P4： 身高为 172cm的女大学生的体重一定是 60.316kg吗？ 如果不是，你能解析一下原因吗？ 答：身高为 172cm的女大学生的体重不一定是 60.316kg， 但一般可以认为她的体重在 60.316kg左右。 函数模型与回归模型之间的差别 函数模型： abxy 回归模型： eabxy 对回归模型进行统计检验 表 1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。 在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关， 是否可以用回归模型来拟合数据。 残差分析与残差图的定义： 然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始 数据中是否存在可疑数据， 这方面的分析工作称为残差分析 。 12, , , ne e e 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高 /cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重 /kg 48 57 50 54 64 61 43 59 残差 -6.373 2.627 2.419 -4.618 1.137 6.627 -2.883 0.382 我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本 编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为 残差图 。 残差图的制作及作用。 坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； 若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以 横轴为心的带形区域 ； 对于远离横轴的点，要特别注意 。 身 高 与 体 重 残 差 图 异 常 点 错误数据 模型问题 几点说明： 第一个样本点和第 6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为 的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数 据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这 样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。 我们可以用 相关指数 R2来刻画回归的效果，其计算公式是 2 2 1 2 1 () 11 () n i i i n i i yy R yy 残 差 平 方 和 。 总 偏 差 平 方 和 另外， 2. 反映回归直线的拟合程度 3. 取值范围在 0 , 1 之间 4. r2 1，说明回归方程拟合的越好； r20， 说明回归方程拟合的越差 5. 判定系数等于相关系数的平方，即 r2 (r)2 我们可以用 相关指数 R2来刻画回归的效果，其计算公式是 2 2 1 2 1 () 11 () n i i i n i i yy R yy 残 差 平 方 和 。 总 偏 差 平 方 和 显然， R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。 在线性回归模型中， R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率 。 R2越接近 1，表示回归的效果越好（因为 R2越接近 1，表示解析变量和预报变量的 线性相关性越强）。 如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较 R2的值 来做出选择，即 选取 R2较大的模型作为这组数据的模型 。 总的来说： 相关指数 R2是度量模型拟合效果的一种指标。 在线性模型中，它 代表自变量刻画预报变量的能力 。 我们可以用 相关指数 R2来刻画回归的效果，其计算公式是 2 2 1 2 1 () 11 () n i i i n i i yy R yy 残 差 平 方 和 。 总 偏 差 平 方 和 1 354 总计 0.36 128.361 残差变量 0.64 225.639 解释变量 比例 平方和 来源 表 1-3 从表 3-1中可以看出，解析变量对总效应约贡献了 64%，即 R2 0.64，可以叙述为 “身高解析了 64%的体重变化”，而随机误差贡献了剩余的 36%。 所以，身高对体重的效应比随机误差的效应大得多。 用身高预报体重时，需要注意下列问题： 1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体； 2、我们所建立的回归方程一般都有时间性； 3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围； 4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。 事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。 这些问题也使用于其他问题。 涉及到统计的一些思想： 模型适用的总体； 模型的时间性； 样本的取值范围对模型的影响； 模型预报结果的正确理解。 小结： 一般地，建立回归模型的基本步骤为： （ 1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。 （ 2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系 （如是否存在线性关系等）。 （ 3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性 回归方程 y=bx+a） . （ 4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。 （ 5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现 不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是 否合适等。 例 1 假设关于某设备的使用年限 x和所有支出的维修费用 y(万 元 )有如下的统计数据： x 2 3 4 5 6 Y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 试求： 1.对变量 y与 x进行相关性检验 2.求回归直线 3.根据你得到的模型，预报使用年限为 10年时，维修费用是多少？ 4.你认为这个模型能较好地刻画年限与维修费用的关系吗？ 请说明理由 详细解题过程 例 2 （ 2007年广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产 甲产品过程中记录的产量 x（吨）与相应的生产能耗 y (吨标准 煤 )的几组对应数据。 X 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)对变量 y与 x进行相关性检验 (2)如果两变量 x、 y具有线性相关关系，试求出 y关于 x的线性回归方程。 （ 3）根据你得到的模型，预报使用产量为 100吨，预测生产能耗是多少？ （ 4）你认为这个模型能较好地刻画产量与能耗的关系吗？ 请说明理由