第二十二章__一元二次方程全章教案

第二十二章 一元二次方程22. 一元二次方程第一课时 教学内容 一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念 教学目标 了解一元二次方程的概念；一般式a2+bx+c=0(a0)及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目 1.通过设置问题,建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义。 一元二次方程的一般形式及其有关概念 。解决一些概念性的题目4.态度、情感、价值观 4。通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。 重难点关键 1。重点:一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题. 2难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念 教学过程 一、复习引入 学生活动：列方程 问题（)九章算术“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？” 大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么门的高和宽各是多少? 如果假设门的高为x尺,那么,这个门的宽为_尺,根据题意，得_ 整理、化简,得：_问题（)如图,如果，那么点C叫做线段AB的黄金分割点。 如果假设AB=1，AC=x,那么C=_,根据题意，得:_。 整理得：_ 问题（3）有一面积为5的长方形，将它的一边剪短m,另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？ 如果假设剪后的正方形边长为，那么原来长方形长是_，宽是_，根据题意，得：_ 整理,得：_ 老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理 二、探索新知 学生活动:请口答下面问题. （1）上面三个方程整理后含有几个未知数？ （2)按照整式中的多项式的规定,它们最高次数是几次? （）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子? 老师点评:（）都只含一个未知数；(2)它们的最高次数都是2次的；（3)都有等号，是方程. 因此,像这样的方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程. 一般地,任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式+bxc=0（a0）。这种形式叫做一元二次方程的一般形式. 一个一元二次方程经过整理化成a+b+=0（a)后,其中x2是二次项，a是二次项系数；b是一次项，b是一次项系数;是常数项. 例1将方程（-2x)(52）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项 分析:一元二次方程的一般形式是abx+c（a0)因此，方程（8)(5x）18必须运用整式运算进行整理,包括去括号、移项等 解：去括号，得： 0-1x-104x2=18 移项，得:4-26x+2=0 其中二次项系数为4，一次项系数为-26,常数项为2 例2。（学生活动:请二至三位同学上台演练） 将方程（1）+（2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数;一次项、一次项系数；常数项 分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x）2（2)（x+2）=化成a2+bx+c=0（a0）的形式。 解：去括号，得： x2+2+1+-4=1 移项，合并得:2x2+x-=0 其中:二次项2x2,二次项系数2；一次项2，一次项系数2；常数项-. 三、巩固练习 教材P32 练习1、2 四、应用拓展 例3.求证:关于x的方程(m28m+17）x2mx+1=，不论m取何值，该方程都是一元二次方程。 分析：要证明不论m取何值,该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m10即可。 证明:2-8m+17=（m4)2+1 （m-4)0 （m4）20,即（m4)2+10 不论m取何值，该方程都是一元二次方程 五、归纳小结(学生总结，老师点评) 本节课要掌握： (）一元二次方程的概念；(2）一元二次方程的一般形式a2+c=0（0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用 六、布置作业 。教材P34 习题22.1 、2. 2.选用作业设计 作业设计 一、选择题 1在下列方程中，一元二次方程的个数是（ )。 3x2+70 ax2+b+c=0 （x2）（x+5）=x2-1 x-0 .1个 B2个 C3个 D4个2方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ )。 A2，3，6 B2,-3，1 C2，3,6 D。2，6 3px2xp2-q0是关于x的一元二次方程，则(）. A.p1 B.p Cp0 p为任意实数 二、填空题 1。方程3x23=2x+1的二次项系数为_,一次项系数为_,常数项为_。 2一元二次方程的一般形式是_ 3.关于的方程（)x2+3x=是一元二次方程，则a的取值范围是_ 三、综合提高题1a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+)=x(x+1)是一元二次方程? 关于x的方程（m+）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？ 一块矩形铁片,面积为m2，长比宽多3m，求铁片的长,小明在做这道题时，是这样做的: 设铁片的长为x，列出的方程为x(x-3）=1,整理得：x23x-=小明列出方程后,想知道铁片的长到底是多少,下面是他的探索过程：第一步：x1234x-3x-1-33 所以，_x_第二步: x3.1323.33.4x3x1-0.60.36 所以，_x_ （1）请你帮小明填完空格,完成他未完成的部分； （2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_,十分位为_。答案: 一、1.A 2B3。C二、13，2,4 2ax+bx+=(a0） .a1三、1。化为：a+（+）x+10，所以,当时是一元二次方程。 可能，因为当，当m=1时,该方程是一元二次方程 3。（），3,3，4，0.1，0.6，3。，。 （2），32.1 一元二次方程第二课时 教学内容 1.一元二次方程根的概念; 2。根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目。 教学目标 了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题 提出问题，根据问题列出方程,化为一元二次方程的一般形式，列式求解;由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根。同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题. 重难点关键 1重点：判定一个数是否是方程的根; 2。难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.教学过程一、复习引入 学生活动：请同学独立完成下列问题。问题1如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,那么梯子的底端距墙多少米？ 设梯子底端距墙为m,那么, 根据题意，可得方程为_. 整理，得_列表:01245678 问题2.一个面积为120的矩形苗圃,它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少? 设苗圃的宽为xm,则长为_。 根据题意,得_ 整理，得_列表：x12345689101 老师点评（略) 二、探索新知 提问：（1)问题1中一元二次方程的解是多少？问题中一元二次方程的解是多少？ (2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题呢？ 老师点评：（1）问题1中x是x2-360的解,问题中，x=1是x2+2x-2=0的解. （3)如果抛开实际问题，问题（）中还有x=6的解;问题2中还有x=2的解. 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称： 一元二次方程的解叫做一元二次方程的根. 回过头来看:x2-6=0有两个根，一个是6，另一个是6，但-6不满足题意；同理，问题2中的=-1的根也满足题意。因此,由实际问题列出方程并解得的根,并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解。 例1.下面哪些数是方程2x20x+12=0的根? 4，3，-2，-,0，1,2，3,4。 分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可 解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x2或x=3是一元二次方程x+10x+1=0的两根 例2你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗? （1)260 （)3x-6= (3）x23x=0 分析:要求出方程的根,就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义。 解：(）移项得x26 根据平方根的意义，得：x 即x1=8，x2=-8 （2）移项、整理,得x=2 根据平方根的意义，得x 即,x2= （3)因为23x=x（x3) 所以x-3x=，就是x(-3)=0 所以x=0或30 即x1=0，x2= 三、巩固练习 教材33 思考题 练习、2。 四、应用拓展 例3要剪一块面积为150cm2的长方形铁片,使它的长比宽多5c，这块铁片应该怎样剪？ 设长为xcm,则宽为(x5)c 列方程x（x)=1,即25x-5=0 请根据列方程回答以下问题: (1）x可能小于5吗?可能等于0吗？说说你的理由（2)完成下表： x10111131411x2x50 （）你知道铁片的长是多少吗？ 分析:xx50=0与上面两道例题明显不同,不能用平方根的意义和八年级上册的整式中的分解因式的方法去求根，但是我们可以用一种新的方法“夹逼”方法求出该方程的根 解:（1）x不可能小于5。理由:如果x，则宽（x5),不合题意. x不可能等于0理由：如果=0,则面积-5x1，也不可能.（2） x111 12 31411617xx150-108466462454 （)铁片长x=1m 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握: （1）一元二次方程根的概念及它与以前的解的相同处与不同处； (2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根; （）要会用一些方法求一元二次方程的根。 六、布置作业 1。教材P4 复习巩固3、 综合运用、6、7 拓广探索8、9 选用课时作业设计. 作业设计 一、选择题 1。方程(x）=2的两根为( ） A.x=0，x2=1 。x1=0，21 C。1=1，x=2 D。x1，x2 2.方程ax（xb）+（bx)=的根是( ）. A1=，a x1=，x2= x1=a，x= .x=a2，x2=b 3.已知=-是方程x2x+c=0的根（b0)，则=（ )。 1 。1 C.0 D。2 二、填空题 1如果x281=,那么2-=0的两个根分别是=_，2=_ 2已知方程5x+m-60的一个根是x=，则m的值为_ 方程(1）2+x（1）=，那么方程的根x1_；x2_. 三、综合提高题 1如果x=1是方程ax2b+3=0的一个根，求（ab）2+4ab的值. 2如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0)中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证:-1必是该方程的一个根。 3在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形,即在()2-x1=0，令=，则有y2-2y+=0，根据上述变形数学思想（换元法)，解决小明给出的问题：在（21)+（x21)=中，求出(x2-1）2（21）=的根.答案： 一、1D 3.A情 二、1.，- 2。1 3.-，1-三、1由已知，得a+b=3，原式（+）2=（3）2=9.c=b，ab+=，把1代入得2bx+c=（1）2+b(-1）+c=a-+c0,1必是该方程的一根3.设y=x21，则y2+y=0，y1，y2=-1，即当x2-10,x=，2=-1;当y2=-时,x21=-1，x2=，x3=x4=，x=1,x2=-1，x=x4=0是原方程的根.22.。 直接开平方法 教学内容 运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程。 教学目标 理解一元二次方程“降次转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题 提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(exf）2+c0型的一元二次方程 重难点关键 重点：运用开平方法解形如（x+m)2=n（n0）的方程；领会降次转化的数学思想。 2难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m)2=n（n）的方程 教学过程 一、复习引入 学生活动:请同学们完成下列各题 问题。填空 （1）x28x+_=（-_）2；(2）9x+x_=（3+_)2；(3)x+x_=(x+_）2。问题2如图，在A中，B=90，点P从点开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果AB=6cm，C2cm，P、Q都从点同时出发,几秒后PBQ的面积等于8c2? 老师点评： 问题：根据完全平方公式可得：(1）16 ；（）4 2；(3）（)2 问题2：设x秒后PBQ的面积等于m2 则B=x，BQ=2x 依题意,得：x2x= x2=8 根据平方根的意义,得x= 即12,x2 可以验证，和2都是方程xx=8的两根，但是移动时间不能是负值 所以秒后PBQ的面积等于8c2。 二、探索新知 上面我们已经讲了x28,根据平方根的意义，直接开平方得x2,如果x换元为1，即（2t)2=8,能否也用直接开平方的方法求解呢？ (学生分组讨论) 老师点评：回答是肯定的，把2变为上面的x,那么2t+1=2 即2t+2，t+1=2 方程的两根为t=,t2=- 例1：解方程：x2+4+=1 分析：很清楚,x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（+2)解：由已知,得:（x+2）2=1 直接开平方,得：x=1 即x21,x+2=-1 所以，方程的两根=1,2=3 例2.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到44m，求每年人均住房面积增长率。 分析：设每年人均住房面积增长率为x一年后人均住房面积就应该是1010x=1（1+）；二年后人均住房面积就应该是10（1）+10(1+）x=(1+x)2 解：设每年人均住房面积增长率为x,则:10（1+）2=.4 (1+x）21.4 直接开平方,得1+x=1。 即1+x1。，+x=-1。2 所以,方程的两根是x=。2=20，x2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，2=.应舍去. 所以，每年人均住房面积增长率应为0 （学生小结)老师引导提问:解一元二次方程，它们的共同特点是什么? 共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想. 三、巩固练习 教材P3 练习 四、应用拓展 例某公司一月份营业额为1万元,第一季度总营业额为3。31万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少? 分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x,那么二月份的营业额就应该是（+x)，三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（）2。 解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x 那么+（1x）+(1x）=3。1 把（1+x)当成一个数，配方得： （1+x)2=2.56,即（+)2=2。56 x+=1.6,即x+=1。6,x+= 方程的根为x1=0%,x-31 因为增长率为正数, 所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%。 五、归纳小结 本节课应掌握: 由应用直接开平方法解形如x2=p(0），那么x=转化为应用直接开平方法解形如（x+)2=p(p0），那么x+n,达到降次转化之目的 六、布置作业 。教材P45 复习巩固1、2 选用作业设计：一、选择题 1。若x24x+p=（x+q),那么、q的值分别是（ ） A4,q= p=4,q=-2 C.，q2 .p-4,q- 2。方程3x2+9=0的根为（ ）。 B3 3 D.无实数根 3.用配方法解方程xx+1=正确的解法是（ ) （x-）2=， B.(x）2，原方程无解 .（)2=，x=，x= D。（x-)2=1，x=，=- 二、填空题 若821=,则x的值是_. 2。如果方程2（x-）2=7，那么,这个一元二次方程的两根是_ 3如果a、为实数，满足b-12+36=0，那么ab的值是_ 三、综合提高题 1。解关于x的方程（x+m)2=n。 2某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长5m），另三边用木栏围成，木栏长40m. (）鸡场的面积能达到1m2吗?能达到200吗？ （）鸡场的面积能达到210m2吗？ 3在一次手工制作中,某同学准备了一根长4米的铁丝,由于需要，现在要制成一个矩形方框,并且要使面积尽可能大,你能帮助这名同学制成方框，并说明你制作的理由吗?答案： 一、1.B 2 3。二、1。 29或- 3。三、1。当n0时，x+，x1=m，x2=m当n0时，无解2.（1）都能达到设宽为x，则长为402x,依题意,得:x（402x）=180整理,得：x2-20x90，x10，x2=1；同理x（0x)=200，x1=x2=10，长为40202 (2）不能达到同理x（40)20，x20x+=0，b2-ac400410=-100 0 直接开平方,得：x= 即x= x1=,= 由上可知，一元二次方程ax2+bx+=0（a0）的根由方程的系数、而定,因此: (）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式x2+bx+c=，当b4a0时，将、c代入式子x=就得到方程的根 （2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式 (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法. （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根 例1。用公式法解下列方程。 （1）2-41= （2)52=x2 （3）(x2)（3-5)=0 （4)4x2x+1=0 分析：用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可。 解:（1）a=2，=4,c=1 b24c=（4)-42（1)240 x 1=，x2 (2)将方程化为一般形式 3-52=0 a=3,=-5，c=-2 b24（-5）4(-2）490 x1=2，x （3)将方程化为一般形式 3x11x+9=0 a3，b=1，c b-4ac（-11）239=130 x= =，x2= (3)a4，b=-3，=1 b24ac=（3)2410因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根 三、巩固练习 教材P2 练习(1)、(3)、（5） 四、应用拓展 例2某数学兴趣小组对关于x的方程（m1)+（m-2)10提出了下列问题 （）若使方程为一元二次方程，m是否存在?若存在，求出m并解此方程 (2)若使方程为一元二次方程m是否存在?若存在,请求出. 你能解决这个问题吗? 分析:能(1）要使它为一元二次方程，必须满足2+1=，同时还要满足（m+1)0 (2)要使它为一元一次方程，必须满足：或或 解：（1）存在.根据题意，得:m+1= m2=1 m=1 当m=1时，m+11+1=2 当=1时，m+1=-1+1=（不合题意,舍去） 当m=时，方程为221x=0 a=2,b=1,c=- 24a=（）2-42(1）=18=9 x= x1=,=- 因此,该方程是一元二次方程时,m=1，两根x=1，x2=。 （2）存在.根据题意,得:m2+1=1,=，m=0 因为当=0时，（m+1）+（m2）=2m1=-10 所以m=满足题意 当m21=0,m不存在. 当m0，即m=-1时，m2=-0 所以-1也满足题意 当m=时，一元一次方程是x2x10， 解得:=1 当m=-1时，一元一次方程是x-=0 解得=- 因此,当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当=0时,其根为x;当=-时，其一元一次方程的根为=。 五、归纳小结 本节课应掌握: （1）求根公式的概念及其推导过程; (2）公式法的概念; (3)应用公式法解一元二次方程； （4)初步了解一元二次方程根的情况。 六、布置作业 1教材P5 复习巩固。 2。选用作业设计: 一、选择题 1。用公式法解方程4x212x3,得到（ ）A。= B。= C= Dx 2方程2+4x+6=0的根是（ ）Ax1，2 B1=6，x=Cx1=2，x2= D。1=x=- 。（m2n2）（m2n）8=0,则m2n2的值是（ ）. 4 B。2 C.或2 -或2 二、填空题 1一元二次方程a2+bc=0（0）的求根公式是_,条件是_ 2当x=_时,代数式x28x+12的值是. 3。若关于x的一元二次方程(m1)+x+m2+2m3=0有一根为0,则m的值是_ 三、综合提高题 1.用公式法解关于x的方程:x2-2ax2a2=0 2设x,x2是一元二次方程2bx+c=0（a0）的两根,(1)试推导x12=-,x1x2；（2）求代数式a(x3+x）+b(x12+x22）+(x1)的值. 3某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时,那么这户居民这个月只交0元电费,如果超过A千瓦时,那么这个月除了交0元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费. （1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时,则超过部分电费为多少元？（用表示）（）下表是这户居民月、4月的用电情况和交费情况月份用电量（千瓦时）交电费总金额（元） 3 80 25 4 5 10 根据上表数据，求电厂规定的值为多少？答案:一、1D 2.D .C 二、1.=，24ac0 24 33三、1x=ab2.（1）x1、x2是a2+bx(a）的两根， 1=，x2 x1x2=， x1x2= （）x1，x2是2+xc=0的两根，ax11+c0，ax22+bx2+c=0 原式=ax3+x2+11ax3+2+cx2 (x12+x1+c）+（ax2+bx2+c） =3。（1）超过部分电费=（90A）-A2+ (2）依题意,得：(80）15,130(舍去)，2=5022.2。4 判别一元二次方程根的情况 教学内容 用b2ac大于、等于、小于0判别ax2+bx+c=0(a0）的根的情况及其运用。 教学目标 掌握b24ac，a2bxc=0(a0）有两个不等的实根,反之也成立；b-4a=0,2bxc0(a0)有两个相等的实数根，反之也成立;b4ac，a2x+c0(a0)没实根,反之也成立；及其它们关系的运用. 通过复习用配方法解一元二次方程的b24ac0、2-0、b4c0各一题，分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目。 重难点关键 。重点：b4ac0一元二次方程有两个不相等的实根;b24ac0一元二次方程有两