系统的状态空间法

绪 论 如何改进系统的动态性能，达到所需的性能指标。 1、反馈的概念 2、最优控制的概念 1、经典控制理论时期（二十世纪3050年代）研究对象主要是线性系统，以拉氏变换为数学工具。较好的解决了单输入单输出反馈控制问题。 2、现代控制理论时期（二十世纪5070年代）研究对象为多变量、非线性、时变、离散系统。 以线性代数和微分方程为主要的数学工具，以状态空间法为基础，分析和设计控制系统。 3、大系统理论和智能控制理论时期（二十世纪70年代至今）1、线性系统理论2、系统辨识3、最优控制4、最优估计5、自适应控制 建立系统的状态方程，系统的响应特性，系统的稳定性，能控性，能观测性，状态反馈，状态观测器包括结构辨识和参数辨识 通过观测一个系统的输入输出关系来确定其数学模型的方法。 在已知系统状态方程、初始条件及某些约束条件下，寻找一个最优控制量，使系统的状态或输出在控制向量作用下，使某一指标达到最优值。 在通讯工程中，接受到的信号为：Y（t）=S（t）+（t）有用信号干扰躁声由Y（t）求S（t）的估计S（t） 自适应控制一般分为两类：模型参考自适应控制，自校正自适应控制。 当控制对象的结构或参数随环境条件的变化而有大的变化时，为了保证控制系统在整个控制过程中都满足某一最优准则，则最优控制器的参数就要随之加以调节，这类控制为自适应控制。 1、状态空间法2、动态分析3、能控性与能观测性航天与航空、电机械、化工、冶金、交通、医疗4、结构分解与实现5、稳定性分析6、状态反馈7、最优控制8、最小值原理 1、现代控制理论基础机械工业出版社 常春馨编2、现代控制理论基础北京工业大学出版社 谢克明编3、现代控制理论机械工业出版社 刘豹编4、现代控制理论基础电子工业出版社 尤昌德编 1.1 概述1.2 控制系统的状态空间表达式1.3 状态空间表达式的建立1.4 状态方程的线性变换1.5 系统的传递函数阵1.6 离散系统的状态空间表达式1.7 时变系统和非线性系统的状 态空间表达式 1.1 概述古典控制理论是基于传递函数来分析与设计系统。现代控制理论是建立在状态空间法基础上。1.2 控制系统的状态空间表达式1、系统的状态：系统运动信息的集合，表示系统 过去、现在、将来的运动状况。2、系统的状态变量：唯一确定系统状态的一组独立变量。能够完全描述系统时域行为的最小变量组。状态变量的选取不唯一。 3、状态矢量：以n个状态变量为分量，构成一个n维矢量。 X（t）= x1(t)x2(t) : : xn(t)4、状态空间 ：以n个状态变量为坐标轴所构成的空间，称为n维状态空间。 5、状态方程 ：状态变量的一阶导数与输入变量及状态变量的关系式。dx 1dt =f1(x1 x2 u1 u2)一阶微分方程 6、输出方程 ：输出变量与输入变量及状态变量的关系式。 代数方程7、状态空间表达式 ：状态方程和输出方程。例：某机械运动系统的物理模型，它是一个弹簧质量阻尼系统，试建立输入的外力u (t)，输出为位移 y (t)的状态空间表达式。fmk u y y1= f1(x1 x2 u1 u2)K：弹性系数f：阻尼系数 fmk解：系统的运动方程：d2ydt 2m =ufdydt ky d2ydt 2m + f dydt +ky = u系统的状态变量：x1=yu y x2=y=x1 x2=y系统的状态方程：x 1 = x2系统的输出方程：y = x1x2= km x1 fm x2 1m u+ fmk u y矩阵形式：x1 = x2 y = x1y = 1 0 x1x 2x1x2 = u1m0 1km fm x1x2 + 0简写为：X=AX+buY=CXx2= km x1 fm x2 1m u+ 多输入多输出线性定常系统：x1x2 : :xn=X u1u2 : :ur=U y1y2 : :ym=Y X=AX+BUY=CX+DUA= a11a12. a1n a21a22. a2n . . . . . a n1an2. ann B= b11b12. b1r b21b22. b2r . . . . . bn1bn2. bnr X=AX+BUY=CX+DUC= c11c12. c1n c21c22. c2n . . . . . c m1cm2. cmn B= b11b12. b1r b21b22. b2r . . . . . bn1bn2. bnr A= a11a12. a1n a21a22. a2n . . . . . an1an2. ann D= d11d12. d1rd21d22. d2r . . . . . dm1dm2. dmr X=F（X U t）Y=G（X U t）X=AX+BUY=CX+DU B D CAU(t) + + + + Y(t)DUAX CXX比例器加法器积分器1、结构图BU X 例：线性系统的状态空间表达式为x1=x2x2=x3x3=8x114x27x3+uy =x1+2x2 试画出它的系统结构图。解：这是一个三阶系统，需3个积分器 例：线性系统的状态方程为x1=x2x2=x3x3=8x114x27x3+uy =x1+2x2 试画出它的系统结构图。解：这是一个三阶系统，需3个积分器x1x3 x3=x2 x2=x1 8 14 7+ 2 + u y x1x3 x3=x2 x2=x18 14 7+ 2 + u y2、信号流图X=AX+BUY=CX+DU U B A CD YX X将上例中的结构图用信号流图表示 x2=x1x3=x2x3 x1 8 14 7+ 2 + u y2、信号流图将上例中的结构图用信号流图表示u 2 y1 x3 x2 x1 x1 11487 1.3 状态空间表达式的建立方框图结构图例：试建立系统的状态空间表达式解：将惯性环节变为积分环节 k 1T1S+1 k2T2S+1k4 k1T1S+1u y+ k3 T3S k1 T1 1 S+ 1 T1 k1 T1解：将惯性环节变为积分环节 k1T1S+1 1 S+ 1 T1 k1 T1 1 S 1 T1+ k1 T1 1 T 1+ x3 x3 k2T2S+1k4 k1T1S+1u y+ k3 T3S 1 T 1 + x3 x3 k1 T1 k4 1 T2 + x2 x2 k2 T2 k3 T3 x1 x1=y+u 1 T1 + x3 x3 k1 T1 k4 1 T2 + x2 x2 k2 T2 k3 T3 x1 x1=y+ux1= x2 k3 T3x3= x3+ （u k4x1） k1 T11 T1x2= x2+ x3 1 T2 k2 T2 y =x 1 例：含有零点 kSSZS+Pu y+ 1S+aZ +PS+PSZS+P =1Z +PS+P kSu y+ 1S+a+ 例：由RLC组成的系统如图，u为输入变量，y为输出变 量，试建立它的状态空间表达式。CRLuRuLuCiu+ + y解：u= uR + uL + uC uL =Ldt di u= RCduCdt +LCd2uCdt2 +uC设状态变量为：x1=uC、x2= x1= uC y = 1 0 x 1x2 x1x2 = u1LC0 1 1LC RL x1x2 + 0 i =C dt duC 例：试建立图中所示的机械旋转运动的状态空间表 达式。设转动惯量为J。设状态变量为：x1= 、x2= = BK TB：粘性阻尼系数。 K： 扭转轴的刚性系数。T：施加于扭转轴上的力矩。 ：转动的角度。解：设扭转轴的转动角度及其角速度为状态变量。u=T根据牛顿定律：T BKJ21 xx 2x 1xy uxxx JJBJK 1212 例：试建立图中所示的机械旋转运动的状态空间表 达式。设转动惯量为J。 y = 1 0 x 1x2 x1x2 = u1 J0 1 kJ BJ x1x2 + 0 BK TB：粘性阻尼系数。 K： 扭转轴的刚性系数。T：施加于扭转轴上的力矩。 ：转动的角度。解：设扭转轴的转动角度及其角速度为状态变量。 1、输入函数不包含导数项时设系统的微分方程：y（n）+a1y（n1）+an1 y+any=bu变换为：X=AX+BUY=CX设y、 yy（n1）为系统的状态变量。令：x1=yx2=yx n1=y（n2）xn=y（n1）系统状态方程：x1=x2x2=x3 xn1= xnxn= y（n）=a1xn a2xn1 anx1+bu 1、输入函数不包含导数项时系统状态方程：x1=x2x2=x3 xn1= xnxn= y（n）=a1xn a2xn1 anx1+bu y =x1 = 0 1 0 0 x1x2x n u0 x1x2 + 0 xn 0b0 0 1 0 an an1 an2 a1 y =x1 y = 10 0 x1x2xna3a2a1x1x2x 3 = u0 1 0 +x1x2x3 006 0 0 16115 y = 1 0 0 x1x2x3例：将y+5y+11y+6y=6u变换为状态空间表达式 2、输入函数包含导数项时设系统的微分方程：y（n）+a1y（n1）+an1 y+any=b0u（n）+b1u（n1） +bn1u +bnu设：y+a1y+a2y+a3y=b0 u+ b1 u+b2u+ b3u 状态空间表达式x1x2x 3 = u0 1 0 +x1x2x3 c1c2c3 0 0 1a3 a2a1选择待定系数c1 、c2 、c3使状态方程中不含导数项 2、输入函数包含导数项时x1x2x3 = u0 1 0 +x1x2x3 c1c2c3 0 0 1a3a2 a1x1= x2+ c1 ux2= x3+ c2 ux3 =a3 x1 a2 x2 a1 x3 + c3 u将上式展开：求c1 、c2 、c3 2、输入函数包含导数项时令：y= x1+c0u （1）x1= x2+ c1 ux2= x3+ c2 ux3 =a3 x1 a2 x2 a1 x3 + c3 uy= x1+c0u = x2+c1u + c0u （2） y= x2+c1u + c0u= x3+c2u + c1u+c0u （3） y= x3+c2u+c1u + c0u = a3 x1 a2 x2 a1 x3+ c3 u +c2u + c1u+c0u （4） a 1 （3）+ a2 （2）+ a3 （1）+（4）即：y+a1y+a2y+a3y=b0 u+ b1 u+b2u+ b3u 左式=c0u +(c1+a1c0)u+(c2+a1c1+ a2c0 )u+(c3+a1c2+ a2c1+a3c0)u 2、输入函数包含导数项时y+a1y+a2y+a3y=b0 u+ b1 u+b2u+ b3u 左式=c0u +(c1+a1c0)u+(c2+a1c1+ a2c0 )u+(c3+a1c2+ a2c1+a3c0)u 比较系数得：c0= b0c1=b1a1c0c2=b2a1c1 a2c0c3=b3a1c2 a2c1 a3c0对于n阶系统：cn=bna1cn1a2c n2 aic ni anc0 2、输入函数包含导数项时求系统的状态变量y= x1+c0u （1）y= x1+c0u = x2+c1u + c0u （2） y= x2+c1u + c0u= x3+c2u + c1u+c0u （3） x1 = y c0u （1）x2 = y c1u c0u （2） x3 = y c2u c1u c0u（3） 因为：所以：状态变量是由y、u及它的各价导数组成。 解：c0=0 a3a2a1例：将y+4y+2y+y=u+u+3u变换为状态空间表达式 b1b2 b3 b0=0c1=b1a1c0=140=1c2=b2a1c1 a2c0=1 41= 3c3=b3a1c2 a2c1 a3c0=3 4（ 3）21=13x1x2x3 = u0 1 0 +x1x2x3 1313 0 0 112 4 y= x1 作业：1-1试求系统的模拟结构图，并建立状态空间表达式。 k1T1S+1 k2 Su y+ 1 T2S+1+ 1 S1-2 将y+2y+4y+6y=2u变换为状态空间表达式。 1-3 将uuyyy 323)4(变换为状态空间表达式。 1-3 试建立图中所示的机械旋转运动的状态空间表 达式。设转动惯量为J。 BK TB：粘性阻尼系数。 K： 扭转轴的刚性系数。T：施加于扭转轴上的力矩。 ：转动的角度。 已知系统的传递函数U(S)Y(S) =G (S)= b0Sn + b1Sn1+ bn1 S+bn a0Sn + a1Sn1+ an1 S+an G (S)= b1Sn1+ b2Sn2+ + bn1 S+bnSn + a1Sn1+ an1 S+an +d=G(S)+d化为真分式： 输出与输入之间的直接传递关系首先讨论G(S) b1Sn1+ b2Sn2+ + bn1 S+bnSn + a1Sn1+ an1 S+anG(S) =1、G(S)特征方程的n个极点互异用部分分式法G(S) = k1SS1 + +k2SS2+ knSSnS1、 S2、 Sn：特征方程的极点k1、 k2、 kn：待定系数ki=Lim (SSi) G(S)SS iLim (SSi) SSi k1SS1 + +k2SS2+ knSSn 因为 ki= 设第i个状态变量的拉氏变换为xi(S)= 1SSi U(S) (SSi) xi(S)= U(S) Sxi (S)=Sixi(S)+U(S) 由拉氏反 变换得状态方程：xi(t)= Sixi(t)+ux1(t)= S1x1(t)+ux2(t)= S2x2(t)+uxi(t)= Sixi(t)+u xn(t)= Snxn(t)+u 求输出方程：G(S) = k1SS1 + +k2SS2+ knSSn=k1x1(S)+ k2x2(S)+ + knxn(S)y(t)=k1x1(t)+ k2x2(t)+ + knxn(t)y(t)=k 1x1(t)+ k2x2(t)+ + knxn(t)+du计入d的影响Y(S) = k1SS1 + +U(S) + k2SS2U(S) knSSnU(S) )( )(SX SY 矩阵形式：y(t)=k1x1(t)+ k2x2(t)+ + knxn(t)+dux1(t)= S1x1(t)+ux2(t)= S2x2(t)+uxi(t)= Sixi(t)+u = S1 0 0 0 x1x2xn u1x1x2 + 1xn 110 S2 0 0 0 0 0 Sny = k1k2 kn x1x2xn对角线标准形+du 信号流图：x1 x1 k1S1xn xn knS n y(t)=k1x1(t)+ k2x2(t)+ + knxn(t)+duxi(t)= Sixi(t)+u x2 x2 k2S2 u 11 11 11 yd 例：已知系统传递函数为：G(S) = 2S+1S3+7S2+14S+8试用部分分式法写出状态空间表达式。解：由 S3+7S2+14S+8=0求得：S1= 1、 S2= 2、 S3= 4则 G(S) = k1S+1 +k2S+2+ k3S+4k1 = Lim (S+1) G(S)= Lim (S+1) S 1 S 1 2S+1(S+1)(S+2)(S+4) = 1 3k 2= Lim (S+2) G(S)= Lim (S+2) S 2 S 2 2S+1(S+1)(S+2)(S+4) = 3 2k3= Lim (S+4) G(S)= Lim (S+4) S 4 S 4 2S+1(S+1)(S+2)(S+4) = 7 6 x1x2x3 = u1 0 0 +x1x2x3 111 0 2 00 0 4 y= x1x2x31 3 3 2 7 6x1 x11x 3 x34x2 x22u 11 11 11 y1 3 3 26 7 2、G(S)特征方程有相重极点设系统有5个特征根：S1、 S1、 S1、 S4、 S5。G(S) = k11(SS1)3 +k12(SS1)2+ k5SS5k13(SS1)+ k4SS4+Kij= Lim 1(j1)!SS1 dj1 G(S) (SS1)m dSj1 重极点系数：单极点系数：k i=Lim (SSi) G(S)SSim：重极点的个数 2、G(S)特征方程有相重极点x1(S)= 1(SS1)3 U(S)设状态变量的拉氏变换为x2(S)= 1(SS1)2 U(S)x3(S)= 1(SS1) U(S)x4(S)= 1(SS 4) U(S)x5(S)= 1(SS5) U(S)则： x1(S)= 1(SS1) x2(S)x2(S)= 1(SS1) x3(S)x3(S)= 1(SS1) U(S) 2、G(S)特征方程有相重极点x4(S)= 1(SS4) U(S)x 5(S)= 1(SS5) U(S)x1(S)= 1(SS1) x2(S)x2(S)= 1(SS1) x3(S)x3(S)= 1(SS1) U(S)整理后得：Sx1(S)=S1x1(S)+x2(S) Sx2(S)=S1x2(S)+x3(S) Sx3(S)=S1x3(S)+U(S) Sx4(S)=S4x4(S)+U(S) Sx5(S)=S5x5(S)+U(S) 2、G(S)特征方程有相重极点取拉氏反 变换，得系统状态方程：Sx1(S)=S1x1(S)+x2(S) Sx2(S)=S1x2(S)+x3(S) Sx3(S)=S1x3(S)+U(S) Sx4(S)=S4x4(S)+U(S) Sx5(S)=S5x5(S)+U(S) x1(t)= S1x1(t)+ x2(t)x4(t)= S4x4(t)+ux2(t)= S1x2(t)+ x3(t)x3(t)= S1x3(t)+ ux5(t)= S5x5(t)+u 2、G(S)特征方程有相重极点x1(t)= S1x1(t)+ x2(t) x4(t)= S4x4(t)+ux2(t)= S1x2(t)+ x3(t)x3(t)= S1x3(t)+ u x5(t)= S5x5(t)+u= S1 1 0 0 0 x1x2x3x4x 5 u+ 001110 S1 1 0 00 0 0 0 S5 0 0 S1 0 00 0 0 S4 0 x1x2x3x4x5系统状态方程：约当标准形 2、G(S)特征方程有相重极点Y(S) = +k11(SS1)3 U(S) + k 5SS5U(S) k13(SS1) U(S) +k12(SS1)2 U(S) +k4SS4U(S) =k11x1(S)+ k12x2(S)+ k13x3(S) + k4x4(S)+ k5x5(S)x2(S)= 1(SS1)2 U(S)x3(S)= 1(SS1) U(S) x4(S)= 1(SS4) U(S)x5(S)= 1(SS5) U(S)x1(S)= 1(SS1)3 U(S)求输出方程： 2、G(S)特征方程有相重极点Y(S)=k11x1(S)+ k12x2(S)+ k13x3(S) + k4x4(S)+ k5x5(S)y(t) =k11x1(t)+ k12x2(t)+ k13x3(t) + k4x4(t)+ k5x5(t)系统输出方程：y = k11 k12 k13 k4 k5 x1x2x3x4x5 y(t) =k11x1(t)+ k12x2(t)+ k13x2(t) + k4x4(t)+ k5x5(t)x1(t)= S1x1(t)+ x2(t) x4(t)= S4x4(t)+ux2(t)= S1x2(t)+ x3(t)x3(t)= S1x3(t)+ u x5(t)= S5x5(t)+u信号流图：x5 x5S5x4 x4S4u k41 11 x3 x3S1 1k5 yx2 x2S1 1 x1 x1S1 k11k12k13 例：已知系统传递函数为：G(S) = 4S2+17S+16S3+7S2+16S+12试用部分分式法写出状态空间表达式。解：由 S3+7S2+16S+12=0求得：S1= 2、 S2= 2、 S3= 3则 G(S) = k11(S+2)2 +k12S+2+ k3S+3(S+2)2(S+3)=0K ij= Lim 1(j1)!SS1 dj1 G(S) (SS1)m dSj1 G(S) = k11(S+2)2 +k12S+2+ k3S+3S2K11= Lim 1(11)! G(S) (S+2)2 Kij= Lim 1(j1)!SS1 dj1 G(S) (SS1)m dSj1 K12= Lim 1(21)!S 2 d21 G(S) (S+2)2 dS21 1(21)!S 2 d 4S2+17S+16dS (S+3) K12= Lim =3= LimS2 (S+2)2(S+3)4S2+17S+16 (S+2)2=2 k3=Lim (S+3) G(S)S3 =Lim 4S2+17S+16 (S+2)2 S3 =1x1x2x3 = u2 1 0 +x1x2x3 011 0 2 00 0 3(S+2)2(S+3)4S2+17S+16G(S)=y= x1x2x32 3 1信号流图或结构图？ 作业1-4 已知系统传递函数为： S2+S+1S3+6S2+11S+6试用部分分式法写出状态空间表达式，画出系统的模拟结构图或信号流图。 1.4 状态方程的线性变换 特征矢量线性变换法，把状态方程化为对角线标准形或约当标准形。设：X=x1 x2 x3 xnT X=x1 x2 x3 xnT 它们之间的线性变换：X=P1XX=PX P：nn非奇异变换阵已知线性系统为：X=AX+BUY=CX+DUX=PX令： X=PX代入状态方程Y=CPX+DUPX=APX+BU X=P1APX+ P1BUY=CPX+DU X=P1APX+ P1BUY=CPX+DUPX=APX+BU Y=CPX+DUY=CX+DUX=AX+BU 式中A= P1AP B= P1B C=CP D=D 1、特征值及特征矢量AP=PA的特征值P AP=0 (I A)P =0有非零解的必要条件：|I A | =0A的特征方程 |I A | = n +a1 n1+a n1 + a n求得A的特征值： 1、 2、 n Api=ipi对应于i的一个特征矢量由全部所对应的特征矢量：P=p1 p2 pi pn = p11p12. p1n p21p22. P2n . . . . . Pn1Pn2. pnn 线性变换阵2、特征值不变性特征多项式经线性变换后，其特征值不变。 |I A |2、特征值不变性X=AX+BU对于X=AX+BU 对于|I A |A= P1AP B= P1B |I A | =|I A |证明：|I A | =| I P1AP| =| P1P P1AP| |P1(I A) P|= |P1|I A| P |=|P1| P|I A| 所以：= 设X=AX+BU，若A的特征值1、 2、 n互异，则必存在非奇异变换阵P，使其进行X=PX的变换后，其状态方程X=AX+BU 将为对角线标准形，即 1 0 0 00 2 0 0 0 0 0 nA=且P=p 1 p2 pi pn = p11p12. p1n p21p22. P2n . . . . . Pn1Pn2. pnn A= P1APB= P1BC=CPD=D X=P1X设：A的特征值： 1、 2、 n 特征矢量：p1 p2 pi pn证明A= P1AP 1 0 0 00 2 0 0 0 0 0 nA=证明：X=P1APX+ P1BUX=AX+BU 若Pi是对应于i的一个特征矢量则必满足( iI A)pi =0Ap2=2p2 Api=ipiAp1=1p1 证明：Ap2=2p2Api=ipiAp1=1p1Api=ipiApn=npn写成矩阵形式：Ap1 Ap2 Api Apn=1p1 2p2 ipi npn Ap1 p2 pi pn= 1p1 2p2 ipi npn AP= p1 p2 pi pn 1 0 0 00 2 0 0 0 0 0 n 1 0 0 00 2 0 0 0 0 0 n=P证明：AP= p1 p2 pi pn 1 0 0 00 2 0 0 0 0 0 nA= P1AP 1 0 0 00 2 0 0 0 0 0 n=证毕 例：试将状态方程变换为对角线标准形。x1x2x3 = u0 1 1 +x1x2x3 001 6 11 6 6 11 5 解：(1)求系统特征值|I A | = 0 1 1 6 11 6 6 11 5 0 0 0 0 0 0 = 1 1 6 +11 6 6 11 5 |I A | = 1 1 6 +11 6 6 11 5 = 3+6 2+11 +6=0( +1)( +2) ( +3)=0(2)求特征矢量对应于1= 1 的特征矢量为p1，Ap1=1p10 1 1 6 11 6 6 11 5 p11p21p31 = p11 p21 p31 p21p31= p11 6p11 11 p21+6p31= p21 6p11 11 p21+5p31= p31p 21p31= p11 6p11 10 p21+6p31= 0 6p11 11 p21+6p31= 0可以看出： p21=0 p11=p31令 p11=1 p31 =1求得： 1= 1、 2= 2、 3= 3 同理，将 2= 2、 3= 3分别代入Ap2=2p2 Ap3=3p3求得： 1 0 1=p11p21p31p1= 1 2 4=p12p22p32p2= 1 6 9=p13p23p33p3=变换阵P=p1 p2 p3= 3 5/2 1 3 4 31 3/2 1P1=1 1 10 2 61 4 9A= P 1AP则= 1 0 0 0 2 0 0 0 3 B= P1B = 2 3 1 A= P1AP则= 1 0 0 0 2 0 0 0 3 B= P1B = 2 3 1= +x1x2x3 x1x2x3 1 0 0 0 2 0 0 0 3 2 3 1 u当A有相重特征值时；1、A的线性独立特征矢量数等于它的阶数n，这时A仍可以化为对角线标准形；2、A的线性独立特征矢量数小于它的阶数n，这时A不能化为对角线标准形，只能化为约当标准形； 例：A=对应特征值： 1= 1、 2= 1、 3= 2对应于1= 1 的特征矢量为p1，0 0 10 0 00 0 11I A p1 = p11p21p31 = 01 0 10 1 00 0 2显然1I A 的秩是1， p1有两个独立的解，对应两个独立的特征矢量，即 A= P1AP = 1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0p1= 1 0 1p3=对应于3= 3 的特征矢量为p3，则 P= 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0p2=0 0 10 0 00 0 11I A p1 = p11p21p31 = 0 若：A=对应特征值： 1= 1、 2= 1、 3= 21 1 20 1 30 0 1但rank1I A =2，独立的特征矢量只有一个。约当标准形：Y=CX+DUX=JX+BU 式中J= Q1AQ B= Q1B C=CQ D=D 设A是55的方阵，其特征值为1、 1、 1、 4和5，存在一个变换阵Q，使得J= Q1AQ A1 0 0 0 A2 0 0 0 A3= A的约当标准形J由三个约当块组成。若 1 只有一个独立的特征矢量，则 1 1 0 0 00 1 1 0 00 0 0 0 50 0 1 0 00 0 0 4 0J= Q1AQ= J= Q1AQ= 1 1 0 0 00 1 0 0 00 0 0 0 50 0 1 0 00 0 0 4 0若 1 有两个独立的特征矢量，则若 1 有三个独立的特征矢量，则J= Q1AQ= 1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 0 50 0 1 0 00 0 0 4 0 设 1 有一个独立的特征矢量，求Q。J= Q1AQ Q J=AQ令Q= q11q12. q15q21q22. q25. . . . . q51q52. q55 =Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 1 1 0 0 00 1 1 0 00 0 0 0 50 0 1 0 00 0 0 4 0Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 =A Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 1 1 0 0 00 1 1 0 00 0 0 0 50 0 1 0 00 0 0 4 0Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 =A Q1 Q2 Q3 Q4 Q5将上式展开得： 1 Q1=A Q1Q1 + 1 Q2=A Q2Q2 + 1 Q3=A Q3 5Q5=A Q5 4 Q4=A Q4（ 1 IA）Q1= 0（ 1 IA）Q2= Q1（ 1 IA）Q3= Q2（ 4 IA）Q4= 0（ 5 IA）Q5= 0Q1、Q4、Q5为独立特征矢量，Q2、Q3为非独立特征矢量 （ 1 IA）Q1= 0（ 1 IA）Q2= Q1（ 1 IA）Q3= Q2（ 4 IA）Q4= 0（ 5 IA）Q5= 0例：A= 0 6 51 0 23 2 4化A为标准形。 解：(1)求系统特征值|I A | = 0 6 5 1 0 2 3 2 4 0 0 0 0 0 0 = 6 5 1 2 3 2 4 = ( 1) 2( 2) |I A | =( 1)2( 2) 求得： 1= 1、 2= 1、 3= 2将1= 1 代入（ 1 IA）Q1= 0中 6 5 1 2 3 2 4 q11q21q311 6 5 1 1 2 3 2 3 =0rank1I A =2，独立的特征矢量只有一个。任取q11=1解得q21= 3/7， q31= 5/7再将Q 1代入（ 1 IA）Q2= Q1中 1 3/7 5/7Q1= rank2I A =2，独立的特征矢量只有一个。任取q12=1解得q22= 22/49， q32= 46/49再将Q1代入（ 1 IA）Q2= Q1中要保证Q阵非奇异将3=2代入（3 IA）Q3= 0中2 6 5 1 2 2 3 2 2 q13q23q33 =0 rank2I A =2，独立的特征矢量只有一个。令q13=2，则q23= 1，q33= 2 1 22/49 46/49Q2=q12q22q32 = 13/75/71 6 5 1 1 2 3 2 3 2 1 2Q3= 1 22/49 46/49Q2= 1 3/7 5/7Q1=Q= 1 1 2 3/7 22/49 1 5/7 46/49 2 1 1 00 1 00 0 2J= Q1AQ= 作业1-5 已知Y= 1 0 x1x2x1x2 x1x2= + u11 0 1 2 3试化为标准形并求其传递函数。 1.5 系统的传递函数阵G11(S)G21(S)G12 (S)G 22 (S) + + Y2(S)U1(S)U2(S) Y1(S)当初始条件为零时Y1(S)=G11(S) U1(S)+ G12(S) U2(S)Y2(S)=G21(S) U1(S)+ G22(S) U2(S)双输入双输出 Y1(S)=G11(S) U1(S)+ G12(S) U2(S)Y2(S)=G21(S) U1(S)+ G22(S) U2(S)Y1(S)Y2(S) G11(S) G12(S)G21(S) G22(S) U1(S)U2(S)=简记为：Y (S) =G(S) U (S)G11G12G1nG21G22 G2n G n1Gn2 Gnnn个输入n个输出G11 0 0 00 G22 0 0 0 0 0Gnn Y (S)=G0(S) E(S)= G0(S) U(S)F(S)G0(S)H(S)E(S)F(S)U(S) Y(S)+ =G0(S) U(S)H(S) Y(S) I+G0(S) H(S) Y(S)= G0(S) U(S)Y (S)= I+G0(S) H(S) 1 G0(S) U(S)闭环传递函数阵：G(S)= I+G0(S) H(S) 1 G0(S) X=AX+BUY=CX+DU X：n维，Y：m维，U：r维，对上式取拉氏变换SX(S)X(0)=AX(S)+BU(S)X(0)=0 Y(S)=CX(S)+DU(S)SX(S) =AX(S)+BU(S) X(S) =SIA1BU(S)Y(S)= CSIA1B +D U(S)传递函数阵：G（S）= CSIA1B +D 例：已知系统的状态空间表达式为x1=x2+u1x2=x3+2u1u2x3=6x111x26x3+2u2y1=x1 x2y2 =2x1+x2 x3 试求其传递函数阵。解：A= 0 1 00 0 16116 1 02 10 2B= C= 1 1 02 1 1 G（S）= CSIA 1B +D1 1 02 1 1 S 1 0 0 S 1 6 11 S+ 6 1 1 02 10 2 G(S)=S3+6S2+11S+61 S2 4S+29 S2 + 3S 44S2 + 56S+52 3S2 17S 14= 1 14 3 S2+ 4 356 17 29 452 14S+S3+6S2+11S+6 对状态方程进行线性变换后，其对应的传递函数阵不变.证明：G(S):原系统的传递函数阵 G(S):经过线性变换的状态空间表达式所对应的 传递函数阵。G(S)= CSIA1B +D G(S)= CSIA1B +D 设P是非奇异变换阵，由于A= P1AP B= P1B C=CP D=D= CPS P1PP1AP1 P1B +D= CPP 1( S IA) P1 P1B +D= CP P1 S IA 1 PP1B +D= C S IA 1 B +D故G(S)= CPSIP1AP1 P1B +D 设子系统S1、S2分别为n1、n2维，其组合系统的示意图B1 D1 C1A1U(t) + + + + Y1(t)X1 X1B2 D2 C2A 2+ + + + Y2(t)X2 X2 + Y (t)X1=A1X1+B1UY1=C1X1+D1U X2=A2X2+B2UY2=C2X2+D2U X1=A1X1+B1UY1=C1X1+D1U X2=A2X2+B2UY2=C2X2+D2U组合系统Y=Y1+ Y2= C1X1+D1U+ C2X2+D2UY= C1 C2 D1+ D2X1X2 + U传递函数阵：G 1(S)= C1SIA11B1 +D1G2(S)= C2SIA21B2 +D2G(S)= CSIA1B +DX1X2 X1X2= + UB1B2A1 0 0 A2 传递函数阵：G1(S)= C1SIA11B1 +D1G2(S)= C2SIA21B2 +D2G(S)= CSIA1B +D B1B2SIA1 0 0 SI A2C1 C2 1 + D1+ D2= B1B2(SIA1) 0 0 (SI A2)C1 C2 1 + D1+ D2= 1= C1SIA11B1 + C2SIA21B2 + D1+ D2= C 1SIA11B1 +D1+ C2SIA21B2 +D2G(S) = G1(S)+ G2(S) X1=A1X1+B1UY1=C1X1+D1U=U2 X2=A2X2+B2U2 =A2X2+B2(C1X1+D1U) =A2X2+B2C1X1+ B2 D1UY2=C2X2+D2(C1X1+D1U)= C2X2+D2C1X1+D2D1UB1 D1 C1A1U(t) + + + + Y1(t)X1 X1B2 D2 C2A2+ + + +Y2(t)X2 X2 Y (t)U2(t) X1=A1X1+B1UY1=C1X1+D1U=U2 X2=A2X2+B2U2 =A2X2+B2(C1X1+D1U) =A2X2+B2C1X1+ B2 D1UY2=C2X2+D2(C1X1+D1U)= C2X2+D2C1X1+D2D1UY= D2C1 C2 D2 D1 UX1X2 +X1X2 X1X2= + UB1B2D1A1 0B2C1 A2 X1=A1X1+B1UY1=C1X1+D1U=U2 X2=A2X2+B2C1X1+ B2 D1UY2=C2X2+D2C1X1+D2D1UY= D2C1 C2 D2 D1 UX1X2 +X1X2 X1X2= + UB1B2D1A1 0B2C1 A2传递函数阵：G(S)= CSIA1B +DB1B 2D1D2C1 C2 SIA1 0 B2C1 SI A21 + D2 D1= SIA1 0 B2C1 SI A21= (SIA1)1(SIA2)1 B2C1(SIA1)1 (SIA2)10G(S)= C2SIA21B2 + D2 C1SIA11B1 + D1G(S)= G 2(S) G1(S) G(S) B1B2D1D2C1 C2 SIA1 0 B2C1 SI A21 + D2 D1= Y (t)B1 C1A1U(t) + + Y1(t)X1 X1 B2C2 A2+ + +Y2(t) X2X2 U2(t)U1(t)X1=A1X1+B1U1=A1X1+B1(UC2X2)= A1X1B1C2X2 +B1UY 1=C1X1=YX2=B2U2+A2X2= B2 C1X1+ A2X2Y2=C2X2 X1=A1X1+B1U1=A1X1+B1(UC2X2)= A1X1B1C2X2 +B1UY1=C1X1=YX2=B2U2+A2X2= B2 C1X1+ A2X2 Y= C1 0 X1X2X1X2 X1X2= + UB1 0A1 B1C2B2C1 A2G1(S)= C1SIA11B1 =G0(S)G2(S)= C2SIA21B2=H(S)G(S)= CSIA1B传递函数阵：G(S)=I+ G 0(S) H(S)1G0(S) y2= 2 1 x3x4x1x2 x1x2= + u01 0 1 2 3作业1-6 设子系统S1、S2的状态空间表达式分别为x3x4 x3x4= + u01 0 1 12 7 y1= 1 0 x1x2求并联系统的状态空间表达式及它的传递函数。 1.6 离散系统的状态空间表达式X(k+1)T=G(kT) X(kT)+ H(kT)u(kT) (1)Y (kT)=C(kT) X(kT)+ D(kT)u(kT) (2)T:采样周期。(1)式是一阶差分方程组(2)式是代数方程组离散系统的状态空间表达式由系统的高阶差分方程或脉冲传递函数获得。 1.7 时变系统和非线性系统的状 态空间表达式一、线性时变系统X=A(t)X+B (t) UY=C (t) X+D (t) UA(t)= a11 (t) a12 (t). a1n (t) a21 (t) a22 (t). a2n (t) . . . . . an1 (t) an2 (t). ann (t) B(t)= b11 (t) b12 (t). b1r (t) b21 (t) b22 (t). b2r (t) . . . . . bn1 (t) bn2 (t). bnr (t) C(t)= c 11 (t) c12 (t). c1n (t) c21 (t) c22 (t). c2n (t) . . . . . cm1 (t) cm2 (t). cmn (t) D(t)= d11 (t) d12 (t). d1r (t) d21 (t) d22 (t). d2r (t) . . . . . dm1 (t) dm2 (t). dmr (t) 二、非线性系统X=F（X U t）Y=G（X U t）