应用MATLAB解决高等代数问题

第四讲：应用MATLAB解决高等代数问题1.交 换 矩 阵 中 的 两 个 行 向 量 的 位 置 ；2.用 一 个 非 零 数 乘 以 矩 阵 的 某 一 行 向 量3.把 矩 阵 的 某 一 个 行 向 量 乘 以 实 数 并 加 到 矩 阵的 另 一 行 上一、矩阵的初等变换与方程的MATLAB求解 例：求解线性方程组 22 12 353 321 321 321 xxx xxx xxx线性代数方法用增广矩阵初等变换即消元法过程 2121 1211 3513A 经过初等行变换将矩阵A变为矩阵B 这时矩阵对应的方程组 27 13 22 332 321 xxx xxx此方程组的解为 7/107/1 7/2 321xxx A=3 -1 5 3;1 -1 2 1;1 -2 -1 2 %输入矩阵的数据A(1 3,:)=A(3 1,:) %交换第一行和第三行数据A(2,:)=A(2,:)-A(1,:) %将第一行乘以-1加到第二行A(3,:)=A(3,:)-3*A(1,:)%将第一行乘以-3加到第三行A(3,:)=A(3,:)-5*A(2,:) %将第二行乘以-5加到第三行 方法之一：初等变换法 A=3 -1 5 3;1 -1 2 1;1 -2 -1 2 %输入矩阵的数据format rat %分数数据格式rref(A) %化简矩阵方法之二：Cramer法则A=3 -1 5;1 -1 2 ;1 -2 -1 %输入矩阵的数据B=3 1 2; %输入线性方程组的常数项S=0 0 0; %给解向量赋初值for i=1:3 %for循环 C=A; %将矩阵A赋给临时矩阵C C(:,i)=B; %将常数项赋给矩阵C的第i列即求Ai S(i)=det(C)/det(A); %求xiendformat rat %数据格式说明为分数形式S %显示S 方法之三：利用矩阵的左除“”A=3 -1 5;1 -1 2 ;1 -2 -1 ；b=3 1 2； x=Abx = 10/7 -1/7 -2/7 二、线性方程组的解结构1。齐次方程组的解结构AX=0 求解方程过程如下 根据最简行阶梯形矩阵写出简化方程组确定自由求知量整理方程组为向量形式量提取方程组右端各自由求知量的系数形成的向量组即为基础解系将系数矩阵化为最简行阶梯形矩阵 022 004321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx例：解线性方程组：应用MATLAB计算过程如下：A=1 1 1 1;1 1 1 1;1 1 2 2 %输入矩阵rref(A) %将矩阵化为最简阶梯形矩阵 运行结果为：A = 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -2 2ans = 1 -1 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 由运行结果知化简的等价方程组为： 0043 21 xx xx取x2，x4为自由求知量，得方程组的解的向量形式为 11000011 424321 xxxxxx 00111所以齐次方程组的通解为 2211 kkX 11002所以基础解系为： 2.非齐次方程组的解的结构求解非齐次线性方程组的通解的步骤如下：1）、写出非次方程组的增广矩阵；2）、将增广矩阵化为最简行阶梯形矩阵；3）、观察增广矩阵与系数矩阵的秩是否相等，若相等则方程组有解，若不相等则方程组无解；4）、写出对应的简化的线性方程组；5）、确定自由求知量6）、整理方程组为向量形式。 例：求解下列非齐线性方程组 122773 73892 2254 332 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 122773 73892 22541 31321A矩阵为解非齐次方程组的增广 在MATLAB中输入的命令如下A=1 2 3 1;1 4 5 2;2 9 8 3;3 7 7 2;b=3;2;7;12 ；format ratc=A b；rref(c);计算结果如下 ans = 1 0 0 -1/2 31/6 0 1 0 0 2/3 0 0 1 1/2 -7/6 0 0 0 0 0 所以简化方程组为： 672132 63121 43 2 41 xxx xx 所以原线性方程组的通解为： 44 43 2 41 672132 63121xx xxx xx 06732631121021kX即解为 取x4为自由求知量 三、向量组的线性相关性判定1.向量组线性相关与线性无关的定义：m , 21如果存在m个不全为零的一组数k1,k2, ,km使0 2211 mmkkk 成立，则称向量组m , 21是线性相关的。m , 21如果仅当k1=k2= =km=0时设有m个向量 1）将给定的m个向量组的写成列向量形式，组成一个nm阶的矩阵 21 mA 2.应用MATLAB进行向量组的线性相关性的判定步骤：才有上面的等式成立，则称向量组线性无关2)判定是否存在不全为零的一组数k1,k2, ,km使得 021222122121111 nmmmmnn aaakaaakaaak 即判定线性方程组 0002211 2222121 1212111 mnmnn mm mm xaxaxa xaxaxa xaxaxa 是否有非零解，从而有02211 mmkkk 这说明向量组线性相关。如果方程组只有零解，则说明该向量组线性无关。3）用命令rref将矩阵A化为最简行阶梯形矩阵；4）观察最简行阶梯形矩阵中非零行向量的数目是否小于向量组全部向量数目m,若小于m则向量组线性相关；否则线性无关。 例 判断下列向量组的线性相关性1)、a1=4 3 1 1 1,a2=2 1 3 2 5 a3=1 3 0 1 2,a4=1 5 2 1 62）a1=1 0 0 1 4,a2=0 1 0 2 5,a3=0 0 1 3 6a4=1 2 3 14 32,a5=4 5 6 32 77(北京大学数学力学系高等代数p151 16-4） 解：1)先在MATLAB中将上面四个向量以行向量数据形式输入，再转置为列向量组成的矩阵，然后用rref命令将其化为最简行阶梯形矩阵，命令如下A=4 3 -1 1 -1;2 1 -3 2 -5;1 -3 0 1 -2;1 5 2 -1 6A=Arref(A) ans = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0最简行阶梯形矩阵的变量名为ans,它的不全为零为行向量数为4，而向量组中向量数也是4,所以向量组是线性无关的。 a1=1 0 0 1 4,a2=0 1 0 2 5,a3=0 0 1 3 6a4=1 2 3 14 32,a5=4 5 6 32 77A=a1;a2;a3;a4;a5rref(A)2)可以应用矩阵拼接命令 得非零行数为3，所以该向量组线性相关。ans = 1 0 0 1 4 0 1 0 2 5 0 0 1 3 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 四、向量组的最大无关组1.极大无关组的定义：对于一个相关向量组T中最多有多少个向量是线性无关的，这就是极大无关组，即一向量组的一个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添加一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关的。 2.秩的定义：极大线性无关组所含向量个数r称为向量组的秩。3.应用MATLAB求向量组的极大无关组的方法借助向量组线性相关性分析的方法，可得求向量组 m , 21的极大无关组的步骤如下：1）.将向量组中每个向量以列的形式排成矩阵A=a1 a2 am 2).把矩阵A化为最简行阶形矩阵3).确定最简行阶梯形矩阵中非零行向量数目r（即向量组T的秩），在最简行阶梯形矩阵中寻找r个无关的列向量 r 21,4).根据r 21,所在位置确定矩阵A中列向量位置即得T的极大无关组在最简行阶梯形矩阵中寻找r个线性无关的列向量 r 21,时，只须在仅有一个非零元素的列向量中寻找，非零元素不在同一位置的这类向量是线性无关的。例：求下列向量组的秩和一个极大无关组并将其余向量用极大无关组线性表出1）a1=1 2 1 3;a2=4 -1 -5 -6;a3=1 -3 -4 -7;a4=2 -1 1 0;A=a1;a2;a3;a4 2) a1=1;-1;2;4; a2=0;3;1;2;a3=3;0;7;14; a4=1;-1;2;0;a5=2;1;5;6;解：1）输入向量及命令如下a1=1 2 1 3;a2=4 -1 -5 -6;a3=1 -3 -4 -7;a4=2 -1 1 0;A=a1;a2;a3;a4A=Arref(A)北大高等代数P151 9-2 得简化的行阶梯形矩阵为ans = 1 0 -11/9 0 0 1 5/9 0 0 0 0 1 0 0 0 0 最简矩阵中的有三个不全为零的行向量，所以向量组的秩为3，显然第一列、第二列、第四列线性无关，所以对应于原向量一个极大无关组为a1,a2 a4，最简矩阵中第三列向量有两个非零元素-11/9，5/9，它们是方程组 32211 xx的解（x1=-11/9,x2=5/9)，也是方程组32211 xx 的解，所以421 , 线性表出被最大无关组3 4213 095911 2）输入向量及命令如下： a1=1;-1;2;4;a2=0;3;1;2;a3=3;0;7;14;a4=1;-1;2;0;a5=2;1;5;6;A=a1 a2 a3 a4 a5rref(A)得最简行阶梯形矩阵ans = 1 0 3 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 由此可知向量组的秩为3，第1列，第2列，第4列的向量是线性无关的，所以a1,a2,a4是极大无关组。最简矩阵中第三列向量有两个非零元素3,1，它们是方程组 32211 xx的解（x1=3,x2=1)，也是方程组32211 xx 的解，所以421 , 线性表出被最大无关组3 4213 03 最简矩阵中第五列向量有三个非零元素1,1,1，它们是方程组 5442211 xxx的解(x1=1,x2=1,x4=1)，也是方程组 的解，所以5线性表出被最大无关组4215 421 , 5442211 xxx注意：两个例子中输入的向量和命令有所不同，请同学们思考为什么？ 五.矩阵的特征值和特征向量1 矩阵的特征值和特征向量设A是n阶方阵，k是一个数，如果存在一非零的列向量X使得AX=kX成立，则称数k为A的征值，非零列向量X称为方阵A的属于特征值K的一个特征向量。用MATLAB的命令 eig可以求出矩阵A的特征值和特征向量的方法有两种 法一）只求A的特征值命令为eig(A)法二）同时求出特征值和特征向量用命令p d=eig(A)例求方阵 304 060 403A特征值和特征向量。 解：先输入矩阵的数据，然后用eig的两种使用方法求解，命令如下A=3 0 4;0 6 0;4 0 3;eig(A)p d=eig(A)第一个命令eig(A)的结果为ans = -1 6 7 p = 0.7071 0 0.7071 0 -1.0000 0 -0.7071 0 0.7071d = -1 0 0 0 6 0 0 0 7命令p d=eig(A)计算结果为 北京大学高等代数求矩阵 122 212 221A应用eig(A)得ans = -1 -1 5 应用p d=eig(A)结果为p= 2131/3543 709/1284 780/1351 408/2299 -369/463 780/1351 -747/959 294/1201 780/1351 d = -1 0 0 0 -1 0 0 0 5 矩阵的相似对角化设三阶矩阵有三个线性无关的特征向量a1,a2,a3，对应的特征值为k1,k2,k3,现定义两个矩阵a1 a2 a3 321 kkkAa1=k1a1,Aa2=k2a2,Aa3=k3a3矩阵形式为AP=P或 -1 说明矩阵A与对角矩阵相似。利用特征矩阵向量和特征值的方法可以求矩阵A的相似对角矩阵。矩阵的相似对角化方法可用计算一矩阵的方幂。例设矩阵 163 053 064A求A10解：先求出A的特征值和特征向量，得A的对角相似矩阵和可逆矩阵P，由等式 -1 得A10= 10-1 MATLAB命令如下A=4 6 0;-3 -5 0;-3 -6 1;p d=eig(A) p*d10*inv(p)结果为ans = -1022 -2046 0 1023 2047 0 1023 2046 1 为了验证这一结果也可以直接输入命令A 10也得这一结果。例 判断二次型的类型（正定型、负定型、半正定型、半负定型），将结果化为标准形式。 3121232221321 44465),( xxxxxxxxxxf 解：首先写出二次型的矩阵，然后求特征值，由特征值的符号判断二次型的类型，根据二次型的系数得其矩阵为 402 062 225A在MATLAB中输入矩阵A的数据并求特征值，所用命令如下：A=-5 2 2;2 -6 0;2 0 -4;eig(A) 计算结果为：ans = -8 -5 -2 说明A有三个负特征值，所以该二次型为负定二次型，它的标准形式为： 232221321 25y-8y)x,x,f(x y为了求得其变换矩阵C的数据，可由命令p d=eig(A)得矩阵A的特征向量矩阵 p= -2/3 1/3 2/3 2/3 2/3 1/3 1/3 -2/3 2/3 显然三个列向量相互正交的单位向量，可得变量的变换关系为 321321 2/3 2/3- 1/3 1/3 2/3 2/3 2/3 1/3 2/3- yyyxxx 由此可以用此方法求高等代数二次型的变换矩阵、化简二次型及二次型的正定判断。 六、应用线性方程组求解数学模型1.实际问题中方程组的类型：适定方程组、不定方程组、超定方程组适定方程组：方程数等于未知数个数时，这一类方程组称为适定方程组。如果其系数矩阵可逆，适定方程组有唯一的解，求解方法有克菜姆方法、消元法、矩阵分解法、迭代法。 不定方程组：实际方程的个数小于未知数的个数，这一类方程称为不定方程组。当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，不定方程组有无穷多组解，根据线性代数的理论和方法，可求得方程组的通解。超定方程组：当方程组的数多于未知数的个数时，这一类方程组称为超定方程组。超定方程组没有准确解，但可以求广义解，例超定方程组的最小二乘解。 1)适定方程组：对于方程组AX=b,如果A为方阵，解适定方程组可以用方阵的系数矩阵的逆来求，即x=inv(A)bA=1 -2 -3 -4;2 1 -1 1;-1 0 -1 2;3 -3 4 -5B=1 1 1 1X=inv(A)*B如果A是奇异方阵，则计算结果为INF， 则会给出警告信息。如果A为病态矩阵，也会出出警告信息。 此外，还可以用除法来解适定方程，X=AB以上二方法区别是：算法上说，上面的两种计算方法都采用高斯消去法，但利用除法求解时，不是先对矩阵A求逆，而是直接利用高斯消法进行计算。这样可以很好地保证计算的速度，而又会节省大量的计算时间，从下例中可以看出除法的优劣。A=rand(100)+1.e10; %生成一个100阶的随机矩阵x=ones(100,1); b=A*x; %求方程右边的向量 tic %开始计时y=inv(A)*b; %用逆运算求解方程 toc %读计时时间err=norm(y-x) %结果与精确解的2范数res=norm(A*y-b) %方程的2范数误差tic %开始计时y=Ab; %除法运算求解方程toc %读计时时间err=norm(y-x) %结果与精确解的2范数res=norm(A*y-b) %方程的2范数误差 elapsed_time = 0err = 0.0457res = 9.7113e+008elapsed_time = 0err = 0.0360res = 0.0033 2）超定方程对于方程Ax=b,A为n,m矩阵，如果A列满秩，且nm,则方程没有精确解的，即其精确解的空间为零。然而在实际工程计算时，求得最小二乘解也是有意义的，方程的解除了用除法运算来求（x=Ab)外，还可以用广义逆来求：x=pinv(A),所求的解并不满足Ax=b，而x只是最小二乘意义上的解。A=3 4 5;6 1 2;4 -5 7;0 2 4 B=3 2 4 6x1=AB x1 = 0.4149 0.0448 0.3737A*x1-B ans = 0.2924 1.2815 0.0516 -1.0966 由此可见，x1不是方程Ax=B精确解，用x2=pinv(A)*B所得的解与x1相同，用线性代数可以证明，列满秩的方程组Ax=B最小二乘解为X=inv(C*C)*C*B,而广义逆pinv(A)=inv(C*C)*C，如上例的结果可以这样计算inv(A*A)*A*B ans = 0.4149 0.0448 0.3737 3)不定方程：理论上说有无穷多个解，如果用逆矩阵法和除法求解时，只能得到其中的一个解A= 1 -2 3;0 1 1;-1 0 1;1 -3 4B=4 -3 -4 1x=pinv(A)*Bx= 2.2549 1.2157 1.0392 x=ABWarning: Rank deficient, rank = 2 tol = 4.6151e-015.y = 3.4706 0 -0.1765x和y都是方程组的解，其中x=pinv(A)*B是方程解中最小的一个，norm(x)=2.7645.而norm(y)=3.4751,y=AB是所有解中0最多的一个，也就是非零元素最多的一个。 2、交通流量问题如图所示给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时通过的车辆数）。图中有6个路口，已有9条路口记录了当天的平均车流量，另有7处的平均车流量未知，试用每个路口的进出车流量相等关系推算7处的平均车流量1）问题提出 x1 x5200300 400 200300 400500200 300 x2x3 x4x6 x72）问题分析与数学模型在图中的任何一个路口（十字路口或丁字路口）处，都有车辆流进和流出。当一天结束后，流进的流出的车辆数应该相等以达到平衡， 在图中有的长远街道车流量有数据记录，而有的没有数据记录，我们可以理解为有数据的街道有专人（或者设备）记录了当天的车流量情况，而没有记录的街道由于人力不足（或设备的经费还没到位）造成的。为了填补空白，设在没有数据的街道处假设车流量是未知数，在每一个路口可根据进出的车流量相等关系，建立一个线性方程，如图有六个路口，可以建立六个方程的线性组，问题的答案应该是在所列的线性方程组 200050020020070075 764 63 52 421 31 xx xxx xx xx xxx xx通解中支寻找，将方程组写成矩阵向量形式为AX=b其中 200050020020070011011001000000 0100100 0010010 0001011 0000101 bA显然是一个不定方程组，因为方程组的个数少于未知数的个数。所以当方程组的系数矩阵A的秩增广矩阵A b的秩相等时，该问题有无穷多解，由于 图 中的街道是单行道，每一街道上的车流量只能是正数或零，故应在方程组的解集合中寻找非负解，如果方程组没有解或没有非负解，说明问题所给的数据有误，求解问题分三步，第一步判断方程组是否有解，第二步，如果方程组有解则求出方程组的通解，第三步，在通解中找非负特解。3）程序和计算结果 A=1 0 1 0 0 0 0;1 -1 0 1 0 0 0;0 1 0 0 -1 0 0;0 0 1 0 0 1 0; 0 0 0 1 0 1 -1; 0 0 0 0 1 0 -1 b=700 200 200 500 0 -200 rank(A)ans = 5 rank(A b)ans = 5 rref(A b)ans = 1 0 0 0 0 -1 0 200 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 1 0 500 0 0 0 1 0 1 -1 0 0 0 0 0 1 0 -1 -200 2000500020075 764 63 72 61 xx xxx xx xx xx即有简化方程组x6、x7为自由未知量，直接可得原方程组的通解形式 002000500020010110100101101 217654321 kkxxxxxxx由上面所得的方程组通解表达式，取适当的k1和k2使特解为非负数即可。求非负解的程序如下： A=1 0 1 0 0 0 0;1 -1 0 1 0 0 0;0 1 0 0 -1 0 0;0 0 1 0 0 1 0; 0 0 0 1 0 1 -1; 0 0 0 0 1 0 -1 ; b=700 200 200 500 0 -200; x=zeros(7,1); s=rref(A b); s=s;zeros(1,8); k1=0; while 1=1 k2=200; while 1=1 x=k1*(-1)*s(:,6)+0 0 0 0 0 1 0)+k2*(-1)*s(:,7)+0 0 0 0 0 0 1)+s(:,8); k2=k2+1; for i=1:7 if x(i)0 break; else continue; end end break; end break; end x=k1*(-1)*s(:,6)+0 0 0 0 0 1 0)+k2*(-1)*s(:,7)+0 0 0 0 0 0 1)+s(:,8)事实上，可以通过前面的通解公式可得当k1=0,k2=200时，得A=1 0 1 0 0 0 0;1 -1 0 1 0 0 0;0 1 0 0 -1 0 0;0 0 1 0 0 1 0; 0 0 0 1 0 1 -1; 0 0 0 0 1 0 -1 b=700 200 200 500 0 -200 x=zeros(7,1); s=rref(A b); s=s;zeros(1,8)nonegativs=0*x1+200*x2+s(:,8)x1=(-1)*s(:,6)+0 0 0 0 0 1 0 x2=(-1)*s(:,7)+0 0 0 0 0 0 1 200 0 200300 400 200300 400500200 300200500 2000 200nonegativs = 200 200 500 200 0 0 200 闭合经济问题一个木工，一个电工，一个油漆工，三人相互同意彼此装修他们自己的房子。在装修之前，他们达成如下协议：（1）每人总共工作十天（包括给自己家干活在内）；（2）每人的日工资根据一般的市价在6080元之间；（3）每人的日工资总数应使得每人总收入与总支出相等。下表是他们协议制定出的工作天数的分配方案