要点梳理三种增长型函数模型的图象与质

要 点 梳 理1.三 种 增 长 型 函 数 模 型 的 图 象 与 性 质 2.8 函 数 模 型 及 其 应 用 y=ax(a1) y=logax(a1) y=xn(n0)在 (0,+ )上的 增 减 性 _ _ _增 长 速 度 _ _ 相 对 平 稳增 函 数 增 函 数 增 函 数越 来 越 快 越 来 越 慢函 数性 质 2.三 种 增 长 型 函 数 之 间 增 长 速 度 的 比 较 (1)指 数 函 数 y=ax (a1)与 幂 函 数 y=xn (n0) 在 区 间 (0,+ )， 无 论 n比 a大 多 少 ， 尽 管 在 x的 一 定 范 围 内 ax会 小 于 xn， 但 由 于 y=ax的 增 长 速 度 _y=xn 的 增 长 速 度 ,因 而 总 存 在 一 个 x0,当 xx0时 有 _.图 象 的 变 化 随 x增 大 逐 渐表 现 为 与_平 行 随 x增 大 逐渐 表 现 为 与_平 行 随 n值 变化 而 不 同y轴 x轴 快 于axxn （ 2） 对 数 函 数 y=logax (a1)与 幂 函 数 y=xn (n0) 对 数 函 数 y=logax (a1)的 增 长 速 度 ， 不 论 a与 n值 的 大 小 如 何 总 会 _y=xn的 增 长 速 度 ,因 而 在 定 义 域 内 总 存 在 一 个 实 数 x0,使 xx0时 有 _. 由 (1)(2)可 以 看 出 三 种 增 长 型 的 函 数 尽 管 均 为 增 函 数 ， 但 它 们 的 增 长 速 度 不 同 ， 且 不 在 同 一 个 档 次 上 , 因 此 在 （ 0,+ )上 ， 总 会 存 在 一 个 x0， 使 xx0时 有 _. 慢 于 logaxxnlog ax 3.常 用 的 几 类 函 数 模 型 (1)一 次 函 数 模 型 f(x)=kx+b (k、 b为 常 数 ， k 0); (2)反 比 例 函 数 模 型 (k、 b为 常 数 ,k 0); (3)二 次 函 数 模 型 f(x)=ax2+bx+c (a、 b、 c为 常 数 ， a 0)； (4)指 数 函 数 模 型 f(x)=a bx+c （ a、 b、 c为 常 数 ， a 0,b0,b 1） ； (5)对 数 函 数 模 型 f（ x） =mlog ax+n（ m、 n、 a为 常 数 ， m 0, a0,a 1） ; (6)幂 函 数 模 型 f(x)=axn+b(a、 b、 n为 常 数 ， a 0, n 1). bxky 1.求 解 函 数 应 用 题 的 一 般 方 法“ 数 学 建 模 ” 是 解 决 数 学 应 用 题 的 重 要 方 法 ,解 应 用 题 的 一 般 程 序 是 ： (1)审 题 :弄 清 题 意 ,分 清 条 件 和 结 论 ,理 顺 数 量 关 系 ; (2)建 模 :将 文 字 语 言 转 化 成 数 学 语 言 ,用 数 学 知 识 建 立 相 应 的 数 学 模 型 ； (3)求 模 :求 解 数 学 模 型 ,得 到 数 学 结 论 ； (4)还 原 :将 用 数 学 方 法 得 到 的 结 论 还 原 为 实 际 问 题 的 意 义 . 方 法 与 技 巧思 想 方 法 感 悟 提 高 4.求 解 函 数 应 用 问 题 的 思 路 和 方 法 ， 我 们 可 以 用 示 意 图 表 示 为5.实 际 问 题 中 函 数 的 定 义 域 要 特 别 注 意 ,另 外 ， 结 果要 回 到 实 际 问 题 中 写 答 案 . 基 础 自 测1.我 国 为 了 加 强 对 烟 酒 生 产 的 宏 观 调 控 ， 除 了 应 征 税 外 还 要 征 收 附 加 税 ， 已 知 某 种 酒 每 瓶 售 价 为 70元 ， 不 收 附 加 税 时 ,每 年 大 约 销 售 100万 瓶 ,若 每 销 售 100 元 国 家 要 征 附 加 税 为 x元 （ 税 率 x%） ,则 每 年 销 售 量 减 少 10 x万 瓶 ， 为 了 要 使 每 年 在 此 项 经 营 中 收 取 的 附 加 税 额 不 少 于 112万 元 ， 则 x的 最 小 值 为 （ ） A.2 B.6 C.8 D.10 解 析 依 题 意 解 得 2 x 8,则 x的 最 小 值 为 2. ,112 10070)10100( xx A 2.从 1999年 11月 1日 起 ,全 国 储 蓄 存 款 征 收 利 息 税 ,利 息 税 的 税 率 为 20%， 由 各 银 行 储 蓄 点 代 扣 代 收 ， 某 人 2000年 6月 1日 存 入 若 干 万 元 人 民 币 ， 年 利 率 为 2%， 到 2001年 6月 1日 取 款 时 被 银 行 扣 除 利 息 税 138.64元 , 则 该 存 款 人 的 本 金 介 于 （ ） A.3万 4万 元 B.4万 5万 元 C.5万 6万 元 D.2万 3万 元 解 析 设 存 入 的 本 金 为 x， 则 x 2% 20%=138.64， .66034404003861 x A 3.在 一 定 范 围 内 ， 某 种 产 品 的 购 买 量 y 吨 与 单 价 x元 之 间 满 足 一 次 函 数 关 系 ,如 果 购 买 1 000 吨 ,每 吨 为 800 元 ； 购 买 2 000 吨 ,每 吨 为 700元 ;一 客 户 购 买 400 吨 , 单 价 应 该 是 （ ） A.820元 B.840元 C.860元 D.880元 解 析 依 题 意 ， 可 设 y与 x的 函 数 关 系 式 为 y=kx+b,由 x=800,y=1 000及 x=700,y=2 000, 可 得 k=-10,b=9 000,即 y=-10 x+9 000, 将 y=400代 入 得 x=860. C 4.某 物 体 一 天 中 的 温 度 T(单 位 : )是 时 间 t(单 位 :h) 的 函 数 :T(t)=t3-3t+60,t=0表 示 中 午 12 00， 其 后 t 取 正 值 ,则 下 午 3时 温 度 为 （ ） A.8 B.78 C.112 D.18 解 析 由 题 意 ， 下 午 3时 ， t=3， T(3)=78 . 5.为 了 保 证 信 息 安 全 ， 传 输 必 须 使 用 加 密 方 式 ,有 一 种 方 式 其 加 密 、 解 密 原 理 如 下 ： 明 文 密 文 密 文 明 文 已 知 加 密 为 y=ax-2 （ x为 明 文 ,y为 密 文 ） ,如 果 明 文 “ 3” 通 过 加 密 后 得 到 密 文 为 “ 6” ， 再 发 送 ， 接 受 方 通 过 解 密 得 到 明 文 “ 3” ， 若 接 受 方 接 到 密 文 为 “ 14” ， 则 原 发 的 明 文 是 _. 解 析 依 题 意 y=a x-2中 ， 当 x=3时 ， y=6,故 6=a3-2， 解 得 a=2.所 以 加 密 为 y=2x-2， 因 此 ， 当 y=14时 ， 由 14=2x-2,解 得 x=4. 加 密 发 送 解 密4 题 型 一 一 次 、 二 次 函 数 模 型【 例 1】 如 图 所 示 ， 在 矩 形 ABCD中 ， 已 知 AB=a， BC=b （ ba） ,在 AB， AD， CD， CB上 分 别 截 取 AE， AH,CG, CF都 等 于 x， 当 x为 何 值 时 ， 四 边 形 EFGH的 面 积 最 大 ？ 并 求 出 最 大 面 积 . 依 据 图 形 建 立 四 边 形 EFGH的 面 积 S关 于 自 变 量 x的 目 标 函 数 ， 然 后 利 用 解 决 二 次 函 数 的 最 值 问 题 求 出 S的 最 大 值 . 思 维 启 迪 题 型 分 类 深 度 剖 析 解 设 四 边 形 EFGH的 面 积 为 S，则 S AEH=S CFG= x2,S BEF=S DGH= (a-x)(b-x)，由 图 形 知 函 数 的 定 义 域 为 x|0 x b.又 0ba, 0b3b时 ,S(x)在 （ 0,b 上 是 增 函 数 ， 此 时 当 x=b时 ， S有 最 大 值 为综 上 可 知 ， 当 a 3b时 ， 时 ，四 边 形 面 积 S max= 当 a3b时 ， x=b时 ， 四 边 形 面 积 Smax=ab-b2. 4 ba 4 bax ;8 )( 2ba,4 bba ,8 )()4(2 222 babbabab 4 bax ,8 )( 2ba 探 究 提 高 二 次 函 数 是 我 们 比 较 熟 悉 的 基 本 函 数 ,建立 二 次 函 数 模 型 可 以 求 出 函 数 的 最 值 ,解 决 实 际 中 的最 优 化 问 题 ， 值 得 注 意 的 是 ： 一 定 要 注 意 自 变 量 的 取值 范 围 ， 根 据 图 象 的 对 称 轴 与 定 义 域 在 数 轴 上 表 示 的区 间 之 间 的 位 置 关 系 讨 论 求 解 . 题 型 二 分 段 函 数 模 型【 例 2】 某 公 司 研 制 出 了 一 种 新 产 品 ， 试 制 了 一 批 样 品 分 别 在 国 内 和 国 外 上 市 销 售 ， 并 且 价 格 根 据 销 售 情 况 不 断 进 行 调 整 ， 结 果 40天 内 全 部 销 完 .公 司 对 销 售 及 销 售 利 润 进 行 了 调 研 ,结 果 如 图 所 示 ， 其 中 图 （ 一 条 折 线 ） 、 图 （ 一 条 抛 物 线 段 ） 分 别 是 国 外 和 国 内 市 场 的 日 销 售 量 与 上 市 时 间 的 关 系 ， 图 是 每 件 样 品 的 销 售 利 润 与 上 市 时 间 的 关 系 . (1)分 别 写 出 国 外 市 场 的 日 销 售 量 f（ t） 与 上 市 时 间 t 的 关 系 及 国 内 市 场 的 日 销 售 量 g（ t） 与 上 市 时 间 t的 关系 ；(2)国 外 和 国 内 的 日 销 售 利 润 之 和 有 没 有 可 能 恰 好 等于 6 300万 元 ？ 若 有 ， 请 说 明 是 上 市 后 的 第 几 天 ； 若没 有 ， 请 说 明 理 由 . (2)每 件 样 品 的 销 售 利 润 h（ t） 与 上 市 时 间 t的 关 系 为 故 国 外 和 国 内 的 日 销 售 利 润 之 和 F(t)与 上 市 时 间 t的 关 系 为 .4020,60 ,200,3)( tttth .4030),240203(60 ,3020),8203(60 ,200),8203(3)( 222 tt ttt tttttF 当 0 t 20时 ， F（ t） 在 0， 20 上 是 增 函 数 ， F（ t） 在 此 区 间 上 的 最 大 值 为F（ 20） =6 0006 300.当 20t 30时 ， 由 F（ t） =6 300， 得 3t 2-160t+2 100=0,解 得 t= (舍 去 )或 t=30. ,0)202748(482027)( ,24209)8203(3)( 2 232 tttttF ttttttF ).8203(60)( 2 tttF 370 当 30t 40时 ， 由 F（ t） 在 （ 30， 40 上 是 减 函 数 ，得 F(t)400时 ， f(x)=60 000-100 x是 减 函 数 ， f(x)60 000-100 40025 000.所 以 ， 当 x=300时 ， 有 最 大 值 25 000.所 以 ， 当 月 产 量 为 300台 时 ， 公 司 所 获 利 润 最 大 ， 最 大 利 润 是 25 000元 . .)400(10000060 )4000(0002030021)( 2 xx xxxxf ,00025)300(21)( 2 xxf 题 型 三 指 数 函 数 模 型 与 幂 函 数 模 型 【 例 3】 某 城 市 现 有 人 口 总 数 为 100万 人 ,如 果 年 自 然 增 长 率 为 1.2%， 试 解 答 以 下 问 题 ： (1)写 出 该 城 市 人 口 总 数 y（ 万 人 ） 与 年 份 x（ 年 )的 函 数 关 系 式 ； (2)计 算 10年 以 后 该 城 市 人 口 总 数 (精 确 到 0.1万 人 ); (3)计 算 大 约 多 少 年 以 后 ， 该 城 市 人 口 将 达 到 120万 人 （ 精 确 到 1年 ） . (4)如 果 20年 后 该 城 市 人 口 总 数 不 超 过 120万 人 ， 年 自 然 增 长 率 应 该 控 制 在 多 少 ？ （ 参 考 数 据 :1.0129 1.113， 1.01210 1.127， lg 1.2 0.079,lg 2 0.301 0,lg 1.012 0.005, lg 1.009 0.003 9） 增 长 率 问 题 是 指 数 函 数 问 题 ， 利 用 指 数 函 数 模 型 ， 构 造 函 数 . 思 维 启 迪 解 （ 1） 1年 后 该 城 市 人 口 总 数 为 y=100+100 1.2%=100 (1+1.2%)2年 后 该 城 市 人 口 总 数 为y=100 (1+1.2%)+100 (1+1.2%) 1.2%=100 (1+1.2%)2.3年 后 该 城 市 人 口 总 数 为y=100 (1+1.2%)2+100 (1+1.2%)2 1.2%=100 (1+1.2%)3.x年 后 该 城 市 人 口 总 数 为y=100 (1+1.2%) x. (2)10年 后 ， 人 口 总 数 为 100 (1+1.2%)10 112.7（ 万 人 ).(3)设 x年 后 该 城 市 人 口 将 达 到 120万 人 ，即 100 (1+1.2%)x=120,(4)由 100 (1+x%)20 120,得 (1+x%)20 1.2,两 边 取 对 数 得 20lg(1+x%) lg 1.2=0.079,所 以 所 以 1+x% 1.009,得 x 0.9,即 年 自 然 增 长 率 应 该 控 制 在 0.9%. ).(1620.1log100120log 012.1012.1 年x ,95003.020079.0%)1lg( x 探 究 提 高 此 类 增 长 率 问 题 ， 在 实 际 问 题 中 常 可 以 用 指 数 函 数 模 型 y=N(1+p)x(其 中 N是 基 础 数 ， p为 增 长率 ， x为 时 间 )和 幂 函 数 模 型 y=a(1+x)n(其 中 a为 基 础数 ， x为 增 长 率 ， n为 时 间 )的 形 式 .解 题 时 ， 往 往 用 到对 数 运 算 ， 要 注 意 与 已 知 表 格 中 给 定 的 值 对 应 求 解 . 知 能 迁 移 3 1999年 10月 12日 “ 世 界 60亿 人 口 日 ” ， 提 出 了 “ 人 类 对 生 育 的 选 择 将 决 定 世 界 未 来 ” 的 主 题 ,控 制 人 口 急 剧 增 长 的 紧 迫 任 务 摆 在 我 们 的 面 前 .（ 1） 世 界 人 口 在 过 去 40年 内 翻 了 一 番 ， 问 每 年 人 口 平 均 增 长 率 是 多 少 ？（ 2） 我 国 人 口 在 1998年 底 达 到 12.48亿 ， 若 将 人 口 平 均 增 长 率 控 制 在 1%以 内 ， 我 国 人 口 在 2008年 底 至 多 有 多 少 亿 ？ 以 下 数 据 供 计 算 时 使 用 ：数 N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000对 数lg N 0.004 3 0.006 5 0.007 3 0.117 3 0.301 0数 N 3.000 5.000 12.48 13.11 13.78对 数lg N 0.477 1 0.699 0 1.096 2 1.117 6 1.139 2 解 （ 1） 设 每 年 人 口 平 均 增 长 率 为 x， n年 前 的 人 口 数 为 y，则 y (1+x)n=60， 则 当 n=40时 ， y=30，即 30(1+x)40=60， (1+x)40=2，两 边 取 对 数 ， 则 40lg（ 1+x） =lg 2，则 lg（ 1+x） = =0.007 525， 1+x 1.017， 得 x=1.7%.（ 2） 依 题 意 ， y 12.48(1+1%) 10，得 lg y lg 12.48+10 lg 1.01=1.139 2, y 13.78， 故 人 口 至 多 有 13.78亿 .答 每 年 人 口 平 均 增 长 率 为 1.7%， 2008年 人 口 至 多 有13.78亿 . 402lg 题 型 四 函 数 的 综 合 应 用 【 例 4】 (12分 )有 一 个 受 到 污 染 的 湖 泊 ， 其 湖 水 的 体 积 为 V立 方 米 ,每 天 流 出 湖 泊 的 水 量 等 于 流 入 湖 泊 的 水 量 ， 都 为 r立 方 米 .现 假 设 下 雨 和 蒸 发 正 好 平 衡 ， 且 污 染 物 质 与 湖 水 能 很 好 的 混 合 .用 g（ t） 表 示 任 一 时 刻 t每 立 方 米 湖 水 所 含 污 染 物 质 的 克 数 ， 我 们 称 其 为 在 时 刻 t时 的 湖 水 污 染 质 量 分 数 .已 知 目 前 污 染 源 以 每 天 p克 的 污 染 物 质 污 染 湖 水 ,湖 水 污 染 质 量 分 数 满 足 关 系 式 (p 0)， 其 中 g(0)是 湖 水 污 染 的 初 始 质 量 分 数 . tvrrpgrptg e)0()( （ 1） 当 湖 水 污 染 质 量 分 数 为 常 数 时 ， 求 湖 水 污 染 的 初 始 质 量 分 数 ；（ 2） 求 证 ： 当 g(0) 时 ,湖 泊 的 污 染 程 度 将 越 来 越 严 重 ；（ 3） 如 果 政 府 加 大 治 污 力 度 ， 使 得 湖 泊 的 所 有 污 染 停 止 ， 那 么 需 要 经 过 多 少 天 才 能 使 湖 水 的 污 染 水 平 下 降 到 开 始 时 (即 污 染 源 停 止 时 )污 染 水 平 的 5%？ rp （ 1） 水 污 染 质 量 分 数 为 常 数 ， 即 g(t) 为 常 数 函 数 ；(2)污 染 程 度 越 来 越 严 重 ， 即 证 明 g(t)为 增 函 数 ；(3)转 化 为 方 程 即 可 解 决 . (1)解 设 0 t1t2 , g(t)为 常 数 ， g（ t1） =g(t2), 2分 4分思 维 启 迪 .)0( ,0)e(e)0( 21rpg rpg tvrtvr 即 (2)证 明 设 0 t1t2, g(0)- 0,t1t2, g(t1)-g(t2)0, g(t1)g(t2).故 湖 泊 污 染 质 量 分 数 随 时 间 变 化 而 增 加 ， 污 染 越 来越 严 重 . 8分,e ee)0( )e(e)0()()( )(21 21 12 21ttvr tvrtvr tvrtvrrpg rpgtgtg rp (3)解 污 染 源 停 止 ， 即 p=0， 此 时 设 要 经 过 t天 能 使 湖 水 的 污 染 水 平 下 降 到 开 始 时 污 染水 平 的 5%.即 g(t)=5% g(0)， 即 有 5% g（ 0） = 10分由 实 际 意 义 知 g(0) 0， 即 需 要 天 时 间 . 12分.e)0()( tvrgtg .e)0( tvrg ),(20ln 天rvt 20lnrv .e201 tvr 探 究 提 高 (1)对 此 类 问 题 的 解 决 关 键 是 认 真 审 题 ， 理 顺 数 量 关 系 .(2)应 用 数 学 模 型 ， 抽 象 出 方 程 、 不 等 式 或 函 数 解 析式 .(3)用 函 数 、 方 程 、 不 等 式 解 答 . 知 能 迁 移 4 经 市 场 调 查 ， 某 城 市 的 一 种 小 商 品 在 过 去 的 近 20天 内 的 销 售 量 (件 )与 价 格 （ 元 ） 均 为 时 间 t(天 )的 函 数 ,且 销 售 量 近 似 满 足 g(t)=80-2t(件 ),价 格 近 似 满 足 (1)试 写 出 该 种 商 品 的 日 销 售 额 y与 时 间 t(0 t 20) 的 函 数 表 达 式 ； (2)求 该 种 商 品 的 日 销 售 额 y的 最 大 值 与 最 小 值 . ).(|10|2120)( 元 txf 解 （ 1） y=g（ t） f（ t）=（ 40-t） （ 40-|t-10|）= （ 2） 当 0 t0,b 1)； (5)对 数 型 函 数 模 型 :f(x)=mlog ax+n(m,n,a为 常 数 ， m 0,a0,a 1); (6)分 段 函 数 模 型 . bxkxf )( 1.函 数 模 型 应 用 不 当 ， 是 常 见 的 解 题 错 误 .所 以 ， 正 确 理 解 题 意 ， 选 择 适 当 的 函 数 模 型 .2.要 特 别 关 注 实 际 问 题 的 自 变 量 的 取 值 范 围 ,合 理 确 定 函 数 的 定 义 域 .3.注 意 问 题 反 馈 .在 解 决 函 数 模 型 后 ， 必 须 验 证 这 个 数 学 解 对 实 际 问 题 的 合 理 性 . 失 误 与 防 范 一 、 选 择 题 1.某 电 信 公 司 推 出 两 种 手 机 收 费 方 式 :A种 方 式 是 月 租 20元 ,B种 方 式 是 月 租 0元 .一 个 月 的 本 地 网 内 打 出 电 话 时 间 t(分 钟 )与 打 出 电 话 费 s（ 元 ） 的 函 数 关 系 如 图 ， 当 打 出 电 话 150分 钟 时 ,这 两 种 方 式 电 话 费 相 差 （ ） A.10元 B.20元 C.30元 D. 元 340 定 时 检 测 解 析 设 A种 方 式 对 应 的 函 数 解 析 式 为 S=k1t+20, B种 方 式 对 应 的 函 数 解 析 式 为 S=k2t, 当 t=100时 ， 100k1+20=100k2, 当 t=150时 ， 150k2-150k1-20= 故 选 A. 答 案 A ,5112 kk .102051150 2.由 方 程 x|x|+y|y|=1确 定 的 函 数 y=f(x)在 (- ,+ ) 上 是 （ ） A.增 函 数 B.减 函 数 C.先 增 后 减 D.先 减 后 增 解 析 当 x 0且 y 0时 ， x2+y2=1, 当 x0且 y0时 ， x2-y2=1, 当 x0时 ， y2-x2=1, 当 x0且 y0） ， 匀 速 行 驶 s=vt,减 速 行 驶 (a0)结 合 函 数 图 象 可 知 选 A. 221 ats 221 ats A 5.某 产 品 的 总 成 本 y(万 元 )与 产 量 x(台 )之 间 的 函 数 关 系 是 y=3 000+20 x-0.1x2(0 x0且 a 1， f(x)=x2-ax,当 x (-1,1)时 均 有 f(x)0时 ， 方 程 f(x)=0只 有 一 个 实 数 根 ； c=0时 ， y=f(x)是 奇 函 数 ； 方 程 f(x)=0至 多 有 两 个 实 根 . 上 述 三 个 命 题 中 所 有 正 确 命 题 的 序 号 为 _. 解 析 f(x)=x|x|+c= ,)0( )0(22 xcx xcx 如 图 ， 曲 线 与 x轴 只 有 一 个 交 点 ，所 以 方 程 f(x)=0只 有 一 个 实 数 根 ， 正 确 . c=0时 ， f(x)=x|x|+bx， 显 然 是 奇 函 数 . 当 c=0,b0在 2,+ )上 恒 成 立 ,且 为 增 函 数 ,coslog uy coslog coslog .,)( 4403242 22 aaaua 解 得所 以-40， 解 得 x2.3. x N*， x 3， 3 x 6， x N*，当 x6时 ， y=50-3（ x-6） x-115.令 50-3（ x-6） x-1150,有 3x2-68x+1150,上 述 不 等 式 的 整 数 解 为 2 x 20 (x N *） , 6185， 当 每 辆 自 行 车 的 日 租 金 定 在 11元 时 ， 才 能 使 一 日 的净 收 入 最 多 . ,)N,( )N,( * xxxx xxxy 206115683 6311550 2 ).N,()( * xxx 20638113343 2 11.通 过 研 究 学 生 的 学 习 行 为 ， 专 家 发 现 ， 学 生 的 注 意 力 随 着 老 师 讲 课 时 间 的 变 化 而 变 化 ,讲 课 开 始 时 , 学 生 的 兴 趣 激 增 ;中 间 有 一 段 时 间 ,学 生 的 兴 趣 保 持 较 理 想 的 状 态 ,随 后 学 生 的 注 意 力 开 始 分 散 ,设 f(t) 表 示 学 生 注 意 力 随 时 间 t（ 分 钟 ） 的 变 化 规 律 (f(t) 越 大 ,表 明 学 生 注 意 力 越 集 中 ),经 过 实 验 分 析 得 知 ： ., , ,)( 40203807 2010240 10010024 2 tt tttttf (1)讲 课 开 始 后 多 少 分 钟 ， 学 生 的 注 意 力 最 集 中 ？ 能持 续 多 少 分 钟 ？(2)讲 课 开 始 后 5分 钟 与 讲 课 开 始 后 25分 钟 比 较 ,何 时学 生 的 注 意 力 更 集 中 ？(3)一 道 数 学 难 题 ， 需 要 讲 解 24分 钟 ， 并 且 要 求 学 生的 注 意 力 至 少 达 到 180， 那 么 经 过 适 当 安 排 ， 教 师 能否 在 学 生 达 到 所 需 的 状 态 下 讲 授 完 这 道 题 目 ？ 解 （ 1） 当 0t 10时 ， f(t)=-t2+24t+100=-(t-12)2+244是 增 函 数 ， 且 f(10)=240；当 20t 40时 ， f(t)=-7t+380是 减 函 数 ，且 f(20)=240.所 以 ,讲 课 开 始 10分 钟 ， 学 生 的 注 意 力 最 集 中 ， 能 持续 10分 钟 .（ 2） f（ 5） =195， f（ 25） =205，故 讲 课 开 始 25分 钟 时 ， 学 生 的 注 意 力 比 讲 课 开 始 后 5分 钟 更 集 中 . （ 3） 当 0t 10时 ， f（ t） =-t2+24t+100=180，则 t=4；当 2024,所 以 ， 经 过 适 当 安 排 ， 老 师 可 以 在 学 生 达 到 所 需 要 的状 态 下 讲 授 完 这 道 题 . 12.某 化 工 厂 引 进 一 条 先 进 生 产 线 生 产 某 种 化 工 产 品 , 其 生 产 的 总 成 本 y(万 元 )与 年 产 量 x(吨 )之 间 的 函 数 关 系 式 可 以 近 似 地 表 示 为 y= -48x+8 000,已 知 此 生 产 线 年 产 量 最 大 为 210吨 . (1)求 年 产 量 为 多 少 吨 时 ， 生 产 每 吨 产 品 的 平 均 成 本 最 低 ,并 求 最 低 成 本 ; (2)若 每 吨 产 品 平 均 出 厂 价 为 40万 元 ,那 么 当 年 产 量 为 多 少 吨 时 ,可 以 获 得 最 大 利 润 ？ 最 大 利 润 是 多 少 ？ 解 (1)每 吨 平 均 成 本 为 (万 元 ).52xxy ,32480008524800085 xxxxxy则 当 且 仅 当 即 x=200时 取 等 号 . 年 产 量 为 200吨 时 ,每 吨 平 均 成 本 最 低 为 32万 元 .(2)设 年 获 得 总 利 润 为 R(x)万 元 ,则 R(x)=40 x-y=40 x- +48x-8 000=- +88x-8 000=- (x-220)2+1 680(0 x 210). R(x)在 0,210 上 是 增 函 数 , x=210时 ,R(x)有 最 大 值 为- (210-220) 2+1 680=1 660. 年 产 量 为 210吨 时 ,可 获 得 最 大 利 润 1 660万 元 . 52x52x5151 ,xx 00085 返 回