小学数学课堂有效教学的思考

开 头 语 ： 小 学 数 学 教 学 应 该 给 孩 子 留 下 什 么 ？ 毋庸 质 疑 ， 留 下 的 是 数 学 的 思 考 方 式 、 数 学 的思 想 方 法 ， 浸 润 的 是 对 数 学 学 习 的 热 爱 以 及对 数 学 的 积 极 态 度 。 数 学 教 师 需 要 怎 样 的 底蕴 才 能 实 现 这 一 目 标 ？ -积 累 数 学 活 动 经 验 、感 悟 数 学 思 想 （ 思 维 的 方 式 ） 。 小 学 数 学 课 堂 有 效 教 学 的思 考 提 纲第 一 板 块 ： 教 学 案 例 引 发 的 思 考1 第 二 板 块 ： 课 堂 教 学 存 在 的 问 题 分 析2 第 三 板 块 ： 有 效 教 学 活 动 应 遵 循 的 原 则 3 第 一 板 块 ： 教 学 案 例 引 发 的 思 考1 案 例 1： 小 学 数 学 六 年 级 上 册 教 材 圆 的 周 长 ， 书 上 呈 现 的 探 究 圆 周率 的 方 法 是 缠 绕 法 、 滚 动 法 ， 内 容 是探 究 圆 周 率 ， 再 探 寻 圆 的 周 长 的 计 算公 式 。 案 例 一 : 教 师 A的 教 学 要 求今 天 ， 我 们 就 通 过 缠 绕 法 、 滚动 法 等 方 法 来 测 量 ， 探 究 圆 的周 长 与 圆 的 直 径 之 间 的 关 系 ，看 谁 找 得 最 准 。 （ 最 准 的 标 准实 际 上 就 是 接 近 3.14） 案 例 一 ： 学 习 小 组 4人 的 探 索 活 动 场 景 学 生 A： 早 已 经 知 道 答 案 ， 答 案 是 3.14， 这 个 问题 对 他 已 经 不 新 鲜 ， 没 有 刺 激 ， 不 具 备 挑 战 性 ，他 没 有 兴 趣 ， 就 坐 在 座 位 上 等 待 汇 报 。 学 生 B： 不 知 道 答 案 ， 他 马 上 翻 书 ， 看 书 上 的 答案 。 学 生 C： 认 认 真 真 地 进 行 操 作 ， 测 量 着 ， 计 算 着 。 学 生 D： 不 会 ， 不 知 道 ， 也 没 有 动 手 去 测 量 、 计算 ， 而 是 在 座 位 上 戏 耍 ， 还 时 不 时 地 搞 一 些 小 小的 小 动 作 。 案 例 一 ： 学 习 小 组 中 4人 的 汇 报 情 况 学 生 A： 猜 测 教 师 的 心 理 ， 故 意 说 是 接近 3.14的 3.12， 得 到 了 教 师 的 表 扬 与 鼓励 。 学 生 B： 私 下 告 诉 学 生 D书 上 的 结 果 。 学 生 C： 说 出 结 果 ， 2.98， 得 到 的 是 教师 及 时 的 打 断 与 指 责 。 学 生 D： 不 会 ， 没 有 底 气 地 说 出 从 学 生B 那 里 了 解 到 的 3.14， 得 到 教 师 的 大 势表 扬 。 （ 学 生 的 学 习 现 实 就 这 样 在 不 经 意 中 被 扭 曲 了 ） 案 例 二 ： 孙 老 师 的 课 前 调 查 在 上 课 之 前 ， 他 对 学 生 了 解 这方 面 的 知 识 进 行 了 调 查 ， 他 了解 到 有 80%的 学 生 已 经 知 道 了圆 周 率 是 3.14， 有 40%的 学 生已 经 知 道 了 圆 的 周 长 公 式 。 案 例 二 ： 孙 老 师 的 教 学 思 考 在 这 样 的 情 况 下 ， 学 生 对 测 量 圆 的 周长 不 会 感 到 真 正 的 兴 趣 和 需 要 。 但 是测 量 活 动 的 目 的 ， 不 仅 仅 是 要 一 个 实验 的 结 果 或 验 证 结 果 ， 而 实 际 操 作 测量 这 一 操 作 活 动 又 是 学 生 经 历 人 类 探索 圆 周 率 探 索 过 程 所 必 须 的 。 案 例 二 ： 孙 老 师 的 教 学 要 求 温 馨 提 示 （ 先 确 定 最 小 的 测 量 单 位 ，要 求 是 实 事 求 是 地 进 行 测 量 ， 并 测 量三 次 ， 把 最 成 功 的 测 量 结 果 汇 报 出来 但 不 要 求 计 算 出 圆 的 周 长 和 直径 的 比 值 ， 把 计 算 的 任 务 交 给 电脑 。 ） ， 重 点 是 引 导 学 生 讨 论 ： 为 什么 要 测 量 三 次 ？ 怎 样 才 能 尽 可 能 地 保证 测 量 成 功 ？ 案 例 二 ： 学 生 的 汇 报 结 果 汇 报 时 ， 学 生 呈 现 出 的 结 果 有 ： 周长 是 2232毫 米 ， 直 径 是 70毫 米 ； 周长 是 217.5毫 米 ， 直 径 是 70毫 米 ； 周长 是 209毫 米 ， 直 径 是 64.25毫 米 ；周 长 是 86.5毫 米 ， 直 径 是 24.5毫米 案 例 二 ： 学 生 汇 报 结 果 的 运 用 观 察 一 下 我 们 亲 手 得 到 的 这 些 数 据 ，思 考 一 下 ： 你 有 什 么 想 法 ？ 为 什 么 同样 的 一 个 圆 ， 用 同 样 的 方 法 测 量 ， 每次 测 量 的 长 度 会 不 尽 相 同 ？ 新 课 改 ， 不 仅 让 课 堂 充 满 了 激 情 和 活 力 ，还 让 数 学 课 堂 变 得 精 彩 。 然 而 ， 反 思 我 们 的 一些 课 堂 教 学 ， 却 不 难 发 现 ， 貌 似 实 施 了 新 课 标 ，其 实 没 有 实 效 性 ， 看 似 热 闹 的 课 堂 场 景 ， 却 存在 着 无 效 的 教 学 方 式 。 因 此 教 学 有 效 性 成 为 所有 教 育 教 学 改 革 共 同 追 求 的 目 标 。 构 建 有 效 的课 堂 教 学 模 式 ,提 高 教 学 质 量 ,是 一 个 重 要 的 研究 课 题 。 创 设 有 效 的 问 题 情 境 ； 建 构 有 效 的 自主 学 习 课 堂 ； 鼓 励 互 助 ， 建 立 有 效 的 合 作 方 式 ；运 用 激 励 性 课 堂 评 价 ， 提 高 学 生 学 习 效 率 是 提高 小 学 数 学 课 堂 教 学 有 效 性 的 有 效 途 径 。 案 例 引 发 的 思 考 ： 第 二 板 块 ： 课 堂 教 学 存 在 的 问 题 分 析2 课 堂 现 象 1、 牵 强 附 会 的 情 境 创 设 一 些 数 学 内 容 被 机 械 地 套 上 了 情 境 ，牵 强 附 会 地 联 系 实 际 ， 过 多 地 强 调 生活 来 源 ， 其 结 果 是 既 浪 费 了 宝 贵 时 间 ，又 妨 碍 了 学 生 对 数 学 知 识 的 真 正 理 解 ； 2、 没 有 体 验 的 数 学 活 动在 “ 参 与 ” 和 “ 活 动 ” 的 背 后 ， 却 透 露 出 浮 躁 、 盲 从 和 形 式 化 倾 向 ， 学生 内 在 的 思 维 和 情 感 并 没 有 真 正 被 激活 。 典 型 表 现 在 “ 自 主 ” 变 成 “ 自流 ” ， 课 堂 展 现 的 是 学 生 肤 浅 表 层 的 、甚 至 是 虚 假 的 主 体 性 ， 失 去 的 却 是 教师 有 针 对 性 引 导 、 点 拨 和 具 体 帮 助 的重 要 职 责 ； 3、 有 形 式 却 无 实 质 的 合 作 合 作 有 形 式 却 无 实 质 ： 学 生 之 间 在 缺乏 问 题 意 识 和 交 流 欲 望 的 背 景 下 ， 应付 式 、 被 动 式 地 进 行 “ 讨 论 ” ， 缺 乏平 等 的 沟 通 和 交 流 ， 尤 其 是 缺 乏 深 层的 交 流 和 碰 撞 4、 形 式 化 的 探 究 探 究 有 形 无 实 ， 学 生 只 是 机 械 地 接 部就 班 地 经 历 探 究 过 程 的 程 序 和 步 骤 ，缺 乏 好 奇 心 的 驱 使 和 思 维 的 探 险 以 及批 判 性 的 质 疑 ， 从 而 导 致 探 究 的 形 式化 和 机 械 化 ， 变 成 没 有 内 涵 和 精 神 的“ 空 壳 ” 。 5、 无 组 织 的 课 堂 组 织 有 人 批 评 我 们 的 课 堂 ， 有 “ 温 度 ” 无“ 深 度 ” 。 课 堂 上 学 生 “ 小 脸 通 红 ，小 眼 发 光 ， 小 手 直 举 ， 小 嘴 常 开 ” 。虽 然 让 人 感 受 到 热 闹 、 喧 哗 ， 但 极 少让 人 怦 然 心 动 ， 究 其 原 因 ， 就 是 课 堂缺 少 思 维 的 力 度 和 触 及 心 灵 深 处 的 精神 愉 悦 。 第 三 板 块 ： 有 效 教 学 活 动应 遵 循 的 原 则 3 课 标 指 出 ： “ 数 学 教 学 要 紧 密联 系 学 生 的 生 活 环 境 ， 从 学 生 的 经 验和 已 有 知 识 出 发 ， 创 设 有 助 于 学 生 自主 学 习 、 合 作 交 流 的 情 境 。 ” 一 个 好的 问 题 情 境 ， 能 起 到 抛 砖 引 玉 的 作 用 ，能 激 发 学 生 的 学 习 兴 趣 ， 引 起 学 生 的数 学 思 考 。 因 此 ， 教 师 在 创 设 情 境 时 ，一 定 要 考 虑 到 有 效 性 。 那 么 ， 如 何 创设 有 效 的 问 题 情 境 呢 ？ 一 、 问 题 情 境 要 激 发 学 生 的 兴 趣 ，体 现 有 效 性 的 原 则1、 问 题 要 生 活 化 构 建 真 实 的 问 题 情 境 。2、 问 题 要 有 针 对 性 紧 扣 相 关 的 数 学 学 习 内 容 。3、 问 题 要 有 参 与 性 让 学 生 的 思 维 积 极 的 参 与 问 题 。 一 位 教 师 教 学 “ 可 能 ” 、 “ 不 可 能 ” 的 概 念 时 ， 设 计 一 个 摸 球 比赛 活 动 ， 教 师 把 全 班 学 生 分 成 三 个 小 组 ， 让 三 个 小 组 的 学 生 同 时 到台 上 摸 球 ， 每 人 摸 两 次 ， 累 计 看 哪 个 小 组 的 学 生 摸 到 的 黄 球 总 个 数最 多 ， 学 生 兴 高 采 烈 ， 积 极 参 与 ， 场 面 非 常 热 闹 。 摸 球 结 束 ， 令 人 没 预 料 到 的 事 情 发 生 ： 第 2小 组 的 学 生 一 个 黄 球也 没 有 摸 到 ， 他 们 都 感 到 奇 怪 ， 七 嘴 八 舌 地 议 论 、 猜 测 这 时 ， 讲 台 上 的 教 师 得 意 的 说 ： “ 你 们 一 定 摸 不 到 ！ 你 们 不 可能 摸 到 ！ 因 为 ， 我 根 本 就 没 有 放 黄 球 。 ” 孩 子 们 惊 讶 、 激 动 ， 继 而愤 愤 不 平 。 这 时 ， 一 个 气 得 满 脸 通 红 的 小 男 孩 气 呼 呼 地 冲 上 讲 台 ， 用 力 将盒 子 撕 开 ， 盒 子 中 果 然 一 个 黄 球 也 没 有 ！ 大 呼 ： “ 不 公 平 ！ 不 公 平 ！老 师 骗 人 ” 他 们 对 教 师 的 做 法 极 为 不 满 ， 尽 管 教 师 一 再 解 释 ， 孩 子 们 始 终 接 受 不 了 ， 课 堂 气 氛 一 下 子 被 阴 云 笼 罩 师 ： 同 学 们 ， 今 天 我 们 结 合 具 体 情 境 认 识 了 “ 可能 ” 、 “ 也 可 能 ” 、 “ 一 定 ” 、 “ 不 可 能 ” 。 下 面 我 们来 做 个 游 戏 好 吗 ？ 生 ： 好 ！ 师 ： 请 每 个 小 组 的 同 学 ， 自 由 组 合 ， 分 成 两 个 小组 然 后 利 用 手 中 的 纸 盒 和 乒 乓 球 ， 设 计 一 个 “ 猜 一 猜 ”的 小 游 戏 ， 要 尽 量 用 今 天 所 学 的 知 识 来 说 明 问 题 。 （ 学 生 分 组 ， 游 戏 ） （ 课 堂 气 氛 活 跃 ， 人 人 参 与 活 动 ） 1、 问 题 要 生 活 化 构 建 真 实 的 问题 情 境 。 构 建 生 活 化 的 问 题 情 境 ， 有助 于 学 生 发 现 真 实 的 问 题 的 挑 战 ， 从而 促 使 他 们 全 身 心 地 投 入 到 学 习 活 动中 。 师 ： 请 同 学 们 拿 出 自 己 准 备 的 年 历 卡 ， 仔 细 观 察 ， 试 试 看 能 发 现什 么 ？ 生 1： 我 发 现 年 历 卡 上 有 可 爱 的 小 猪 。 生 2： 我 发 现 我 的 年 历 卡 比 同 桌 的 漂 亮 。 （ 学 生 的 汇 报 五 花 八 门 ， 老 师 不 知 所 措 ， 头 上 冒 出 汗 珠 ） 师 ： 同 学 们 仔 细 观 察 ， 看 看 上 面 的 数 字 有 什 么 特 点 ？ （ 在 教 师 的一 再 引 导 下 ， 学 生 好 不 容 易 说 道 了 “ 教 师 期 盼 已 久 的 答 案 ” 。 ） 生 1： 我 发 现 有 的 月 份 有 31天 ， 有 的 月 份 有 30天 ， 有 的 月 份 有 29天 。 师 ： 那 么 ， 你 能 说 说 哪 些 月 份 是 31天 ？ 30天 ？ 29天 ？ 生 1： 31天 的 是 一 、 三 、 五 、 七 、 八 、 十 、 十 二 月 ， 30天 的 是 四 、六 、 九 、 十 一 月 ， 29天 的 是 二 月 。 师 ： 说 得 真 好 ！ 还 有 不 同 的 意 见 吗 ？生 2： 我 年 历 卡 上 的 二 月 是 28天 。师 ： 说 得 很 好 ， 通 过 观 察 ， 我 们 发 现 ： 月 份 有 31、30、 29、 28天 的 ， 那 么 同 学 们 能 不 能 通 过 小 组 合 作 ，给 这 些 天 数 不 同 的 月 份 起 个 名 字 ？生 ： 能 ！师 ： 下 面 就 请 大 家 以 小 组 为 单 位 开 始 研 究 。小 组 1： 我 们 给 31天 的 起 名 叫 大 月 ， 30天 的 叫 中 月 ，29天 的 叫 小 月 ， 28天 的 叫 特 小 月 。小 组 2： 我 们 小 组 给 28天 的 取 名 为 特 小 月 ， 29天 的 叫小 月 ， 30天 的 叫 大 月 ， 31天 的 叫 特 大 月 。 学 生 用 自 己 的 语 言 描 述 着 自 己 的 想 法 师 ： 请 同 学 们 拿 出 自 己 准 备 的 年 历 卡 ， 仔 细 观 察 上 面 的月 份 和 天 数 ， 看 你 能 发 现 上 面 规 律 ？生 1： 我 发 现 有 的 月 份 31天 ， 有 的 月 份 有 30天 ， 有 的 月份 有 29天 。师 ： 那 么 ， 你 能 说 说 哪 些 月 份 是 31天 ？ 30天 ？ 29天 ？生 1： 31天 的 是 一 、 三 、 五 、 七 、 八 、 十 、 十 二 月 ， 30天 的 是 四 、 六 、 九 、 十 一 月 ， 29天 的 是 二 月 。师 ： 说 得 好 ！ 有 不 同 的 意 见 吗 ？生 2： 我 的 年 历 卡 上 的 二 月 是 28天 。 （ 师 事 先 让 学 生 准备 ）师 ： 说 得 好 ， 通 过 观 察 ， 我 们 发 现 ： 月 份 有 31天 、 30天 、29天 、 28天 【 揭 示 大 月 、 小 月 和 特 殊 月 （ 二 月 ） 】师 ： 那 么 ， 二 月 在 哪 些 年 份 是 28天 ， 在 哪 些 年 份又 是 29天 呢 ？ 同 学 们 想 一 想 ， 然 后 一 起 来 研 究 一下 ？生 思 考 ： 师 ： 下 面 我 们 以 小 组 为 单 位 开 始 研 究 ， 把 你 们 的年 历 卡 凑 到 一 起 ， 可 要 仔 细 观 察 ， 认 真 分 析 ！（ 经 过 探 究 ， 学 生 很 快 发 现 规 律 ， 教 师 揭 示 “ 平年 ” 、 “ 闰 年 ” ） 2、 问 题 要 有 针 对 性 紧 扣 相 关 的数 学 学 习 内 容 。 针 对 学 生 感 兴 趣 的问 题 ， 精 心 设 计 一 两 个 问 题 ， 调 动学 生 学 习 新 知 识 的 积 极 性 。 教 师 播 放 多 媒 体 课 件 演 示 某 十 字 路 口 的 热 闹 场 景 。 师 ： 你 能 统 计 出 在 1分 钟 经 过 路 口 的 不 同 车 辆 数 吗 ？ 生 ： 当 然 可 以 ！ 师 ： 好 ， 请 大 家 准 备 好 ， 预 备 开 始 ！ （ 重 播 课件 ， 车 辆 川 流 不 息 ， 学 生 看 的 眼 花 缭 乱 ） 生 1： 老 师 ， 数 不 过 来 生 2： 一 下 子 过 来 这 么 多 车 ， 根 本 不 好 数 师 ： 看 来 ， 确 实 很 难 统 计 。 那 么 ， 我 们 能 否 想 想 办法 ， 完 成 任 务 呢 ？ 学 生 经 过 思 考 后 举 手 。 3、 问 题 要 有 参 与 性 让 学 生 的 思维 积 极 的 参 与 问 题 。 儿 童 与 生 俱 来就 有 一 种 探 索 的 欲 望 ， 他 们 常 常 把 自己 当 作 或 者 希 望 自 己 是 一 个 探 索 者 、研 究 者 和 发 现 者 。 1、 两 个 完 全 一 样 的 梯 形 可 以 拼 成一 个 什 么 样 的 图 形 ？2、 拼 成 的 平 行 四 边 形 的 高 和 原 梯形 的 高 相 等 吗 ？3、 拼 成 的 平 行 四 边 形 的 底 和 原 梯形 的 上 底 与 下 底 的 和 相 等 吗 ？4、 拼 成 的 平 行 四 边 形 的 面 积 等 于原 梯 形 面 积 的 几 倍 ？5、 平 行 四 边 形 的 面 积 怎 样 计 算 ？6、 梯 形 面 积 又 怎 样 计 算 ？ 7、 梯 形 面 积 为 什 么 是 上 底 加 下 底的 和 乘 高 ， 还 要 除 以 2？1、 你 打 算 把 梯 形 转 化 为 什 么图 形 ？2、 转 化 后 的 图 形 与 梯 形 有 什么 关 系 ？3、 梯 形 的 面 积 怎 么 计 算 ？ 二 、 活 动 要 再 现 认 知 的 过 程 ，突 出 方 法 性 。 课 程 标 准 将 小 学 数 学 目 标 具 体 分 为知 识 与 技 能 、 数 学 思 考 、 解 决 问 题 、 情感 与 态 度 四 个 方 面 。 过 程 性 的 目 标 始 终贯 穿 于 这 四 个 目 标 中 。 经 历 、 体 验 、 感受 是 过 程 性 目 标 中 很 重 要 的 几 个 动 词 ，因 此 在 数 学 活 动 中 要 体 现 认 知 的 过 程 ，探 索 解 决 问 题 的 方 法 。 引 导 观 察 构 建 模 型 方 程 的 意 义 师 ： （ 课 件 ） 演 示 天 平 是 做 什 么 用 的 ？ 生 ： 在 自 然 实 验 课 时 我 们 测 量 过 比 较 轻 的 物 体 的 质 量 。 生 ： 当 天 平 左 右 两 个 托 盘 重 量 相 等 时 天 平 平 衡 。 （ 课 件 ） 天 平 不 平 衡 平 衡 这 说 明 天 平 两 边 所 放 物 体 的 重 量 怎 样 ？ 生 ： 左 右 两 边 的 重 量 相 等 了 。 你 能 用 一 个 数 学 式 子 来 表 示 这 时 候 的 现 象 吗 ？ 生 ： 20+20=40 生 ： 20 2=40 师 ： 数 学 没 有 国 界 ， 这 种 语 言 是 世 界 通 用 的 ， 看 这 么 一 个 小 小 的 式子 就 能 代 表 这 么 多 的 话 ， 多 么 便 捷 呀 ！ 谁 能 给 这 们 的 式 子 起 个 名 字 ？ 设 计 意 思 ： 短 短 的 一 句 话 使 我 和 我 的 学 生 感 受 到 了 数 学 的 魅 力 ！对 学 生 的 教 育 达 到 了 润 物 无 声 ， 相 信 学 生 们 对 数 学 这 门 学 科 有 一 个重 新 的 认 识 ， 会 极 大 激 发 学 生 学 习 数 学 的 兴 趣 。 生 ： 等 式 。 师 ： （ 课 件 ） 演 示 不 平 衡 图 。 你 会 用 一 个 式 子 表 示 这 时 候 的 现 象 吧 ？ 生 ： 50 20 师 ： 如 果 我 加 一 个 物 体 ， 猜 一 猜 会 出 现 什 么 情 况 ？ 生 ： 左 右 两 边 相 等 。 生 ： 左 边 会 重 ， 左 大 于 右 生 ： 右 边 会 重 ， 右 大 于 左 。 师 ： 你 会 用 不 同 的 式 子 表 示 吗 ？ 有 问 题 吗 ？ 有 新 的 方 法 表 示 吗 ？ （ 有 的 学 生 皱 眉 深 思 ， 从 他 们 的 表 情 可 以 看 出 在 思 考 ， 有 的 学 生 不 由 自 主 地 商量 起 来 。 片 刻 ， 有 几 个 同 学 想 出 办 法 来 了 ） 生 ： 用 X表 示 未 知 数 就 可 以 了 。 （ 学 生 纷 纷 表 示 同 意 ） 师 ： 噢 ， 我 们 怎 能 想 到 这 个 办 法 呢 ？ 生 ： 我 们 以 前 做 过 求 未 知 数 X的 题 。 生 ： 我 预 习 时 书 上 也 是 这 么 写 的 。 师 ： 你 们 的 学 习 习 惯 真 好 ！ 现 在 请 你 用 X这 个 字 母 表 示 未 知 数 写 出 数 学 式 子 。 生 ： 20+X=50 生 ： 20+X 50 生 ： 20+X 50 设 计 意 图 ： 本 着 循 序 渐 进 的 原 则 ， 让 学 生 通 过 观 察 、 猜 想 ， 把 自 己 理 解 的等 式 意 义 表 达 出 来 ， 初 步 感 知 方 程 。 让 学 生 观 察 平 衡 与 不 平 衡 的 各 种 生 活 现 象 ，用 生 活 原 形 帮 助 学 生 理 解 等 式 的 含 义 及 方 程 的 意 义 。 这 样 的 设 计 贴 近 学 生 的 生 活 ，激 发 了 学 生 的 学 习 兴 趣 ， 帮 助 学 生 建 立 等 式 模 型 ， 在 观 察 天 平 过 程 中 培 养 了 学 生的 符 号 感 、 观 察 能 力 与 发 现 能 力 。 探 究 分 类 引 导 概 括 师 ： 我 们 得 到 了 一 些 数 学 式 子 ， 如 果 把 这 些 式 子 按 照 统 一 的 标 准 分 类 ， 可 以按 怎 样 的 标 准 分 呢 ？ 试 一 试 。 生 ： （ 实 物 投 影 反 馈 ） 20+20=40 20+X 50 20 2=40 20+X 50 20+ X=50 50 20 X 4=800 800 X=4 师 ： 你 们 是 怎 么 想 的 ？ 分 类 的 标 准 是 什 么 ？ 还 有 不 同 的 想 法 吗 ？ 生 ： （ 实 物 投 影 反 馈 ） 20+X 50 20+20=40 20+X 50 20 2=40 X 4=800 50 20 20+ X=50 800 X=4 师 ： 你 们 是 怎 么 想 的 ？ 分 类 的 标 准 是 什 么 ？ 还 有 不 同 的 想 法 吗 ？ 设 计 意 图 ： 让 孩 子 在 实 践 中 放 飞 思 维 ， 鼓 励 孩 子 通 过 亲 自 分 类 ， 大 胆 想象 。 老 师 及 时 观 察 ， 有 效 把 握 活 动 进 程 ， 通 过 鼓 励 性 的 语 言 表 扬 部 分 同 学 ，为 其 他 同 学 指 明 操 作 与 思 考 的 方 向 ， 孩 子 们 在 分 类 过 程 中 增 添 了 学 习 的 信 心 师 ： 标 准 不 同 结 果 也 不 同 ， 如 果 把 含 有 未 知 数 、 等 式 的 标 准 分 得 的 结 果 继 续分 ， 还 会 分 吗 ？ 生 ： （ 再 次 尝 试 分 类 ） 师 ： （ 观 察 汇 报 ） 你 们 发 现 了 什 么 ？ 这 组 式 子 有 什 么 共 同 的 特 征 呢 ？ 生 ： （ 等 式 ） （ 含 有 未 知 数 ） 师 ： 像 这 样 的 式 子 你 们 知 道 叫 什 么 吗 ？ 板 书 ： 方 程 设 计 意 图 ： 让 学 生 在 观 察 、 操 作 、 猜 测 、 分 析 、 交 流 、 反 思 等 活 动 中逐 步 体 会 数 学 知 识 的 产 生 、 形 成 与 发 展 的 过 程 ， 掌 握 必 要 的 基 础 知 识 与 基 本技 能 。 让 学 生 通 过 对 自 己 得 到 的 式 子 分 类 来 感 知 “ 方 程 ” 的 意 义 ， 既 会 让 学生 感 兴 趣 又 易 于 理 解 。 三 、 活 动 要 适 当 联 系 生 活 实 际 ，注 重 数 学 知 识 在 生 活 中 的 应 用 。 课 程 标 准 中 提 到 现 实 生 活 中 蕴 涵着 大 量 的 数 学 信 息 ， 数 学 在 现 实 中有 广 泛 的 应 用 ； 面 对 实 际 问 题 时 ，能 主 动 寻 找 其 实 际 背 景 ， 并 探 索 其应 用 价 值 。 案 例 20： 分 数 乘 除 法 应 用 题 整 理 和 复 习 教 师 要 求 学 生 编 一 道 应 用 题 。 生 1： 学 校 放 学 后 ， 我 和 王 亮 在 公 路 上 练 习长 跑 ， 我 跑 了 15分 钟 ， 比 王 亮 多 用 了 ， 王亮 跑 了 多 少 分 钟 ？ 生 2： 李 飞 的 爸 爸 上 个 月 捕 青 蛙 ， 卖 了 240元 钱 ， 这 个 月 比 上 个 月 多 卖 了 ， 这 个 月 卖了 多 少 ？ 生 3： 小 红 和 小 军 一 起 看 故 事 书 ， 小 红 从 前往 后 看 ， 15小 时 看 完 ， 小 军 从 后 往 前 看 10小 时可 以 看 完 ， 两 人 同 时 看 ， 几 小 时 可 以 看 完 ？1416 教 师 对 三 个 学 生 的 回 答 都 给 予 了充 分 的 肯 定 ， 但 我 们 不 难 发 现 ， 学 生的 回 答 和 实 际 生 活 的 联 系 都 是 很 勉 强的 。 小 学 生 的 生 活 经 验 的 局 限 ， 对 于生 活 的 认 识 还 很 幼 稚 、 肤 浅 ， 不 能 完全 摆 脱 例 题 和 教 师 的 束 缚 ， 他 们 只 是提 出 问 题 ， 忽 略 了 问 题 的 合 理 性 。 我们 的 教 师 在 课 堂 教 学 的 时 候 ， 不 能 单一 为 了 呵 护 学 生 的 积 极 性 而 对 学 生 进行 这 样 的 “ 愚 弄 ” 。 案例21：比例尺（李秉德） 按 照 中 国 地 图 上 的 比 例 尺计 算 从 北 京 到 兰 州 直 线 的 距离 ， 很 多 的 同 学 计 算 的 结 果是 1200米 ， 如 何 解 决 全 班 出现 的 问 题 呢 ？ 李 老 师 这 样 设计 了 一 个 练 习 。 师 ： 同 学 们 知 道 100米 有 多 长 吗 ？生 ： 知 道 ， 从 1年 级 到 6年 级 教 室 。师 ： 你 怎 么 知 道 的 ？生 ： 开 运 动 会 的 时 候 知 道 的 。师 ： 那 么 从 我 们 学 校 到 购 物 中 心 有多 远 ？生 ： 大 约 1500米 。 师 ： 购 物 中 心 在 什 么 方 向 ？生 ： 在 东 北 方 向 。师 ： 北 京 在 什 么 方 向 ？生 ： 也 在 东 北 方 向 。师 ： 那 我 们 去 购 物 中 心 应 该 路 过 北 京 ？生 ： 生 ： 看 来 我 们 计 算 有 问 题 ， 单 位 应 该 是 千 米 而 不 是 米 。 数学回归生活 一 、 学 习 内 容 回 归 生 活 。 活 动 的设 计 从 生 活 出 发 ， 从 兴 趣 出 发 ， 都 是生 活 化 的 例 子 。 要 求 我 们 的 孩 子 要 关注 生 活 ， 用 数 学 。 二 、 学 习 活 动 回 归 生 活 。 学 生 在互 动 中 通 过 教 师 设 计 的 活 动 ， 进 一 步反 思 和 总 结 出 方 法 ， 学 生 学 习 就 是 自我 构 建 的 过 程 。 四 、 数 学 活 动 要 考 查 动 手 技 能 ，强 调 实 践 性 的 原 则 。 课 程 标 准 中 指 出 动 手 实 践 、 自 主 探 索与 交 流 合 作 是 学 生 学 习 的 重 要 方 式 。 对 于 空 间 与 图 形 ， 课 程 标 准 中 强 调要 经 历 探 索 物 体 与 图 形 的 形 状 、 大 小 、位 置 关 系 和 变 换 的 过 程 ， 掌 握 空 间 与 图形 的 基 础 知 识 和 基 本 技 能 并 能 解 决 简 单的 问 题 。 案例25：面积的认识 片 段 一 ： 师 ： 现 代 的 人 们 生 活 水 平提 高 ， 许 多 人 住 上 了 新 房 子 。 谁 来 回答 一 下 ， 你 们 家 房 子 的 面 积 有 多 大 ？（ 学 生 争 相 回 答 ）师 ： 像 这 些 “ 平 方 米 ” ， 就 是 房子 的 面 积 。 今 天 我 们 就 来 认 识 “ 面积 ” 。 片 段 二 ：师 ： 你 摸 一 摸 桌 上 的 橘 子 、 盒 子 和易 拉 罐 ， 像 这 些 东 西 都 叫 物 体 ， 请大 家 来 摸 一 摸 他 们 的 面 ， 哪 个 大 ？哪 个 小 呢 ？生 1： 易 拉 罐 的 面 大 。生 2： 盒 子 的 面 大 ， 它 有 6个 面 呢 。师 ： 同 学 们 做 得 真 好 ， 那 么 盒 子 的面 要 算 6个 面 的 和 ， 易 拉 罐 呢 ？ 要算 3个 面 的 和 。 片 段 三 ：师 ： 每 人 手 里 有 一 个 橘 子 ， 我 们 做 一下 剥 橘 子 的 比 赛 ， 看 谁 剥 得 巧 ， 剥 得快 。生 都 剥 橘 子 。教 师 选 两 个 同 学 剥 得 橘 子 ， 用 实 物 投影 打 出 来 。师 ： 通 过 投 影 ， 我 们 也 可 以 观 察 到 橘子 的 表 面 哪 个 大 ？ 哪 个 小 ？ （ 生 答 ）师 ： 看 来 橘 子 也 有 表 面 ， 也 有 大 小 。 片 段 四 ：师 ： 刚 才 我 们 看 了 物 体 的 表 面 ， 知 道 他们 的 表 面 各 不 相 同 ， 那 么 物 体 的 表 面 是有 大 小 的 ， 那 么 平 面 图 形 有 大 小 吗 ？ 我们 看 一 下 下 面 的 图 形 。 片 段 五 ：师 ： 刚 才 的 哪 些 图 形 的 面 积 哪 个 大 ？哪 个 小 ？ 哪 个 没 有 面 积 ？师 ： 上 面 这 个 图 形 为 什 么 没 有 面 积 ？生 ： 因 为 它 没 有 围 成 完 整 的 图 形 。师 ： 对 ， 物 体 的 表 面 或 者 围 成 的 平面 图 形 的 大 小 ， 叫 做 面 积 。 片 段 六 ：师 ： 刚 才 我 们 对 面 积 有 了 初 步 的 认 识 ，现 在 我 们 以 小 组 为 单 位 做 一 个 实 验 。首 先 用 1号 信 封 进 行 实 验 ， 如 果 有 困 难 ，可 以 用 2号 信 封 （ 尺 子 、 格 子 图 ） 。 想一 想 ， 怎 样 比 较 下 面 图 形 的 大 小 ？ （ 1） （ 2）（ 3） （ 4） 师 ： 同 学 们 通 过 讨 论 ， 汇 报 一 下 你 们讨 论 的 结 果 。生 1： （ 1） 和 （ 2） 好 比 较 ， 重 叠 就 可以 了 。生 2： （ 3） 可 以 把 平 行 四 边 形 的 一 个角 切 下 来 ， 然 后 移 动 过 去 ， 然 后 再 重叠 ， 进 行 比 较 。生 3： （ 4） 不 好 重 叠 ， 也 不 好 割 补 ，我 们 不 知 道 该 怎 么 办 ？ 。 师 ： 同 学 们 没 有 用 2号 信 封 的 工 具 ， 我们 现 在 请 同 学 拿 出 2号 信 封 的 工 具 再 尝试 一 下 。（ 生 用 格 子 图 来 比 较 ， 通 过 数 格 子 学 生发 现 了 两 个 图 形 面 积 的 大 小 ）师 ： 现 在 知 道 哪 个 大 了 吧 ？ 同 学 们 用 的是 什 么 的 办 法 ？生 ： 数 格 子 的 办 法 。师 ： 好 ， 按 照 大 家 的 意 见 就 叫 “ 数 格子 ” 。下 面 我 们 看 一 下 练 习 。 练 习 1： 比 较 下 列 图 形 中 哪 个 的 面 积 大 ？哪 个 小 ？大 家 用 数 格 子 的 办 法 比 较 图 形 的 面 积 。 练 习 2： 左 图 是 女 生 看 到 的 正 方 形 ， 右图 是 男 生 看 到 的 正 方 形 ， 左 图 是 几 格 ？右 图 是 几 格 ？ 哪 个 大 呢 ？ “ 面 积 的 认 识 ” 是 从 一 维 空 间 到 二维 空 间 的 一 个 过 度 ， 从 这 节 课 可 以 看 出 ，学 生 在 整 个 学 习 的 过 程 注 意 从 动 手 上 升到 动 脑 ， 在 动 脑 的 过 程 中 ， 加 强 学 生 的体 验 和 感 受 ， 真 正 提 升 学 生 的 实 践 能 力 。教 学 的 前 半 段 是 认 识 面 积 ， 是 感 性 到 理性 的 认 识 ， 是 从 “ 实 践 到 认 识 ” 的 过 程 ，后 半 段 是 比 较 面 积 大 小 ， 是 从 “ 认 识 到实 践 ” 的 过 程 。 学 生 在 动 手 的 过 程 中 得到 求 面 积 的 方 法 有 ： 观 察 法 、 重 叠 法 、剪 拼 法 后 ， 又 知 道 了 “ 数 格 子 ” 法 。 最 后 的 结 尾 对 “ 数 格 子 ”的 办 法 又 进 行 了 一 个 新 的 认 识 ，也 为 统 一 的 面 积 单 位 打 下 了 良 好的 基 础 。 学 生 们 认 识 到 ， “ 数 格子 ” 不 是 最 科 学 的 方 法 ， 从 而 激发 起 学 生 继 续 寻 找 、 探 究 “ 面 积单 位 ” 的 欲 望 ， 这 就 为 后 面 学 习“ 面 积 单 位 ” 这 一 知 识 单 元 打 下了 一 个 很 好 的 伏 笔 。 五 、 活 动 要 注 意 开 放 ， 培 养 创新 能 力 。 课 程 标 准 要 求 形 成 解 决 问 题的 一 些 基 本 策 略 ， 体 验 解 决 问题 策 略 的 多 样 性 ， 发 展 实 践 能力 和 创 新 精 神 。 案例26：平均数 小 红 的 爸 爸 出 差 ， 5天 没 有 回家 ， 回 家 后 一 下 撕 下 这 5天 的 日 历 ，几 天 的 日 期 数 相 加 的 和 是 90。 小红 的 爸 爸 回 家 这 天 是 几 号 ？ 一 般 学 生 ： 90 5=18进 而 推 断 出 这 5天 的 日 期 是 ：16、 17、 18、 19、 20， 小红 爸 爸 回 家 的 这 天 是 21号 。 生 ： 这 5天 是 否 会 是 月 底 和 月 初 呢 ？师 ： 是 呀 ， 这 是 一 个 连 老 师 也 没 有发 现 的 问 题 ， 如 果 是 上 个 月 的 月 底和 这 个 月 的 月 初 ， 就 不 是 连 续 的 自然 数 了 ， 那 么 应 该 怎 么 办 呢 ？ 我 们可 以 想 一 个 办 法 让 他 变 成 一 个 连 续的 自 然 数 呢 ？ 比 如 ： 28、 29、 30、1、 2。生 1： 给 1和 2分 别 加 上 30 生 2： 给 1和 2分 别 加 上 30， 那 就 变 成150了 ， 150 5=30， 那 中 间 一 个 就 是30， 小 红 的 爸 爸 就 是 3号 回 家 。生 3： 如 果 月 底 有 31号 呢 ？师 ： 别 的 同 学 还 有 问 题 吗 ？生 4： 如 果 月 底 是 只 有 28号 或 者 29号 呢 ？师 ： 大 家 可 以 思 考 一 下 ， 如 果 是 只 有 28或 者 29号 ， 应 该 怎 么 办 ？ 从 这 个 例 子 中 可 以 看 出 ， 一 个开 放 性 的 思 考 题 ， 当 学 生 出 现 认 识局 限 性 的 时 候 ， 教 师 要 注 意 引 导 学生 ， 从 一 般 问 题 入 手 ， 找 邻 近 的 知识 点 ， 找 突 破 点 六 、 练 习 活 动 的 设 计 要 和 学 生学 习 沟 通 ， 体 现 情 感 和 态 度 的 统一 。 课 程 标 准 对 学 生 在 学 习 中 的 情感 与 态 度 有 明 确 的 要 求 ， 一 般 主 要指 学 生 学 习 的 兴 趣 ， 求 知 的 欲 望 ，成 功 的 体 验 ， 失 败 的 教 训 ， 从 而 帮助 学 生 找 到 解 决 学 习 问 题 的 途 径 ，树 立 学 习 的 自 信 心 。 面 积 单 位 教 学 A教 学 ：师 ： 通 过 刚 才 的 学 习 ， 我 们 已 经 知 道 了 1平 方 米 、1平 方 分 米 和 1平 方 厘 米 究 竟 是 多 大 了 。 你 们 能解 答 以 下 问 题 吗 ？6平 方 分 米 =（ ） 平 方 厘 米 12平 方 米 =1200（ ）928平 方 分 米 =（ ） 平 方 米 （ ） 平 方 分 米 案 例 30 面 积 单 位 教 学 B教 学 ：师 ： 咱 们 知 道 了 1平 方 米 、 1平 方 分 米 和 1平 方 厘 米 的 大 小 。 谁能 很 快 地 撕 出 1平 方 分 米 和 1平 方 厘 米 大 小 的 纸 片 。 看 谁 撕 得 最接 近 。生 ： 师 ： 你 们 能 想 象 出 2平 方 分 米 （ 平 方 厘 米 ） 、 3平 方 分 米 （ 平 方厘 米 ） 的 大 小 吗 ？ 试 着 把 它 画 出 来 。 不 一 定 要 画 正 方 形 的形 状 。生 ： 师 ： 观 察 一 些 物 体 ， 想 象 一 些 物 体 ， 它 们 表 面 的 面 积 大 概 是 多大 呢 ？ 在 小 组 中 交 流 一 下 。 等 会 再 在 全 班 交 流 。 真 正 有 价 值 的 数 学 ， 一 定 是 进 入 学生 内 心 的 数 学 ， 而 不 是 浮 于 一 些 文 字 之上 。 对 数 学 概 念 的 把 握 ， 理 解 它 的 定 义是 必 要 的 ， 但 体 验 它 的 实 际 意 义 与 建 构心 理 表 象 更 是 不 可 忽 视 。 圆 的 周 长 练 习1、 求 下 面 各 圆 的 周 长 ：d=3厘 米 d=7分 米 d=19厘 米r=5厘 米 r=8米 r=4.2分 米2、 一 个 圆 形 花 坛 的 半 径 为 3米 ， 它 的 周长 是 多 少 米 ？3、 一 个 圆 形 水 池 ， 周 长 是 37.68米 。 它的 直 径 是 多 少 米 ？4、 一 个 圆 的 半 径 扩 大 了 2倍 ， 它 的 周 长扩 大 多 少 倍 ？ A练 习 ：案 例 32： 1、 用 圆 规 在 纸 上 画 一 个 圆 。 你 能 知 道 它 的 周 长 吗 ？ 2、 手 指 的 截 面 形 状 近 似 圆 形 。 量 量 算 算 ，估 计 每 个 手 指 尖 的 粗 度 大 约 在 什 么 范 围 之 内 。 3、 每 位 同 学 拿 出 自 己 的 墨 水 瓶 。 有 办 法知 道 它 底 面 的 周 长 大 概 是 多 少 吗 ？ B练 习 ： 当 学 生 未 学 圆 周 长 计 算 公 式 之 前 ， 让 他 去求 墨 水 瓶 底 面 的 周 长 ， 兴 许 他 还 知 道 用 绳 子 一绕 就 行 了 ， 但 是 学 习 过 后 再 让 他 去 求 时 ， 他 是怎 么 也 想 不 到 用 绳 子 去 绕 绕 ， 而 是 想 方 设 法 地测 量 底 面 的 直 径 ， 可 测 量 直 径 却 是 很 费 劲的 教 什 么 ， 就 学 什 么 ； 学 什 么 ， 就 练 什 么 ，数 学 学 习 的 过 程 成 为 了 技 能 不 断 训 练 的 过 程 。技 能 是 熟 练 了 ， 但 很 多 时 候 思 维 却 僵 化 了 。 案 例 36： 轴 对 称 图 形 教 学A教 学 ：师 ： 同 学 们 ， 观 察 这 几 个 图 形 ， 它 们 有 什 么 共 同 的 特 征吗 ？（ 屏 幕 上 出 现 圆 、 长 方 形 、 等 腰 梯 形 等 图 形 ， 并 演 示 分别 把 它 们 对 折 重 合 的 情 形 ）生 ： 这 些 图 形 对 折 后 ， 两 边 大 小 相 等 。师 ： 像 这 些 对 折 后 两 边 完 全 重 合 的 图 形 ， 我 们 叫 它 对 称图 形 。 观 察 一 下 ， 下 面 图 形 是 对 称 图 形 吗 ？ （ 出 示 几个 图 形 ）生 ： 师 ： （ 媒 体 再 次 演 示 对 折 的 情 形 ） 大 家 看 见 这 条 对 折 后留 下 的 折 痕 吗 ？ （ 生 ： ）师 ： 这 条 折 痕 ， 我 们 就 把 它 称 为 对 称 轴 。 每 个 同 学 拿 出你 们 的 长 方 形 、 正 方 形 与 圆 形 纸 片 ， 折 折 看 ， 并 画 出它 们 的 对 称 轴 。 B教 学 ：师 ： 咱 们 做 个 试 验 。 在 纸 上 滴 一 滴 墨 水 ， 然 后 马 上 将 纸一 折 为 二 。 再 展 开 ， 我 们 能 发 现 什 么 呢 ？生 做 试 验 。师 ： 谁 来 交 流 与 展 示 一 下 ， 你 们 是 怎 样 做 的 ？ 发 现 了 什么 ？ 生 ： （ 图 1） （ 图 1） （ 图 2） （ 图3）师 ： （ 媒 体 出 现 图 2） 小 明 用 颜 料 在 四 张 纸 上 分 别 画 了以 上 图 形 ， 他 很 快 将 纸 对 折 后 再 展 开 ， 这 四 张 纸 上 会出 现 什 么 样 的 图 形 呢 ？生 ： 师 ： （ 屏 幕 出 示 图 3） 你 也 能 用 这 样 的 方 法 ，画 出 如 同 屏 幕 上 的 三 个 图 形 吗 ？生 ： 师 ： 你 还 能 用 这 种 方 法 画 出 其 他 的 图 形 吗 ？ 能画 出 我 们 曾 经 学 过 的 平 面 图 形 吗 ？生 画 ， 师 组 织 交 流 。 师 ： 小 华 用 这 种 方 法 画出 了 这 样 的 图 形 。 想 想看 ， 他 是 怎 样 画 的 ？ 又 是 怎 样 折 的 ？你 能 把 折 痕 描 出 来 吗 ？ “ 听 过 的 ， 忘 记 了 ； 看 过 的 ， 记 住 了 ； 做过 的 ， 掌 握 了 。 ” 没 有 亲 身 的 体 验 ， 没 有 积 极的 活 动 ， 很 多 知 识 便 如 同 “ 过 眼 烟 云 ” ， 很 难扎 根 在 学 生 脑 海 中 。 把 “ 学 数 学 ” 变 为 “ 做 数学 ” ， 把 “ 书 本 的 数 学 ” 变 为 “ 活 动 的 数 学 ” ，让 学 生 在 活 动 与 应 用 的 过 程 中 去 体 悟 与 理 解 知识 ， 是 建 构 主 义 所 大 力 倡 导 的 理 论 ， 也 是 我 们一 线 教 师 必 须 积 极 实 践 的 课 题 。 有 关 考 试 题 的 比 较 这 里 有 几 道 题 ， A类 型 和 B类 型 ， 究 竟 哪 一 种 对 孩 子数 学 思 维 的 发 展 ， 才 更 为 有 利 呢 ？ 2. A.三 角 形 的 底 是 3厘 米 ， 高 是 4厘 米 ， 它 的 面 积 是 多 少 ？ B.画 一 个 面 积 为 6平 方 厘 米 的 三 角 形 。 你 能 画 出 几 种 ？ 3. A.把 一 个 长 240厘 米 、 宽 100厘 米 的 长 方 形 分 解 为 10个 长 为 60厘米 的 小 长 方 形 。 小 长 方 形 的 宽 为 多 少 ？ B.把 一 个 长 240厘 米 、 宽 100厘 米 的 长 方 形 分 解 为 10个 长 为 60厘米 的 小 长 方 形 。 试 着 把 它 画 出 来 。 1. A.下 面 哪 些 数 是 质 数 ？ 哪 些 数 是 合 数 ？ 81、 2、 53、 111、 B.小 明 说 ， 91与 93都 是 质 数 ， 因 为 它 们 的 个 位 上 的 数 都 是 奇 数 。你 认 为 呢 ？ 能 说 出 理 由 吗 ？ 有 关 考 试 题 的 比 较 发 挥 评 价 的 引 导 功 能 ， 让 学 生 的 学 习 淡 化 记 忆 与 演 练 ，而 强 化 一 种 有 联 系 、 有 现 实 意 义 、 有 挑 战 性 的 活 动 ， 学 生 的数 学 素 养 将 会 日 益 提 高 。 5.A. B.你 能 把 在 方 格 中 表 示 出 来 吗 ？ 4. A.把 化 成 分 数 、 小 数 。 B.（ 图 ： 把 一 个 长 方 形 ， 按 长 边 10等 份 、 宽 边 4等 份 分 成 若 干个 小 长 方 形 ， 上 面 画 出 一 些 阴 影 部 分 ） 你 能 分 别 用 分 数 、 小 数 和百 分 数 解 释 上 面 的 阴 影 部 分 吗 ？ 38 给 学 生 进 行 铺 垫 ， 看 似 明 确 了 思 维指 向 ， 提 高 了 学 习 的 效 率 。 实 质 上 是 设置 了 思 维 通 道 ， 缩 小 了 孩 子 探 索 的 空 间 。只 能 勉 强 地 说 学 生 “ 学 会 ” 了 ， 但 离“ 会 学 ” 还 是 很 有 距 离 的 。 数 学 的 价 值 不 在 模 仿 而 在 创 新 ， 数 学的 本 质 不 是 技 能 而 是 思 想 。 数 学 学 习 的 过程 不 能 只 是 一 个 遵 照 指 令 进 行 程 序 操 作 的过 程 ， 而 是 一 个 不 断 地 运 用 自 己 的 知 识 经验 进 行 自 我 建 构 的 过 程 。 学 生 需 要 的 ， 不是 去 复 制 别 人 的 数 学 ， 而 是 去 建 构 自 己 的数 学 。 共 勉 ： 永 远 要 记 住 ： 在 某 个 高 度 之 上 ， 就 没 有 风 雨 云层 。 如 果 你 生 命 中 的 云 层 遮 蔽 了 阳 光 ， 那 是 因 为你 的 心 灵 飞 得 还 不 够 高 。 大 多 数 人 所 犯 的 错 误 是去 抗 拒 问 题 ， 他 们 努 力 试 图 消 灭 云 层 。 正 确 的 做法 是 发 现 使 你 上 升 到 云 层 之 上 的 途 径 ， 那 里 的 天空 永 远 是 碧 蓝 的 。 结 束 语 把 工 作 当 做 一 种 愉 快 的 带 薪 学 习 。 八 小 时 内 求生 存 ， 八 小 时 外 求 发 展 。 只 有 耐 得 住 寂 寞 和 清 贫 ，干 一 行 、 爱 一 行 、 专 一 行 全 身 心 地 投 入 ， 才 能 在平 凡 的 岗 位 上 取 得 不 平 凡 的 成 绩 。 “ 很 多 人 问 我 成 功 的 秘 密 ， 其 实 没 什 么 秘 密 可谈 ， 我 只 是 选 择 了 我 爱 做 的 事 ， 该 做 的 事 。 其 实我 不 比 别 人 聪 明 多 少 ， 我 之 所 以 走 到 了 其 他 人 的前 面 ， 不 过 是 我 认 准 了 一 生 只 做 一 件 事 ， 并 且 把这 件 事 做 得 更 完 美 而 已 。 ” -比 尔 .盖 茨