抛物线的基本几何特征

抛 物 线 的 基 本 几 何 特 征1.已 知 抛 物 线 ， 它 的 开 口 ， 顶 点 ，对 称 轴 ， 当 x 时 ， y随 着 x的 增 大 而 减 小 ，当 x 时 ， y随 着 x的 增 大 而 增 大 ； 当 x 时 ， 函 数 y有 最 值 ， 最 小 值 为 ， 而抛 物 线 它 的 开 口 ， 顶 点 ，对 称 轴 ， 当 x 时 ， 函 数 y有 最 值 ， 最 大值 为 ， 当 x 时 ， y随 着 x的 增 大 而 增 大 ， 当 x 时 ， y随 着 x的 增 大 而 减 小 。 22xy 22xy 数 学 实 验 室向 上 （ 0， 0）x=0 小 0 0 0 向 下=0 （ 0， 0）x=0 =0 大0 0 0 一 般 的 ， 抛 物 线 的 几 何 特 征 ： 时，抛物线的开口向下当 时，抛物线的开口向上当 0a 0a 2axy 顶 点 （ 0， 0） ， 对 称 轴 x=0若 a 0， 当 x 0时 ， 函 数 y随 x的 增 大 而 减 小 ， 当 x 0时 ， 函 数 y随 x的 增 大 而 增 大 ；若 a 0， 当 x 0时 ， 函 数 y随 x的 增 大 而 增 大 ， 当 x 0时 ， 函 数 y随 x的 增 大 而 减 小 ；若 a 0， 当 x=0时 ， 函 数 y有 最 小 值 0；若 a 0, 当 x=0时 ， 函 数 y有 最 大 值 0 （ 1） 抛 物 线 的 开 口 ， 顶 点 ，对 称 轴 ， 当 x 时 ， y随 着 x的 增 大 而 减 小 ，当 x 时 ， y随 着 x的 增 大 而 增 大 ； 当 x 时 ，函 数 y有 最 值 ， 最 小 值 为 ， 它 是 由 抛 物 线 向 平 移 个 单 位 而 得 到 .（ 2） 抛 物 线 的 开 口 ， 顶 点 ，对 称 轴 ， 当 x 时 ， y随 着 x的 增 大 而 增 大 ， 当 x 时 ， y随 着 x的 增 大 而 减 小 ； 当 x 时 ，函 数 y有 最 值 ， 最 大 值 为 ， 它 是 由 抛 物 线 向 平 移 个 单 位 而 得 到 .32 2 xy 32 2 xy 数 学 实 验 室 向 上 （ 0， -3）x=0 =0-3小 0 0 22xy 22xy 下 3 向 下 （ 0， 3）x=0 =0大 3 0 0 上 3 抛 物 线 的 几 何 特 征 ： 抛 物 线 的 开 口 方 向 抛 物 线 的 顶 点 （ 0， c） ， 对 称 轴 x=0 若 a 0， 当 x 0时 ， 函 数 y随 x的 增 大 而 减 小 ， 当 x 0时 ， 函 数 y随 x的 增 大 而 增 大 ； 若 a 0， 当 x 0时 ， 函 数 y随 x的 增 大 而 增 大 ， 当 x 0时 ， 函 数 y随 x的 增 大 而 减 小caxy 2 时，抛物线的开口向下当 时，抛物线的开口向上当 0a 0a 若 a 0， 当 x=0时 ， 函 数 y有 最 小 值 c； 若 a 0, 当 x=0时 ， 函 数 y有 最 大 值 c. 它 的 图 像 是 由 抛 物 线 向 （ c 0）平 移 个 单 位 ； 或 者 向 （ c 0） 平 移 个 单 位 而 得 到 . 2axy 上c 下c 抛 物 线 的 开 口 ， 顶 点 ，对 称 轴 ， 当 x 时 ， y随 着 x的 增 大 而 减 小 ，当 x 时 ， y随 着 x的 增 大 而 增 大 ； 当 x 时 ，函 数 y有 最 值 ， 最 小 值 为 ， 它 是 由 抛 物 线 向 平 移 个 单 位 而 得 到 . 抛 物 线 的 开 口 ， 顶 点 ，对 称 轴 ， 当 x 时 ， y随 着 x的 增 大 而 增 大 ，当 x 时 ， y随 着 x的 增 大 而 减 小 ； 当 x 时 ，函 数 y有 最 值 ， 最 大 值 为 ， 它 是 由 抛 物 线 向 平 移 个 单 位 而 得 到 .2)3(2 xy 2)3(2 xy 数 学 实 验 室 向 上 （ -3， 0）x=-3 =-3小 0 -3 -322xy 左 3 22xy 向下 （ 3， 0）x=3 =3大 0 3 3 3右 抛 物 线 的 几 何 特 征 ： 抛 物 线 的 开 口 的 方 向 顶 点 （ m， 0） ， 对 称 轴 x=m 若 a 0， 当 x m时 ， 函 数 y随 x的 增 大 而 减 小 ， 当 x m时 ， 函 数 y随 x的 增 大 而 增 大 ； 若 a 0， 当 x m时 ， 函 数 y随 x的 增 大 而 增 大 ， 当 x m时 ， 函 数 y随 x的 增 大 而 减 小2)( mxay 时 ， 抛 物 线 的 开 口 向 下当 时 ， 抛 物 线 的 开 口 向 上当 0a 0a 若 a 0， 当 x=m时 ， 函 数 y有 最 小 值 0； 若 a 0, 当 x=m时 ， 函 数 y有 最 大 值 0. 它 的 图 像 是 由 抛 物 线 向 （ m 0） 平 移 个 单 位 ； 或 者 向 （ m 0） 平 移 个 单 位 而 得到 . 2axy 右 m左 m 抛 物 线 的 开 口 ， 顶点 ， 对 称 轴 ， 当 x 时 ， y随着 x的 增 大 而 减 小 ， 当 x 时 ， y随 着 x的增 大 而 增 大 ； 当 x 时 ， 函 数 y有 最 值 ，最 小 值 为 ， 它 是 由 抛 物 线 先 向 平 移 个 单 位 ， 然 后 再 向 平 移 个 单 位 而 得 到 . 1)3(2 2 xy 向 上(-3,-1) X=-3 -3 -3=-3 小-1 22xy 左 3 下1 抛 物 线 的 开 口 ， 顶点 ， 对 称 轴 ， 当 x 时 ， y随 着 x的 增 大 而 增 大 ， 当 x 时 ， y随 着 x的 增 大而 减 小 ； 当 x 时 ， 函 数 y有 最 值 ， 最大 值 为 ， 它 是 由 抛 物 线 先 向 平 移 个 单 位 ， 然 后 再 向 平移 个 单 位 而 得 到 .1)3(2 2 xy 22 xy 向 下(3,1) X=3 3 3=3 大1右 3 上1 数 学 实 验 室 抛 物 线 的 几 何 特 征 ： 开 口 的 方 向 顶 点 （ m， n） ， 对 称 轴 x= m 若 a 0， 当 x m时 ， 函 数 y随 x的 增 大 而 减 小 ， 当 x m时 ， 函 数 y随 x的 增 大 而 增 大 ； 若 a 0， 当 x m时 ， 函 数 y随 x的 增 大 而 增 大 ， 当 x m时 ， 函 数 y随 x的 增 大 而 减 小 ；nmxay 2)( 时，抛物线的开口向下0a当 时，抛物线的开口向上0a当 若 a 0， 当 x=m时 ， 函 数 y有 最 小 值 n； 若a 0, 当 x=m时 ， 函 数 y有 最 大 值 n. 它 的 图 像 由 抛 物 线 向 （ m 0）平 移 个 单 位 或 者 向 （ m 0） 平 移 个 单 位 ； 然 后 再 向 （ n 0） 平移 个 单 位 或 者 向 （ n 0） 平 移 个单 位 而 得 到 . 右m 左 2axy m n上n 下 二 次 函 数 的 解 析 式1.已 知 函 数 是 关 于 x的 二 次 函数 ， 求 k的 值 并 写 出 函 数 的 解 析 式2.用 一 根 长 为 8m的 木 条 ， 做 成 一 个 小 长 方 形的 窗 框 。 若 宽 为 x m， 窗 户 面 积 为 y ， 求y与 x的 函 数 解 析 式3.已 知 抛 物 线 的 顶 点 为 （ 3， 4） ， 与 y轴 的 交点 为 （ 0， 1） 求 抛 物 线 的 解 析 式 . 1)2( 42 kkxky 2m（ 用 定 义 ）（ 列 方 程 法 ）（ 几 何 特 征 法 ） 4.已 知 抛 物 线 经 过 点 A（ -1， 0） B（ 3， 0） ， 求 它 的 解 析 式5.已 知 抛 物 线 （ a0） 经 过 点A（ -2， 3） 、 B（ 1， 6） 、 C （ 4， 3） ，求 它 的 解 析 式 。6.已 知 抛 物 线 （ a0） 是 由抛 物 线 平 移 得 到 ， 而 一 元 二 次 方 程 （ a0） 的 两 个 根分 别 为 -1， 3 ， 求 抛 物 线 的 解 析 式 cbxaxy 2 02 cbxax cbxxy 2 cbxaxy 2 2)3(2 xy （ 待 定 系 数 法 ）（ 待 定 系 数 法 ） （ 小 综 合 ） 二 次 函 数 的 解 析 式 求 二 次 函 数 解 析 式 的 常 用 方 法（ 1） 定 义 法（ 2） 列 方 程 法（ 3） 几 何 特 征 法（ 4） 待 定 系 数 法（ 5） 综 合 应 用 法 如 何 求 抛 物 线 的 顶 点 1. 已 知 抛 物 线 ， 求 则 抛 物 线 的顶 点2. 已 知 抛 物 线 y= -2（ x+1） （ x-3） ， 求 抛物 线 的 顶 点 . 3. 已 知 抛 物 线 经 过 A（ -1， 3） 、 B（ 3， 3） 、C（ 1， 5） 三 点 ， 求 抛 物 线 的 顶 点 . 4 . 已 知 抛 物 线 的 对 称 轴 x= -1， 且 顶 点 在 直线 y= -x+3上 ， 求 抛 物 线 的 顶 点 . 3xx41y 2 （ 两 种 基 本 方 法 ）（ 利 用 对 称 性 ） （ 拓 展 ） （ 小 综 合 ） 1.利 用 配 方 法2.利 用 顶 点 坐 标 公 式 法3.利 用 抛 物 线 的 对 称 性4.综 合 应 用 辅 导 资 料 p97