定量资料的统计描述

定 量 资 料 的 统 计 描 述 统 计 描 述 是 统 计 分 析 的 最 基 本 内 容 ,也 是 统 计 分 析 的 重 要 一 部 分 .在 统 计 学 中 经 常 用 统 计 指 标 和 统 计 图 表 来 揭 示 和 反 映 原 始 资 料 的 数 量 特 征 和 信 息 .第 一 节 频 数 分 布 表 与 频 数 分 布 图 频 数 分 布 表用 于 反 映 各 变 量 (观 察 单 位 的 某 种 特 征 )值 及 其相 应 频 数 之 间 关 系 的 一 类 表 格 ,我 们 称 之 为 频数 表 .这 里 频 数 指 对 一 种 变 量 在 多 个 观 察 单 位中 进 行 多 次 观 察 ,其 中 某 一 变 量 值 重 复 出 现 的次 数 .不 同 的 资 料 类 型 编 制 频 数 表 难 易 程 度 不 同 ,其中 计 数 资 料 和 等 级 资 料 比 较 简 单 ,而 计 量 资 料相 对 较 繁 杂 些 . 计 量 资 料 频 数 表 的 编 制 一 般 情 况 下 ,样 本 含 量 小 于 30的 统 计 资 料无 须 编 制 频 数 表 ,但 对 于 大 样 本 含 量 的 资 料 ,编 制 频 数 表 有 利 于 进 一 步 的 统 计 分 析 、 且 频数 表 本 身 也 具 有 统 计 描 述 的 作 用 . 求 出 极 差 确 定 组 段 数 确 定 组 距 列 出 各 个 组 段 确 定 每 一 组 段 频 数选 极 差 即 最 大 值与 最 小 值 之 差 一 般 815 之 间 组 距 =R/组 段 数 ，但 一 般 取 一 方 便 计 算 的 数 字 第 一 组 段 包 括 极 小 值 ， 最 后一 组 段 包 括 极 大 值 ， 除 最 后 一 组 段 可 同 时 标 出 上 下 限 ，其 他 组 段 只 标 出 下 限 。 根 据 变 量 值 大 小把 各 观 察 单 位 归 入 各 个 组 段 编 制 频 数 表 的 步 骤 编 制 频 数 表 步 骤 流 程 图 举 例 说 明 计 量 资 料 频 数 表 的 编 制 过 程 某 地 13 岁 女 孩 118 人 的 身 高 （ cm） 资 料 151.3 134.1 143.7 144.9 152.2 145.0 146.4 141.2 143.3 156.3 142.0 141.3 142.5 145.5 149.5 141.1 150.6 140.9 147.2 144.8 144.5 139.8 145.7 139.3 144.8 147.5 140.5 139.9 135.4 148.5 139.1 144.5 138.5 146.2 146.8 142.3 150.9 145.5 138.1 147.1 143.8 140.5 138.5 145.2 146.8 148.9 151.8 145.6 138.1 148.1 143.9 141.5 160.8* 155.2 138.9 140.9 150.7 148.6 137.9 148.1 135.4 147.8 139.9 148.7 139.5 140.6 144.5 142.9 129.4* 143.5 142.1 149.8 154.6 148.7 153.2 146.5 132.5 146.8 148.6 145.0 136.5 145.0 144.6 137.5 143.5 150.0 143.5 146.5 149.8 143.1 143.3 157.6 143.7 146.7 139.2 142.6 143.5 131.5 135.5 149.8 135.4 149.8 138.9 152.3 141.8 150.8 146.3 142.5 147.5 136.1 141.2 146.4 143.8 149.5 147.5 140.3 138.5 142.5 步 骤 如 下 ：!R=160.8-129.4=31.4。!组 段 数 =10； 组 距 =R/10=3.14 30(cm)； 按 要求 确 定 每 一 组 段 上 下 限 。!分 组 统 计 每 一 组 段 的 频 数 ， 编 制 频 数 表 。 118 例 13 岁 女 孩 身 高 （ cm） 资 料 频 数 表 。 身 高 组 段 频 数 组 中 值 （ 1） （ 2） (3) 129 2 130.5 132 2 133.5 135 8 136.5 138 20 139.5 141 26 142.5 144 25 145.5 147 20 148.5 150 9 151.5 153 3 154.5 156 2 157.5 159 162 1 160.5 合 计 118 计 量 资 料 频 数 分 布 表 计 量 资 料 频 数 分 布 图 身 高 160.0 158.0 156.0 154.0 152.0 150.0 148.0 146.0 144.0 142.0 140.0 138.0 136.0 134.0 132.0 130.0 20 10 0 Std. Dev = 5.46 Mean = 144.3 N = 118.00 频 数 分 布 表 的 用 途Z揭 示 数 值 变 量 频 数 分 布 的 类 型 和 特 征 Z作 为 陈 述 资 料 的 形 式Z便 于 发 现 一 些 特 大 或 特 小 的 可 疑 值Z便 于 进 一 步 的 统 计 分 析 分 布 特 征 集 中 趋 势 ： 指 频 数 表 中 频 数 分 布 表 现 为 频 数 向 某 一 位 置 集 中 的 趋 势 离 散 趋 势 ： 指 频 数 虽 然 向 某 一 位 置 集 中 ， 但 频 数 分 布 表 现 为 各 组 段 都有 频 数 分 布 ， 而 不 是 所 有 频 数 分 布 在 集 中 位 置 的 趋 势 。 分 布 类 型 对 称 分 布 ： 各 组 段 的 频 数 以 中 间 组 段 为 中 心 ， 左 右 两 侧 基 本 对 称 偏 态 分 布 ： 各 组 段 的 频 数 不 以 中 间 组 段 为 中 心 ， 而 是 一 侧 偏 多 或 偏 少 计 量 资 料 频 数 分 布 的 类 型 和 特 征 第 二 节 集 中 趋 势 的 描 述 指 标 1、 算 术 平 均 数 (arithmetic mean) (1) 直 接 法 n xxxnxX nni i 211 (2)加 权 法 又 称 频 数 表 法 ， 适 用 于 频 数 表 资 料 。 当 观 察 例 数 较 时 用 。 k kkki i iki i fff xfxfxffxfX 21 221111 2、 几 何 平 均 数 (geometric mean) 几 何 平 均 数 用 符 号 G 表 示 。 用 于 反 映 一 组 经 对 数 转 换 后 呈 对 称 分 布 的 变 量 值 在 数 量 上 的 平 均 水 平 。 医 学 上 常 用于 表 示 类 似 抗 体 滴 度 等 呈 倍 数 关 系 的 等 比 级 数 资 料 。 1)直 接 法 n x n xxx xxxG ni i nn n11 211 21 lglg lglglglg 例 有 6 份 血 清 的 抗 体 效 价 分 别 为 1:10， 1:20， 1:40，1:80， 1:160， 1:320， 求 平 均 抗 体 效 价 。 为 便 于 计 算 ， 可 先 将 抗 体 效 价 取 倒 数 ， 将 效 价 倒 数 代入 公 式 ， 得 G=(lg10+lg20+lg40+lg80+lg160+lg320)/6= (1.7526)=56.57 6 份 血 清 的 平 均 抗 体 效 价 为 1:56.57 (2)加 权 法 又 称 频 数 表 法 ， 当 观 察 例 数 n 较 大时 ， 可 先 编 制 频 数 分 布 表 ， 用 此 法 计 算 几 何 平 均 数 ki iki ii f xfG 111 lglg 例 100 名 受 试 者 接 种 某 疫 苗 三 周 后 ， 抗 体 测 定 结 果 如 下 表 第 (1)栏 和 第 (2)栏 ， 求 平 均 抗 体 滴 度 。 表 100名 受 试 者 平 均 抗 体 滴 度 计 算 表 抗 体 滴 度 频 数f 滴 度 倒数 X lgX f lgX (1) (2) (3) (4) (5)=(2) (4) 1:4 6 4 0.6021 3.6126 1:8 10 8 0.9031 9.0310 1:16 16 16 1.2041 19.2656 1:32 34 32 1.5051 51.1734 1:64 20 64 1.8062 36.1240 1:128 8 128 2.1072 16.8576 1:256 5 256 2.4082 12.0410 1:512 1 512 2.7093 2.7093 合 计 100 - - 150.8145 k1i ik1i ii1 f xlgflgG =(150.8145/100) =(1.5081)=32.2 100 名 受 试 者 平 均 抗 体 滴 度 为 1:32.2。 3、 百 分 位 数 (percentile)与 中 位 数 (median) 百 分 位 数 是 一 种 位 置 指 标 ， 用 符 号 Px表 示 常用 的 百 分 位 数 有 P2.5， P5， P25， P50， P75， P95，P97.5等 ， 其 中 P25， P50， P75又 称 为 四 分 位 数 。 百 分位 数 常 用 于 描 述 一 组 观 察 值 在 某 百 分 位 置 上 的 水平 ， 多 个 百 分 位 结 合 使 用 ， 可 更 全 面 地 描 述 资 料的 分 布 特 征 。 中 位 数 是 一 个 特 定 的 百 分 位 数 即 P50， 用 符 号 M表 示 。把 一 组 观 察 值 按 从 小 到 大 （ 或 从 大 到 小 ） 的 次 序 排 列 ，位 置 居 于 最 中 央 的 那 个 数 据 就 是 中 位 数 。 中 位 数 也 是反 映 频 数 分 布 集 中 位 置 的 统 计 指 标 ， 但 它 只 由 所 处 中间 位 置 的 部 分 变 量 值 计 算 所 得 ， 不 能 反 映 所 有 数 值 的变 化 ， 故 中 位 数 缺 乏 敏 感 性 。 中 位 数 理 论 上 可 用 于 任何 分 布 类 型 的 资 料 ， 但 实 践 中 常 用 于 偏 态 分 布 资 料 和分 布 两 端 无 确 定 值 的 资 料 。 其 计 算 方 法 有 直 接 法 和 频数 表 法 两 种 。 (1)直 接 法 当 观 察 例 数 n不 大 时 ， 此 法 常 用 。先 将 观 察 值 按 大 小 顺 序 排 列 ， 选 用 下 列 公 式 求 M。 当 n为 奇 数 时 M=X (n+1)/2 当 n为 偶 数 时 M= 2122 nn XX 例 某 病 患 者 8人 的 潜 伏 期 （ 天 ） 分 别 为 2， 3， 3， 4， 7， 8，10， 18， 求 它 们 的 中 位 数 。 本 例 n=8为 偶 数 ， 将 8 人 潜 伏 期 从 小 到 大 排 列 ， 用 公 式 算得 M= 2XX 12n2n = X4 + X5/2=（ 4+7） /2=5.5(天 ) (2)频 数 表 法 当 观 察 例 数 n较 多 时 ， 可 先 编 制 频 数 表 ，再 通 过 频 数 表 计 算 中 位 数 。 公 式 为 ： M = Lm + i/fm( n 50% - fL ) 例 现 有 187例 某 种 沙 门 氏 菌 食 物 中 毒 病 人 的 潜 伏 期 （ 小时 ） ， 见 表 第 (1)栏 、 第 (2)栏 ， 求 中 位 数 。 表 187 例 某 种 沙 门 氏 菌 食 物 中 毒 潜 伏 期 （ 小 时 ） 分 布 潜 伏 期 （ 小 时 ） 频 数 f 累 计 频 数 f (1) (2) (3) 0- 35 35 12- 70 105 24- 40 145 36- 23 168 48- 12 180 60- 6 186 72-84 1 187 M = 12 + 12/70( 187 50% - 35 )= 22.0(小 时 ) 中 位 数 M即 第 50百 分 位 数 P50， 故 百 分 位 数 Px的 计 算 类 似 M，计 算 公 式 为 ： Px = Lx + i/fx( n x% - fL ) 例 求 上 表 资 料 的 P2.5， P25， P75。 本 例 n=187， 因 187 2.5%=4.675,187 25%=46.75,187 75%=140.25, 结 合 表 第 (3)栏 累 计 频 数 可 知 P2.5，P25， P75分 别 在 “ 0-” ， “ 12-” ， “ 24-” 组 段 内 ， P2.5 = 0 + 12/35( 187 2.5% - 0 )=1.6(小 时 ) P25 = 12 + 12/70( 187 25% - 35 )=14.0（ 小 时 ） P75 = 24 + 12/40( 187 75% - 105 )=34.6（ 小 时 ) 第 三 节 离 散 趋 势 的 描 述 指 标 1、 全 距 (range) 计 算 公 式 为 ： R = XmaxXmin 全 距 越 大 ， 说 明 变 量 的 变 异 程 度 越 大 。 其 度 量 单位 与 原 变 量 单 位 相 同 。2、 四 分 位 数 间 距 (quartile) 是 一 组 数 值 变 量 值 中 上 四 分 数 （ 即 P75， 记 为 Qu）与 下 四 分 数 （ 即 P 25， 记 为 QL） 之 差 ， 用 符 号 QR表 示 计 算 公 式 为 ： QR =P75-P25 它 一 般 和 中 位 数 一 起 描 述 偏 态 分 布 资 料 的 分 布 特征 。 3、 方 差 (variance) 离 均 差 平 方 和 的 算 术 平 均 数 ， 即 为 方 差 。 总 体 方 差 用符 号 2(读 seigama)表 示 ， 样 本 方 差 用 S2表 示 。 计 算 公式 分 别 为 ： NxNi i 1 22 11 22 n XxS ni i 4、 标 准 差 (standard deviation) 方 差 的 平 方 根 即 为 标 准 差 。 总 体 标 准 差 用 表 示 ，样 本 标 准 差 用 S表 示 。 计 算 公 式 分 别 为 ： NxN1i 2i 11 1 2121 2 n nxxn XxS ni ni iini i