异方差实证与估计

异方差的检验、估计与实证一、问题的提出如果在回归模型y. = 0 + 1X. + u.中，无论Xi取何值，ui的方差Var （ui） =E （罟）中2 （i =1 , 2，N）,就说随机扰动项ui具有同方差性。然而，现实 中的大量现象与同方差性相违背。研究结果表明用截面数据作样本的计量经济学 问题，由于在不同的样本点上解释变量以外的其他因素的差异较大，所以往往存 在异方差性。用时间序列数据进行分析也存在异方差性问题。只是出现的频率少 于截面数据回归分析，其主要原因是时间序列数据变量的演变大都是同步的，即 数据单整阶数相同。如消费和收入的变动趋势基本相近， 因此在估计消费函数 时， 不会出现异方差问题， 但用单整阶数不同的时序数据进行时序回归分析， 就会遇到异方差性问题1。因此，经济计量建模中对“异方差性（Heteroskedasticity） 的研究就成为不能回避的问题。计量经济理论认为如果存在异方差还用最小二乘法去估计参数， 会产生以 下严重后果：参数估计量非有效，即不再具有最小方差的性质。而且，在大样 本情况下，尽管参数估计量具有一致性，但不具有渐进有效性；解释变量的显 著性检验失效。在变量的显著性检验中，构造了 t统计量，它是建立在随机干扰 项共同的方差不变而正确估计了参数方差的基础上的，如果出现了异方差，估 计的参数方差出现偏误，t检验就失去了意义，其他检验也是如此；模型预测 失效。一方面，由于上述后果，使得模型不再具有良好的统计性质；另一方面， 在预测值的置信区间中也包含有参数方差的估计量，仍然使用 OLS 估计量将会 导致预测区间偏大或者偏小2。二、异方差性的检验针对异方差问题， 涌现出大量的检验方法， 常见的有：图示检验法、等级 相关检验法、Glejser 检验，Battlett 检验、Breusch_Pagan 检验、Goldfeld_Quandt 检验、Wald检验、拉格朗日乘数检验、似然比检验和White大样本检验。这些 检验的共同思想是设法通过误差的估计量来检验误差方差与解释变量间是否存 在相关性。若存在明显的相关，则原模型存在异方差性；否则，认为原模型满足 同方差条件。下面本文将在系统介绍异方差检验的各种方法的基础上，分析各自 的应用条件、注意事项，并对优缺点进行评述。（一）图示检验法 图示检验法是一种定性分析，只能用来初步判断异方差的存在与否。具体做 法是先不考虑存在异方差的假定下构造回归模型，然后对回归的残差平方ei2进 行观察。如果回归模型是关于截面数据的，则看ei2对Yi或对某一个解释变量Xi1白雪梅.异方差性的检验方法及评述J.东北财经大学学报，2002，06:26-292李子奈.计量经济学M.北京:高等教育出版社，2000的散点图。若散点图呈现某种规律或趋势，则表示存在异方差性；否则，认为不 存在异方差性。如果回归模型是一个时间序列模型，则看ei2对时间t的散点图， 若 ei2 随时间 t 增加而变化，则表示存在异方差性；反之，则认为不存在异方差 性。该检验法的优点是直观、简单、明了；缺点是检验的结论粗糙，是一种对残 差的定性分析。它要求回归计算残差的平方ei2对真实关系中的随机扰动项的平 方ui2具有代表性，否则ei2对Yi或某一个Xi存在明显趋势并不等于ui2对Yi 或某一个 Xi 也存在这种趋势。(二) 帕克(Park)检验帕克检验是依据图示提出是解释变量Xi的某个函 数，进而把图示法公式化。帕克建议的函数形式为 。2 = 02 Xiaevi，取对数得 lna2=ln2+alnXi +飞。由于丐是未知的，帕克提议以ei2作为of的代表，进行下述 回归：In ei2=ln2+alnXi +vi(1)对(1)式进行统计检验，若a在统计上显著，则说明数据存在异方差性；若a 在统计上不显著，则说明不存在异方差性。帕克检验的问题是,vi可能不满足OLS 法的假设条件，而且ei2本身可能也存在异方差性。另外须指出，按照帕克检验 得出的不存在异方差性的结论，只是对特定函数形式而言，如果在采用其它函数 形式的假定下，也可能存在异方差。由于函数具体形式未知，因此需要进行各种 形式的试验。(三) 戈里瑟(Glesier)检验戈里瑟检验法首先把被解释变量Y对所有的解释变量X1，X2，Xk 进行回归，计算随机误差项u的估计值e，然后用某个务的某种函数形式为解释 变量对|e|做回归，即| ei |=f (Xi) +6.。选择关于变量Xi的不用函数形式，对方程 进行估计并进行显著性检验：如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则 说明原模型存在异方差性。如果认为| ei |与多个解释变量有关，那么可构造| ei |同 多个解释变量的回归模型进行类似检验，但这种情况下的操作相当繁琐。戈里瑟检验可作为一种经验或实际处理方法加以应用。优点是不仅可以发现 是否存在异方差性， 而且还可以确定异方差性的具体形式，为进一步消除异方 差奠定了基础。缺点是勺不一定满足OLS法的假定条件；设定的函数形式 可能是关于参数非线性的，因此不能使用OLS法去估计参数；要求在大样本 情况下使用，对小样本则只能从定性的角度给建模者提供有关异方差的信息； 需要选择不同的解释变量，尝试不同的函数形式，多次反复试验，过程十分繁琐。(四) 戈德菲尔特一匡特(Goldfeld-Quandt)检验 戈德菲尔特匡特检验是以 F 检验为基础的。适用于样本容量较大、异方差递增或者递减的情况。检验的原假设是听二笑。具体步骤：第一步将n组样 本观测值按解释变量观测值Xi的大小排序；第二步将序列中间的c=n/4个观测值除去，并将剩下的观测值划分为较小与较大的两个子样本，每个子样本的容量 均为（n-c）/2；第三步对每个子样本分别求回归方程，并计算各自的残差平方和 S1和S2；第四步计算统计量F = S1/导】）并与显著性水平为a,自由度为（叱12S2/（k1）2k 1，叱 k 1 ）的F分布临界值进行比较，若FFa（v1，v2），表明存在递2 1 2 增的异方差；若F0.0691OR-squared5.387361Prob.Ghi-S-quare2)-0.0676Scaled esplained SS4531095Prob.Ghi-S-quarefi)-0.1033Test Equation:ep&ndle nt Variable: RESIDE Method: Least Squaresate: 12/08/16 Time: 18:USample: 1 30Included observations: 30VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.C-65625.7J1171125-0.560J650.5799INC4.516138S.-1S09570.552010.585&INM-3.93E-050.0001S-0.29154707729R-squared0.179595Mean dependentvar22995.33Adjusted R.-squared0.118825SLD. dependent var32499.22S E. of regression30507.33Akaike info criterion23.58396Sum squared resid2.51E10Schwarz criterion23.72408Lag likelihood-350.799I4Hannan-Guinn criter.2362879F-statistic2.955294 urbin-YVatson stat2.B93231ProttF-statistic0.069QS4在显著性 0.1 下，护(2) =4.61, nR2=5.387861, nR2/2 (2),所以我们在 0.1 的显著性水平下拒绝原假设，模型(1)存在异方差。3. 戈里瑟检验做| ei |对 INC 回归，得到模型：|ei | =- 16.55865+ 0.005423*INC(6)(-1.387756)(5.498399)R2=0.519168做| ei |对VINC回归，得到模型：| ei | = -171.316622591 + 1.84670558611* VINC(7)(-1.261219)(2.180356)R2=0.145141做q |对INC2回归，得到模型：| ei | = 60.6512548456 +8.88392117346e-08*INC 2(8)(1.864198)(2.177417)R2= 0.144807 上述模型回归系数均显著不为零，即认为模型(1)存在异方差性。4. 戈德菲尔特匡特检验首先，将样本按照自标量“INC”的大小进行排序，其次，去掉中间1/4个 观测值约 8 个，剩余 22 个观测值，由前 11 个观测值与后 11 个观测值组成容 量均为 11 的两个子样本，分别以这两个子样本数据建立回归方程。经回归， 得 RSS1= 82296.86，RSS2= 383086.8，计算出 F=383086.8/82296.86=4.65,取 a= 0.05 时，查 F 分布表得 F0 05 （ 1 1，11） =2.85,而 F =4.65 F005 （ 1 1，11） = 2.85，所以模型（1）存在递增的异方差。以上四种检验方法，都证明了模型存在异方差。（三）异方差的消除 当通过检验，探明模型中存在异方差后，要设法消除其影响，将异方差模型 转化为同方差模型，对其作 OLS 估计后，再变换回原模型。常用的方法有加权 最小二乘法（WLS）、对数据取对数等。1.加权最小二乘法以1/| ei |为权重进行加权最小二乘估计，得到下列回归方程：Dependent Variable: CLOMethod: Least SquaresDate: 12/08/16 Time: 1&19Sample: 1 30Indludledobserva.tion.s: 30Weighting series: IVAB&fRESIDWeight type: Inverse standard deviation EViews default scaling）VariableCoefficientStd. Errori-StatisticPrab.C-481.284S44.09936-10.913640.0000INC0.0361020.00201417JS259S0.0000Weighted StatisticsR-sq uared0.919849Mean dependlent var756.0647Adjusted R-squa.red0.915907S.D. dependentvar764.5738S.E. of regression13-31833Afcaike info criterionS.080501Sum squared resid4960.&84Schwarz criterionS. 17391 斗Log likelihood-1-19.2075Hannan-Quinn criier.S.1-103S4F-staiistic321 MOSDurbin-Watson sbt1.376504Prob(F-statistic)0.00000-0Weighted mean dep.309.1599CLO = -481.28475218 + 0.0361016530719*INC(9)(-3.124130)(14.41743)R2=0.881287S.E.= 70.03382F= 207.8623可以认为，该模型已经消除了异方差。各项统计检验指标全面改善。R2=0.5191680.919849, F： 30.23239321.3408, S.E.=156.964513.31833, t： -1.387756 , 5.498399-10.91364 , 17。92598。2.对数法通过对数据取对数也可以达到消除异方差的效果。原因是：对数变换能使测 定变量值的尺度缩小；经过对数变换后的线性模型，其残差表示为相对误差，而 相对误差往往比较小。对表1 的数据取对数后，得到如下回归方程：LOG(CLO) = -6.22185002228 + 1.21394235128*LOG(INC)(10)(-2.003176) (3.959979)R2=0.358995S.E.= 0.364274F= 15.68143Dependent Variable: LOG(CLO)Method: LeastSquaresate: 1208/16 Time: 17:22Sample: 1 30Included observations: 30VariableCoefficient3td. Errort-3tatisticProb.G-6.2218503.105992-2.003-1760.0549LOG(INC)1 2139420.3065533.9&9 9790.0005R-squared0.358995Mean dependentvar6.07+992Adjusted R-squared0.33S102S.D. dependent var0 447072S.E. of regression0.364274Akaike info criterion0.BS2519Sum squared resid5.71 &47 4Schwarz criterion0.975932Log likelihood-11.2J779Hannan-Cluinn criter.6912403F-statistic1&.6S143Durbin-Watson stat1.34359ProbfF-statisti c)0.00046S对上述方程进行 White 检验。F-statistic0.137305Prob.F(2.270.8723Obs*R-squared0.302051Prob.Chi-Square (2)0.8598Scaled explained S30.279932Prob.Chi-Square (2)0.8694Test Equation;Dep en dent Variable: RESID A2Method: Least SquaresDate:12/0S/16 Time: 1847Sample: 1 30Included observations:30VariableGoe fTi cientStd. Errort-StatisticProb.C-38.4852175.-130-1-0.5121250.6127LOG(INC7.5&48 6414.674160.5140410.6109L0G(INCf2-0.J693770.716023-CI.51&8730.6101R-squared0.010068Mean dependent var0.123849Adjusted R-squared-0.063260S.D. dependentvar0.103747S. E. of regression0.109469Akaike info criterion-0.394540Sum squared residQ.969263Schwarz criterion-0 254420Log likelihood8.918093Hannan-Cluinn criter.-0.349714F-siati stic0.137305Durbin-Watson slat2.045718Pro b(F-5tati stic)0.872309辅助回归方程为：ei2= -65625.73+ 4.5161INCi +-3.93E-05INCi2(11)在0.05显著性水平下，护(2) =5.99, nR2=0.302051, nR2j 2 (2),所以接受原 假设，即ui不存在异方差。模型( 9)和( 10)均不存在异方差，经过修正后不存在异方差性的模型能 更好地对居民可支配收入和衣着支出关系进行讨论、预测、政策评价。