研究生统计学讲义第3讲第4章正态性检验和方差齐性检验

第 五 章 正 态 性 、 方 差 齐 性 检 验 、 变 量 变 换 、 t 检 验 一 、 正 态 性 检 验 （ P58页 ）正 态 性 检 验 (test of normality)的 目 的 是 检 验 资 料 是 否服 从 正 态 分 布 ， 确 定 样 本 是 否 来 自 正 态 分 布 的 总 体 。 例 4.1 判 断 例 3.1 资 料 的 数 据 文 件 血 糖 的 正 态 性 。H 0: 总 体 服 从 正 态 分 布 ， H 1: 总 体 不 服 从 正 态 分 布 。使 用 SPSS统 计 软 件 打 开 数 据 文 件 L1101.sav以 后 ， 如 用1-Sample K-S Test法 （ 柯 尔 莫 哥 诺 夫 -斯 米 尔 诺 夫 检 验） ： 用 统 计 软 件 不 方 便 时 ， 否 定 正 态 性 的 方 法 最 简 单 的 是将 均 数 与 中 位 数 及 标 准 差 进 行 比 较 ， 均 数 与 中 位 数 两者 不 等 且 相 差 较 大 时 ， 分 布 不 对 称 ； 标 准 差 大 于 均 数时 ， 表 示 数 据 分 散 ， 曲 线 “ 矮 、 胖 ” ， 峰 平 阔 ， 与 正态 峰 度 不 同 。 这 类 资 料 ， 可 以 判 定 不 符 合 正 态 分 布 。 非 偏 态 资 料 不 一 定 具 有 正 态 峰 ， 均 数 近 于 中 位 数 或标 准 差 小 于 均 数 的 资 料 也 不 一 定 都 符 合 正 态 分 布 。 但 对 t 检 验 或 方 差 分 析 法 来 说 ， 当 变 量 值 x 有 正 有 负时 ， 一 般 可 用 3S +3S 范 围 内 是 否 包 括 了 该 批 数据 的 最 小 值 与 最 大 值 作 出 判 断 ， 当 最 小 值 与 最 大 值 均 在此 范 围 之 间 时 ， 可 用 S 描 述 分 布 特 征 ， 可 用 t 检 验或 方 差 分 析 法 作 统 计 推 断 。 当 xi 符 号 相 同 ， n=1020时， 若 2S ,可 用 S 描 述 分 布 特 征 ， 可 用 t 检 验 或 方差 分 析 法 作 统 计 推 断 ； 若 2S 略 大 于 ， 一 般 地 说 ，仍 可 用 t 检 验 或 方 差 分 析 法 作 统 计 推 断 ； 若 2s 则不 可 按 正 态 分 布 处 理 ， 不 宜 用 S 描 述 分 布 特 征 , 不用 t 检 验 或 方 差 分 析 法 作 统 计 推 断 。 X XXX X X XX 二 、 方 差 齐 性 检 验 总 体 方 差 相 等 （ 即 差 异 无 统 计 学 意 义 ） ， 称 为 方 差齐 性 （ homogeneity of variance） . 方 差 齐 性 检 验 （ test for homogeneity of variance） 是利 用 理 论 上 来 自 正 态 分 布 的 总 体 的 各 样 本 信 息 ， 来 推 断它 们 的 总 体 方 差 是 否 相 等 。 方 差 齐 性 检 验 主 要 用 于 ： 两 组 或 多 组 间 变 异 度 的比 较 ； 两 个 或 多 个 样 本 均 数 间 比 较 时 ， 须 先 进 行 方差 齐 性 检 验 ， 若 方 差 齐 ， 可 用 t 检 验 或 方 差 分 析 ， 否则 可 用 变 量 变 换 的 方 法 ， 使 之 方 差 齐 后 再 用 t 检 验 或方 差 分 析 ， 或 用 对 方 差 没 有 特 别 要 求 的 t检 验 或 其 他非 参 数 的 统 计 方 法 。 1、 两 样 本 或 样 本 方 差 的 齐 性 检 验 SPSS 统 计 软 件 采 用 的 方 差 齐 性 检 验 方 法 是 Levene检 验 法 ， 它 可 以 用 于 两 个 以 上 方 差 ， 也 可 以 用 于 两 方差 的 齐 性 检 验 ， 统 计 量 为 F 值 。 如 果 F0.05， 在 =0.05水 平 上 不 拒 绝 H0， 认 为 方 差 齐 性 。 如 果 F0.05F F0.01， 则 0.013时 ， 一般 不 满 足 方 差 齐 性 。 三 、 变 量 变 换 （ P40页 ） 变 量 变 换 即 将 原 始 数 据 转 换 成 某 种 函 数 值 ， 目 的 是使 变 换 后 的 数 据 达 到 统 计 分 析 要 求 。 例 如 运 用 方 差 分析 作 多 个 均 数 间 的 比 较 时 ， 要 求 各 样 本 数 据 具 有 正 态性 、 方 差 齐 性 和 处 理 效 应 可 加 性 。 样 本 数 据 稍 微 偏 离上 述 性 质 还 是 允 许 的 。 如 果 严 重 的 偏 离 上 述 三 个 条 件， 则 不 能 直 接 用 方 差 分 析 。 解 决 问 题 的 办 法 之 一 是 进行 变 量 变 换 ， 往 往 经 过 某 种 变 换 改 变 三 个 条 件 其 中 之一 时 ， 可 使 其 余 两 者 都 有 所 改 善 ， 因 而 可 利 用 变 换 值进 行 方 差 分 析 及 组 间 两 两 比 较 和 可 信 区 间 的 计 算 医 药 统 计 中 变 量 变 换 的 方 法 很 多 ， 如 ： 对 数 变 换 、平 方 根 变 换 、 倒 数 变 换 、 反 正 弦 变 换 、 logit变 换 、 概率 单 位 变 换 等 。 注 意 ： 要 根 据 变 换 的 目 的 和 原 数 据 的性 质 、 分 布 特 征 、 特 别 是 变 换 后 的 效 果 选 择 变 量 变 换的 方 法 。 1 对 数 变 换 : 以 原 始 数 据 的 对 数 值 作 为 统 计 分 析 的变 量 值 ， 称 为 对 数 变 换 。2 平 方 根 变 换 : 以 原 数 据 的 平 方 根 作 为 统 计 分 析 的变 量 值 ， 称 平 方 根 变 换3 倒 数 变 换 4 平 方 根 反 正 弦 变 换 第 四 节 t 检 验 二 、 样 本 均 数 与 总 体 均 数 的 比 较 样 本 均 数 与 已 知 总 体 均 数 (一 般 为 理 论 值 、 标 准 值 或经 过 大 量 观 察 所 得 的 稳 定 值 等 )比 较 的 目 的 ， 是 推 断 样本 均 数 与 已 知 总 体 均 数 的 差 别 有 无 统 计 学 意 义 ， 即 推 断样 本 所 代 表 的 未 知 总 体 均 数 ()与 已 知 总 体 均 数 (0)是 否相 等 。 针 对 资 料 的 不 同 情 况 ， 方 法 如 下 ： (1) 未 知 时 的 小 样 本 正 态 分 布 资 料 ， 可 用 t 检 验 ， 检验 统 计 量 的 计 算 公 式 为 ： 自 由 度 df= n 1 (5.11) nsXt / 0 (2) 正 态 分 布 的 资 料 ， 大 样 本 或 样 本 虽 小 但 总 体 标 准差 已 知 时 ， 可 用 u 检 验 ： nXt / 0 (5.12)(3) 不 服 从 正 态 分 布 或 分 布 类 型 未 知 的 资 料 ， 可 用 非 参数 检 验 ， 也 先 可 作 变 量 变 换 ， 转 换 为 正 态 分 布 资 料 处理 。 例 4.7 已 知 野 生 人 参 中 M物 质 的 含 量 服 从 正 态 分 布 ，=63.5g。 今 9次 测 得 一 起 人 工 培 植 人 参 中 M 物 质 的含 量 (g)为 40.0， 41.0， 41.5， 41.8， 42.4， 43.1， 43.5， 43.8， 44.2。 这 起 人 工 培 植 人 参 中 M 物 质 的 含 量 与野 生 人 参 是 否 相 同 ？ (1) H 0:=63.5g， 即 人 工 培 植 人 参 中 M物 质 的 含 量 与野 生 人 参 相 同 ； H 1:63.5g， 即 人 工 培 植 人 参 中 M物质 的 含 量 与 野 生 人 参 不 同 。 =0.05 (2) 计 算 检 验 统 计 量 t 值 ： 51.429/4.1 5.634.42/ 0 nXt df= 9 1=8 (3) 确 定 P 值 和 作 为 推 断 结 论 ： 查 t 界 值 表 （ 附 表 3）， 得 t0. 05 (8) =2.306， t0. 01(8) =3.355， 现 t t0.018) ，P0.01， 拒 绝 H 0， 可 认 为 人 工 培 植 人 参 中 M物 质 的 含量 与 野 生 人 参 不 同 。 如 使 用 SPSS11.5统 计 软 件 ， 在 数 据 编 辑 窗 的 变 量 窗口 以 x为 变 量 名 ， 在 其 Label（ 变 量 标 签 ） 中 标 签 M物质 的 含 量 ， 在 数 据 窗 口 输 入 M物 质 的 含 量 的 数 据 ， 建立 数 据 文 件 L5.4.sav格 式 与 L3.3.sav相 同 。 采 用 One-Sample T Test（ 单 样 本 t检 验 ） 过 程 进 行 统 计 分 析 。 操作过程：Analyze Compare Means One-Sample T Test， 将 M物 质 的 含 量 x选 入 Test variable s（检验变量） 框 中 ， 在 Test Value（检验值） 对 话 框中 改 原 系 统 默 认 值 0为 检 验 值 63.5（ 如 图 5-5） ， OK。输出结果： One-Sample Statistics N Mean Std. Deviation Std. Error MeanM物 质 含 量 9 42.3667 1.40446 .46815 如 图 5-6， n=9， 差 别 的 均 数 =42.3667， 标 准 差S=1.40446， 标 准 误 = s / =0.46815； n X One-Sample Test Test Value = 63.5 t df Sig. (2-tailed) Mean Difference 95% Confidence Interval of the Difference Lower UpperX -45.142 8 .000 -21.1333 -22.2129 -20.0538 t 检 验 统 计 量 = 45.142， 自 由 度 df=8， 双 侧P=0.0000.05， 可 认 为 人 工 培 植 人 参 中 M物 质 的 含 量与 野 生 人 参 不 同 。 同 时 ， 由 95% Confidence Interval of the Difference(差 别 的 95%可 信 区 间 )为 (-22.2129， -20.0538)， 不 包 含 63.5， 也 可 以 认 为 人 工 培 植 人 参 中 物质 的 含 量 与 野 生 人 参 不 同 。 三 、 配 对 设 计 的 均 数 比 较 (配 对 t 检 验 ) 配 对 设 计 实 验 的 均 数 比 较 ， 满 足 正 态 性 时 ， 可 用配 对 t 检 验 ； 不 满 足 正 态 性 时 ， 可 用 非 参 数 检 验 ，也 可 以 作 变 量 转 换 使 达 到 正 态 性 后 ， 用 t 检 验 。 本节 介 绍 配 对 t 检 验 法 。 假 设 配 对 差 值 d 的 总 体 均 数d为 0， 推 断 配 对 差 值 的 样 本 均 数 与 0之 间 的 差 异 有无 显 著 性 而 作 出 判 断 。 检 验 统 计 量 为 ： dd SdnS dt |/ | 自 由 度 df = n 1 P64例 4.8 为 研 究 三 棱 莪 术 液 的 抑 瘤 效 果 ， 将 20只 小 白鼠 配 成 10对 ， 然 后 将 每 对 中 的 两 只 小 白 鼠 随 机 分 到 实验 组 和 对 照 组 中 ， 两 组 动 物 都 接 种 肿 瘤 ， 实 验 组 在 对子号 对照组 x 实验组 y d=x y12345678910 3.64.54.24.43.75.67.04.15.04.5 3.02.32.41.14.03.72.71.92.61.3 0.62.21.83.3-0.31.94.32.22.43.2合计 n=10， d =21.6(1) 建 立 假 设 和 确 定 检 验 水 准H 0:d =0, H 1:d0 .=0.05 (2) 计 算 检 验 统 计 量 t值 ： 17.510/32.1 16.2 t(3) 确 定 P 值 和 作 出 结 论 ： 据自 由 度 df= n 1=9查 t 界 值 表（ 附 表 5） ， 双 侧 t0.001( 9) = 4.78， t t 0.001 ( 9) ， P 0.001， 拒 绝 H 0 ， 接 受 H 1 。可 认 为 三 棱 莪 术 液 有 抑 瘤 效果 。 如 使 用 统 计 软 件 ， 在数 据 编 辑 窗 的 变 量 窗 口分 别 以 实 验 组 和 对 照 组为 变 量 名 ， 在 数 据 窗 口键 入 实 验 组 和 对 照 组 数据 ， 建 立 数 据 文 件L4.5.sav如 图 ， 采 用Paired-Sample T Test（配 对 样 本 t检 验 ） 过 程 ，操 作 过 程 ： 输 出 结 果 ： 如 图 ， 差 值 =2.1600， 标 准 差 S 1.321，标 准 误 =0.41772， 统 计 量 t =5.171， 自 由 度 df=9， 双侧 P=0.001， 拒 绝 H 0 ， 接 受 H 1 。 四 、 完 全 随 机 设 计 资 料 的 两 均 数 比 较 （ 成 组 t 检 验 ） （ 一 ） 、 正 态 分 布 资 料 的 两 小 样 本 均 数 比 较 1.H0:12=0 ; H1: 12 0 ,=0.05 212 2121 11 |)()(| nnSXXt c t (n1+n2 2)2 )1()1( 21 2222112 nn snsnSc当 两 样 本 含 量 相 等 n1=n2=n时 ， 上 式 可 化 简 为 ： n SSSc 22212 其 中 2.方 差 不 齐 的 两 小 样 本 均 数 比 较 ， 可 采 用 t检 验 ， 检 验统 计 量 为 t值 ： 222121 2121 |)()(| nSnSXXt 校 正 t值 不 服 从 自 由 度 df=n-1的 t分 布 ， 自 由 度 df为 ： )1/()/()1/()/( / 2222212121 222121 nnsnns nsnsdf 例 4.9 某 医 师 研 究 转 铁 蛋 白 测 定 对 病 毒 性 肝 炎 诊 断 的 临床 意 义 ， 测 得 12名 正 常 人 和 15名 病 毒 性 肝 炎 患 者 血 清转 铁 蛋 白 含 量 的 结 果 如 下 ， 已 检 验 两 组 方 差 相 等 ， 问患 者 和 健 康 人 转 铁 蛋 白 含 量 是 否 有 差 异 。 正 常 人 (x1， n1=12)： 265.4， 271.5， 284.6， 291.3，254.8， 275.9， 281.7， 268.6， 264.1， 273.2， 270.8，260.5 病 毒 性 肝 炎 患 者 (x2， n2=15)： 256.9， 235.9， 215.4，251.8， 224.7， 228.3， 231.1， 253.0， 221.7， 218.8，233.8， 230.9， 240.7， 260.7， 224.4 H 0： 1=2 ， 即 正 常 人 与 病 毒 性 肝 炎 患 者 的 转 铁 蛋 白含 量 相 等 ； H 1： 12， =0.05 4.7)151121(21512 391.14)115(397.10)112(/)21.23587.271( 22 t据 自 由 度 df n1 n2 2 12 15 2 25查 t界 值 表 (附表 5)， 得 t0.001(125)=3.725， P0.001， 按 所 取 =0.05水 准拒 绝 H 0， 可 认 为 病 毒 性 肝 炎 患 者 的 转 铁 蛋 白 量 较 低 。 如 使 用 SPSS11.5统 计 软 件 ， 在 数 据 编 辑 窗 口 中 ，分 别 以 观 察 对 象 和 x 为 变 量 名 ， 在 观 察 对 象 的 Value（ 值 标 签 ） 中 标 签 1为 正 常 人 ， 2为 病 毒 性 肝 炎 患 者； 在 x 的 Label（ 变 量 标 签 ） 标 签 x 为 转 铁 蛋 白 量 ，键 入 相 应 的 转 铁 蛋 白 量 x数 据 ， 建 立 如 如 图 5-11的 数据 文 件 L5.6.sav以 后 ， 采 用 Two-Sample T Test（ 两 样本 t检 验 ） 过 程 分 析 ， 操 作 过 程 分 两 步 ： 1.先 做 探 索 性 分 析 ， 检 验 正 态性 和 方 差 齐 性 。 Tests of Normality转 铁 蛋 白含 量 正 常人 .116 12 .200(*) .986 12 .998 观 察对 象 Kolmogorov-Smirnov(a) Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig. 患 者 .147 15 .200(*) .927 15 .245 正 态 性 检 验 结 果 ， 因 样 本 含 量 50， 宜 看 正 常 人 的Shapiro-Wilk统 计 量 =0.986， P值 =0.998； 患 者 的 Shapiro-Wilk统 计 量 =0.927， P值 =0.245， 均 满 足 正 态 性 。 转 铁 蛋白 含 量 Based on Mean 1.877 1 25 .183 Based on Median 1.127 1 25 .299 Based on Median and with adjusted df 1.127 1 22.304 .300 Levene Statistic df1 df2 Sig. Based on trimmed mean 1.798 1 25 .192 Test of Homogeneity of Variance 四 种 方 差 齐 性 检 验 结 果 P值 都 大 于 0.05， 可 认 为 满 足方 差 齐 性 。 2.再 做 成 组 t 检 验 ， 采 用 Independent-Sample T Test过程 ， 操 作 过 程 ： Independent Samples Test 1.877 .183 7.402 25 .000 36.6600 4.95280 26.4595 46.86049 7.675 24.79 .000 36.6600 4.77644 26.8186 46.50139 Equal variances assumed Equal variances not assumed X F Sig. Levenes Test for Equality of Variances t df Sig. (2-tailed) Mean Difference Std. Error Difference Lower Upper 95% Confidence Interval of the Difference t-test for Equality of Means （ 二 ） 、 非 正 态 分 布 的 两 均 数 比 较 当 资 料 与 正 态 分 布 偏 倚 较 大 时 ， 可 用 采 用 非 参 数 检验 (见 第 9章 )， 也 可 用 适 当 的 变 量 变 换 ， 使 不 满 足 正 态性 的 资 料 ， 达 到 参 数 检 验 的 要 求 ， 再 用 t 检 验 。 例 4.10 为 了 研 究 补 益 法 对 预 防 注 射 的 效 果 有 无 增 强 作用 ， 将 观 察 值 对 象 分 两 组 ， 甲 组 24人 ， 用 补 益 法 加 预防 注 射 ； 乙 组 22人 ， 只 用 预 防 注 射 。 免 疫 后 采 血 ， 分别 测 定 抗 体 滴 度 ， 结 果 用 滴 度 倒 数 表 示 如 下 ， 问 两 组免 疫 效 果 有 无 差 别 ？ 抗 体 滴 度 倒 数 x： 4 8 16 32 64 128 256 甲 组 人 数 f 1 ： 4 4 2 8 1 3 2 乙 组 人 数 f2 ： 3 4 3 7 2 2 1 本 例 变 量 x的 观 察 值 呈 倍 数 关 系 ， 不 满 足 正 态 性 ， 可用 对 数 变 换 ， 使 使 达 到 正 态 性 的 要 求 ， 再 用 t 检 验 。 正 态 性 检 验 输 出 结 果 ： 在 Tests of Normality中 ， 输出 了 甲 组 抗 体 滴 度 倒 数 的 Shapiro-Wilk统 计 量 =0.670， P=0.000； 乙 组 Shapiro- Wilk =0.650， P值 =0.000，均 不 满 足 正 态 性 。 因 不 满 足 正 态 性 ， 考 虑 本 例 变 量 值x为 等 比 数 列 的 数 据 ， 所 以 ， 先 将 原 变 量 作 对 数 变 换， 使 服 从 正 态 分 布 。 将 数 据 文 件 L5.7.sav中 变 量 x作 对 数 变 换 的 操 作 过 程 ： 2.再 用 变 换 后 的 新 变 量 做 成 组 t检 验 操 作 过 程 同 例5.6。 输 出 结 果 ： 统 计 量 F=0.306， 单 侧 P = 0.583。 故 不 能 认 为 两 组 的总 体 方 差 不 齐 ； 检 验 统 计 量 t=0.151， 双 侧 P=0.881； 双侧 检 验 不 拒 绝 H 0， 不 能 认 为 两 组 免 疫 效 果 有 差 别 。