转变力做功问题的求法集锦

变力的功求法集锦第一.平均力法1基本依据:如果一个过程，若F是位移l的线性函数时，即F=kl+b时,可以用F的平均值F = (Fi +F2)/2 来代替F的作用效果来计算。2基本方法：先判断変力F与位移l是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力F和末状态的力F，i2再求出每段平均力和每段过程位移，然后由W = Fl cos a求其功。【例 1】用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm，问击第二次时，能击入多深？(设铁锤每次做功都相等)解析：铁锤每次做功都是克服铁钉阻力做功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比。卩，可用平均阻力来代替。如图所示,第一次击入深度为帀，平均阻力为，做功为:第二次击入深度为眄到也，平均阻力为:两次做功相等:位移为心一工1做功为:耳=I呵1练习 1:例如:用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度 成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第 一次相同，那么，第二次进入木板的深度是多少?解:邑 d = k k (d + d) d : d =(品1)d此题也可用图像法：因为木板对钉子 22的阻力与钉进木板的深度成正比，即F=kd，其图象为图所示。铁锤两次对钉子做功相同，则三角形OAB的面积与梯形ABCD的面积相等，即丄dx(kd) = - Ikd + k(d + d认d解得 d二(冷2 - 1)d2 2练习2:要把长为l的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E0，已知钉子在木板中遇到的阻力 与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k。问此钉子全部进入木板需要打击几次？分析:在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。钉子在整个过程中受到的平均阻力为:F = 0+kl =旦钉子克服阻力做的功为：W = Fl =丄kl2设全过程共打击n次，则给予钉子的总能量：E = nE = 1 kl222f2总 o2kl 2 所以n =药01 I制WVWWW m 上一【例2】如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m的木块连接，放在光滑的水平 面上。弹簧劲度系数为k,开始时处于自然长度。现用水平力缓慢拉木块，使木块前进x，求拉力对木块做了多少功？解析：在缓慢拉动过程中，力F与弹簧弹力大小相等，即F=kx。当x增大时，F增大，即F是一变力,求变力做功时，不能直接用Fscosa计算，可以用力相对位移的平均值代替它，把求 变力做功转换为求恒力做功。F缓慢拉木块，可以认为木块处于平衡状态，故拉力等 于弹力，即F=kx。因该力与位移成正比，可用平均力 F二+ kx求功，故2W = F - x = + kx 2。22h【例3】如图所示，在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块立方体木块，木块 的边长为h,其密度为水的密度p的一半，横截面积也为容器截面积的一半，水面高 为2h,现用力缓慢地把木块压到容器底上，设水不会溢出，求压力所做的功。解析：木块下降同时水面上升，因缓慢地把木块压到容器底上，所以压力总等于增加的浮力，压力是 変力，当木块完全浸没在水中的下降过程压力是恒力。本题的解法很多，功能关系、F-S图像法、平均值法 等均可求変力做功，现用平均值法求。木块从开始到完全浸没在水中，设木块下降x 1 ,水块上升X 2 （同体积的水块随木块的下降而上升）h根据水的体积不变，贝V： h2x二h2x 得x = x 所以当木块下降丁时，木块恰好完全浸没在水中， 1 2 12 4F皿广Pgh2（xi + x2）二2Pgh2xi ” xi所以W1 = F4 =宁彳二冒12 = 1 Pgh4木块恰好完全3h 5hh 55浸没在水中经山二2h盲-4 h到容器底部，压力为恒力F T 2所以W2二加 2 2 - 4 h二8 Pgh4故压力所做的功为：w = w + w = 3pgh41 2 4第二. 图象法1原理：在F-l图象中，图线与坐标轴所围成的“面积”表示功，作出变力变化的F_l图象，图象与位移 轴所围的“面积”即为变力做的功。力学中叫作示功图。2、方法：对于方向在一条直线上，大小随位移变化的力，作出F-l图象, 求出图线与坐标轴所围成的“面积”，就求出了变力所做的功。【例1】静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下,圆则小物块运动到x0处时的动能为（）答案（C）0A.0B. 1/2FmXonC.4FmX0nD4Xo2【例2】用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次进入木板的深度是多少?沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图所示，图线为半图象，如图所（面积）即1 2 1-1-I阳江叭一兀=由于两次做功相等，故有：【例3】如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m的褊也 一 X二 0.4 lews分析与解：因为阻力，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出胃一孟 示，函数线与X轴所夹阴影部分面积的值等于F对铁钉做的功。木块连接，放在光滑的水平面上。弹簧劲度系数为k,开始时处于自然长度。现用水平力缓慢拉木块，使木块前进X,求拉力对木块做了多少功。此题也可用图像法：F缓慢拉木块，可以认为木块处于平衡状态，故拉力等于弹力，即F=kx，作出F-x图，求出图线与坐标轴所围成的“面积”，结果也是W二F x = ikx2。2练习：放在地面上的木块与一劲度系数k = 200N / m的轻弹簧相连。现用手水0-20.6 x/in平拉弹簧，拉力的作用点移动X = 0.2m时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢 移动了 x2 = 0.4m的位移，求上述过程中拉力所做的功。+0.4)x407-207分析：由题意作出F-x图象如图所示，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系, 木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功。即第三用公式矿二丹求解1基本原理：在机车的功率不变时，根据P = Fv 知,随着速度v的增大，牵引力将变小，不能用W = Fl 求功，但已知功率恒定，所以牵引力在这段时间内所做的功可以根据从二H求出来。2基本方法：因为功率恒定，所以设法求出做功的时间，然后即可按朋二丹求出这段时间牵引力的功。 （在已知平均功率一定时，也可采用这种方法）【例1】质量为m的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的k倍，机车经过时间t速度 达到最大值v,求机车的功率和机车所受阻力在这段时间内所做的功。解析：机车的功率恒定，从静止开始达到最大速度的过程中，牵引力不断减小，当速度达到最大值时，机车所受牵引力达到最小值，与阻力相等。在这段时间内机车所受阻力可认为是恒力，牵引力是变力，因 此，机车做功不能直接用肛二用C观口来求解，但可用公式莎来计算。根据题意，机车所受阻力八呢，当机车速度达到最大值时，机车功率为：旳二碍,该时间内机车牵引力做功为：矿二卩根据动能定理，得牵引力克服阻力做功为:根据故阻力做功为:练习1：质量为5t的汽车以恒定的输出功率75kW在一条平直的公路上由静止开始行驶，在10s内速度% - A 饬.达到10m/s，求摩擦阻力在这段时间内所做的功。分析：汽车的功率不变，根据P = Fv知，随着速度v的增大，牵引力将变小，不能用“ =FI求功,Ffj = Ff = 75xlO3 107但已知汽车的功率恒定，所以牵引力在这段时间内所做的功，再由动能定理得： + TV =丄0 町=；佔_审F =_5乂血2所以-2练习2：质量为5000Kg的汽车，在平直公路上以60kW的恒定功率从静止开始启动，速度达到24m/s的最大速度后，立即关闭发动机，汽车从启动到最后停下通过的总位移为1200m.运动过程中汽车所受的阻力 不变.求汽车运动的时间。解析：牵引力是変力，该过程中保持功率P恒定，牵引力的功可以通过W = Pt来求。汽车加速运动的 时间为乃，由动能定理得：Pt -F -s = 01 1 fP汽车达到最大速度时，牵引力和阻力大小相等，则P = Fv = F -v 即F二 可求得汽车加速运 mf mf Vm一F - ss 1200 、一 亠动的时间为t = f =s = 50s关闭油门后，汽车在阻力作用下做匀减速直线运动至停止，由i P v 24m厂 小mv mv 25000 x 242动量定理得：-F - t = 0 - mv可求得汽车匀减速运动的时间为t = m = m =S = 48S则f 2m2 F P60 X1000f汽车运动的时间为：t=t+t2=50s+48s=98s小结：对于交通工具以恒定功率运动时，都可以根据=来求牵引力这个变力所做的功。第四等效变换法：1基本思路：在某些情况下，通过等效变换可以将变力做功转换成恒力做功，然后用WF= lcosa求解。2基本方法：找出不变的因素，将变力做功转换成恒力做功及与之对应的位移，然后用求功公式求解。【例1】如图所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体。开始时与物体相连的轻绳和水平面间的夹角为a当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为卩。已知图中的高度是h,绳与 滑轮间的摩擦不计，求绳的拉力ft对物体所做的功。分析：拉力ft在对物体做功的过程中大小不变，但方向时刻改变，所以这是个变力做功问题。由题意 可知，人对绳做的功等于拉力FT对物体做的功，且人对绳的拉力F是恒力，于是问题转化为求恒力做功。I sinasin由图可知，在绳与水平面的夹角由a变到卩的过程中，拉力F的作用点的位移为:山=s - s12所以绳对物体做功：W = W = F*As = FhX.A WTTW */少丿严”#7TF变式：如图所示，质量为m的滑块可以在光滑水平面上滑动，滑块与 不可伸长的轻绳相连，绳跨过一光滑的定滑轮（滑轮大小不计），另一端被 人拉着，人的拉力大小、方向均不变，大小为=丸曲，已知滑轮到水平面的高度为丘二弧，AB的长度二4耶，求滑块从A被拉到B的过程中，外力对它所做的功。解析:同上，由几何关系可求得s,根据【例2】以一定的速度竖直向上抛出一小球，小球上升的最大速度为h空气的阻力大小恒为F,则从 抛出至落回出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为（）答案:CA0BFhC2FhD4Fh解析:从全过程看，空气的阻力为变力，但将整个过程分为两个阶段：上升阶段和下落阶段，小球在每个阶段上受到的阻力都是恒力，且总是跟小球运动的方向相反，空气阻力对小球总是做负功，全过程空气阻力对小球做的功等于两个阶段所做功的代数和，即W =W + W = （- Fh）+（- Fh）= -2 Fh上下点拨:空气阻力、摩擦阻力是一种特殊的力，在计算这种力做功时，不可简单地套用功的计算公式W = Fl cos a得出W=0的错误结论.从上面的正确结果可以看出：空气阻力做的功在数值上等于阻力与全 过程小球路程的乘积0第五.动能定理法1. 动能定理:合外力对物体做功等于物体动能的改变,或外力对物体做功的代数和等于物体动能的改变02. 基本思路：如果所研究的物体同时受几个力的作用，而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力所做的功和物体动能的变化量容易计算时，根据W =AE，其中W是所有外力做功的代数外k外和, Hk是物体动能的增量，那么用动能定理就可以求出这个变力所做的功。十、.3基本方法：了解哪些外力做功，哪些是恒力，哪些是变力，以及确定物体运动的初动能和末动能，然后用动能定理列方程就可以求出变力的功。【例1】如图所示，质量为m的物体从A点沿半径为R的粗糙半球内表面以组的速度开始下滑，到达B点时的速度变为，求物体从A运动到B的过程 中，摩擦力所做的功是多少？解析：物体由A滑到B的过程中，受重力 G、弹力念和摩擦力号三个力的作用，因而有WJV3Ff =戸时陷& -，即，式中戸为动摩擦因数，v为物体在某点的速度，P为物块与球心的连线与竖直方向的夹角。分析上式可知，物体由A运动到B的过程中，摩擦力与是变力，是变力做功问题，根据动能定理有，在物体由A运动到B的过程中，弹力不做功；重力在物体由A运动到C的过程中对物体所做的正功与物体从C运动到B的过程中对物体所做的负功相等，其代数和为零。因此，物体所受的三个 力中摩擦力在物体由 A 运动到 B 的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量，则有 省二町二迢即歼詁应-訥r【例2】如图所示，原来质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置.功为()A. FL cos 0用水平拉力F将小球缓慢地拉到细线与竖直方向成0角的位置的过程中，拉力F做-cos0 )B. FL sin 0C. FL(L - cos0 )D. m解析：很多同学会错选B，原因是没有分析运动过程，对W=FLcos0来求功的适用范围搞错，恒力做功可以直接用这种方法求，但变力做功不能直接用此法正确 的分析，小球的运动过程是缓慢的，因而任一时刻都可看作是平衡状态，因此F的大小不断变大，F做的功 是变力功，小球上升过程中只有重力和拉力做功，而整个过程的动能改变为零，可用动能定理求解：W + W = E E = 0 所以 W = W = mgL(L cos0 )，故 D 正确。F GK KFG【例3】某人用力将质量为m的小球，在高度为H处抛出，已知当小球刚要落地时的速度为V则该人在抛 球过程中对小球做的功为多少?解析：在整个过程中，人及球的重力对球做功，人抛球时对球的作用力是变力，我们可应用动能定理利用球动能的变化求出此功。根据动能定理得:W+mgH=mv2/2解得:W=mv2/2-mgH。【例4】如图示,AB为1/4圆弧轨道,半径为0.8m,BC是水平轨道，长 L=3m,BC处的摩擦系数为1/15,今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起 下滑到C点刚好停止求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。解析：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力共三个力做功，根据动能定理可知:W 夕外=0,所以 mgR-umgL-WAB=0 即 WAB=mgR-umgL=6(J)【例5】如图所示，质量m = 1kg的物体从轨道上的A点由静止下滑，轨道AB是弯曲的，且A点高出B点h = 0.8m。物体到达B点时的速度为2m/ s，求物体在该过程中克服摩擦力所做的功。解析：物体由A运动到B的过程中共受到三个力作用：重力G、支持力F和 N摩擦力 Ff 。由于轨道是弯曲的，支持力和摩擦力均为变力。但支持力时刻垂直于速度方向，故支持力不做 功，因而该过程中只有重力和摩擦力做功。由动能定理气卜=A EjW = W + W1其中外G f 所以mgh+W =二mv 2代入数据解得W =5.84J。11f 2 bfAE =mv 2 mv 2k 2 B 2 A【例6】物体以初速度vo竖直上抛，落回抛出点时的速度为v 1，试求此过程物体克服空气阻力所做的功。解析：设此过程克服空气阻力所做的功为W，由动能定理有：W _丄-丄2解得： W=1 mv - mvw mv2 mv2212o20 21【例7】如图所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为0.8m，BC是水平轨道，长L=3m，BC处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。解析:设轨道AB段所受阻力对物体做功W由动能定理得:W+mgR-mglL0-0解得: W =卩mgL-mgR小结：利用动能定理可以求变力做功，但不能用功的定义式直接求变力功，并且用动能定理只要求始 末状态，不要求中间过程。这是动能定理比牛顿运动定律优越的一个方面。第六.微元求和法1基本思路：当物体在变力的作用下作曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不 变，(例如当力的大小不变而方向总是与运动方向相同或相反时，可把公式W二Fl COS a做变通处理，两者 同向时，W = Fl ；两者反向时，W = -Fl，式中的l指的是物体的路程)且力与位移的方向同步变化，可 用微元法将曲线分成无限个小元段，每一小元段可认为恒力做功，总功即为各个小元段做功的代数和。 变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段 位移上将变力转化为恒力用球二殆匚口胡计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和。2基本方法：求出力在位移方向上的分量，求出曲线总长度，总功即为各个小元段做功的代数和【例1】如图所示，某个力F=10N作用于半径为R=lm的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向保持在任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周这个力F做的总功为A.0B.20兀 JC.10JD.10 兀 J【解析】 本题中 F 的大小不变，但方向时刻发生变化，属于变力做功的问题.可以考虑把圆周分割为很多的小段采研究.当各小段的弧长足够小时，可以认为力的方向与弧长代表的位移方向一致.所求的总功为：W = F As + F As + F As 123=F (As +As +As )【答案】B123=F 2兀R = 20kJ【例2】如图6所示，质量为m的小车以恒定速率v沿半径为R的竖直圆轨道运动，已知小车与竖直 圆轨道间的摩擦因数为卩，试求小车从轨道最低点运动到最高点的过程中，克服摩擦力做的功。图7解析：小车沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中，由于轨道支持 力是変力，故而摩擦力为一変力，本题可以用微元法来求。如图7兀R个圆周均匀细分成n ( n Ta )等分，在每段长一的圆弧上运 n动时，可认为轨道对小车的支持力N不变、因而小车所受的摩擦i力f不变，摩擦力的功可以用w = F - s计算。当小车运动到如iv 2 图所示的A处圆弧时，有N - mg Sin 9 = m贝yiARv 2v 2c 兀Rf =p (m+ mg sin 6) W =p (m+ mg sin 6)-iARiARn.V 2V 2.八V 2f =卩(m- mg sin 6) W =p (m- mg siniBRiBR当小车运动到如图所示的与A关于x轴对称的B处圆弧时有叽+ mg sin6= m-则in6） 一由此，小车关于水平直径对称的轨道两元段上 n摩擦力元功之和为：c V 2 兀RWi=27匸于是可知小车沿半圆周从轨道最低点运动到最扛高点的过程中，摩擦力做的总功为：W = F W = n 2兀叫2 =ypmv2i 2 ni=1【例3】如图所示，一质量为m=2.0 kg的物体从半径为R=5.0 m的圆弧的A端，在 拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端（圆弧AB在竖直平面内）.拉力F大小不变始终为15 N， 方向始终与物体在该点的切线成37。角.圆弧所对应的圆心角为60，BO边为竖直方向。（g取10 m/s2）求这一过程中：（1）拉力F做的功。重力G做的功。（3）圆弧面对物体的支持力FN做的功。（4）圆弧面对物体的摩擦力Ff做的功。思路点拨：根据各个力的特点（是恒力还是变力），选择相应的计算功的方法。（62.8J,-50J,0,-12.8J）【例3】在光滑的桌面上，有一条粗细均匀的链条，全长为L,垂下桌边 的那部分的长度为a,链条在上述的位置由静止释放，如图所示，则链条的上 端离开桌边时，链条的速度为多少？练习：长为L的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使其长度的1/4垂 在桌边，如图所示，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多大？解析：链条下滑时，因桌面光滑，没有摩擦力做功。整根链条总的机械能守恒，可用机械能守恒定律求解。设整根链条质量为搐，则单位长度质量（质量线密度）为辽，设桌面重力势能为零，由机械能守注：（1）对绳索、链条之类的物体，由于在考查过程中常发生形变，其重心位置 相对物体来说并不是固定不变的.能否正确确定重心的位置，常是解决该类问题的关键， 一般情况下常分段考虑各部分的势能，并用各部分势能之和作为系统总的重力势能至 于参考平面，可任意选取，但以系统初、末重力势能便于表示为宜.（2）此题也可运 用等效法求解：绳索要脱离桌面时重力势能的减少，等效于将图中在桌面部分移至下垂部分下端时重力势唇=込能的减少.然后由列方程求解【例4】如图所示，总长为L的光滑匀质的铁链，跨过一光滑的轻质小定滑轮，开始时底端相齐，当略有扰动时，某端下落，则铁链刚脱离滑轮的瞬间，其速度多大？解析：铁链的端上升，端下落是变质量问题，利用牛顿定律求解比较麻烦，也超出了中学物理大纲的要求但由题目的叙述可知铁链的重心位置变化过程只有重力做功，或“光滑”提示我们无机械能与其他 形式的能转化，则机械能守恒，这个题目我们用机械能守恒定律的总量不变表达式E2=E,和增量表达式AEp= -aek分别给出解答，以利于同学分析比较掌握其各自的特点.(1)设铁链单位长度的质量为P,且选铁链的初态的重心位置所在水平面为参考面，则初态E=0滑离滑轮时为终态，重心离参考面距离L/4, Ep=PLgL/4, Ek2=1 PLv2即终态E2=PLgL/4+丄PLv22 2由机械能守恒定律得E2= E 有PLgL/4+ 2 PLv2=0，所以v= ygL/2(2)利用AEP=AEk，求解：初态至终态重力势能减少，重心下降L/4, 力势能减少一AEP= PLgL/4，动能增量AEk=|pLv2，所以v= *gL/2第七机械能守恒法【例1】如图所示，质量m为2kg的物体，从光滑斜面的顶端A点以耳=気心的初速度滑下，在D 点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度曲二加，求弹簧的弹力对物 体所做的功。分析与解：由于斜面光滑,故机械能守恒,但弹簧的弹力是变力,弹力对物体做负功,弹簧的弹性势能增加， 且弹力做功的数值与弹性势能的增加量相等。取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D点为弹性势能的零参考点，则：对状态A： 一:一 对状态B： 一竺一由机械能守恒定律得：L【例2】如图所示，质量m=2kg的物体，从光滑斜面的顶端A点以 V0=5m/s的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度 为零，已知从A到B的竖直高度h=5m，求弹簧的弹力对物体所做的功。分析与解：由于斜面光滑故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力 对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的 增加量相等。取 B 所在水平面为零参考面，弹簧原长处 D 点为弹性势能的零参考点，则状态 A： EA= mgh+mV02/2对状态B： EB=W弹簧+0由机械能守恒定律得： W弹簧=(mgh+mv2/2) = 125 (J)。小结：对于涉及弹簧弹力做功的试题，一般我们都可以用机械能守恒定律求功。第八. 功能原理法1. 功能原理：如果除重力和弹力之外的其他力对物体也做功，系统的机械能将不再守恒，而且这些力做 了多少功、系统就有多少机械能发生转化，这时，除系统内重力和弹力以外的其他力对系统所做功的代数 和等于系统机械能的增量。若只有重力和弹力做功的系统内，则机械能守恒(即为机械能守恒定律)。2. 基本思路：如果这些力是变力或只有一个变力做功，而其他力对物体做的功和系统机械能的变化量容 易求得，就可以用功能原理求解变力做功问题。3. 基本方法：在涉及重力、弹力之外的变力做功问题时，只要系统的机械能的变化容易求得，用功能原解析：因为水池面积很大，故木块压入水中所引起的水深变化可忽略，木块刚好完全没入水中时，木块下方深度为2空间内的水被排开，结果等效于使这部分水平铺于水面，这部分水的质量为m，其势能的增加量为：ae木块下降a的高度，其势能的增加量为：水 442AE =-mg- = -mga根据功能关系，力F所做的功为系统势能的增加量： 木22W = AE + AE mga水木 4C【例2】如图1所示，质量为m的物体从A点沿半径为R的粗糙半球内表面以卫的速度开始下滑，到由机械能转化为热能例 3】两个底面积都是 S 的圆筒,放在同一水平面上,桶内装水,水面高度分别为 h1和h2,如图所示，已知水的密度为p现把连接两桶的阀门打开，最后两桶水面高度相等，则这程中,利用等效法把左管高以上部分的水等效地移至右管,如图中的斜线所示.最后用功能解析：以AB为零势能点，则由A运动到B的过程中机械能变化为，则由功能原理过程中重力所做的功等于.达B点时的速度变为卩占，求物体从A运动到B的过程中产生了多少热量。解析： 由于水是不可压缩的，把连接两桶的阀门打开到两桶水面高度相等的过关系，重力所做的功等于重力势能的减少量，选用AB所在的平面为零重力势能平面，则画 斜线部分从左管移之右管所减少的重力势能为00AHBi所以重力做的功 -【例4】如图所示,在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量均为m的小球，杆可 绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速释放摆下求当杆转到竖直位置 时,轻杆对A、B两球分别做了多少功?解析：设当杆转到竖直位置时,A球和B球的速度分别为VA和VB.如果把轻杆、地球、两个小球构成的系统作为研究对象,那么由于杆和小球的相互作用力做 功 总 和 等 于 零 , 故 系 统 机 械 能 守 恒 . 若 取 B 的 最 低 点 为 零 重 力 势 能 参 考 平 面 , 可 得 :1 1 12mgL = -mV2 + mV2 + mgL又因A球对B球在各个时刻对应的角速度相同，故Vb=2Va由以上二式2 A 2 B 2得：VA = 晋,VB =驴根据功能关系可解出杆对A、B做的功.对于A有1 1W = mV2 mgL/2 = 0.2mgL对于 B 有 W mV2 mgL = 0.2mgL A 2 AB 2 B【例5】如图4所示，将一个质量为m,长为a,宽为b的矩形物体竖立起来的过程中，人至少需要做 多少功？分析:在人把物体竖立起来的过程中，人对物体的作用力的大小和方向均未知，无法应用W尼I cos求解。该过 程中 ,物体 要经历 图所示 的状态,当矩形对 角线竖 直时 ,物体重心高 度最大 ,重心变化为：&=八血 +B2 B由功能原理可知W =AE +AE 当 AE =0时,W 最小，为:WE=A = mgbhi=-mgabb2外 p k k夕卜外 p2i=一得huR2 兀r 231塞至管内外水面高度差为10m的过程中,活塞始终与水面接触，设活塞上升h,777H管外液面下降H 2，则有：H H + H因液体体积不变，有：2 0 1 23h =二h二7.5mH此过程拉力为変力，根据功能关系，对于水和活塞这个整体，其机械能的增量等于除重力i 4 0h + h以外其它力做功。艮据题意，则拉力做功等于水的重力势能的增量，即：叫=AE = pkr亠厂=1.18x104 J活塞从h 1上升到H的过程中，液面不变，拉力F是恒力，F =nr2P，则做功为： 10W = F（H一h）=兀口P （H一h） = 4.71x103 J 所求拉力所做的总功为：W=W +W = 1.65x104 J2 1 0 1 1 2第九. 能量守恒法【例1】如图所示，一劲度系数=的轻弹簧两端各焊接着一个质量为g2矩的物体。A、B竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F在上面物体A上，使A开始向上做匀加速运动，经0.4s, B刚要离开地面。设整个过程弹簧都处于弹性限度内（g取）求：（1）此过程中所加外力F的最 大值和最小值。（2）此过程中力F所做的功。分析与解：（1）设A上升前，弹簧的压缩量为眄，B刚要离开地面时弹簧的伸长量为也，A上升的加速度为A原来静止时，因受力平衡，有:设使A刚做匀加速运动时的最小拉力为齐，有：=由位移公式，对A有:B恰好离开地面时，所需的拉力最大，设为骂，对A有:由式，得:由式，解得耳-1537 逗丿分别解得： n、 （2）力作用的0.4s内，在末状态有 =弹性势能相等，由能量守恒知，外力做了功，将其他形叫=阳或X +出）+沁处）=4八f式的能转化为系统的重力势能和动能，即：2小结：当我们分析一个物理过程时，不仅要看速度、加速度，还要分析能量转化情况。第十.用 W=PV一般用来求解液体或气体做功的情况，P为压强，V为液体或气体推进体积，其实该公式来源于功的计 算式，设压强P的作用面积为S,推进的距离为L,则压力PS作用距离L时的功为PSL即PV。【例1】人的心脏每跳一次大约输送8 x 10-5 m3的血液，正常人血压（心脏压送血液的压强）的平均 值约为1.5 x 104pa，心脏约每分钟跳70次，据此估测心脏工作的平均功率为多大？解析：心脏压缩血液一次做的功。w = FAl = PS Al = PAV = 1.2 J心脏每跳一次的时间t = - s所以心脏 7工作的平均功率P = w /1 = 1.4w练习1：成年人正常心跳每分钟约75 次，一次血液循环中左心室的血压（可看作心脏压送血液的压强）的平均值为1.37xl04pa，左、右心室收缩时射出的血量约为70mL，右心室对肺动脉的压力约为左心室的 1/5，据此估算心脏工作的平均功率。练习2：猎豹的心脏每跳一次输送2x10-4m3的血液，其血压（可看为心脏压送血压的压强） 的平均值为3x104pa。心跳约每分钟跳60次，猎豹的心脏工作的平均功率为（）。A.2W B.3W C.6W D.18W（6W） 第十一.转换参考系求变力做功在有些物理问题中，要用功能原理，其中求做功时要涉及到变力做功，但若通过转换参照系，可 化求变力做功为恒力做功，而大大简化解题过程。【例1】宇宙中某一惯性参照系中，有两个质点A和B,质量分别为m和M,相距L,开始时A静 止，B具有A、B连线延伸方向的初速度V，由于受外力F的作用，B做匀速运动。（1）试求A、B 间距离最大时的 F 值；（2）试求从开始到 A、B 最远时力 F 做的功；解析:此题中 A 在万有引力作用下做变加速运动，要用功能原理来解。若用微元法求变力做功，会 因数学知识的限制而不易找出 F 作用的位移和 A、 B 间的距离的对应关系而很难求解。而本题可通过 变换参照系，在同样满足机械能守恒的条件下，避开求变力做功，从而简化了解题过程。将原来的惯性参照系记为S，相对B静止的参照系记为S，在S系中，B没有位移，所以力F 做功为零，计算得以简化。在S系中，A开始以v背离B运动，最后在万有引力的作用下减速到零，1MmMm此时A、B间的距离最大，记为Lm。在S系中，据机械能守恒，有-mv2 -G一G所以2LLm2 LGM2GM - Lv 2此时 A、 B 的万有引力为F m(2GM -Lv2)24GML2回到 S 系中，当 A、 B 的间距达到 Lm 时， A、 B 都以 V 速度，根据功能原理， F 力所做的功1 Mm 1MmW = (M + m)v2 一 G一(一 Mv2 一 G)2 L2L1 1 11 11m由中知 GMm( 一) = mv 2 因此 W = mv 2=mv 2 + GMm( )L L 22 L Lmm求変力做功的方法很多，上述不同方法各有优点，同一道题目可用的方法不止一种，比如用平均值法 的问题，也可用图像法解决，用动能定理求解的问题亦可用功能关系解决等等。总之，要正确快速的求解 変力做功问题，需要掌握求解変力做功的基本方法，并将这些方法融会贯通，做到举一反三。