简单复合函数的求导法则

一 、 教 学 目 标 ： 1、 了 解 简 单 复 合 函 数的 求 导 法 则 ； 2、 会 运 用 上 述 法 则 ， 求 简单 复 合 函 数 的 导 数 。二 、 教 学 重 点 ： 简 单 复 合 函 数 的 求 导 法则 的 应 用教 学 难 点 ： 简 单 复 合 函 数 的 求 导 法 则 的应 用三 、 教 学 方 法 ： 探 析 归 纳 ， 讲 练 结 合四 、 教 学 过 程 复 习 ： 两 个 函 数 的 和 、 差 、 积 、 商 的求 导 公 式 。1、 常 见 函 数 的 导 数 公 式 ：0C 1)( nn nxx xx cos)(sin xx sin)(cos 2、 法 则 1 )()()()( xvxuxvxu 法 则 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x u x v x , ( ) ( )Cu x Cu x法 则 3 2 ( 0 )u u v uv vv v 复 合 函 数 的 导 数新 授 课函 数 ， ， 构 成 间 的 关 系 ？2uy 23 xu 2)23( xy可 由 与 复 合 得 到 2uy 23 xu2)23( xy例 1 指 出 下 列 函 数 的 复 合 关 系 ： 32 )2( xy （ 1） 2sin xy （ 2） xy 4cos （ 3） )13sin(ln xy（ 4） 由 复 合 而 成 32 )2( xy 23 2, xuuy 解 ： （ 1）（ 2） 由 复 合 而 成 2sin xy 2,sin xuuy （ 3） 由 复 合 而成 x4cos xuuy 4,cos （ 4） 由 复 合 而成 )13sin(ln xy 13,sin,l xvvy 复 合 函 数 的 导 数新 授 课例 2 写 出 由 下 列 函 数 复 合 而 成 的 函 数 ： （ 1） （ 2） 21,cos xuuy xuuy ln,ln 解 ： （ 1） ).ln(ln xy )1cos( 2xy （ 2） 引 例 一 艘 油 轮 发 生 泄 漏 事 故 ， 泄 出 的 原 油 在 海 面 上 形成 一 个 圆 形 油 膜 ， 其 面 积 是 半 径 的 函 数 ： S r 油 膜 半 径 随 着 时 间 的 增 加 而 扩 大 ， 其 函 数 关系 为 ： tr 2)( rrfS 12)( ttr 问 ： 油 膜 面 积 关 于 时 间 的 瞬 时 变 化 率 是 多少 ？ S t 分 析 ：油 膜 面 积 关 于 时 间 的 新 函 数 ：S t 2)12()( ttfS )12(4)48()( tttf )144()12()( 2 tttftf 由 于所 以 由 导 数 的 运 算 法 则 可 得 ： 2)(,2)( trrrf )()12(2)12(2)( ttfttf 概 括 一 般 地 ， 对 函 数 和 ，给 定 的 一 个 值 ， 可 得 的 值 ， 进 而 确 定 的 值 ，这 就 确 定 了 新 函 数 ， 它 是 由 和 复 合 而 成 的 ， 我 们 称 之 为 复 合 函数 ， 其 中 是 中 间 变 量 。 )(ufy baxxu )(x yu )( baxfy )(ufy baxxu )( u复 合 函 数 的 导 数 ： )( baxfy )()()()( baxfaxufuf 复 合 函 数 中 ， 令 ， 则 )(xfy )(xu )()()( xufxf 注 意 ： 复 合 函 数 的 中 间 变 量 可 以 是 任 何 函 数 ， 在 高 中阶 段 我 们 只 讨 论 的 情 况 。baxxu )(推 广 ： 注 意 ： 不 要 写 成 ！ )(xf 对 x求 导 对 求 导)(x 复 合 函 数 的 导 数若 ， ， 求 23,2 xuuy )(, xfuy xu 2)23()( xxf并 分 析 三 个 函 数 解 析 式 以 及 导 数 之 间 的 关 系 新 授 课 128)4129()23()( 22 xxxxxf uyu 2 3xu 12183)23(232 xxuuy xu函 数 可 由 复 合 而 成 23,2 xuuy)(xf xu uyxf )( 复 合 函 数 的 导 数新 授 课 一 般 地 ， 设 函 数 在 点 处 有 导 数 ， 函数 在 点 的 对 应 点 处 有 导 数 ， 则 复 合函 数 在 点 处 也 有 导 数 ， 且或 写 作 )(xu xx )(xux )(ufy u )(ufyu )( xfy xux uyy )()()( xufxfx x 复 合 函 数 的 导 数例 题 讲 解例 3 求 的 导 数 5)12( xy解 ： 设 ， 则 12,5 xuuy xuxux xuuyy )12()( 5 444 )12(102)12(525 xxu 例 1 求 函 数 的 导 数 。13 xy例 2 求 函 数 的 导 数 。 3)12( xy 例 4、 一 个 港 口 的 某 一 观 测 点 的 水 位 在 退 潮 的 过 程中 ， 水 面 高 度 y（ 单 位 ： cm） 。 关 于 时 间 t（ 单 位 ：s） 的 函 数 为 12100)( tthy ， 求 函 数 在 t=3时 的 导 数 ，并 解 释 它 的 实 际 意 义 。12100)( tthy xxf 100)( 12)( ttx 解 ： 函 数 是 由 函 数 与复 合 而 成 的 ， 其 中 x是 中 间 变 量 。 22 )12( 2002100)()()( txtxfthyt 将 t=3代 入 )(th得 ： 49200)3( h （ cm/s） 。它 表 示 当 t=3时 ， 水 面 高 度 下 降 的 速 度 为 49200 cm/s。 例 4 求 下 列 函 数 的 导 数 ：)(sin)2( )()1( 2 xfy xfy 前 面 所 求 的 都 是 具 体 的 复 合 函 数 的 导 数 ， 而 此 题中 的 对 应 法 则 f 是 未 知 的 ， 是 抽 象 的 复 合 函 数 。 它 们的 导 数 如 何 求 得 ？ ？ （ 1） 首 先 要 弄 清 复 合 关 系 ， 特 别 要 注 意 中 间 变 量 ；（ 2） 尽 可 能 地 将 函 数 化 简 ， 然 后 再 求 导 ；（ 3） 要 注 意 复 合 函 数 求 导 法 则 与 四 则 运 算 的 综 合运 用 ；（ 4） 复 合 函 数 求 导 法 则 ， 常 被 称 为 “ 链 条 法 则 ” ，一 环 套 一 环 ， 缺 一 不 可 。复 合 函 数 求 导 法 则 的 注 意 问 题 ： xey xy cos1 10)2( )25()( 1 1. 求 下 列 函 数 的 导 数 ：2. 求 曲 线 在 处 的 切 线 方 程 。 2)12( xxy 6x )25(50 xy xexy cos1sin 014343 yx 动 手 做 一 做 )1()2( ) 1()( 2 xfy xfy1 求 下 列 函 数 的 导 数 ：动 手 做 一 做 )1( xf )1(1 2 xfx )1(12 22 xfx x 小 结关 键 ： 分 清 函 数 的 复 合 关 系 ， 合 理 选 定 中 间 变 量 。 复 合 函 数 求 导 公 式 ： )()()( xufxf 利 用 复 合 函 数 的 求 导 公 式 可 以 求 抽 象 函 数 的 导 数 。 对 于 抽 象 复 合 函 数 的 求 导 , 要 从 其 形 式 上 把 握其 结 构 特 征 ， 找 出 中 间 变 量 ； 另 外 要 充 分 运 用 复 合关 系 的 求 导 法 则 。 抽 象 复 合 函 数 的 导 数 ： 利 用 复 合 函 数 的 求 导 法 则 来 求 导 数 时 ， 首 先 要弄 清 复 合 关 系 ， 而 选 择 中 间 变 量 是 复 合 函 数 求 导 的关 键 。分 析 ： 令 ， 则 函 数 是 由 与 复 合 而 成 ， 由 复 合 函 数 求 导 法 则可 知 ： 13)( xxu 21)( uuuf 13)( xxu 解 ： 132 3321)()()13( xuxufx 解 ： 令 ， 则 函 数 是 由 与 复 合 而 成 ， 由 复 合 函 数 求 导 法 则可 知 ： 12)( xxu 12)( xxu 3)( uuf 22 3 )12(623 )()()12( xu xufx 利 用 复 合 函 数 的 求 导 法 则 来 求 导 数 时 ， 选 择 中 间变 量 是 复 合 函 数 求 导 的 关 键 。 必 须 正 确 分 析 复 合 函 数是 由 哪 些 基 本 函 数 经 过 怎 样 的 顺 序 复 合 而 成 的 ， 分 清其 间 的 复 合 关 系 。 要 善 于 把 一 部 分 量 、 式 子 暂 时 当 作一 个 整 体 ， 这 个 暂 时 的 整 体 ， 就 是 中 间 变 量 。 求 导 时需 要 记 住 中 间 变 量 ， 注 意 逐 层 求 导 ， 不 遗 漏 ， 而 其 中特 别 要 注 意 中 间 变 量 的 系 数 ， 求 导 后 ， 要 把 中 间 变 量转 换 成 自 变 量 的 函 数 。总 结 而 对 于 抽 象 复 合 函 数 的 求 导 ,一 方 面 要 从 其 形 式上 把 握 其 结 构 特 征 ， 找 出 中 间 变 量 ， 另 一 方 面 要 充分 运 用 复 合 关 系 的 求 导 法 则 。分 析 : 求 复 合 函 数 的 导 数 ,关 键 在 于 分 清 函 数 的 复 合 关系 ， 合 理 选 定 中 间 变 量 ， 明 确 求 导 过 程 中 每 次 是 哪个 变 量 对 哪 个 变 量 求 导 。 解 ：（ 1） 函 数 是 由 与 复 合 而 成 的 ， )(ufy 2)( xxu )(sincoscos)()()( xfxxufxufy )(22)()()( 2xfxxufxufy 由 复 合 函 数 的 求 导 法 则 知 ：（ 2） 函 数 由 与 复 合 而 成 ，由 复 合 函 数 的 求 导 法 则 知 ：)(ufy xxu sin)(