资源描述
开 始 学 点 一学 点 二学 点 三学 点 四 1. 九 章 算 术 中 的 “ 更 相 减 损 术 ” 求 两 个 数 的 最 大公 约 数 .翻 译 为 现 代 汉 语 如 下 ： 第 一 步 ， 任 意 给 定 两 个 正 整 数 ， 判 断 它 们 是 否 是 偶 数 ，若 是 ， 用 2约 简 ； 若 不 是 ， 执 行 第 二 步 . 第 二 步 ， 用 两 数 中 较 大 的 数 减 去 较 小 的 数 ,再 用 .和 构 成 新 的 一 对 数 ,再 用 大 数 减 小 数 ,以 同 样 的操 作 一 直 做 下 去 ,直 到 产 生 为 止 ,这 个 数（ 等 数 ） 或 这 个 数 与 约 简 的 数 的 乘 积 就 是 最 大 公 约 数 . 2.古 希 腊 求 两 个 正 整 数 的 最 大 公 约 数 的 方 法 是 : ： 用 较 大 的 数 除 以 较 小 的 数 所 得 的 和 构 成 新 的 一 对 数 ,继 续 做 上 面 的 除 法 ,直 到 大 数被 小 数 除 尽 ,这 个 较 小 的 数 就 是 最 大 公 约 数 . 差 数 较 小 的 数 一 对 相 等 的 数 辗 转 相 除 法 余 数 较 小 的 数 返 回 3.把 一 个 n次 多 项 式 f(x)=anxn an xn a1x a0改 写 成 如 下 形 式 : f(x)= anxn an xn a1x a0 = . = . = = . 求 多 项 式 的 值 时 ,首 先 计 算 最 内 层 括 号 内 一 次 多 项 式的 值 ,即 v 1= ,然 后 由 内 向 外 逐 层 计 算 一 次多 项 式 的 值 ,即 v2= , v3= , vn= ,(anxn-1 an xn 2 a1)x a0 (anxn-2 an xn 3 +a2)x a1)x a0 (（ (anx an )x an 2 )x a1)x a0 anx an v2x an 3v1x an 2vn-1x a0 返 回 这 样 ,求 n次 多 项 式 f(x)的 值 就 转 化 为 . 上 述 方 法 称 为 秦 九 韶 算 法 . 观 察 上 述 秦 九 韶 算 法 中 的 n个 一 次 式 ,可 见 vk的 计 算 要用 到 vk-1的 值 .若 令 v0=an,我 们 可 以 得 到 公 式 : . 这 是 一 个 在 秦 九 韶 算 法 中 反 复 执 行 的 步 骤 ,因 此 可 用 来 实 现 .求 n个 一 次 多 项 式 的 值 vo=anvk=vk-1x+an-k(k=1,2,n)循 环 结 构 返 回 学 点 一 辗 转 相 除 法用 辗 转 相 除 法 求 90与 36的 最 大 公 约 数 . 【 分 析 】 本 题 考 查 辗 转 相 除 法 求 两 个 数 的 最 大 公 约数 的 步 骤 .使 用 辗 转 相 除 法 求 90与 36的 最 大 公 约 数 时 ,先用 90除 以 36,余 数 为 18,用 36除 以 18,余 数 为 0,18就 是 90与 36的 最 大 公 约 数 .顺 便 提 示 一 下 ,两 个 数 a,b的 最 大 公约 数 一 般 写 成 (a,b),如 90与 36的 最 大 公 约 数 为 18,写 成(90,36)=18. 【 解 析 】 令 m=90,n=36,m=2n+18,r=18. 令 m=36,n=18. 又 有 36=18 2,即 m=2n, 返 回 此 时 r=0. 令 m=18,n=0. 故 90与 36的 最 大 公 约 数 为 18. 程 序 步 骤 如 下 : INPUT m=;n=; m=90;n=36; DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT “ 90与 36的 最 大 公 约 数 为 :” ;m END 返 回 【 评 析 】 辗 转 相 除 法 是 当 大 数 被 小 数 除 尽 时 ,结 束除 法 运 算 ,较 小 的 数 就 是 最 大 公 约 数 ;更 相 减 损 术 是 当 大数 减 去 小 数 的 差 等 于 小 数 时 停 止 减 法 ,较 小 的 数 就 是 最大 公 约 数 . 返 回 用 辗 转 相 除 法 求 80与 36的 最 大 公 约 数 ,并 用 更 相 减 损 术 检验 所 得 结 果 . 解 ： 用 辗 转 相 除 :80=36 2+8,36=8 4+4,8=4 2+0;用 更 相 减 损 术 检 验 :80-36=44,44-36=8,36-8=28,28-8=20,20-8=12,12-8=4,8-4=4.故 80和 36的 最 大 公 约 数 是 4. 返 回 学 点 二 更 相 减 损 术1.有 甲 、 乙 、 丙 三 种 溶 液 ,分 别 重 kg, kg, kg.先 要 将 它 们 分 别 全 部 装 入 小 瓶 中 ,每 个 小 瓶 装 入 液 体 的 重量 相 同 .问 :每 瓶 最 多 装 多 少 ? 【 分 析 】 本 题 考 查 更 相 减 损 术 的 计 算 步 骤 及 思 想 .根据 题 意 ,每 个 小 瓶 装 的 溶 液 的 质 量 应 是 三 种 溶 液 质 量 的 最大 公 约 数 .先 求 任 意 两 个 数 的 最 大 公 约 数 ,然 后 再 求 这 个 数与 第 三 个 数 的 最 大 公 约 数 . ; 367536153690369036153610536105361536120361203615361353615 361353615036809209223613541543336150625614 ; .; 361536153630363036153645364536153660366036153675 【 解 析 】 614 433 922 返 回 即 和 的 最 大 公 约 数 是 . 即 的 最 大 公 约 数 是 .614 433 3615 36153620362036153635363536153650365036153665366536153680 ; ,; 365365361036103653615365 922433614 , 【 评 析 】 本 题 考 查 更 相 减 损 术 . 3615 返 回 2.用 更 相 减 损 之 术 求 98和 63的 最 大 公 约 数 . 【 分 析 】 由 于 63不 是 偶 数 ,把 98和 63以 大 数 减 小 数 ,并辗 转 相 减 . 【 解 析 】 98-63=35,63-35=28,35-28=7,28-7=21,21-7=14,14-7=7.所 以 98和 63的 最 大 公 约 数 为 7. 【 评 析 】 等 值 算 法 是 当 大 数 减 去 小 数 的 差 等 于 小 数 时停 止 减 法 ,较 小 的 数 就 是 所 求 的 最 大 公 约 数 . 返 回 有 甲 、 乙 、 丙 三 种 溶 液 分 别 重 147 kg,343 kg,133 kg,现要 将 它 们 分 别 全 部 装 入 小 瓶 中 ,每 个 小 瓶 装 入 液 体 的 质 量相 同 ,问 每 瓶 最 多 装 多 少 ? 解 ： 由 题 意 ,每 小 瓶 装 的 溶 液 的 质 量 应 是 三 种 溶 液 质量 的 最 大 公 约 数 ,先 求 147与 343的 最 大 公 约 数 : 343-147=196, 196-147=49, 147-49=98, 98-49=49. 所 以 147与 343的 最 大 公 约 数 是 49. 再 求 49与 133的 最 大 公 约 数 : 133-49=84, 84-49=35, 49-35=14, 35-14=21, 21-14=7, 14-7=7. 所 以 147,343,133的 最 大 公 约 数 为 7. 故 每 瓶 最 多 装 7 kg. 返 回 学 点 三 秦 九 韶 算 法1.已 知 函 数 f(x)=x4-2x2-5x+6,用 秦 九 韶 算 法 求 f(10)的 值 . 【 分 析 】 本 题 考 查 秦 九 韶 算 法 求 值 的 步 骤 .根 据 秦 九韶 算 法 ,我 们 需 要 处 理 多 项 式 的 系 数 以 及 最 高 次 项 的 系 数 .该 多 项 式 函 数 没 有 中 间 的 三 次 项 ,应 先 把 多 项 式 变 形 为f(x)=x4+0 x3-2x2-5x+6再 处 理 . 【 解 析 】 v0=1, v1=1 10+0=10, v 2=10 10-2=98, v3=98 10-5=975, v4=975 10+6=9 756, f(10)=9 756. 返 回 【 评 析 】 当 多 项 式 函 数 中 间 出 现 空 项 要 以 系 数 为 零 的齐 次 项 补 齐 .否 则 ,在 处 理 问 题 时 ,多 项 式 运 算 的 次 数 不 会达 到 对 应 的 次 数 .因 此 ,我 们 在 应 用 秦 九 韶 算 法 求 多 项 式 的值 时 ,先 要 依 次 从 最 高 次 项 往 常 数 项 观 察 各 项 是 否 都 存 在 ,再 进 行 处 理 . 返 回 2.求 多 项 式 f(x)=x5+5x4+10 x3+10 x2+5x+1当 x=-2时 的 值 . 【 解 析 】 解 ： 先 改 写 多 项 式 ,再 由 内 向 外 计 算 . f(x)=x5+5x4+10 x3+10 x2+5x+1 =(x+5)x+10)x+10)x+5)x+1. 而 x=-2,所 以 有 : v0=1,v1=v0 x+a4=1 (-2)+5=3, v2=v x+a3=3 (-2)+10=4, v 3=v2x+a2=4 (-2)+10=2, v4=v3x+a1=2 (-2)+5=1, v5=v4x+a0=1 (-2)+1=-1. 所 以 当 x=-2时 ， 多 项 式 的 值 为 -1. 返 回 【 分 析 】 本 题 考 查 秦 九 韶 算 法 . 【 评 析 】 利 用 秦 九 韶 算 法 计 算 多 项 式 的 值 关 键 是 能 正确 地 将 所 给 多 项 式 改 写 ,然 后 由 内 向 外 逐 次 计 算 ,由 于 后 项计 算 需 用 到 前 项 的 结 果 ,故 应 认 真 、 细 心 ,确 保 中 间 结 果 的准 确 性 . 返 回 已 知 一 个 5次 多 项 式 为 :f(x)=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8,用 秦 九 韶 算 法 求 这 个 多 项 式 当 x=5时 的 值 .解 ： f(x)=(5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8, 当 x=5时 , v0=5; v1=5 5+2=27; v2=27 5+3.5=138.5; v3=138.5 5-2.6=689.9; v 4=689.9 5+1.7=3 451.2; v5=3 451.2 5-0.8=17 255.2. 所 以 当 x=5时 ,多 项 式 的 值 为 17 255.2. 返 回 学 点 四 进 位 制将 8进 制 数 314 706(8)转 化 为 十 进 制 数 . 【 分 析 】 本 题 考 查 进 位 制 的 换 算 步 骤 及 注 意 事 项 .利用 把 k进 制 数 转 化 为 十 进 制 数 的 一 般 方 法 就 可 以 把 8进 制 数314 706(8)化 为 十 进 制 数 . 【 解 析 】 314 706(8)=3 85+1 84+4 83+7 82+081+6 80=104 902. 所 以 314 706(8)化 为 十 进 制 数 是 104 902. 8进 制 数 314 706中 共 有 6位 ,因 此 可 令 a=314 706,k=8,n=6. 【 评 析 】 本 题 考 查 进 位 制 . 返 回 将 389化 成 四 进 制 数 的 末 位 是 . 1( ,末 位 是 第 一 个 余 数 ,389=12 011(4).注 意 :余 数 自 下 而 上 排 列 .)4 389 余4 97 14 24 14 6 04 1 2 0 1 第 一 个 余 数 返 回 1.如 何 理 解 辗 转 相 除 法 ? 辗 转 相 除 法 是 西 方 古 代 数 学 中 的 一 个 典 型 算 法 .更 相减 损 术 和 秦 九 韶 算 法 都 是 我 国 古 代 数 学 中 的 著 名 算 法 ,而排 序 法 和 进 位 制 算 法 是 计 算 机 科 学 中 普 遍 使 用 的 算 法 .这些 算 法 案 例 不 仅 蕴 涵 着 深 刻 的 算 法 思 想 ,而 且 也 更 能 体 现出 算 法 的 重 要 性 和 有 效 性 .因 此 ,要 切 实 理 解 算 法 案 例 的 内容 及 具 体 算 法 的 关 键 步 骤 . 返 回 2.如 何 掌 握 进 位 制 ? 进 位 制 是 一 种 记 数 方 式 ,用 有 限 的 数 字 在 不 同 的 位 置表 示 不 同 的 数 值 .可 使 用 数 字 符 号 的 个 数 称 为 基 数 ,基 数 为n,即 可 称 n进 位 制 ,简 称 n进 制 .现 在 最 常 用 的 是 十 进 制 ,通常 使 用 10个 阿 拉 伯 数 字 09进 行 记 数 . 对 于 任 何 一 个 数 ,我 们 可 以 用 不 同 的 进 位 制 来 表 示 .比如 :十 进 数 57,可 以 用 二 进 制 表 示 为 111001,也 可 以 用 八 进制 表 示 为 71,用 十 六 进 制 表 示 为 39,它 们 所 代 表 的 数 值 都 是一 样 的 . 表 示 各 种 进 制 数 一 般 在 数 字 右 下 角 加 注 来 表 示 .如111001 (2)表 示 二 进 制 数 ,34(5)表 示 5进 制 数 .电 子 计 算 机 一般 都 使 用 二 进 制 . 返 回 1.理 解 辗 转 相 除 法 与 更 相 减 损 术 求 最 大 公 约 数 的 方 法 ;理 解 秦 九 韶 算 法 的 特 点 ;理 解 两 种 排 序 法 的 排 序 步 骤 及 计算 机 程 序 设 计 ,各 进 位 制 表 示 数 的 方 法 及 各 进 位 制 之 间 的转 换 . 2.把 辗 转 相 除 法 与 更 相 减 损 术 的 方 法 转 换 成 程 序 框 图与 程 序 语 言 ;秦 九 韶 算 法 的 先 进 性 理 解 ;除 k去 余 法 的 理 解以 及 各 进 位 制 之 间 转 换 的 程 序 框 图 的 设 计 . 返 回
展开阅读全文