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二 、 定 积 分 的 分 部 积 分 法 第 三 节不 定 积 分一 、 定 积 分 的 换 元 法 换 元 积 分 法分 部 积 分 法 定 积 分 换 元 积 分 法分 部 积 分 法定 积 分 的 换 元 法 和 分 部 积 分 法 第 五 章 定 理 1则 有 ba xxf d)( 定 积 分 换 元 公 式假 设 函 数 上或在 ),(, )( t f )(t tt d)(一 、 定 积 分 的 换 元 法 ,)( baCxf 函 数满 足 条 件 :(1) (2) 具 有 连 续 导 数 ,且 其 值 域 , baR definite integral by substitution;)(,)( ba )(tx 证 ,)( baCxf 因 为 ),(xF xxfba d)( )(dd tFt 是故 )(tF tttf d)()( )()( aFbF 故 有 tttfxxfba d)()(d)( 则由 于 tttfxxfba d)()(d)( )(tF )()( ttf 的)()( ttf N-L公 式)()( aFbF N-L公 式则 )()( FF 所 以 存 在 原 函 数原 函 数 ,)(t 注 由 于 积 分 限 做 了 相 应 的故 积 出 来 的 原 函 数 不 必 回 代 ;求 定 积 分 的 方 法 有 两 种 方 法 : 可 用 N-L公 式 ;从 换 元 的 观 点 . tttfxxfba d)()(d)( (1) ,时当 换 元 公 式 仍 成 立 ;(2) 在 定 积 分 换 元 公 式 中 ,改 变 ,(3) 例 1. 计 算 ).0(d0 22 axxaa解 : 令 ,sintax 则 ,dcosd ttax ;0,0 tx 时当 ., 2 tax 时 原 式 = 2a tta d)2cos1(2 202 )2sin21(22 tta 02 42a20 ttdcos2 22 xay xoy aS且 例 2. 计 算 xdxxcossin20 4 xt sin xdxdt cos 12;00 txtx 时 ，当时 ，当 515cossin 10510 420 4 tdttxdxx解 设 ， 则 ， 于 是. 例 3. 计 算 ee xxx dx ln1ln ee xxx dx ln1ln ee xx xd ln1ln ln e e xx xd ln1ln ln ee xxd 2ln1 ln2 2lnarcsin2 e ex解 例 4. 计 算 .d12 240 xxx 解 : 令 ,12 xt 则 ,dd,2 12 ttxtx ,0时当 x ,4时x .3t 原 式 = tttt d231 212 tt d)3(21 31 2 )331(21 3 tt 13 322;1t 且 例 5. 已 知 duufux x 0 xf xdttxtfx cos10 dxxf20 txu dudtuxt ,，时 ， xut 0 0 uxt 时 ，当 dttxtf x 0 duuufduuxf xx 00 连 续 ，求 .解 令 ， 则 有且 当从 而 ufuxx 0 xduuufduufx xx cos100 xxxfxxfduufx sin0 xduuf x sin0 2x 120 duuf 120 dxxf 于 是 有两 边 对 x求 导 ， 得 即 在 上 式 中 ， 令得 ， 即 例 5续 例 6. ,)( aaCxf 设证 :(1) 若 ,)()( xfxf aaa xxfxxf 0 d)(2d)(则 xxfaa d)(2) 若 ,)()( xfxf 0d)( aa xxf则 xxfa d)(0 xxfa d)(0ttfa d)(0 xxfa d)(0 xxfxfa d)()(0 ,d)(2 0 xxfa 时)()( xfxf 时)()( xfxf ,0 偶 倍 奇 零 tx 令 例 7.计 算 .11 cos211 22 dxx xxx dxxxxdxxx 11 211 22 11 cos11 2 dxxx 1 0 22114 dxx xx 10 2 22 11 114 dxxdxx 10 210 2 144114 4解 原 式 . 可 得 : 由 定 积 分 的 几 何 意 义 (面 积 的 代 数 和 )也 可 得 .,)( 上 连 续在当 aaxf 且 有,)()1( 为 偶 函 数xf 则 aa a xxfxxf 0 d)(2d)( ,)()2( 为 奇 函 数xf 则 aa xxf 0d)( aa a xxfxfxxf 0 d)()(d)(由 xxx dsin4 11 2d4 xx xxx xx d12sin55 24 23 xx d41 2 0 0例 2 0 证 (1) tx 2 例 证 明上 连 续在若 ,1,0)(xf 2020 ;d)(cosd)(sin)1( xxfxxf 00 ,d)(sin2d)(sin)2( xxfxxxf由 此 计 算 0 2 .dcos1 sin xxxx设 02 20 d)(cos ttf 20 d)(cos xxf02 tx dd 证 毕 .20 d)(sin xxf ttf d2sin tx tx dd 0 d)(sin xxxf 0 d)(sin)( ttft设 0 d)(sin xxxf .d)(sin2 0 xxf证 由 此 计 算 0 2 .dcos1 sin xxxx 00 d)(sin2d)(sin)2( xxfxxxf 0 d)(sin ttf 0 d)(sin ttft0 证 明上 连 续在若 ,1,0)(xf 0 x x x ttft d)sin()( .d)(d)( ,)(0 为 任 何 常 数则的 周 期是 连 续 函 数如 果 axxfxxf xfTTaa T 这 个 公 式 就 是 说 ： 周 期 函 数 在 任 何 长 为 一 周 期 的区 间 上 的 定 积 分 都 相 等 .(留 给 同 学 证 )定 积 分 的 换 元 法 和 分 部 积 分 法 二 、 定 积 分 的 分 部 积 分 法 定 理 2. ,)(,)( 1 baCxvxu 设 则)()(d)()( xvxuxxvxuba ab ba xxvxu d)()(证 : )()()()()()( xvxuxvxuxvxu )()( xvxu ab xxvxuxxvxu baba d)()(d)()( ba xxvxu d)()( )()( xvxu ab ba xxvxu d)()(上 积 分两 端 在 , ba 例 9.计 算 10 dxe x tdtdxtx 2,2 10 10 1022 ttx etdtdtedxe 222 101010 ttt eedtete,tx 解 令 则0 x 0t当 时 ， 1x 1t； 当 时 ，于 是 例 10.计 算解 4141 ln2ln xxddxxx xdxxx ln2ln2 4 141 dxxx 124ln4 41 14ln444ln4 41 x dxxx41 ln 例 11.计 算解 原 式 30 arctanxdx 3030 arctanarctan xxdxx dxxx 30 213arctan3 3021ln2133 x 2ln33 . 20 dcos ttn dxx例 12. 证 明 20 dsin xxI nn证 : 令 20 dcos xxn ,22143231 nnnn n 为 偶 数,3254231 nnnn n 为 奇 数,2 xt 则20 dsin xxn 0 22 d)(sin ttn令 ,sin 1 xu n ,sinxv 则 ,cossin)1( 2 xxnu nxv cos sincos 1 xxI nn 02 20 22 dcossin)1( xxxn n0 20 22 dcossin)1( xxxnI nn 20 22 d)sin1(sin)1( xxxn n2)1( nIn nIn )1( 由 此 得 递 推 公 式 21 nnnn II于 是 mI2 mm2 12 12mI 122 mm而 0I 20 d x ,2 20 dsin xxI nn 201 dsin xxI 1故 所 证 结 论 成 立 . 0I 1I22 mI 22 32 mm 42 mI 214312 mI 12 22 mm 32 mI 3254 例 xxxx dsindcos 20 1020 10 22 00 dcosdsin xxxxI nnn nnnnn nnnnn ,3254231 ,22143231 为 正 偶 数为 大 于 1的 正 奇 数上 公 式 在 计 算 其 它 积 分 时 可 以 直 接 引 用 . 注 5476 32 16587 43 21 2 xxxx dcosdsin 20 720 7 109 例 xxx d4 220 2 解 ,sin2 tx 令 原 式 ttt d)sin(sin16 20 42 用 公 式tcos2 n为 正 偶 数 22143231dsin20 nnnnxxn定 积 分 的 换 元 法 和 分 部 积 分 法02 t2sin402 ttx dcos2d ttdcos2 xxee dln)1( 1计 算解 xxee dln1用 定 积 分 的 分 部 积 分 公 式e22 e11e1 xxdln xxdln 定 积 分 的 换 元 法 和 分 部 积 分 法 43解 ,为 周 期由 于 被 积 函 数 以 x4sin 则xxxe d)tan1(sin4 xxx d)tan1(sin2 4 xxdsin4 20 4 221434 xxtansin4 是 奇 函 数 , 是 偶 函 数 ,原 式 e e 22 周 期 函 数 在 任 何 长 为 一 周 期 的 区 间 上的 定 积 分 都 相 等 .2 定 积 分 的 换 元 法 和 分 部 积 分 法 n为 正 偶 数 22143231dsin20 nnnnxxn xxxee d)tan1(sin)2( 2 4 计 算 xxxe d)tan1(sin2 4 xxx ee d)tan1(sin4 定 积 分 的 分 部 积 分 公 式 baba ba uvuvvu dd定 积 分 的 换 元 法 和 分 部 积 分 法三 、 小 结定 积 分 的 换 元 公 式xxfba d)( tttf d)()( 奇 、 偶 函 数 在 对 称 区 间 上 的 定 积 分 性 质三 角 函 数 的 定 积 分 公 式周 期 函 数 的 定 积 分 公 式 思 考 与 练 习1.提 示 : 令 ,txu _d)(sindd 0 100 ttxx x 则 ttxx d)(sin0 100 ud 0 x u100sinx100sin 2. 设 ,0)1(,)( 1 fCtf ,lnd)(31 xttfx ).(ef求解 法 1 31 d)(ln x ttfx )1()( 3 fxf )( 3xf,3xu 令 3ln)( uuf 得 uln31 31)( ef解 法 2 对 已 知 等 式 两 边 求 导 ,xxfx 132 )(3 ,3xu 令 uuf 31)( 得 )1(d)()( 1 fuufef e e u u1 131 d 31 思 考 : 若 改 题 为 xttfx lnd)(31 3 ?)( ef提 示 : 两 边 求 导 , 得331)( xxf e xxfef 1 d)()(得 3. 设 ,1,0)( 连 续在xf ,3)2(,1)0( ff且 ,5)2( f求 .d)2(10 xxfx 解 : xxfx d)2(10 )2(d21 10 xfx 10)2(21 xfx xxf d)2(10 25 10)2(41 xf2 (分 部 积 分 ) 备 用 题1. 证 明 证 ： 2 dsin)( xx xxxf 是 以 为 周 期 的 函 数 . 2 dsin)( xx uuxf tu令 2 d)sin( xx tt 2 dsinxx tt 2 dsinxx xx)(xf)(xf 是 以 为 周 期 的 周 期 函 数 . 解 ：2. 右 端 ,)( 上 有 连 续 的 二 阶 导 数在设 baxf )(af且试 证 baba xxfbxaxxxf d)()(21d)( ba xfbxax )(d)(21 abxfbxax )()(21 xbaxxfba d)2)(21 分 部 积 分 积 分)(d)2(21 xfbaxba 再 次 分 部 积 分xxfba d)( abxfbax )()2(21 = 左 端,0)( bf
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