定积分的简单应用体积

1 体 会 利 用 定 积 分 求 体 积 的 思 想 方 法 2 会 利 用 定 积 分 求 简 单 几 何 体 的 体 积 3 体 会 极 限 思 想 的 应 用 【核心扫描】1 利 用 定 积 分 求 简 单 几 何 体 的 体 积 (重点)2 常 与 旋 转 体 的 概 念 等 综 合 考 查 (重点、难点) 3 2 简 单 几 何 体 的 体 积 【课标要求】 自学导引 (1)简 单 旋 转 体 体 积 的 求 解 步 骤 画 出 旋 转 前 的 平 面 图 形 和 旋 转 体 的 图 形 ； 确 定 轴 截 面 图 形 的 范 围 ， 即 求 交 点 坐 标 ， 确 定 积 分 上 、 下限 ； 确 定 被 积 函 数 ； 确 定 旋 转 体 体 积 的 表 达 式 (用 定 积 分 表 示 )； 求 出 定 积 分 ， 即 旋 转 体 的 体 积 2简单旋转体体积求法 提示本节定积分在几何中主要是求平面图形的面积，类似求面积，也可以利用定积分求空间几何体的体积，一般情况下，其旋转轴为x轴，根据旋转体的定义，旋转体的形成有两个要素：一是被旋转的平面图形，二是旋转轴柱、锥、球等旋转体中被旋转的平面图形都是直线或圆弧，而在利用定积分求旋转体的体积问题中则是一般的曲线：如何类比平面图形的面积的求法求几何体的体积？ 设 由 曲 线 y f(x)， 直 线 x a， x b与 x轴 围 成 的 平 面 图 形(如 图 甲 绕 x轴 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体 的 体 积 为 V.名师点睛 1简单几何体的体积计算 在 区 间 a， b内 插 入 n 1个 分 点 ， 使 a x0 x1 x2 xn 1 xn 1， 把 曲 线 y f(x)， axb分 割 成 n个 垂 直 于 x轴 的 “ 小 长条 ” ， 如 图 甲 所 示 设 第 i个 “ 小 长 条 ” 的 宽 是 xi xi xi 1， i 1,2， ， n.这 个 “ 小 长 条 ” 绕 x轴 旋 转 一 周 就 得 到 一 个 厚 度 是xi的 小 圆 片 ， 如 图 乙 所 示 当 xi很 小 时 ， 第 i个 小 圆 片 近 似 于 底面 半 径 为 yi f(xi)的 小 圆 柱 ， 因 此 ， 第 i个 小 圆 台 的 体 积 Vi近 似 为 Vi f2(xi)xi.该 几 何 体 的 体 积 V等 于 所 有 小 圆 柱 的 体 积 和Vf 2(x1)x1 f2(x2)x2 f2(xi)xi f2(xn)xn这 个 问 题 是 积 分 问 题 ， 则 有 (1)找 准 母 线 的 表 达 式 及 被 旋 转 的 平 面 图 形 ， 它 的 边 界 曲 线 直接 决 定 了 被 积 函 数 (2)分 清 端 点 (3)确 定 几 何 体 的 构 造 (4)利 用 定 积 分 进 行 体 积 表 示 2利用定积分求旋转体的体积问题的关键在于3一个以y轴为中心轴的旋转体的体积 得 到 一 个 几 何 体 ， 求 它 的 体 积 思路探索 由旋转体体积的求法可知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积题型一求简单几何体的体积【例1】 给 定 一 个 边 长 为 a的 正 方 形 ， 绕 其 一 边 旋 转 一 周 ， 【训练1】 如 图 所 示 ， 给 定 直 角 边 为 a的 等 腰 直 角 三 角 形 ， 绕 y轴 旋 转 一 周 ， 求 形 成 的 几 何 体 的 体 积 思路探索 解答本题可先由解析式求出交点坐标把组合体分开来求体积题型二求组合型几何体的体积【例2】 如 图 ， 求 由 抛 物 线 y2 8x(y 0)与 直 线 x y 6 0 及 y 0所 围 成 的 图 形 绕 x轴 旋 转 一 周 所 得 几 何 体 的 体 积 解决组合体的体积问题，关键是对其构造进行剖析，分解成几个简单几何体体积的和或差，然后，分别利用定积分求其体积 形 绕 x轴 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体 的 体 积 【训练2】 求 由 曲 线 y 2x， 直 线 x 1与 x轴 围 成 的 平 面 图 审题指导 解题的关键是把所求旋转体体积看作两个旋转体体积之差题型三有关体积的综合问题 【题后反思】 结合图形正确地把求旋转体体积问题转化为求定积分问题是解决此类问题的一般方法 误区警示忽视了对变量的讨论而致错 掌握对定积分的几何意义，不要忽视了变量a的讨论 利用定积分求旋转体的体积问题的关键在于：(1)找准母线的表达式及被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定了被积函数(2)分清端点(3)确定几何体的构造(4)利用定积分进行体积表示 单击此处进入 活页规范训练