定积分的概念、性质

5.1 定 积 分 的 概 念 与 性 质三 、 定 积 分 的 性 质 一 、 定 积 分 问 题 举 例曲 边 梯 形 设 函 数 yf(x)在 区 间 a, b上 非 负 、 连 续 . 由 直 线 xa、 xb、 y0及 曲 线 yf (x)所 围 成 的 图 形 称 为曲 边 梯 形 , 其 中 曲 线 弧 称 为 曲 边 . 1.曲 边 梯 形 的 面 积 观 察 与 思 考 在 曲 边 梯 形 内 摆 满 小 的 矩 形 , 当 小 矩 形 的 宽 度 减 少 时 , 小 矩 形 面 积 之 和 与 曲 边 梯 形 面 积 之 间 的 误 差 将 如 何 变 化 ? 怎 样 求 曲 边 梯 形 的 面 积 ？ ni ii xfA 10 )(lim . 求 曲 边 梯 形 的 面 积 (1)分 割 : ax0 x1 x2 xn1 xn b, xixixi1; 小 曲 边 梯 形 的 面 积 近 似 为 f(i)xi (xi1ixi); (2)近 似 代 替 : (4)取 极 限 : 设 maxx1, x2, xn, 曲 边 梯 形 的 面 积 为 (3)求 和 : 曲 边 梯 形 的 面 积 近 似 为 ; ni ii xfA 10 )(lim . 以 直 代 曲 2.变 速 直 线 运 动 的 路 程 已 知 物 体 直 线 运 动 的 速 度 vv(t)是 时 间 t 的 连 续 函 数 , 且v(t)0, 计 算 物 体 在 时 间 段 T1, T2内 所 经 过 的 路 程 S.(1)分 割 : T1t0t1t2 tn1tnT2, tititi1; (2)近 似 代 替 : 物 体 在 时 间 段 ti1, ti内 所 经 过 的 路 程 近 似 为 Siv(i)ti ( ti1 iti ); 物 体 在 时 间 段 T1, T2内 所 经 过 的 路 程 近 似 为 (3)求 和 : (4)取 极 限 : 记 maxt 1, t2, tn, 物 体 所 经 过 的 路 程 为 ni ii tvS 1 )( ; ni ii tvS 10 )(lim . 以 不 变 代 变 v定 积 分 的 定 义在 小 区 间 xi1, xi上 任 取 一 点 i (i1, 2, n), ni ii xf1 )( ; 作 和maxx1, x2,xn; 记 xixixi1 (i1, 2, n), ax0 x1x2 xn1xnb; 在 区 间 a, b内 插 入 分 点 : 设 函 数 f(x)在 区 间 a, b上 有 界 . 如 果 当 0时 , 上 述 和 式 的 极 限 存 在 , 且 极 限 值 与 区 间 a, b的 分 法 和 i的 取 法 无 关 , 则 称 此 极 限 为 函 数 f(x)在 区 间 a, b上ba dxxf )( , 的 定 积 分 , 记 为 ni iiba xfdxxf 10 )(lim)( . 即 二 、 定 积 分 定 义 定 积 分 各 部 分 的 名 称 积 分 符 号 , f(x) 被 积 函 数 , f(x)dx 被 积 表 达 式 , x 积 分 变 量 , a 积 分 下 限 , b 积 分 上 限 , a, b积 分 区 间 ， ni iiba xfdxxf 10 )(lim)( . 二 、 定 积 分 定 义 ni ii xf1 )( 积 分 和 . v定 积 分 的 定 义 二 、 定 积 分 定 义 根 据 定 积 分 的 定 义 , 曲 边 梯 形 的 面 积 为 ba dxxfA )( . 变 速 直 线 运 动 的 路 程 为 dttvS TT )(21 . bababa duufdttfdxxf )()()( . 说 明 ： 定 积 分 的 值 只 与 被 积 函 数 及 积 分 区 间 有 关 , 而 与 积 分 变量 的 记 法 无 关 , 即v定 积 分 的 定 义 ni iiba xfdxxf 10 )(lim)( . v函 数 的 可 积 性 如 果 函 数 f(x)在 区 间 a, b上 的 定 积 分 存 在 , 则 称 f(x)在 区间 a, b上 可 积 . 定 理 1 如 果 函 数 f(x)在 区 间 a, b上 连 续 , 则 函 数 f(x)在 区 间 a, b上 可 积 . 定 理 2 如 果 函 数 f(x)在 区 间 a, b上 有 界 , 且 只 有 有 限 个 间 断 点 , 则 函 数 f(x)在 区 间 a, b上 可 积 . ni iiba xfdxxf 10 )(lim)( . 二 、 定 积 分 定 义v定 积 分 的 定 义 例 1 用 定 积 分 表 示 极 限 .11lim 1 nin nin解 nin nin 1 11lim nninin 11lim 1 i ixxxd110 x0 1ni 1 ni二 、 定 积 分 定 义v定 积 分 的 定 义 ni iiba xfdxxf 10 )(lim)( . 注 : 设 f (x)在 0, 1上 连 续 , 则 有 101 )()(1lim dxxfnifnnin 二 、 定 积 分 定 义v定 积 分 的 定 义 ni iiba xfdxxf 10 )(lim)( . ix i 这 是 因 为 bani iini iiba dxxfxfxfdxxf )()(lim)(lim)( 1010 . Axxfxf ba d)(,0)( 曲 边 梯 形 面 积 ba xxfxf d)(,0)( 曲 边 梯 形 面 积 的 负 值A定 积 分 的 几 何 意 义 a by x1A 2A 3A 4A 5A54321d)( AAAAAxxfba 各 部 分 面 积 的 代 数 和定 积 分 的 几 何 意 义 Axxfxf ba d)(,0)( 曲 边 梯 形 面 积 ba xxfxf d)(,0)( 曲 边 梯 形 面 积 的 负 值A 例 2 xx d110 2 求解 4 21 xy o xy 11 xx d110 2例 3 求 极 限 ).)1(1(lim 2 2222 nnnnnn 解 原 式 )1(1(lim 2 222 2222 n nnnnnnnn nin nin1 2)(11lim xx d11 0 2 .4 101 )()(1lim dxxfnifnnin (1)当 ab 时 , 0)( ba dxxf ; v两 点 规 定 (2)当 ab 时 , abba dxxfdxxf )()( . 三 、 定 积 分 的 性 质 ba dxxgxf )()( ni iii xgf10 )()(lim ni iini ii xgxf 1010 )(lim)(lim baba dxxgdxxf )()( . 这 是 因 为 ba dxxgxf )()( ni iii xgf10 )()(lim ni iini ii xgxf 1010 )(lim)(lim baba dxxgdxxf )()( . 三 、 定 积 分 的 性 质 性 质 1 bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()()( . 性 质 1 三 、 定 积 分 的 性 质 性 质 1 bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()()( . 性 质 1 性 质 2 性 质 2 baba dxxfkdxxkf )()( . 性 质 3 性 质 3 bccaba dxxfdxxfdxxf )()()( . 注 ： 值 得 注 意 的 是 不 论 a, b, c的 相 对 位 置 如 何 上 式 总 成 立 . 三 、 定 积 分 的 性 质性 质 1 性 质 2 性 质 3 性 质 4 性 质 4 abdxdx baba 1 . 性 质 3 bccaba dxxfdxxfdxxf )()()( . 性 质 1 bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()()( . 性 质 2 baba dxxfkdxxkf )()( . ba dxxf 0)( (ab). 推 论 1 如 果 在 区 间 a, b上 f (x)g(x), 则 ba ba dxxgdxxf )()( (ab). 这 是 因 为 g(x)f(x)0, 从 而 ba baba dxxfxgdxxfdxxg 0)()()()( , ba ba dxxgdxxf )()( . 所 以 如 果 在 区 间 a, b上 f (x)0, 则 性 质 5 即 ba ba dxxfdxxf |)(|)(| . 这 是 因 为 |f(x)|f(x)|f(x)|, 所 以 ba dxxf 0)( (ab). 推 论 1 如 果 在 区 间 a, b上 f (x)g(x), 则 ba ba dxxgdxxf )()( (ab). 如 果 在 区 间 a, b上 f (x)0, 则 性 质 5 ba ba dxxfdxxf |)(|)(| (ab). 推 论 2 baba ba dxxfdxxfdxxf |)(|)(|)(| , 推 论 1 如 果 在 区 间 a, b上 f (x)g(x), 则 如 果 在 区 间 a, b上 f (x)0, 则 性 质 5 推 论 2 性 质 6 设 M及 m分 别 是 函 数 f(x)在 区 间 a, b上 的 最 大 值 及 最小 值 , 则 ba abMdxxfabm )()()( (ab). ba dxxf 0)( (ab). ba ba dxxgdxxf )()( (ab). ba ba dxxfdxxf |)(|)(| (ab). 例 4 试 证 : .2dsin1 20 xx x证 明 设 )(xf ,sinx x 则 在 ),0( 2 上 , 有 )(xf 2 sincos x xxx )tan( xx 2cosx x 0)0()()( fxff 2即 2 ,1)( xf ),0(x 2故 xxxfx d1d)(d 222 000 2 即 2dsin1 20 xx x 如 果 函 数 f(x)在 闭 区 间 a, b上 连续 , 则 在 积 分 区 间 a, b上 至 少 存 在 一 个 点 , 使 下 式 成 立 : 这 是 因 为 , 由 性 质 6 性 质 7(定 积 分 中 值 定 理 ) ba abfdxxf )()( . 积 分 中 值 公 式 . ba abMdxxfabm )()()( , 即 ba Mdxxfabm )(1 , 由 介 值 定 理 , 至 少 存 在 一 点 a, b, 使 ba dxxfabf )(1)( , 两 端 乘 以 ba即 得 积 分 中 值 公 式 . )(f注 : 无 论 从 几 何 上 , 还 是 从 物 理 上 , 都 容 易 理 解平 均 值 公 式求 连 续 变 量 的 平 均 值 要 用 到 . ba xxfabf d)(1)( )( ba .,)( 上 的 平 均 值在 区 间就 是 baxf 如 果 函 数 f(x)在 闭 区 间 a, b上 连续 , 则 在 积 分 区 间 a, b上 至 少 存 在 一 个 点 , 使 下 式 成 立 : 性 质 7(定 积 分 中 值 定 理 ) ba abfdxxf )()( . 积 分 中 值 公 式 . 例 5 计 算 从 0 秒 到 T秒 这 段 时 间 内 自 由 落 体 的 平 均速 度 . 解 已 知 自 由 落 体 速 度 为tgv 故 所 求 平 均 速 度v 2211 TgT 2TgT ttg0 d01T o tgv v T t 221 TgS 例 6 求解 .arctan1lim 2 xxx dttt t 2 arctan1xx dttt t )2(arctan1 xx )2( xx ,arctan12 . 2 arctan1lim xxx dttt t arctan12lim 作 业 习 题 51 (P233): 6.(1) (3) 8.(2) (4)