中考压轴题存在性的探究

u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 第 二 部 分 题 型 研 究题 型 五 函 数 与 几 何图 形 的 综 合 题 u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 云 南 中 考 热 点 题 型 剖 析 函 数 与 几 何 图 形 综 合 的 存 在 性 问 题 ， 通常 分 为 5个 类 型 ：（ 1） 探 究 特 殊 三 角 形 的 存 在 性 ；（ 2） 探 究 面 积 最 值 的 存 在 性 ；（ 3） 探 究 面 积 等 量 关 系 的 存 在 性 ；（ 4） 探 究 三 角 形 相 似 的 存 在 性 ；（ 5） 探 究 特 殊 四 边 形 的 存 在 性 . u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 例 1 如 图 ， 在 平 面 直 角坐 标 系 中 ， 已 知 点 A的 坐 标 是（ 4， 0） ， 并 且 OA=OC=4OB，动 点 P在 过 A,B,C三 点 的 抛 物线 上 .（ 1） 求 抛 物 线 的 解 析 式 ； 例 1题 图 u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 【 思 路 分 析 】 已 知 点 A坐 标 ， 且 OA， OC， OB的关 系 可 确 定 A、 B、 C三 点 坐 标 ， 用 三 点 式 即 可求 出 抛 物 线 解 析 式 .解 ： 由 A（ 4， 0） 可 知 OA 4， OA OC 4OB. OC 4OB 4. C(0， 4),B(-1,0). u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y ax2+bx+c（ a 0） ， a-b+c=0从 而 得 方 程 组 16a+4b+c=0 c=4 a -1 b 3 c 4 此 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=-x 2+3x+4.解 得 u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 突 破 设 问 二 次 函 数 的 解 析 式 的 确 定 .【 备 考 指 导 】 1.确 定 二 次 函 数 的 解 析 式 一 般用 待 定 系 数 法 ， 由 于 二 次 函 数 解 析 式 有 三 个待 定 系 数 a， b， c（ a， h， k或 a,x1,x2） ， 因而 确 定 二 次 函 数 解 析 式 需 要 已 知 三 个 独 立 的条 件 : (1)已 知 抛 物 线 上 任 意 三 个 点 的 坐 标 时 ，选 用 一 般 式 .即 ： y=ax 2+bx+c（ a 0） ； u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 （ 2） 已 知 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 和 另 外 一 点 坐标 时 ， 选 用 顶 点 式 .即 :y=a(x-h)2+k（ a 0） ; （ 3） 已 知 抛 物 线 与 x轴 有 两 个 交 点 （ 或 横坐 标 x1,x2） 时 ， 选 用 交 点 式 .即 ：y=a(x-x1) (x-x2)（ a 0） . u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 2. 用 待 定 系 数 法 求 二 次 函 数 解 析 式 的 步 骤 ： （ 1） 设 二 次 函 数 的 解 析 式 ； （ 2） 根 据 已 知 条 件 ， 得 到 关 于 待 定 系 数 的方 程 组 ； （ 3） 解 方 程 组 ， 求 出 待 定 系 数 的 值 ， 从 而写 出 函 数 的 解 析 式 .【 针 对 训 练 】 见 本 书 第 1、 3、 5、 7、 8、 9、 10、12、 14、 15、 18、 19题 的 第 （ 1） 问 . u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 （ 2） 是 否 存 在 点 P，使 得 ACP是 以 AC为 直 角 边的 直 角 三 角 形 ， 若 存 在 ，求 出 所 有 符 合 条 件 的 点 P的坐 标 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理由 . u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 【 思 路 分 析 】 由 设 问 以 AC为 直 角 边 出 发 ， 分两 种 情 况 讨 论 ， 设 出 P点 坐 标 ， 再 根 据 直 角 三角 形 的 性 质 、 点 坐 标 特 征 求 点 P坐 标 .解 ： 存 在 .理 由 ： 第 一 种 情 况 ， 当 以 点 C为 直 角 顶 点 时 ，过 点 C作 CP1 AC交 抛 物 线 于 点 P1， 过 点 P1作 y轴 的 垂 线 ， 垂 足 为 M. u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 ACP1 90 ， MCP1+ ACO 90 ， ACO+ OAC=90 ， MCP1 OAC. OA OC. MCP1 OAC=45 ， MCP1 MP1C， MC MP 1. u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 设 P1（ m,-m2+3m+4） ,则 m=-m2+3m+4-4.解 得 m1=0(舍 去 )， m2 2， -m2+3m+4 -4+6+4 6，即 P1（ 2， 6） .第 二 种 情 况 ， 当 以 点 A为 直 角 顶 点 时 ， 过点 A作 AP2 AC交 抛 物 线 于 点 P2， 过 点 P2作 y轴 的垂 线 ， 垂 足 为 N， AP2交 y轴 于 F. u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 P2N x轴 ， CAO=45 ， OAP2=45 ， FP2N 45 ， AO OF， P2N NF.设 P2（ n,-n2+3n+4） ，则 -n -（ -n2+3n+4） -4. u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 解 得 ： n -2,n 4（ 舍 ） . -n2+3n+4 -6. P2（ -2， -6） .综 上 所 述 ， 存 在 点 P使 得 ACP是 以 AC为直 角 边 的 直 角 三 角 形 ， 点 P的 坐 标 为 （ 2， 6）或 （ -2， -6） . u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 突 破 设 问 探 究 特 殊 三 角 形 的 存 在 性 .【 备 考 指 导 】 1. 在 解 答 直 角 三 角 形 的 存 在 性问 题 时 ， 具 体 方 法 如 下 ：（ 1） 先 假 设 结 论 成 立 ， 根 据 直 角 顶 点 的 不 确定 性 ， 分 情 况 讨 论 ；（ 2） 找 点 ： 当 所 给 定 长 未 说 明 是 直 角 三 角 形的 斜 边 还 是 直 角 边 时 ， 需 分 情 况 讨 论 ；具 体 方 法 如 下 ： u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 当 定 长 为 直 角 三 角 形 的 直 角 边 时 ， 分别 以 定 长 的 某 一 端 点 作 定 长 的 垂 线 ， 与 数 轴或 抛 物 线 有 交 点 时 ， 此 交 点 即 为 符 合 条 件 的点 ； 当 定 长 为 直 角 三 角 形 的 斜 边 时 ， 以 此定 长 为 直 径 作 圆 ， 圆 弧 与 所 求 点 满 足 条 件 的数 轴 或 抛 物 线 有 交 点 时 ， 此 交 点 即 为 符 合 条件 的 点 ； u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 （ 3） 计 算 ： 把 图 形 中 的 点 坐 标 用 含 有 自 变量 的 代 数 式 表 示 出 来 ， 从 而 表 示 出 三 角 形 的 各 个边 （ 表 示 线 段 时 ， 注 意 代 数 式 的 符 号 ） .再 利 用 相似 三 角 形 的 性 质 得 出 比 例 式 ， 或 者 利 用 勾 股 定 理进 行 计 算 ， 或 者 利 用 三 角 函 数 建 立 方 程 求 点 坐 标 .【 针 对 训 练 】 见 本 书 第 12、 15、 17题 第 （ 3）问 . u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 2. 拓 展 设 问 ： 除 了 探 究 直 角 三 角 形 外 ，还 常 常 探 究 等 腰 三 角 形 的 存 在 性 ， 这 个 和 直角 三 角 形 的 类 似 ：（ 1） 假 设 结 论 成 立 ；（ 2） 找 点 ： 当 所 给 定 长 未 说 明 是 等 腰 三角 形 的 底 还 是 腰 时 ， 需 分 情 况 讨 论 ， 具 体 方法 如 下 ： u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 当 定 长 为 腰 时 ， 找 已 知 直 线 上 满 足 条 件 的点 时 ， 以 定 长 的 某 一 端 点 为 圆 心 ， 以 定 长 为 半 径画 弧 ， 若 所 画 弧 与 数 轴 或 抛 物 线 有 交 点 且 交 点 不是 定 长 的 另 一 端 点 时 ， 交 点 即 为 所 求 的 点 ； 若 所画 弧 与 数 轴 或 抛 物 线 无 交 点 或 交 点 是 定 长 的 另 一端 点 时 ， 满 足 条 件 的 点 不 存 在 ； u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 当 定 长 为 底 边 时 ， 根 据 尺 规 作 图 作 出 定 长的 垂 直 平 分 线 ， 若 作 出 的 垂 直 平 分 线 与 数 轴 或 抛物 线 有 交 点 时 ， 那 交 点 即 为 所 求 的 点 ， 若 作 出 的垂 直 平 分 线 与 数 轴 或 抛 物 线 无 交 点 时 ， 满 足 条 件的 点 不 存 在 ；以 上 方 法 即 可 找 出 所 有 符 合 条 件 的 点 . u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 （ 3） 计 算 ： 在 求 点 坐 标 时 ， 大 多 时 候 利用 相 似 三 角 形 求 解 ， 如 果 图 形 中 没 有 相 似 三角 形 ， 可 以 通 过 添 加 辅 助 线 构 造 相 似 三 角 形 ，有 时 也 可 利 用 直 角 三 角 形 的 性 质 进 行 求 解 .【 针 对 训 练 】 见 本 书 第 5、 11题 第 （ 3）问 . u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 (3)过 动 点 P作 PE垂 直 于 y轴 于 点 E,交 直 线AC于 点 D,过 点 D作 x轴 的 垂 线 ， 垂 足 为 F. 连 接EF,当 线 段 EF的 长 度 最 短 时 ,求 出 点 P的 坐 标 .例 1题 解 图 u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 （ 3） 过 动 点 P作 PE垂 直 于 y轴 于 点 E， 交 直 线 AC于点 D， 过 点 D作 x轴 的 垂 线 ， 垂 足 为 F.连 接 EF， 当线 段 EF的 长 度 最 短 时 ， 求 出 点 P的 坐 标 .解 ： 连 接 OD， 由 题 意 知 ， 四 边 形 OFDE为 矩 形 ，则 OD EF，根 据 垂 线 段 最 短 .当 OD AC时 ， OD最 短 ， 即 EF最 短 .由 （ 1） 知 ， 在 Rt AOC中 ， OC OA 4.则 2 2 2 24 4 4 2.AC OC OA u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 根 据 等 腰 三 角 形 性 质 ， D为 AC中 点 .又 DF OC， DF OC 2， 点 P的 纵 坐 标 为 2，从 而 得 -x2+3x+4=2.解 得 当 EF最 短 时 ， 点 P的 坐 标 分 别 为 或 121 23 17 3 17, .2 2x x 3 17( ,2)2 3 17( ,2)2 u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 例 2 （ 2014昆 明 ） 如图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ，抛 物 线 y ax2+bx-3(a 0)与 x轴 交 于 点A(-2， 0)、 B(4,0)两 点 ，与 y轴 交 于 点 C.（ 1） 求 抛 物 线 的 解 析 式 ； 例 2题 图 u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 【 思 路 分 析 】 用 待 定 系 数 法 求 出 抛 物 线 的 解 析式 ， 把 点 A、 B代 入 抛 物 线 解 析 式 联 立 方 程 组 ，求 出 系 数 a、 b,即 可 求 出 抛 物 线 的 解 析 式 .解 ： 把 A(-2， 0)， B(4,0)代 入 y=ax2+bx-3， 4a-2b-3=0 a = 16a+4b-3=0， b= 抛 物 线 的 解 析 式 为得 解 得 834334383 2 xxy u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 （ 2） 点 P从 A点 出 发 ， 在 线 段 AB上 以 每 秒 3个 单 位 长 度 的 速 度 向 B点 运 动 ， 同 时 点 Q从 B点出 发 ， 在 线 段 BC上 以 每 秒 1个 单 位 长 度 的 速 度向 C点 运 动 .其 中 一 个 点 到 达 终 点 时 ， 另 一 个 点也 停 止 运 动 .当 PBQ存 在 时 ， 求 运 动 多 少 秒 使 PBQ的 面 积 最 大 ， 最 大 面 积 是 多 少 ？ u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 【 思 路 分 析 】 求 这 个 三 角 形 的 面 积 ， 首 先 想 到的 是 用 三 角 形 面 积 的 基 本 公 式 ， 作 PB边 上 的 高 ，然 后 证 BHQ BOC， 利 用 相 似 三 角 形 的 性 质求 出 高 .当 PBQ存 在 时 ， 设 运 动 时 间 为 t秒 ， 用t表 示 出 S PBQ， 得 到 一 个 二 次 函 数 的 解 析 式 ，当 t= 时 ， S PBQ最 大 .ab2 u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 解 ： 设 运 动 时 间 为 t秒 ，则 AP=3t,BQ=t， PB=6-3t.由 题 意 得 ， C点坐 标 为 (0,-3)，在 Rt BOC中 ,BC= 5，如 解 图 ， 过 Q点 作 QH AB,垂 足为 H， 22 43 H例 2题 解 图 u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 QH CO， BHQ BOC， ， HQ= t，当 PBQ存 在 时 ， 0t2，BCBQOCHQ 53 1 1 3(6 3 )2 2 5PBQS PB QH t t.59109 2 tt u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 109 当 运 动 时 间 为 1秒 时 ， PBQ面 积 最 大 ， 最 大 面 积为 . 当 时 ， S PBQ最 大 ， 95 192 2 ( )10bt a 29 94 ( ) 0 ( ) 910 594 104 ( )10PBQS a 2最 大 4ac-b= u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 突 破 设 问 探 究 面 积 最 值 的 存 在 性 .【 备 考 指 导 】 探 究 最 值 的 存 在 性 问 题 :(1) 是 与 抛 物 线 有 关 的 三 角 形 或 是 与 抛物 线 有 关 的 四 边 形 ， 抛 物 线 三 角 形 就 是 三 角形 的 三 个 顶 点 都 在 抛 物 线 上 ， 同 样 ， 抛 物 线四 边 形 就 是 四 边 形 的 四 个 顶 点 都 在 抛 物 线 上 ，要 求 三 角 形 或 四 边 形 的 面 积 的 最 大 值 或 是 最小 值 . u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 解 决 这 类 问 题 的 基 本 步 骤 ：1. 首 先 要 确 定 所 求 三 角 形 或 四 边 形 面 积 最值 ， 可 设 动 点 运 动 的 时 间 t或 动 点 的 坐 标（ t,at2+bt+c） ；2. 求 三 角 形 面 积 最 值 时 要 用 含 t的 代 数 式表 示 出 三 角 形 的 底 和 高 ， 此 时 就 应 先 证 明 涉 及 到底 和 高 的 三 角 形 与 已 知 线 段 长 度 的 三 角 形 相 似 ，从 而 求 得 用 含 t的 代 数 式 表 示 的 底 和 高 ； u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 求 四 边 形 的 面 积 最 值 时 ， 常 用 到 的 方法 是 利 用 割 补 法 将 四 边 形 分 成 两 个 三 角 形 ，从 而 利 用 三 角 形 的 方 法 求 得 用 含 t的 代 数 式 表示 的 线 段 ；3. 用 含 有 未 知 数 的 代 数 式 表 示 出 图 形 面积 ； u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 4. 用 二 次 函 数 的 知 识 来 求 最 大 值 或 是 最小 值 .【 针 对 训 练 】 见 本 书 第 4、 11、 18题 第（ 2） 问 ， 第 9题 第 （ 3） 问 .拓 展 设 问 ： 线 段 最 值 问 题 .(2)无 论 是 线 段 和 的 最 小 值 或 是 周 长 的 最小 值 ， 还 有 两 条 线 段 差 的 最 大 值 . u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 解 决 这 类 问 题 最 基 本 的 定 理 就 是 “ 两 点 之 间线 段 最 短 ” ， 最 常 见 的 基 本 图 形 就 是 “ 水 渠 问题 ” ， 即 已 知 一 条 直 线 和 直 线 同 旁 的 两 个 点 ， 要在 直 线 上 找 一 点 ， 使 得 这 两 个 点 与 这 点 连 接 的 线段 之 和 最 小 ， 解 决 问 题 的 方 法 就 是 通 过 轴 对 称 作出 对 称 点 来 解 决 ；【 针 对 训 练 】 见 本 书 第 12题 第 （ 2） 问 、 第13、 18题 第 （ 3） 问 . u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 （ 3） 当 PBQ的 面 积 最 大 时 ， 在 BC下 方 的 抛物 线 上 存 在 点 K， 使 S CBK S PBQ 5 2,求 K点 坐标 . 【 思 路 分 析 】 如 解 图 ， 过 点 K作 KE y轴 ，交 BC于 点 E， 求 BCK面 积 的 最 简 单 的 方 法 是 用 含EK的 代 数 式 来 表 示 三 角 形 的 面 积 .设 点 K的 坐 标 ,即 可 得 到 EK与 m的 关 系 ， 再 由S CBK =S CEK+S BEK可 求 出 点 K的 坐 标 .)34383,( 2 mmm u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 解 ： 设 直 线 BC的 解 析式 为 y=kx+c(k 0),把 B(4,0),C(0,-3)代 入y=kx+c得 4k+c=0 k= 0k+c=-3 c=-3,解 得 EK34 例 2题 解 图 u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 直 线 BC的 解 析 式 为 y= x-3. 点 K在 抛 物 线 上 ，设 K点 坐 标 为 (m, ),过 点 K作 KE y轴 ， 交 BC于 点 E， 如 解 图 ,则 E点坐 标 为 (m, m-3), 4323 3 38 4m m 43 .2383)34383(343 22 mmmmmEK u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 由 （ 2） 知 当 PBQ的 面 积 最 大 时 ， S PBQ = , S CBK S PBQ =5 2, S CBK = ,又 S CBK = S CEK + S BEK = EK m+ EK (4-m)= 4 EK=2(- m 2+ m)=- m2+3m, 109492121 83 23 4321 u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 - m2+3m= ,解 得 ： m1=1,m2=3. K1(1,- ),K2(3,- ).【 难 点 突 破 】 本 小 问 的 难 点 有 两 个 ： 第 一 个难 点 是 求 出 EK的 长 ， 解 题 的 关 键 是 要 巧 妙 的 设 出点 K的 坐 标 ， 利 用 直 线 BC的 解 析 式 求 出 点 E的 坐 标即 可 ； 第 二 个 难 点 是 在 求 抛 物 线 上 的 内 接 三 角 形时 ， 计 算 这 个 三 角 形 的 面 积 需 用 割 补 法 来 求 .43 49827 815 u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 突 破 设 问 探 究 面 积 等 量 关 系 的 存 在 性 .【 备 考 指 导 】 探 究 面 积 等 量 关 系 的 存 在性 问 题 ：对 于 图 形 的 运 动 产 生 的 相 等 关 系 问 题 ，解 答 时 应 认 真 审 题 ， 仔 细 研 究 图 形 ， 分 析 动点 的 运 动 状 态 及 运 动 过 程 ； u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 解 题 过 程 的 一 般 步 骤 ：（ 1） 弄 清 其 取 值 范 围 ， 画 出 符 合 条 件 的图 形 ；（ 2） 确 定 其 存 在 的 情 况 有 几 种 ， 然 后 分别 求 解 ， 在 求 解 计 算 中 一 般 由 函 数 关 系 式 设出 图 形 的 动 点 坐 标 并 结 合 图 形 作 辅 助 线 ， 画出 所 求 面 积 为 定 值 的 三 角 形 ； u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 （ 3） 过 动 点 作 有 关 三 角 形 的 高 或 平 行 于y轴 、 x轴 的 辅 助 线 ， 利 用 面 积 公 式 或 三 角 形相 似 求 出 有 关 线 段 长 度 或 面 积 的 代 数 式 ， 列方 程 求 解 ， 再 根 据 实 际 问 题 确 定 方 程 的 解 是否 符 合 题 意 ， 从 而 证 得 面 积 等 量 关 系 的 存 在性 . 【 针 对 训 练 】 见 本 书 第 2题 第 （ 2） 问 ，第 7题 第 （ 4） 问 ， 第 14题 第 （ 3） 问 ， 第 15题第 （ 2） 问 . u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 例 3 （ 2014东 营 改 编 ） 如图 ， 直 线 y=2x+2与 x轴 交 于点 A， 与 y轴 交 于 点 B.把 AOB沿 y轴 翻 折 ， 点 A落 到点 C， 过 点 B的 抛 物 线 y=-x2+bx+c与 直 线 BC交 于 点 D（ 3， -4） . 例 3题 图 u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 （ 1） 求 直 线 BD和 抛 物 线 的 解 析 式 ；【 思 路 分 析 】 由 直 线 方 程 y=2x+2可 求 出 B点 坐 标 ， 把 B、 D两 点 代 入 y=-x2+bx+c中 即 可 求出 抛 物 线 解 析 式 ， 由 B、 D两 点 可 求 出 直 线 BD的 方 程 .解 ： 设 直 线 BD的 解 析 式 为 ： y=kx+m（ k 0） u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 把 B（ 0， 2） ， D（ 3， -4） 代 入 得m=2 k=-23k+m=-4 m=2， 直 线 BD的 解 析 式 为 y=-2x+2.把 x=0代 入 y=-2x+2， 得 y=2, B(0,2)， ,解 得 u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 把 B（ 0， 2） ， D（ 3， -4） 代 入 y=-x2+bx+c,得c=2 b=1-9+3b+c=-4 c=2， 抛 物 线 的 解 析 式 ： y=-x2+x+2.,解 得 u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 （ 2） 在 第 一 象 限 内 的 抛 物 线 上 ， 是 否 存在 一 点 M， 作 MN垂 直 于 x轴 ， 垂 足 为 点 N， 使得 以 M、 O、 N为 顶 点 的 三 角 形 与 BOC相 似 ？若 存 在 ， 求 出 点 M的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说明 理 由 ； u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 【 思 路 分 析 】 与 BOC相 似 的 MON， 只 有 两个 直 角 顶 点 可 以 确 定 对 应 ， 所 以 要 分 两 种 情况 讨 论 ， 再 利 用 MON的 两 条 直 角 边 恰 好 是 点M的 坐 标 ， 与 BOC的 两 直 角 边 对 应 成 比 例 ，便 可 列 出 方 程 ， 求 解 即 可 ， 注 意 是 否 符 合 条件 . u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 解 ： 由 （ 1） 知 C（ 1， 0） ，设 点 M（ n， -n2+n+2） ， BOC= MNO=90 ， 点 O与 点 N对 应 ， 可 分 两 种 情 况 讨 论 ， 当 MNO BOC时 ，则 -n2+n+2=2n,解 得 n1=-2(不 合 题 意 ， 舍 去 )， n2=1, M 1(1,2)； ,OCBOONMN u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 当 ONM BOC 时 ， 则 2（ -n2+n+2） =n,解 得 n1= (不 合 题 意 ， 舍 去 )，n2= , M2综 上 所 述 ， M点 的 坐 标 为 （ 1， 2） 或 ,21 OBOCONMN4 3314 331 ).8 331,4 331( ). 8 331,4 331( 【 易 错 分 析 】 易 忽 略 其 中 的 一 种 情 况 而 出 错 . u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 突 破 设 问 探 究 三 角 形 相 似 的 存 在 性 .【 备 考 指 导 】 探 究 三 角 形 相 似 的 一 般 思路 ： 解 答 三 角 形 相 似 的 存 在 性 问 题 时 ， 要 具备 分 类 讨 论 的 思 想 及 数 形 结 合 思 想 ,要 先 找 出三 角 形 相 似 的 分 类 标 准 ， 一 般 涉 及 到 动 态 问题 要 以 静 制 动 ， 动 中 求 静 ， 具 体 如 下 ： u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 （ 1） 假 设 结 论 成 立 ， 分 情 况 讨 论 .探 究三 角 形 相 似 时 ， 往 往 没 有 明 确 指 出 两 个 三 角形 的 对 应 角 （ 尤 其 是 以 文 字 形 式 出 现 让 证 明两 个 三 角 形 相 似 的 题 目 ） ， 或 者 涉 及 到 动 点问 题 ， 因 动 点 问 题 中 点 位 置 的 不 确 定 ， 此 时应 考 虑 不 同 的 对 应 关 系 ， 分 情 况 讨 论 ； u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 （ 2） 确 定 分 类 标 准 ： 在 分 类 时 ， 先 要 找出 分 类 的 标 准 ， 看 两 个 相 似 三 角 形 是 否 有 对应 相 等 的 角 ， 若 有 ， 找 出 对 应 相 等 的 角 后 ，再 根 据 其 他 角 进 行 分 类 讨 论 来 确 定 相 似 三 角形 成 立 的 条 件 ； 若 没 有 ， 则 分 别 按 三 种 角 对应 来 分 类 讨 论 ； u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 （ 3） 建 立 关 系 式 ， 并 计 算 .由 相 似 三 角 形 列 出相 应 的 比 例 式 ， 将 比 例 式 中 的 线 段 用 所 设 点 的 坐 标表 示 出 来 （ 其 长 度 多 借 助 勾 股 定 理 运 算 ） ， 整 理 可得 一 元 一 次 方 程 或 者 一 元 二 次 方 程 ， 解 方 程 可 得 字母 的 值 ， 再 通 过 计 算 得 出 相 应 的 点 的 坐 标 .【 针 对 演 练 】 见 第 3题 第 （ 3） 问 ， 第 4题 第 （ 3）问 ， 第 7题 第 （ 4） 问 ， 第 13题 第 （ 4） 问 ， 第 14题第 （ 2） 问 . u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 （ 3） 在 直 线 BD上 方 的 抛 物 线 上 有 一 动 点 P，过 点 P作 PH垂 直 于 x轴 ， 交 直 线 BD于 点 H.是 否 存在 这 样 的 点 P， 使 四 边 形 BOHP是 平 行 四 边 形 ？若 存 在 ， 求 出 点 P的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明理 由 . u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 【 思 路 分 析 】 点 P在 抛 物 线 上 ， 可 设 出 点 P的 坐 标 ， 从 而 可 表 示 出 点 H的 坐 标 ， 因 为 作PH x轴 .所 以 可 得 PH OB.要 证 四 边 形 BOHP是平 行 四 边 形 ， 只 需 证 PH OB， 再 利 用 PH的 长 可列 方 程 求 出 P点 坐 标 .解 ： 存 在 . u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 理 由 如 下 ： P点 在 抛 物 线 上 ， 设 P（ m， -m2+m+2） ， H的 横 坐 标 为 m，又 H在 BD上 ， BD的 解 析式 为 y -2x+2， H的 纵 坐 标 为 -2m+2， H（ m， -2m+2） ， 例 3题 解 图 u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 PH BO， 要 使 四 边 形 BOHP是 平 行 四 边 形 ， 只 需 证 PH BO，又 P点 在 H点 上 方 ， PH -m2+m+2-（ -2m+2） -m2+3m，又 B（ 0， 2） ， OB 2， -m2+3m 2， u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 解 得 ： m1 2， m2 1， 当 m 2时 ，P点 坐 标 为 （ 2， 0） ，当 m 1时 ，P点 坐 标 为 （ 1， 2） ， 存 在 点 P（ 2， 0） 或 P（ 1， 2） 使 四 边 形 BOHP为 平 行 四 边 形 . u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 【 难 点 突 破 】 （ 2） （ 3） 小 题 都 是 先 设 了符 合 条 件 的 点 的 横 坐 标 为 未 知 数 ， 纵 坐 标 相 应表 示 出 来 ， 再 利 用 相 似 三 角 形 和 平 行 四 边 形 的判 定 得 到 对 应 边 的 关 系 式 ， 列 出 方 程 求 得 结 果 . u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 突 破 设 问 探 究 特 殊 四 边 形 的 存 在 性 .【 备 考 指 导 】 在 解 答 平 行 四 边 形 的 存 在 性问 题 时 ， 具 体 方 法 如 下 ：（ 1） 假 设 结 论 成 立 ；（ 2） 探 究 平 行 四 边 形 通 常 有 两 类 ， 一 类 是已 知 两 定 点 去 求 未 知 点 坐 标 ， 一 类 是 已 知 给 定的 三 点 去 求 未 知 点 的 坐 标 . u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 第 一 类 时 ， 以 两 定 点 连 线 所 成 的 线 段 作为 要 探 究 平 行 四 边 形 的 边 或 对 角 线 画 出 符 合题 意 的 平 行 四 边 形 ； 第 二 类 ， 分 别 以 已 知 三个 定 点 中 的 任 意 两 个 定 点 确 定 的 线 段 为 探 究平 行 四 边 形 的 边 或 对 角 线 画 出 符 合 题 意 的 平行 四 边 形 . u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 （ 3） 建 立 关 系 式 ， 并 计 算 .根 据 以 上 分类 方 法 画 出 所 有 的 符 合 条 件 的 图 形 后 ， 可 以利 用 平 行 四 边 形 的 性 质 进 行 计 算 ， 也 可 利 用全 等 三 角 形 、 相 似 三 角 形 或 直 角 三 角 形 的 性质 进 行 计 算 ， 要 具 体 情 况 具 体 分 析 ， 有 时 也可 以 利 用 直 线 的 解 析 式 联 立 方 程 组 ， 由 方 程组 的 解 为 交 点 坐 标 的 性 质 求 解 . u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 【 针 对 训 练 】 见 本 书 第 8题 第 （ 3） 问 ，第 16题 第 （ 2） 问 .拓 展 设 问 ： 此 外 ， 还 会 涉 及 考 查 探 究 是否 存 在 点 使 得 四 边 形 为 菱 形 或 矩 形 ；1. 在 解 答 菱 形 的 存 在 性 问 题 时 ， 具 体方 法 如 下 ：（ 1） 假 设 结 论 成 立 ； u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 （ 2） 分 情 况 讨 论 ： 探 究 菱 形 时 ， 通 常有 两 大 类 ， 一 类 是 已 知 三 个 定 点 去 求 未 知 点坐 标 ， 一 类 是 已 知 两 个 定 点 去 求 未 知 点 坐 标 .第 一 类 已 知 三 个 定 点 去 探 究 菱 形 时 ， 分 别 以三 个 定 点 中 的 任 意 两 个 定 点 确 定 的 线 段 为 要探 究 的 菱 形 的 对 角 线 去 画 出 所 有 的 菱 形 ， 结合 题 干 要 求 找 出 满 足 条 件 的 菱 形 ； 第 二 类 已 u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 知 两 个 定 点 去 探 究 菱 形 时 ,以 两 个 定 点 连 线所 成 的 线 段 作 为 要 探 究 菱 形 的 对 角 线 或 边 长画 出 符 合 题 意 的 菱 形 ， 结 合 题 干 要 求 找 出 满足 条 件 的 菱 形 ； （ 3） 建 立 关 系 式 ， 并 计 算 .根 据 以 上 分 类 方 法 画 出 所 有 的 符 合 条 件 的 图形 后 ， 利 用 菱 形 的 性 质 进 行 计 算 ， 可 利 用 全等 三 角 形 、 相 似 三 角 形 或 直 角 三 角 形 的 性 质 u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 进 行 计 算 ， 要 具 体 情 况 具 体 分 析 ， 有 时 也 可以 利 用 直 线 的 解 析 式 联 立 方 程 组 ， 由 方 程 组的 解 为 交 点 坐 标 的 性 质 求 解 ， 在 解 答 时 更 好的 利 用 对 称 性 可 使 个 别 点 的 坐 标 求 解 简 单 .【 针 对 训 练 】 见 本 书 第 6、 19题 第 （ 3） 问 . u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 2. 在 解 答 矩 形 的 存 在 性 问 题 时 ， 具 体方 法 如 下 ：（ 1） 假 设 结 论 成 立 ；（ 2） 分 情 况 讨 论 ： 探 究 矩 形 时 ， 通 常有 两 大 类 ， 一 类 是 所 探 究 的 矩 形 的 边 长 没 有条 件 限 制 且 已 知 两 个 定 点 而 去 求 未 知 点 坐 标 ，一 类 是 所 探 究 的 矩 形 的 边 长 有 条 件 限 制 且 已知 两 个 定 点 去 求 未 知 点 坐 标 . u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 第 一 类 探 究 矩 形 的 方 法 是 ： 分 别 以 已知 的 两 个 定 点 连 线 的 线 段 为 矩 形 的 长 或 宽 或对 角 线 （ 方 法 ： 以 该 线 段 为 直 径 画 圆 ， 根 据直 径 所 对 的 圆 周 角 是 直 角 ， 作 出 矩 形 ） 作 出所 有 的 矩 形 ； 根 据 题 干 要 求 找 出 符 合 条 件的 矩 形 ； u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 第 二 类 探 究 矩 形 时 ， 寻 找 所 求 点 的 方 法是 ： 分 别 以 已 知 的 两 个 定 点 连 线 的 线 段 为矩 形 的 长 或 宽 或 对 角 线 （ 方 法 ： 以 该 线 段 为直 径 画 圆 ， 根 据 直 径 所 对 的 圆 周 角 是 直 角 ，作 出 矩 形 ） 作 出 所 有 的 矩 形 ， 画 图 时 注 意 矩形 的 长 和 宽 的 比 例 要 求 ； 根 据 题 干 要 求 找出 符 合 条 件 的 矩 形 ； u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押 （ 3） 建 立 关 系 式 ， 并 计 算 .根 据 以 上 分类 方 法 画 出 所 有 的 符 合 条 件 的 图 形 后 ， 利 用矩 形 的 性 质 进 行 计 算 ， 可 利 用 全 等 三 角 形 、相 似 三 角 形 或 直 角 三 角 形 的 性 质 进 行 计 算 .【 针 对 训 练 】 见 本 书 第 2、 9题 第 （ 3）问 . u云 南 中 考热 点 题 型 剖析 p末 页p目 录p首 页 http:/u备 考 猜 押