ZYM第二章极限与连续

第 二 章 极 限 与 连 续 2.1 数 列 与 函 数 的 极 限 2.2 极 限 的 性 质 与 运 算 2.3 极 限 存 在 准 则 及 两 个 重 要 极 限 2.4 无 穷 小 量 的 性 质 与 无 穷 小 量 的 阶 2.5 函 数 的 连 续 性 2.6 货 币 的 时 间 价 值 2.1 数 列 与 函 数 的 极 限一 、 数 列 的 极 限1、 数 列 定 义 1 2 ( ),123 , , , , ,nn nn nn x f n nx xx x x x 以 自 然 数 为 自 变 量 的 函 数 依 次 取， ， ， 称 为 数 列 ， 记 作 其 中 称 为 数 列 的 一 般 项或 通 项 ， 数 列 的 展 开 式 为 ：例 如 ： ,1,31,21,1:1)1( nn ( 1) 3 2 5 ( 1)(2) : 0, , , , ,2 3 4n nn nn n ， (3)8: 8,8,8,8, ,8, 1 1(4)( 1) : 1, 1,1, 1, ,( 1) ,n n (5)2 : 2,4,6,8, ,2 ,n n (6) sin : 1,0, 3,0,5, , sin ,2 2n nn n 数 列 作 为 一 种 特 殊 的 函 数 （ 整 标 函 数 ） ，具 有 函 数 的 某 些 特 性 ， 如 单 调 性 、 有 界 性 等 . 单 调 数 列 : 1 1.n n n nn n x x x xx 若 对 一 切 自 然 数 ， 均 有 （ 或 ） ，则 称 数 列 为 单 调 递 增 （ 或 递 减 ） 数 列 单 调 递 增或 单 调 递 减 数 列 统 称 单 调 数 列 n nnn M x x Mx Mx 若 存 在 正 数 ， 使 得 对 一 切 ， 均 有 成 立 ，则 称 数 列 为 有 界 数 列 ， 若 这 样 的 正 数 不 存 在 ，就 说 数 列 无 界 。有 界 数 列 : 1 2 12 1 2 , n nn nn x M M x Mx M M x Mx 若 对 于 一 切 ， 存 在 常 数 （ 或 ） ， 使 得（ 或 ） 成 立 ， 则 称 为 数 列 的 下 界 为 数 列的 上 界 . .单 调 递 增 数 列 只 要 有 上 界 则 一 定 有 界 ，单 调 递 减 数 列 只 要 有 下 界 则 一 定 有 界单 调 且 有 界 的 数 列 称 为 单 调 有 界 数 列 . 2.数 列 的 极 限由 前 面 的 例 子 有1(1) nn 数 列 当 无 限 增 大 时 ，0 71 61 51 41 31 21 1 x1 0.n 无 限 接 近 于 常 数( 1) 3 2 5 4 7(2) :0, , , , , ,2 3 4 5 6 nn nn 数 列 当 无 限 增 大 时0 6754 2332 1 x45 2 ( 1) .nn n 无 限 接 近 于 常 数 1 1( 1) :1, 1,1, 1, ,n n 而 数 列 当 无 限 增 大 时 8 8.无 限 接 近 于 常 数 (3) 8 :8,8,8,8, n数 列 当 无 限 增 大 时0 8 x2 sin 1,0, 3,0,5,0, 72nn nn 数 列 、 数 列 即 ，当 无 限 增 大 时 ， 不 能 接 近 某 个 常 数 。 x1 10 1 2 3, , , , , l 1im nn nn n nn x x x xn x AA n xx Ax A n x A 设 有 数 列 如 果当 无 限 增 大 时 ， 无 限 接 近 于 一 个 常 数 ，则 称 常 数 为 趋 于 无 穷 时 数 列 的 极 限 ，也 称 数 列 收 敛 于 ，记 作 ： 或 当 时 ，定 义 ：为 此 ,引 出 数 列 极 限 的 描 述 定 义 . n n （ 实 为 ， 简 记 为 ） 因 此 上 段 中 所 列 举 的 数 列 中 有 11 ( 1)(1)lim 0; (2)lim 1 (3)lim8 8;nn n nnn n 常 数 的 极 限 等 于 常 数 本 身 . 1( 1) , 2 , sin 2n nn n 如 发 散 1( 1) , 2n n其 中 振 荡 发 散 无 穷 发 散注 意 如 果 定 义 中 的 常 数 A不 存 在 ， 则 称数 列 发 散 或 没 有 极 限 . nn 2lim无 穷 发 散 也 可 记 为 二、函数的极限（ 描 述 性 定 义 ）x )(xf1、 时 ,函 数 的 极 限( ) ( )( )y f x x f xA A x f x 对 于 函 数 ， 当 无 限 增 大 时 ， 相 应 函 数 值无 限 趋 近 于 常 数 ， 则 称 常 数 为 时 ， 函 数 的极 限 ， 记 为 lim ( ) , x f x A ( ) ( ).f x A x 或 lim arct1 an 2x x 例 ： 22 xy01lim lim( 02 ) x xx xe e 例 ： x0y(0,1) x )(xf2、 时 ,函 数 的 极 限,)(lim Axfx ( ) ( )( )y f x x f xA A x f x 对 于 函 数 ， 当 无 限 减 小 时 ， 相 应 函 数 值无 限 趋 近 于 常 数 ， 则 称 常 数 为 时 ， 函 数 的极 限 ， 记 为 ( ) ( ).f x A x 或lim arctan 23 x x 例 ： 22 xy0 x )(xf 3. 时 ,函 数 的 极 限,)(lim Axf x ( ) ( ).f x A x 记 作 :注 意 ,)(lim)(lim)(lim AxfxfAxf xxx 或 对 函 数 ， 当 无 限 增 大 时 ， 函 数 值 无 限 趋 近 于 常 数 A, 则 称 常 数 A为 当 时 ， 函 数 ( )f xx( )y f x ( )f xx的 极 限 . 如 ： 0lim,lim 2arctanlim2arctanlim xxxx xx ee xx ，因 为 x0y(0,1)不 存 在，所 以 xxx ex limarctanlim 04. ( )x x f x当 时 ， 函 数 的 极 限00 0 0( ) ( ) ( ) ,( ) f x xx x xf x A A x xf x设 函 数 在 点 的 某 去 心 邻 域 内 有 定 义 ,当 无 限 趋 近 于 但 不 等 于 时 ， 相 应 函 数 值无 限 趋 近 于 常 数 则 称 为 趋 近 于 时 ，函 数 的 极 限 . 0lim ( ) ,x x f x A 记 作 ： 0( ) .f x A x x 或 5. 左 极 限 0 0 0 00 0 00 0( ) , ( 0)( ) ( )lim ( ) ( 0)x xf x x x xx x x x xf x A A f xx f x A f x A 设 函 数 在 点 的 左 邻 域 （ ） 内 有 定 义 ，如 果 当 从 的 左 侧 无 限 趋 近 于 （ ） 时 ， 相 应函 数 值 无 限 地 接 近 于 常 数 ， 则 称 为 函 数在 点 处 的 左 极 限 ， 记 作 ：或 6. 右 极 限 0 0 0 00 0 00 0( ) , ( 0)( ) ( )lim ( ) ( 0)x xf x x x xx x x x xf x A A f xx f x A f x A 设 函 数 在 点 的 右 邻 域 （ ， ） 内 有 定 义 ，如 果 当 从 的 右 侧 无 限 趋 近 于 （ ） 时 ， 相 应函 数 值 无 限 地 接 近 于 常 数 ， 则 称 为 函 数在 点 处 的 右 极 限 ， 记 作 ：或 下 结 论 ：限 的 定 义 ， 能 够 得 出 以从 函 数 极 限 与 左 、 右 极 AxfxfAxf xxxxxx )(lim)(lim)(lim 000 例 4： 222 21 132)( 2 xx xx xxxxf设 1 23(1)lim ( )(2)lim ( )(3)lim ( )xxx f xf xf x求 1 2x x （ ， 叫 该 分 段 函 数 的 分 段 点 ） 解 ： 右 两 侧 来 求 极 限 必 须 分 左 、两 侧 对 应 的 规 则 不 同 的 左 右在 点因 为 函 数 , 1)()1( xxf 222 21 132)( 2 xx xx xxxxf,1lim)(lim ,0)32(lim)(lim 11 211 xxf xxxf xx xx左 极 限 不 等 于 右 极 限不 存 在)(lim1 xfx 0 0limx x x x 时 的 变 化 趋 势无 限 接 近 于 点当 考 察 函 数） ， 必 须 用 左 右 极 限 来） 类 似 于 （ 212x 222 21 132)( 2 xx xx xxxxf,2)22(lim)(lim ,2lim)(lim 22 22 xxf xxf xx xx左 极 限 等 于 右 极 限.2)(lim2 xfx 用 左 右 极 限 这 种 情 况 不 需 要两 侧 表 达 式 是 相 同 的 ， 的 左 右在 点函 数不 同 于 3)(),2(),1()3( xxf 222 21 132)( 2 xx xx xxxxf 4)22(lim)(lim 33 xxf xx 0 xx 时 函 数 )(xf 的 极 限 是 否 存 在 ,与 )(xf 在 0 x处 是 否 有 定 义 无 关 ， 只 与 在 的 空 心 邻 域 内 定 义 有 关注 意例 如 ： 函 数 ( ) 1f x x 在 1x时 的 极 限 为函 数 2 1( ) 1xf x x 在 1x处 的 极 限 为函 数 2 1, 1( ) 13 , 1x xf x x x 在 1x处 的 极 限 为 y A x )(xf 0 x 0 01, 0( ) lim ( ) lim ( )1, 05 x xx xf x f x f xx x 例 求 ，： 11lim)(lim 11lim)(lim 00 00 ）（ ）（解 ： xxf xxf xx xx xyo1 1 作 业P22： T3；P52： T9(2);T11(1),(2). 先 看 书再 做 练 习 三 、 无 穷 小 量 与 无 穷 大 量1、 无 穷 小 量 0 00( ) lim ( ) 0 lim ( ) 0( ) x x xx x xf x f x f xf x x x x 定 义 : 当 自 变 量 （ 或 ） 时 ， 若 函 数以 零 为 极 限 ， 即 （ 或 ）则 称 当 （ 或 ） 时 为 无 穷 小 量 例 如 ： 0)21(lim,01lim,0sinlim0 nnxx xx因 为 0 sin1 ;1,( )2 nx xx xn 所 以 当 时 ， 是 无 穷 小 量 ；当 时 ， 是 无 穷 小 量当 时 是 无 穷 小 量 .注 : （ 1） 无 穷 小 量 是 极 限 为 零 的 变 量 ,不 要把 一 个 很 小 很 小 的 数 说 成 是 无 穷 小 量 ，常 数 中 只 有 0是 无 穷 小 量 . （ 2） 说 一 个 变 量 为 无 穷 小 量 ， 必 须 指明 自 变 量 的 变 化 趋 势 . (3)单 侧 也 成 立 . 2、 无 穷 大 量 0 00( ) ( )lim ( ) ( lim ( ) )x x xx x xf x Mf x x x xf x f x 定 义 : 当 自 变 量 （ 或 ） 时 ， 若 函 数的 绝 对 值 大 于 预 先 给 定 的 任 何 正 常 数 ，则 称 当 （ 或 ） 时 为 无 穷 大 量 ，记 为 或 00 0 ( )( )lim ( ) lim ( )lim ( ) lim ( )x x x x x x x x x f xf x f x f xf x f x 如 果 当 自 变 量 （ 或 ） 时 ， 只 取正 值 无 限 增 大 ， 或 只 取 负 值 而 绝 对 值 无 限 增 大 ， 则分 别 称 为 正 无 穷 大 量 或 负 无 穷 大 量 ， 记 作 ：（ 或 ） ，（ 或 ） 如 例 ： （ 1） 无 穷 大 量 是 具 有 绝 对 值 无 限 增 大这 种 变 化 趋 势 的 变 量 ,任 何 一 个 绝 对 值 很 大的 数 都 不 是 无 穷 大 量 ; （ 2） 说 一 个 变 量 为 无 穷 大 量 ， 必 须 指 明自 变 量 的 变 化 趋 势 . 注 : （ 3） 单 侧 也 成 立 . xy 1y xo为 正 无 穷 大 量时即 xxxx 10,1lim0 为 负 无 穷 大 量时即 xxxx 10,1lim0 为 无 穷 大 量时即 xxxx 10,1lim0 无 穷 大 量 与 无 穷 小 量 的 关 系 ( )1( ) 0, ( )1( ) ( ) f xf x f xf x f x定 理 ： 在 自 变 量 的 同 一 变 化 过 程 中 ， 如 果 为无 穷 小 量 ， 且 则 为 无 穷 大 量 ； 反 之如 果 为 无 穷 大 量 ， 则 为 无 穷 小 量 . 注 意(1)0 0;是 无 穷 小 量 ， 但 无 穷 小 量 不 一 定 是(2)无 穷 大 量 是 极 限 不 存 在 的 变 量 ;(3)无 穷 大 量 是 无 界 的 变 量 ， 但 无 界 的变 量 不 一 定 是 无 穷 大 量 . sin 1,0, 3,0,5,0, 7, ;2nn 如 即 2.2 极 限 的 性 质 与 运 算 0lim ( )x x f x定 理 （ 唯 一 性 ） ：若 极 限 存 在 ， 则 极 限 值 唯 一 .0 0lim ( ) , 00 ( ) .x x f x A M mx x m f x M 定 理 （ 局 部 有 界 性 ） ：若 则 存 在 实 数 、 和 ，当 时 ， 有 1 0 10 ( )M x x f x M 或 存 在 正 数 、 ， 当 ， 有 一 、 极 限 的 性 质 , .n nx x推 论 ： 若 数 列 有 极 限 则 一 定 有 界 定 理 （ 局 部 比 较 性 ） ： ).()(0 ,0)(lim)(lim1 )(lim)(lim 0 00 00 xgxfxx xgxf xgxf xxxx xxxx 时 ， 有 当， 则 必） 若（ 都 存 在 ，和设 00 lim ( ) 0 ( 0),0 0 ( ) 0 ( 0)x x f xx x f x 特 别 地 （ 局 部 保 号 性 ） 若 或则 ， 当 时 ， 有 或 . 0 0 002 0, 0 ( ) ( )lim ( ) lim ( ) ( ( ) 0 lim ( ) 0).x x x x x xx x f x g xf x g x g x f x （ ） 若 使 当 时 ， 有则 令 ， 有以 上 性 质 在 其 它 自 变 量 变 化 趋 势 下 也 成 立 . 二 、 极 限 的 运 算 法 则 0 0 0 0 0lim ( ) ,lim ( ) ,1 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x x x xx x x x x xf x A g x Bf x g x f x g x A B 定 理 （ 极 限 的 四 则 运 算 ） :若则 （ ） 00 0 01 21 2lim ( ) ( ) ( )lim ( ) lim ( ) lim ( )nx x nx x x x x xf x f x f xf x f x f x 推 广 到 有 限 个 函 数 有 ： ,)(lim)(lim)()(lim2 000 BAxgxfxgxf xxxxxx ）（ 0 0 0 01 21 2lim ( ) ( ) ( )lim ( ) lim ( ) lim ( )nx x nx x x x x xf x f x f xf x f x f x 推 广 到 有 限 个 函 数 有 ： 0 00 0lim ( ) lim ( ) ( )lim ( ) lim ( ) ( )n n nx x x xx x x xf x f x A nCf x C f x CA C 特 别 的 有 为 正 整 数为 常 数 )0(,)(lim )(lim)( )(lim)3( 000 BBAxg xfxg xf xx xxxx注 :以 上 法 则 对 任 一 自 变 量 变 化趋 势 均 成 立 .0 0 01lim ( ) lim ( )( lim ( ) 0)n nnx x x x x xf x f x An n f x 为 正 整 数 ,且 为 偶 数 时 定 理 （ 复 合 函 数 的 极 限 ） :0 0 000 00 0 ( ) ( ) ( )lim ( ) ,lim ( ) ,( )( ) lim ( )x x u ux xy f g x y f u u g xg x u f u Ax x x x u g xu u u f g x A 设 是 由 及复 合 而 成 ， 如 果且 当 属 于 （ ） 的 某 邻 域 时 ，属 于 的 邻 域 ， 则 0 0lim ( ) lim ( )x x u uf g x f u A xx 2sinlim1 0 求例 1sinsinlim12lim 10 uuxx ， 而解 ： 因 为 0limsin2 sin1xx 由 定 理 可 得 )4sincos3(lim2 30 xxxx 求例 4limsinlimcoslim3lim )4sincos3(lim 00030 30 xxxxx xxx xxx 解 ： 0 0limx x x x 1401303 22151 2limlim5lim)25(lim 3 113131 xxxx xxxx 25 4lim3 3 21 xx xx 求例 ）（ ）（解 ： 25lim 4lim 25 4lim 31 21 3 21 xx x xx xx xx 2151 413 2 25 00 0 ( )( 0 )lim ( ) ( )x xx x f xf x f x 时 有 理 函 数分 母 极 限有 39lim4 23 xxx 求例 3 0 0003 3 3 0 0( 3)xx x xx 解 ： 由 于 当 时 ， 分 母 的 极 限 等 于 ， 因 此 不 能直 接 运 用 除 法 法 则 ； 又 因 为 此 时 分 子 的 极 限 也 是 ，称 这 类 型 的 极 限 为 型 未 定 式 或 不 定 式 ， 由 于时 ， 所 以 ， 故 可 以 约 去 使 分 母 为的 因 子 ， 称 “ 去 零 因 子 ”这 种 方 法 为 法 ，因 而 有 23 3 39 ( 3)( 3)lim lim lim( 3) 63 3x x xx x x xx x 11lim5 21 x xxxx 求例 )1)(1( )1)(1(lim 11lim 00 2 221 21 xxxx xxxxxxx xxxxx 型 ， 所 以解 ： 此 极 限 为 )1)(1( )1(lim 21 xxxx xx xxxx 11lim 2121 去 零 因 子 法 xxx xxx 735 124lim6 23 23 求例 3 ,x xx 解 ： 由 于 当 时 ， 分 子 、 分 母 的 极 限 都 不 存 在 ，因 此 不 能 运 用 除 法 法 则 实 际 上 当 时 ，分 子 ， 分 母 都 是 无 穷 大 量 ， 我 们 称 这 类 型 的 极 限为 型 未 定 式 ， 用 同 时 除 以 分 子 、 分 母 ，然 后 再 取 极 限 有 2323 23 735 124lim735 124lim xx xxxxx xx xx 54 005 004 xxx xxx 735 124lim7 25 23 求例 同 除 分 子 、 分 母 得型 ， 用解 ： 此 极 限 为 5x 43 53225 23 735 124lim735 124lim xx xxxxxx xx xx 050 “ 抓大头” xxx xxx 735 124lim8 23 24 求例 型 ，解 ： 此 极 限 为 利 用 无 穷 小 量 与 无 穷 大 量的 关 系 求 极 限 0124 735lim124 735lim 42 3224 23 xx xxxxx xxx xx因 为 xxx xxx 735 124lim 23 24所 以 00a a 类 型 ： （ ） （ 常 数 ） 综 合 例 68可 得 有 理 函 数 的 极 限 运 算 公 式0 0 0 010 1 10 10, ,lim 0n n nm mx ma b n m a n mba x a x a n mb x b x b n m 设 非 负 整 数 则 13373 53lim 44 ）（）（如 nnn 2 2 23 1 3 1lim lim 31 ( 1)x xx xx x )1()2()(1lim 222 n anxnaxnaxnn 求例 9： )1(21 )1(212)1(1lim )1()2()(1lim 22222 2 222 nna nnaxxnn n anxnaxnaxnn n 解 ： 1 1 ( 12nk k n n ）21 1 1(2 1)6nk k n n n （ ） 6 )12)(1()1()1(1lim 22 annnaxnxnnn )12(161 1 2 nnnknk ）（ ）1(211 nnknk3 22 aaxx )1311(lim10 31 xxx 求例 型 未 定 式 算 法 则 ， 称 此 极 限 为极 限 不 存 在 ， 不 能 用 运 都 是 无 穷 大 量 ，时 ，解 ： 由 于 当 13111 3xxx 12lim 1 31lim)1311(lim 321 32131 x xx xxxxx xxx 去 零 因 子 法 21 ( 1)( 2)lim ( 1)( 1)x x xx x x 112lim 21 xx xx )1111(lim11 31 xxx 求例 型 未 定 式 算 法 则 ， 称 此 极 限 为极 限 不 存 在 ， 不 能 用 运 都 是 无 穷 大 量 ，时 ，解 ： 由 于 当 11111 3xxx 23 31 12311 1 1 1lim( ) lim1 1 1lim 1x xx x xx x xx xx 0a（ ） P63:T7(6),(10);P64:T8(3);P94:T2(3),(5).作 业 先 看 书再 做 练 习 2.3 极 限 存 在 准 则 及 两 个 重 要 极 限一 、 极 限 存 在 准 则 及 两 个 重 要 极 限 0 0 00( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )lim ( ) lim ( ) , lim ( )x x x x x xx x xxx x g x f x h xg x h x A f x A 定 理 (夹 逼 定 理 ） :设 在 点 的 某 空 心 邻 域 内 （ 或大 于 某 个 正 数 的 一 切 ） 有且 则 例 1: )12111(lim 222 nnnnn 求 nnnnxn 222 12111 解 ： 设 1111111 111 2222 2222 nnnnnx nnnnnnnnnxnn 显 然 有 122 nnxnnn n即 2 2lim 1 , lim 11n nn nn n n 而 1lim nn x故 1)12111(lim 222 nnnnn 即 X Sinx/x 1.0 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 0.841470980.958851080.973545860.985067360.993346650.998334170.999983390.999983330.999995830.99999983 1sinlim0 x xxsin( )x xX x 中 的 化 角 度 制 得 值180 第 一 个 重 要 极 限 : 0 sin lim 1.x xx 应 用 夹 逼 定 理 可 以 证 得 .注 意 区 别这 里 ,0 x sinlim 0. x xx （ 用 夹 逼 定 理 可 得 ）.1sinlim 0 uuu，变 量 用 何 字 母 表 示 无 妨 )00( 例 2: x xx tanlim0求解 : .1cos1sinlimcossinlim 00 xx xxx x xx原 式例 3: 的 常 数求 0sinlim 0 kxkxx解 : .sinlimsinlimsinlim 000 kt tkkxkxkkxkxk tkxtxx 原 式此 处 变 量 代 换 过 程 可 省 略 ， 故 有 下 面 推 广 . 推 广 : 0 0( ) ( )sin ( ) lim 1 ( lim ( ) 0)( )x x x xx xx xx 注 意 (1)上 下 形 式 要 一 致 ;(2)凑 的 形 式 在 所 给 自 变 量 的 变 化趋 势 下 的 趋 向 要 与 重 要 极 限 的 趋向 一 致 即 趋 于 0. 例 4: xxx 3sin2sinlim0求解 : 32333sin 222sinlim3sin2sinlim 00 xx x xx xxx xx例 5: x xx sinlim计 算解 : sin sin( )lim lim ( 1) 1x xx xx x 例 6: 01 coslim sinx xx x 计 算 1cos22cos sin212cos 2 2 xx xx2 20 0 0 22sin sin1 cos 1 12 2lim lim limsin sin sin 2 2( )2x x xx xx xxx x x x x 解 ： 2 20 01 cos sinlim limsin (1 cos ) sin (1 cos )x xx xx x x x x x 或 原 式 0 sin 1 1lim 1 cos 2x xx x 求 下 列 各 组 极 限 xxxx xx 1sinlim1sinlim1 0 ，）（ xxxx xx sin1limsin1lim2 0 ，）（解答 0 0 0 0 11 lim sin 01 11 sin 1 0 , sin ,lim =lim( )=0,1lim sin 0 x x x x x x x x x xx xx xx x （ ） ， 时由 夹 逼 定 理 知 0 000 10 sin lim =lim( )=0,1 1lim sin 0, lim sin 01sin1lim sin lim 11 x xxxx xx x x x x xxx xx xxx x x 时 ， ，由 夹 逼 定 理 知 故 0 01 sin2 lim sin lim 11lim sin 0 x xx xxx xxx （ ） ，（ 由 夹 逼 定 理 可 得 ） 定 理 ： 单 调 有 界 数 列 必 有 极 限 为 极 限以发 生 ， 故 必 有 数 列 能， 因 而 第 一 种 情 况 不 可， 使 对 一 切 上 界 ， 即 存 在 常 数， 如 图 ， 若 递 增 数 列 有一 定 点 ） 无 限 趋 近 于，（） 移 向 无 穷 远 ， 或 者 ，（种 可 能 ， 或 者 点 列向 右 移 动 ， 这 时 只 有 两 的 增 大 而轴 上 对 应 的 随 着递 增 数 列 为 例 ， 它 在 数 调显 然 成 立 的 ， 不 妨 以 单这 个 结 论 从 几 何 上 看 是 ax MxnM a nx nxnnn n n 212 1anx1x 2x M 例 7: aax 2由 于 1 2 , 0nx a x a ax a a a a 已 知 ， ，lim nn x求 解 ： 先 证 数 列 存 在 极 限 1 1a x a x 2 1a x a x 3x a a a 2 2a x x 1k kn k x x 设 当 时 ， 1k ka x a x 则 有1 kk xaxa kk xx 1 由 数 学 归 纳 法 知 xn为 单 调 递 增 数 列 又 由 于 1 1x a a 112 aaxax 12)( 2 aa 2)1( a 1 a1 kx a 假 设 11 aaxax kk 112 aaa 由 数 学 归 纳 法 知 xn有 上 界 ,所 以 xn单 调 递 增 且 有界 ， 故 n 时 ， 极 限 存 在 . 再 求 极 限 lim nn x I 设 1lim nn x I 有1 nn xax 12 nn xax 2n I a I 当 时 ，2 0I I a 1 1 4 1(1 1 4 )2 2aI a （ ）0, 0, nx I 由 保 号 性 知 1(1 1 4 ) 02 a 舍 去1 1lim 1 42 2nn x a 故 1lim(1 )xx ex 第 二 个 重 要 极 限 : 10lim(1 )xx x e 1.幂 指 函 数 ; 2.底 数 是 1与 无 穷 小 量 之 和 ;指 数 与 底 数 中 的 无 穷 小 量 成 颠 倒 关 系 .特 点 利 用 准 则 2,可 以 证 明 第 二 个 重 要 极 限1lim(1 )nn en 型)1( 推 广 : 0 1( )( )lim1 ( ) xx xx x e 0( )( lim ( ) 0)x xx x 0 ( )( ) 1lim 1 ( ) xx xx ex 0( ) ( lim ( ) )x xx x 注 意 (1),(2)同 前 例 8: xx x)21(lim 求 1lim(1 )xx ex 2 222 1lim(1 ) lim(1 ) 2 xxx x exx 解 ：例 9: 1)21(lim xx xx )21()21(lim)21(lim 1 xxxxxx xxxx解 ： 12 221 1(1 ) (1 )1 1lim lim lim 12 2 22(1 ) (1 ) x xxx x xx x x ex x ex x ex x 例 10: 2)1(lim 22 xx xx 11222 11lim)1(lim 22 exxx xxxx ）（解 ：例 11: xx x 10 )1(lim etx tttxxx )11(lim)1(lim 110解 ： 2.4 无 穷 小 量 的 性 质 与 无 穷 小 量 的 阶一 、 无 穷 小 量 的 性 质0 01 ( ) ( )( ) ( )x x x f x g xx x xf x g x 性 质 ： 当 （ 或 ） 时 ， 如 果 和都 是 无 穷 小 量 ， 则 当 （ 或 ） 时 ，也 是 无 穷 小 量 .推 论 ： 有 限 个 无 穷 小 量 的 代 数 和 还 是 无 穷 小 量 .注 意 无 数 个 无 穷 小 量 的 代 数 和 不 一 定 是 无 穷 小 量 . 2 2 2 2 21 2 1 1 ( 1) 1lim( ) lim (1 2 ) lim 2 2n n nn n nnn n n n n 0 02 ( ) ( ),( ) ( )x x x f x g xx x xf x g x 性 质 ： 当 （ 或 ） 时 ， 如 果 和都 是 无 穷 小 量 则 当 （ 或 ） 时 ，也 是 无 穷 小 量 .推 论 ： 有 限 个 无 穷 小 量 的 乘 积 是 无 穷 小 量 0 03 ( ), ( )( ) ( )x x x f xg x x x xf x g x 性 质 ： 当 （ 或 ） 时 ， 如 果 是 无 穷小 量 是 有 界 函 数 ， 则 当 （ 或 ） 时 ，是 无 穷 小 量 .推 论 ： 常 数 与 无 穷 小 量 的 乘 积 是 无 穷 小 量 . s12 inlimx xx例 求 xxxx xx sin1limsinlim 解 ： 1sin,01lim xxx 而 0sinlim x xx 0 1lim sin 0 x x x 35 2 513: lim (2 cos 3sin )3 2 3x x x x xx x 例 求 35 2 5lim 03 2 3|2 cos 3sin | 6 x x xx xx x 解 ： ， 0)sin3cos2(323 52lim 53 xxxx xxx 0 04 ( )( ) ( )x x x f xA f x A xx x x x 性 质 ： 当 （ 或 ） 时 ， 函 数 以为 极 限 的 充 分 必 要 条 件 是 ：其 中 （ ） 是 当 （ 或 ） 时 的 无 穷 小 量 .lim arctan arctan ( )2 2 x x x x 例 如 ，( ) arctan ,2lim ( ) lim(arctan ) 02arctan ( ) .2x xx xx xx x 显 然 令则 反 之 也 成 立 求 下 列 极 限 11cos)1(lim)1( 21 xxx 2sinlim)2( 3 x xxx21(3) lim 5,1x x ax b a bx 设 求 ，解答 时当解 1)1( x： 0)1( 2 x111cos x 011cos)1(lim 21 xxx 021 12)2( 3 23 xxx xx 时当 1sin x 02sinlim 3 x xxx(3) 51lim,0)1(,1 21 x baxxxx x而 0( ) ( )0 0a0)(lim00 2 1 baxxx型 ， 即此 极 限 只 能 是 01 ba 得 ba 1x baxxx 1lim 21 x bxbxx 1 )1(lim 21 x bxxx 1 )(1(lim151)(lim1 bxbx 76 ab 作 业P71:T2(3),(5); T3(1),(3);P77:T1(2),(3). 先 看 书再 做 练 习 作 业 讲 评 时 为 无 穷 小 量当则 ?)( 0)(lim? xxf xfx 时 为 无 穷 大 量当则 ）（ ?)( )(lim? xxf xfxxy ln x0 y xy ln10lnlim1 xx .1)( 时 为 无 穷 小 量当 xxf xx lnlim xx lnlim0 .0,)( 时 为 无 穷 大 量当 xxxf 0coslim2lim2coslim 33 xx xx xx xxx ？ 首 先 要 正 确 的 识 别 题 型 ， 书 写 时 极 限 号 不可 少 写 也 不 可 多 写 。 二 、 无 穷 小 量 的 阶 0 0 0( ) ( ) ( )( ) 0( )1 lim 0,( )( ) ( ) ( ) ( )x xx x x x f x g xg xf x x x xg xf x g x f x o g x 定 义 ： 当 （ 或 ） 时 ， 和 都 是无 穷 小 量 ， 且 ，（ ） 若 则 称 当 （ 或 ） 时 ，是 比 高 阶 的 无 穷 小 量 ， 记 作 ； 0 0( ) ( )2 lim ,( )( ) ( )x xx f x x x xg xf x g x （ ） 若 则 称 当 （ 或 ） 时 ，是 比 低 阶 的 无 穷 小 量 ； 0 0( ) 0 0 ( )3 lim 0,( )( ) ( ) 1( ) ( )( ) ( )( ).x xx f x c x x xg xf x g x c x x xf x g xf x g x x x x （ ） 若 则 称 当 （ 或 ） 时 ，与 是 同 阶 无 穷 小 量 .特 别 的 ， 当 时 ， 则 称 当 （ 或 ） 时 ，与 是 等 价 无 穷 小 量 ， 记 作 ：或注 意 映 变 量 趋 于 零 的 速 度无 穷 小 量 阶 的 意 义 ： 反 0limx xx f xg x （ ） （ ）不 是 任 何 两 个 无 穷 小 量 都 可 进 行 比 较 ， 当 （ ）不 存 在 又 不 等 于 时 ， 这 两 个 无 穷 小 量 不 可 比 . 20 2 sin tanx x x x x x例 如 :当 时 ， 、 、 、 、 都 是 无 穷 小 量02lim 20 xxx )2(0 2 xoxx 时 ，20 2 .x x x它 表 示 :当 时 ， 趋 于 零 的 速 度 比 快 20lim xxx 20 .x x x 当 时 ， 是 比 低 阶 的 无 穷 小 量20 .x x x它 表 示 :当 时 ， 趋 于 零 的 速 度 比 慢22lim0 xxx 0 2 .x x x 当 时 ， 与 为 同 阶 无 穷 小 量0 2 .x x x它 表 示 :当 时 ， 趋 于 零 的 速 度 与 相 近 1sinlim0 xxx 1tanlim0 x xx0 sin x x x 时 ， ，xx tan0 x它 表 示 :当 时 ，sinx x趋 于 零 的 速 度 与 相 同 tanx x趋 于 零 的 速 度 与 相 同 例 13: xxx )1ln(0 时 ，证 明 当 xxx xx x 100 )1ln(lim)1ln(lim 证 明 ： 1lnlnlim)1(lim 10 euex euxx ，而 1)1ln(lim 10 xx x 可 得由 复 合 函 数 求 极 限 法 则1)1ln(lim0 x xx即 xxx )1ln(0 时 ，当 例 14: xex x 10 时 ，证 明 当 t t ttxe t tetxx x )1ln(1lim )1ln(lim1lim 0 010 证 明 ： 0 113 lim 1xx e x 利 用 例 的 结 果 知 xex x 10 时 ，当 例 15: nxxx n 110 时 ，证 明 当 1)1(lim11lim 110 ntxtnx t tnnxx n证 明 ： 1 2 3 2 2 1( )( )n n n n n n na b a b a a b a b ab b 11lim 211 n ntt nnnt nxxx n 110 时 ，当 常 用 的 等 价 无 穷 小 量 20sin , tan ,arcsin , arctan ,1 cos , 1 1 ,2ln(1 ) , 1 n xxx x x xx x x xx xx x nx x e x 当 时 ，1 0,ln ln1 ( 1) 11 ln 1x x x xx x x 时 ，1x例 如 当 时 三 、 应 用 等 价 无 穷 小 量 代 换 求 函 数 的 极 限0 0 00 ( ) ( )( ) ( ) lim ( ) ( ) ,lim ( ) ( ) lim ( ) ( )x xxx x x xx xx x x f x g xf x g x f x h x Ag x h x f x h x A （ ）（ ） （ ）定 理 ： 若 当 （ 或 ） 时 ， 与是 无 穷 小 量 ， 且 ，则 0 00 00 ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0( )lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) 1 ,( )lim ( ) ( ) lim ( ) ( )x x x xx xx x x xx xx x x f x g xf x g x f xg xg x h x f x h x A Af xg x h x f x h x A （ ） （ ）（ ） （ ）证 明 ： 当 （ 或 ） 时 ， 与 是无 穷 小 量 ， 且 ，于 是故 0 0 00( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )lim , lim lim( ) ( ) ( )x x x x x xx x xx x x f x g x h xs x f x g x h x s xg x f x g xA As x h x s x 若 当 （ 或 ） 时 ， 、 、 、都 是 无 穷 小 量 ， 且 ，则在 某 些 情 况 下 用 此 法 可 简 化 运 算 .例 16: 0 arctanlimarcsinx xx求 0 arctan ,arcsin x x x x x解 ： 当 时 ， 1limarcsinarctanlim 00 xxxx xx 例 17: 1 1sin1lim 20 xx e xx求 0 1 1n xx x n ， 221sin211sin10 xxxxxx 时 ，当解 ： 0, 1 xx e x 212 xex 2121lim1 1sin1lim 2200 2 xxe xx xxx )1ln()cos1( 2sin)1(lim 20 xx xexx 求例 18: xxxx xxxex x )1ln(,2cos1 ,22sin,102 22 时 ，当解 ： 1 2 2lim)1ln()cos1( 2sin)1(lim 2200 2 xx xxxx xe xxx cos( ) cos(2 )x xxe xe解 : 20 )2cos()cos(lim x xexe xxx 例 19: 3 12sin( )sin( )2 2x xxe xe 3 12sin( )sin( )2 2x xxe xe时当 0 x 3 3sin( )2 2x xxe xe 1 1sin( )2 2x xxe xe 20 )2cos()cos(lim x xexe xxx 20 3 12sin( )sin( )2 2lim x xx xe xex 20 3 12 2 2lim x xx xe xex 23 补 充 三 角 函 数 的 和 差 化 积 与 积 化 和 差)1(2cos2sin2sinsin yxyxyx )2(2sin2cos2sinsin yxyxyx )3(2cos2cos2coscos yxyxyx )4(2sin2sin2coscos yxyxyx )5( )sin()sin(21cossin )6( )sin()sin(21sincos )7( )cos()cos(21coscos )8( )cos()cos(21sinsin 应 用 等 价 无 穷 小 量 代 换 可 简 化 求 极 限 的运 算 ， 但 要 注 意 遵 循 相 应 定 理 的 条 件 .30 ta20 n sinlimx x xx 例 求 xxxxx sin,tan0时 ，当 解 ： 以 下 解 法 是 错 误 的 0limsintanlim 3030 x xxx xx xx 0lim 0tan sinx x xx x 正 确 的 解 法 是 ： 21coslim cos )cos1(sinlimsintanlim 3 20 3030 xx xx xx xxx xx xxx 注 意变 量 乘 除 关 系 可 用 无 穷 小 量 代 替 ，其 它 运 算 关 系 用 无 穷 小 量 代 替 尤 其 要 慎 重 . 2.5 函 数 的 连 续 性 00 0 0 0 0( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )y f x x xx f x f xx xx x x x f x f xy y f x f x 定 义 ： 设 函 数 当 自 变 量 由 初 值 变 到终 值 时 ， 相 应 的 函 数 值 也 由 变 到 ，则 称 为 自 变 量 的 增 量 （ 或 改 变 量 ） ， 记 为， 即 ， 称 为 函 数 的 增 量（ 或 改 变 量 ） ， 记 为 ， 即一 、 函 数 的 增 量0 0 0 0 , ( ) ( )x x x y f x x f xx y x 因 为 所 以当 固 定 时 是 的 函 数 3 0 1(1 ) (1)y x x xy f x f 例 如 ： 函 数 当 自 变 量 在 处 有 改 变 时 ，相 应 函 数 的 改 变 量3 3 2(1 ) 1 ( ) 3( ) 3x x x x x 是 的 函 数注 意 0 x 自 变 量 的 改 变 量 可 正 可 负 ， 但 函 数 的 改 变 量 可 正 可 负 ， 也 可 以 等 于 0 二 、 函 数 的 连 续 性I.函 数 在 某 点 处 的 连 续 性 00 0 0 00 0( ) lim 0,( )( ) xy f x xx yy f x x xy f x x x 定 义 ： 设 函 数 在 点 的 某 邻 域 内有 定 义 ， 若 在 点 处 有 极 限 ： 则称 函 数 在 点 处 连 续 ， 是 连 续 点 .否 则 ， 称 在 点 处 不 连 续 ， 是 间 断 点 . 00 0 0 00 0 0lim 0 0lim ( ) ( ) 0lim ( ) lim ( ) 0 x x xx x x xy x x x x xf x f xf x f x 由 （ ， ） 0 0 0 0lim ( ) ( ) 0lim ( ) ( )x xx xf x f xf x f x 有 0 00lim 0 lim ( ) ( )x x xy f x f x 0( )y f x x函 数 在 点 处 连 续 的 定 义 也 可 写 成 下 面 形 式 ：0 00 0( )lim ( ) ( ) ( ) .x x y f x xf x f x y f x x 定 义 ： 设 函 数 在 点 的 某 邻 域 内 有 定 义 ，若 则 称 函 数 在 点 处 连 续 00 000 ( )1 ( )2 lim ( )3 lim ( ) ( )x xx x y f x xy f x xf xf x f x 由 定 义 知 函 数 在 点 处 连 续 的 三 个 条 件 ：（ ） 在 点 的 某 邻 域 内 有 定 义（ ） 存 在（ ） 处 的 连 续 性讨 论 下 列 函 数 在 点 0 x 01 012 12)()2 0111 01 0)1ln()()1 11 xxxf xx xx xxx xxf xx 例 1: 1解 ： ） ,1)0( f )(lim0 xfx 1lim)1ln(lim 00 xxx x xx 0lim ( )x f x 00 1 1lim 2lim 1( 1 1 )xx x xx xx x x )0(1)(lim0 fxfx 于 是 ( ) 0f x x 在 点 处 连 续 ）2 112 1 0( ) 2 11 0 xx xf x x ,1)0( f )(lim0 xfx 10lim2xx 1 10 0 1lim2 lim 20 xx x x ,110 1012 12lim 1 10 xxx )(lim0 xfx ,101 01 21 21lim12 12lim 110110 xxxxxx )(lim0 xfx )(lim0 xfx 不 存 在)(lim0 xfx( ) 0f x x 故 在 点 处 不 连 续 例 2: 0 0( ) 0lim ( ) lim ( ) (0)x xf x xf x f x f 解 ： 在 点 处 连 续 ， 02sin 01 011sin)( xax x xxxxxf设 )(lim 0 xfx a，x 求处 连 续在 0 0 1lim( sin 1)x x x 1)(lim0 xfx 0 2 sin2lim( ) 22x x a ax 12 a 1a 解 ： 1( ) lim 1txtxt ef x e 例 设3： ( ) 0f x x求 的 表 达 式 并 讨 论 在 点 处 的 连 续 性 .0 x 当 时 1( ) lim 1txtxt ef x e txtxt ee 11lim 10 x当 时 1( ) lim 1txtxt ef x e 10 x 当 时 00 1( ) lim lim0 01t tef x e )(xf 1 0 x0 0 x1 0 x 0 0lim ( ) lim ( ),( ) 0 x xf x f xf x