曲面、曲线及其方程

第 五 节 空 间 曲 面 、 曲 线 及 其 方 程一 . 空 间 曲 面 及 其 方 程二 . 空 间 曲 线 及 其 方 程 一 . 曲 面 及 其 方 程1. 曲 面 及 其 方 程2. 球 面 及 其 方 程4. 二 次 柱 面5. 旋 转 曲 面 及 其 方 程3. 柱 面 及 其 方 程第 五 节 空 间 曲 面 、 曲 线 及 其 方 程 1. 曲 面 及 其 方 程 , 建点 就 与 有 序 的 三 个 实 数系 后在 空 间 中 建 立 直 角 坐 标 立 了 对 应 关 系 。 , , 的 方 程 来 描 述 。含 变 量空 间 中 的 曲 面 可 以 用 包 zyx 程 的 解 析究 可 归 结 为 对 相 应 的 方对 曲 面 的 几 何 性 质 的 研 性 质 的 研 究 。 曲 面 方 程 ) , ,( , 3 上 的位 于 一 张 曲 面点中在 空 间 zyxMR , , 满 足 方 程的 坐 标充 要 条 件 是 点 zyxM 0) , ,( 。zyxF 0) , ,( 的 曲 面 方 程 。称 为方 程 zyxF : 3 是 指 空 间 中 的 点 集中 的 曲 面 R ),( , 0) , ,( | ) , ,( 3 。RzyxzyxFzyx 例 解 )2,4 ,1 ( ),2 ,3,2( ),( BAzyxM 恒 保 持 与 两 定 点已 知 动 点 , 求 动 点 的 轨 迹 方 程 。等 距 , | | : 即 有应 满 足 条 件动 点 MBMAM )2()4()1()2()3()2( 222222 。 zyxzyx , 的 轨 迹 方 程 为整 理 后 得 动 点两 边 平 方 M 0247 。 zyx MA B 的 垂 直 平 分 平 面 。这 是 线 段 AB 2. 球 面 及 其 方 程 球 面 及 其 方 程 ) , ,( , 00003 的 距 离到 定 点中在 空 间 zyxMR 该 球 面 的 方 程 为为 半 径 的 球 面 。以 r , , 0 为 中 心称 为 一 个 以 点的 点 的 集 合等 于 Mr )()()( 2202020 。rzzyyxx , 的 球 面 的 方 程 为半 径 等 于球 心 位 于 坐 标 原 点 r 2222 。rzyx , )()()( 2202020 得展 开将 球 面 方 程 rzzyyxx 0222 2202020000222 。 rzyxzzyyxxzyx :由 此 发 现 , , , .1 其 二 次 项 系 数 相 等 。的 二 次 方 程球 面 方 程 是 一 个 关 于 zyx , , .2 。项球 面 方 程 不 含 二 次 混 合 xzyzxy ? .3 面 方 程的 三 元 二 次 方 程 必 为 球任 何 一 个 满 足 上 述 两 条 2 1 的 三 元 二 次 方 程和设 有 满 足 条 件 )0( , 0222 AGFzEyDxAzAyAx , 0 222 AGzAFyAExADzyx则 , 得配 方 后 ; , 04 222 为 一 球 面时当 AGFED ; , 04 222 为 一 点时当 AGFED , 4 4222 2222222 A AGFEDAFzAEyADx 例 解 086 222 表 示 什 么 曲 面 ？方 程 yxzyx , 得将 方 程 配 方 后 , 25)4()3( 222 zyx 的 球 面 。半 径 等 于为 中 心故 原 方 程 表 示 以 点 5 , )0 4, ,3( M 3. 柱 面 及 其 方 程 柱 面 的 概 念 , * , 3 LLR 平 行 的 直 线与 某 定 直 线中在 空 间 , 称 为 柱 面 。平 行 移 动 所 生 成 的 曲 面沿 已 知 曲 线 柱 面 上 与 定 直称 为 柱 面 的 准 线 ；已 知 曲 线 * 母 线 。平 行 的 直 线 称 为 柱 面 的线 L 称 来 命 名 。柱 面 通 常 以 其 准 线 的 名 * L L 柱 面 的 方 程 , 0),( : yxFxyS 平 面 上 的 曲 线的 准 线 为设 柱 面 , 求 此 柱 面 的 方 程 。轴柱 面 的 母 线 平 行 于 z , ),( 0000 zyxM在 柱 面 上 任 取 一 点 , 0 平 面交轴作 直 线 平 行 于过 点 xyzM ) 0 ,( 00 。于 点 yxMOx yz 0MM , 其 坐 标 满 足上必 在 准 线点 M 0),( 00 。yxF . 0),( 00 yxFM 的 坐 标 满 足 方 程故 点 柱 面 的 方 程 , 0),( : yxFxyS 平 面 上 的 曲 线的 准 线 为设 柱 面 , 求 此 柱 面 的 方 程 。轴柱 面 的 母 线 平 行 于 zOx yz 0MM )0,( 111 yxP ),( 11 zyxP ),( 上在 柱 面 SzyxM 0),( ),( 。的 坐 标 满 足 yxFzyxM , , 3 的 方 程而 缺 少 变 量只 含 变 量中在 空 间 zyxR , 0),( yxF , 平 面 上 的 曲 线准 线 为轴为 母 线 平 行 于 xyz 0),( yxF 0z )( 柱 面 方 程的 柱 面 的 方 程 。 :类 似 地 0),( 。轴 的 柱 面 方 程为 母 线 平 行 于 xzyF 0),( 。轴 的 柱 面 方 程为 母 线 平 行 于 yzxF 例 , 3 ？下 列 方 程 表 示 什 么 曲 面中在 R 1 .1 22 。yx 14 .2 22 。zx 0 .3 。yz : , 平 面 上 的 单 位 圆准 线 为轴母 线 平 行 于 xyz 122 yx 。 0z 圆 柱 面 : , 平 面 上 的 椭 圆准 线 为轴母 线 平 行 于 xzy 14 22 zx 。 0y 椭 圆 柱 面 : , 平 面 上 的 直 线准 线 为轴母 线 平 行 于 yzx 0yz 。 0 x 。轴 的 平 面实 际 上 是 平 行 于 x 二 次 柱 面 及 其 方 程 , 称 为 二 次 柱 面 。曲 线 的 柱 面准 线 为 坐 标 面 上 的 二 次 : .1 圆 柱 面 )()( 222 。rbyax )()( 222 。rbzay )()( 222 。rbzax Ox yz )()( : 222 rbyax 二 次 柱 面 及 其 方 程 , 称 为 二 次 柱 面 。曲 线 的 柱 面准 线 为 坐 标 面 上 的 二 次 : .2 椭 圆 柱 面 12222 。byax 12222 。czby 12222 。czax 1 : 2222 byaxOx yz 二 次 柱 面 及 其 方 程 , 称 为 二 次 柱 面 。曲 线 的 柱 面准 线 为 坐 标 面 上 的 二 次 : .3 抛 物 柱 面 22 。xpy 22 。xpz 22 。zpx : .4 双 曲 柱 面 12222 。byax 12222 。czby 12222 。czax 例解 2 , 与 曲 面准 线 为 平 面轴求 母 线 平 行 于 zz 194 222 的 交 线 的 柱 面 方 程 。 zyx 准 线 方 程 194 222 zyx 2z 2 上 的 曲 线即 为 平 面 z ) 2 ( , 594 22 上在 平 面 zyx 故 所 求 柱 面 方 程 为 ) ( 594 22 轴 的 椭 圆 柱 面母 线 平 行 于。 zyx 旋 转 曲 面 及 其 方 程 旋 转 曲 面 的 概 念 , 3 旋 转 一 周绕 某 一 定 直 线由 一 条 曲 线中在 空 间 LR , 称 为 旋 转 曲 面 。所 生 成 的 几 何 体 。称 为 旋 转 曲 面 的 旋 转 轴直 线 L 的 名 称 来 命 名 。旋 转 曲 面 通 常 以 曲 线 周 。旋 转 曲 面 的 交 线 为 一 圆垂 直 于 旋 转 轴 的 平 面 与 O yzx 旋 转 曲 面 的 方 程 : Lyz平 面 上 的 曲 线求 将 0),( zyF 0 x 轴 旋 转 一 周 所 生 成 的绕 z 旋 转 曲 面 的 方 程 。O yzx L O yzx L , ),0( 00 zyNL上 任 取 一 点在 曲 线 . 0),( 00 zyFN 的 坐 标 满 足 方 程点), ,0( 00 zyN 2022 yyx 0zz 0) ,( 22 。 zyxF NzL 轴 旋 转 一 周 时 ， 点绕当 曲 线 ：轴 旋 转 一 周 生 成 一 圆 周绕 z 220 yxy z 0 z ),( 满 足 关 系 式 ：圆 周 上 点 的 坐 标 zyx 0),( 00 得 到 旋 转 曲 面 方 程 ：将 上 述 关 系 式 代 入 方 程 yxF 旋 转 曲 面 的 方 程 : Lyz平 面 上 的 曲 线 0),( zyF 0 x 轴 旋 转 一 周绕 z 程 为所 生 成 的 旋 转 曲 面 的 方 0) ,( 22 。 zyxF , , 22 代 替 。用不 动轴绕 yxyzz 0),( zyF 0 x 0),( zyF 0 x , , 22 代 替 。用不 动轴绕 zxzyy 旋 转 曲 面 的 方 程 : Lxy平 面 上 的 曲 线 0),( yxF 0z 轴 旋 转 一 周绕 x 程 为所 生 成 的 旋 转 曲 面 的 方 0) ,( 22 。 zyxF , , 22 代 替 。用不 动轴绕 zyyxx 0),( yxF 0z 0),( yxF 0z , , 22 代 替 。用不 动轴绕 zxxyy 旋 转 曲 面 的 方 程 : Lxz平 面 上 的 曲 线 0),( zxF 0y 轴 旋 转 一 周绕 x 程 为所 生 成 的 旋 转 曲 面 的 方 0) ,( 22 。 zyxF , , 22 代 替 。用不 动轴绕 zyzxx 0),( zxF 0y 0),( zxF 0y , , 22 代 替 。用不 动轴绕 yxxzz 例 解 求 12222 czby 0 x 面 方 程 。轴 旋 转 一 周 所 生 成 的 曲绕 z 所 生 成 的 曲 面 方 程 为 , 1) ( 222 222 czb yx 1 222222 。即 czbybx )(旋 转 椭 球 面面 方 程轴 旋 转 一 周 所 生 成 的 曲绕 y 1222222 。 czbycx 例 曲 面 ？下 列 方 程 是 否 表 示 旋 转 , 。请 说 明 它 是 如 何 产 生 的如 果 是 1 .1 222222 。 czayax 0 .2 22 。 zyx 0 .3 222 。 zyx 1754 .4 222 。 zyx 是 不 是 是 是 二 . 空 间 曲 线 及 其 方 程1.空 间 曲 线 的 一 般 方 程2. 空 间 曲 线 的 参 数 方 程3. 空 间 曲 线 在 坐 标 面 上 的 投 影 , 3 条 曲 线 。相 交 的 两 张 曲 面 确 定 一空 间 中在 R 0),( : 0),( : 21 zyxGzyxF 与相 交 的 两 曲 面 的 方 程 为所 确 定 的 曲 线 , 0),( zyxF 0),( 。zyxG 3中 曲 线 的 一 般 方 程 。该 方 程 组 称 为 空 间 R 3 不 止 一 对 曲 面 的 交 线 。中 的 一 条 曲 线 可 以 作 为空 间 R1. 空 间 曲 线 的 一 般 方 程 例解 , 3空 间 中写 出 R 心 的 单 位 圆 的 方 程 。平 面 上 以 坐 标 原 点 为 圆xy 1 22 与轴 的 圆 柱 面看 成 母 线 平 行 于 yxz , 则 所 求 方 程 为坐 标 面 的 交 线xy , 122 yx 0。z 例解 , 3空 间 中写 出 R 心 的 单 位 圆 的 方 程 。平 面 上 以 坐 标 原 点 为 圆xy 1 222 与的 单 位 球 面看 成 以 坐 标 原 点 为 中 心 zyx , 则 所 求 方 程 为坐 标 面 的 交 线xy , 1222 zyx 0。z 例解 , 3空 间 中写 出 R 心 的 单 位 圆 的 方 程 。平 面 上 以 坐 标 原 点 为 圆xy 1 1 22222 的 交 线与 球 面看 成 圆 柱 面 zyxyx 则 所 求 方 程 为 , 122 yx 1222 。 zyx , 相 同 。但 它 们 的 几 何 意 义 却 不 数 解 相 同尽 管 这 三 个 方 程 组 的 代 2. 空 间 曲 线 的 参 数 方 程 3 上 的 任 意 一 点中 的 曲 线来 表 示 空 间用 参 数 Rt : ),( 的 坐 标zyxM , )( txx , )( tyy , )( tzz , bta 的 参 数 方 程 。线则 称 该 方 程 组 为 空 间 曲 Ox y例解 222 上 以 角 速 度在 圆 柱 面若 点 ayxP , 轴 正 向 作 匀 速沿 平 行 于同 时 又 以 速 度轴 匀 速 旋 转绕 zvz , 的 运 动 方 程 。求 点直 线 运 动 P tz aA PP , 处 开 始 运 动轴 上 点由设 点 AxP ),( 处 。时 运 动 到 点在 时 刻 zyxPt )0 ,( 。平 面 上 的 投 影 为在点 yxPxyP ) ( , 转 动则 tPAO ) ( , | 上 升 tvPP , sin , cos 。故 tvztaytax O xy )0 ,( yxP t Aa yx Ox y例解 , 轴 正 向 作 匀 速沿 平 行 于同 时 又 以 速 度轴 匀 速 旋 转绕 zvz , 的 运 动 方 程 。求 点直 线 运 动 P tz aA PP 的 运 动 方 程 可 表 示 为点 P 螺 旋 线 。该 方 程 表 示 的 曲 线 称 为, cos tax , sin tay 。tvz )0, t 222 上 以 角 速 度在 圆 柱 面若 点 ayxP 3. 空 间 曲 线 在 坐 标 面 上 的 投 影空 间 曲 线 在 坐 标 面 上 的 投 影 , , xyz 轴 的 柱 面作 母 线 平 行 于为 准 线以 空 间 曲 线 平 面 上 的 投 影 。在平 面 的 交 线 为 曲 线与称 柱 面 xyxyxy , 称 为 投 影 柱 面 。称 柱 面此 时 yxzo 3 的 方 程 为中 曲 线设 R , 0),(1 zyxF , 0),(2 zyxF 的 方 程轴 的 柱 面便 得 到 母 线 平 行 于由 方 程 组 消 去 变 量 xyzz 0),( 。yxF , 。即 为 投 影 柱 面柱 面上位 于 柱 面曲 线 xyxy 坐 标 面在的 交 线 就 是 曲 线与 坐 标 面投 影 柱 面 xyxyxy :上 的 投 影 , 0),( yxF 0。z yxzo 由 方 程 组 0),(1 zyxF 0),(2 zyxF , 坐可 得 往消 去 变 量 yzx 的 方 程标 面 上 的 投 影 柱 面 zy , 0),( zyF 坐 标 面 上 的 投 影 为在则 曲 线 yz , 0),( zyF 0。x , 同 理 由 方 程 组 0),(1 zyxF 0),(2 zyxF , 坐可 得 往消 去 变 量 xzy 的 方 程标 面 上 的 投 影 柱 面 zx , 0),( zyF 坐 标 面 上 的 投 影 为在则 曲 线 zx , 0),( zxF 0。y , 同 理 例解 1)1()1( 1 : 222222 的 交 线与求 球 面 zyxzyx 。在 三 个 坐 标 面 上 的 投 影 .1 坐 标 面 上 的 投 影在 xy 由 1222 zyx 1)1()1( 222 zyx :)( 两 式 相 减消 去 变 量 z , 0)1()1( 2222 zzyy 1 。即 zy , 1 得一 个 中代 入 两 个 球 面 方 程 的 任以 yz 022 : 22 。投 影 柱 面 方 程 yyxyx , 所 求 投 影 为从 而 , 022 22 yyx 0。z ) ( 平 面 上 的 椭 圆xy 例解 1)1()1( 1 : 222222 的 交 线与求 球 面 zyxzyx 。在 三 个 坐 标 面 上 的 投 影 .2 坐 标 面 上 的 投 影在 xz 由 1222 zyx 1)1()1( 222 zyx :)( 两 式 相 减消 去 变 量 y , 0)1()1( 2222 zzyy 1 。即 zy , 1 得一 个 中代 入 两 个 球 面 方 程 的 任以 zy 022 : 22 。投 影 柱 面 方 程 zzxzx , 所 求 投 影 为从 而 , 022 22 zzx 0。y ) ( 平 面 上 的 椭 圆xz 例解 1)1()1( 1 : 222222 的 交 线与求 球 面 zyxzyx 。在 三 个 坐 标 面 上 的 投 影 .3 坐 标 面 上 的 投 影在 yz 由 1222 zyx 1)1()1( 222 zyx :)( 两 式 相 减消 去 变 量 x , 0)1()1( 2222 zzyy 1 。即 zy 1 : 。投 影 柱 面 方 程 zyzy , 所 求 投 影 为从 而 , 1zy 0。x ) ( 平 面 上 的 直 线 段yz yzO 请 注 意 ：一 条 曲 线 在 一 个 坐 标 面 上 的 投 影 是 唯 一 的 。坐 标 面 上 的 一 条 曲 线 可 以 是 无 穷 多 条 曲 线 的 投 影 。 半 球 面 与 锥 面 的 交 线 为 )(34: 22 22 yxz yxzC由 方 程 消 去 z , 得 x2 + y2 =1 yx z Ox2 + y2 1于 是 交 线 C 在 xoy面 上 的 投 影 曲 线 为x2 + y2 = 1z = 0 这 是 xoy面 上 的 一 个 圆 .求 上 半 球 面 和 锥 面224 yxz )(3 22 yxz 的 交 线 在 xoy面 上 的 投 影 曲 线 .练 习 圆 柱 面 )(解 : 1、 椭 球 面2、 抛 物 面3、 双 曲 面第 六 节 二 次 曲 面 的 标 准 方 程 :曲 面 的 对 称 性 , ),(),( .1 zyxFzyxF 若 )( 其 余 类 推对 称 。则 曲 面 关 于 坐 标 面 xy , ),(),( .2 zyxFzyxF 若 )( 其 余 类 推轴 对 称 。则 曲 面 关 于 坐 标 轴 x , ),(),( .3 zyxFzyxF 若 称 。则 曲 面 关 于 坐 标 原 点 对 研 究 方 法 是 采 用 平 面 截 割 法 .二 次 曲 面由 x, y, z的 二 次 方 程 :ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0所 表 示 的 曲 面 , 称 为 二 次 曲 面 . 其 中 a, b, , i, j 为 常 数 且 a, b, 不 全 为 零 .c, d,e,f 几 种 常 见 二 次 曲 面 .(1) 椭 球 面 z ox yO1222222 Czbyax对 称 性 有 界 性 czbyax | | ,| ox yOz2 用 平 面 z = k去 截 割 (要 求 |k | c), 得 椭 圆 kz ckbyax 222222 1当 |k | c 时 , |k |越 大 , 椭 圆 越 小 ;当 |k | = c 时 , 椭 圆 退 缩 成 点 .1 用 平 面 z = 0去 截 割 , 得 椭 圆 0 12222z byax kz kccb ykcca x 1)()( 2222 22222 2即 3 类 似 地 , 依 次 用 平 面 x = 0, 平 面 y = 0截 割 , 得 椭 圆 :,0 12222 x czby .0 12222 y czax z ox yO 椭 球 面 的 几 种 特 殊 情 况 ：,)1( ba 1222222 czayax 旋 转 椭 球 面12222 czax由 椭 圆 绕 轴 旋 转 而 成 z旋 转 椭 球 面 与 椭 球 面 的 区 别 1222 22 cza yx方 程 可 写 为 ,)2( cba 1222222 azayax 球 面.2222 azyx 方 程 可 写 为 （ 2） 双 曲 抛 物 面 zbyax 2222 zx y 0 02222z byax zx y 0 22y zax 0 22x zby 交 线 为 ：双 曲 抛 物 面 与 坐 标 面 xy(1) 交 线 为 ：与 坐 标 面双 曲 抛 物 面xz 交 线 为 ：双 曲 抛 物 面 与 坐 标 面 yz zbyax 2222 kz kbyax 2222 的 交 线 为 ：双 曲 抛 物 面 与 平 面 kz)2( 0k 0k kz kbykax 1)()( 2222 kz kaxkby 1)()( 2222 zx y z byax 2222 ky bakzax 222 )( 的 交 线 为 ：双 曲 抛 物 面 与 平 面 ky zx y kx abkzby 222 )(的 交 线 为 ：平 面双 曲 抛 物 面 与kx zbyax 2222 (3) 椭 圆 抛 物 面 : zbyax 22221 平 面 z = k ,(k 0)截 割 , 截 线是 平 面 z = k上 的 椭 圆 . kz kbyax 2222k = 0时 , 为 一 点 O(0,0,0); 随 着 k增 大 , 椭 圆 也 增 大 .z yx o2 用 平 面 y = k去 截 割 , 截 线 是 抛 物 线,2222 ky zbkax . ,0 22axzk 为时当 3 类 似 地 ， 用 平 面 x = k 去 截 割 , 截 线 是 抛 物 线 . kx zbyak 2222 . ,0 22byzk 为时当 z yx o zbyax 2222 （ 4） 单 叶 双 曲 面 1222222 czbyax(a, b, c均 大 于 0)以 平 行 于 xy 面 的 平 面 z=z0 截 曲 面 ，所 得 截 线 方 程 为 ,1 2202222 czbyax .0zz 椭 圆 以 平 行 于 xz面 的 平 面 y=y0截 曲 面 ， 所 得 截 线 方 程 为,1 2202222 byczax .0yy 双 曲 线以 平 行 于 yz 面 的 平 面x=x0 截 曲 面 ， 所 得 截 线方 程 为 ： ,1 2202222 axczby .0 xx 双 曲 线 1222222 czbyax （ 5） 双 叶 双 曲 面 1222222 czbyax(a, b, c均 大 于 0)以 平 行 于 xy 面 的 平 面 z=z0 截 曲 面 ， 所 得 截 线 方 程 为 ,12202222 czbyax .0zz 椭 圆 0zx y 以 平 行 于 xz面 的 平 面 y=y0截 曲 面 ， 所 得 截 线 方 程 为,1 2202222 byaxcz .0yy 双 曲 线以 平 行 于 yz 面 的 平 面x=x0 截 曲 面 ， 所 得 截 线方 程 为 ： ,1 2202222 axbycz .0 xx 双 曲 线 0zx y 1222222 czbyax 椭 球 面 、 抛 物 面 、 双 曲 面 、 截 割 法 .（ 熟 知 这 几 个 常 见 曲 面 的 特 性 ）小 结 思 考 题方 程 3 254 222x zyx 表 示 怎 样 的 曲 线 ？思 考 题 解 答 3 254 222x zyx .3 164 22 x zy 表 示 双 曲 线 . 思 考 题 解 答 3 254 222x zyx .3 164 22 x zy 表 示 双 曲 线 . 三 、 画 出 下 列 各 曲 面 所 围 成 的 立 体 的 图 形 ：1、 4,2,1,0,0 yzyxzx ； 2、 222,0,0,0 Ryxzyx , 222 Rzy (在 第 一 卦 限 内 ) . 练 习 题 练 习 题 答 案 一 、 0 922z xy ,位 于 平 面 3z 上 的 抛 物 线 .x yzo ox yz二 、 .1 .2 .2.1三 、 x 1 yzo 2x yzo RR R 1 共 面 且，使，求 一 单 位 向 量，已 知 bancnn kjickjbia , ,22,2 000 2 .40128 4,04 05: 角 的 平 面 方 程组 成 且 与 平 面求 过 直 线 z yxzx zyx3 .12 43: ,12:)1,1,1(2 10 Lxz xyL xz xyLM 都 相 交 的 直 线且 与 两 直 线求 过 点 4 .02 :01 012: 上 的 投 影 直 线 的 方 程在 平 面求 直 线 zyx zyx zyxL5 . ,110 1:求 旋 转 曲 面 的 方 程 轴 旋 转 一 周绕直 线 zzyxL 典 型 例 题例 1解 共 面 且，使，求 一 单 位 向 量，已 知 bancnn kjickjbia , ,22,2 000 ,0 kzjyixn 设 由 题 设 条 件 得1| 0 n cn 0 ban 0 02 022 1222 zy zyx zyx解 得 ).323132(0 kjin 例 2解 .40128 4,04 05: 角 的 平 面 方 程组 成 且 与 平 面求 过 直 线 z yxzx zyx过 已 知 直 线 的 平 面 束 方 程 为 ,0)4(5 zxzyx ,04)1(5)1( zyx即 由 题 设 知 114sin nn nn 222222 )1(5)1()8()4(1 )8()1()4(51)1( ,272 322 2 即 由 此 解 得 .43代 回 平 面 束 方 程 为 .012720 zyx 例 3解 .12 43: ,12:)1,1,1(2 10 Lxz xyL xz xyLM 都 相 交 的 直 线且 与 两 直 线求 过 点 12 43:,12: 21 tz ty txLtz ty txL 的 交 点 分 别 为与设 所 求 直 线 21 , LLL ).12,43,()1,2,( 222111 tttBtttA 和 ,)1,1,1(0 三 点 共 线与 BAM 即 有, 00 对 应 坐 标 成 比 例于 是 BMAM ,1)12( 1)1(1)43( 1211 212 121 ttt ttt ,2,0 21 tt解 之 得 )3,2,2(),1,0,0( BA ,)3,2,2()1,1,1(0 上同 在 直 线和点 LBM 的 方 程 为故 L .2 11 11 1 zyx ).(00 为 实 数故 BMAM L例 4解 .02 :01 012: 上 的 投 影 直 线 的 方 程在 平 面求 直 线 zyx zyx zyxL 的 平 面 束 方 程 为过 直 线 L ,0)1()12( zyxzyx .0)1()1()1()2( zyx即 ,垂 直 于 平 面又 .0)1()1(2)1(1)2( ,014 即 41故 ,代 入 平 面 束 方 程将 .013 zyx得所 求 投 影 直 线 方 程 为 .02 013 zyx zyx 例 5解 . ,110 1:求 旋 转 曲 面 的 方 程 轴 旋 转 一 周绕直 线 zzyxL ),1( 111 zyM设 直 线 上 一 点 ,11 zy 有 位 置到 达旋 转 后 ),(),1( 111 zyxMzyM由 于 高 度 不 变 , ,1zz 有 ,1 不 因 旋 转 而 改 变轴 的 距 离到和又 rzMM 212 1 yr 故 ,22 yx ,11 yzz 由 于故 所 求 旋 转 曲 面 方 程 为 .1222 zyx )()()()( 1)(, accbba cbacba则 ，满 足设 向 量 1.B0A. 3.D2C. 1222222 czbyax .