无限长数字滤波器

第六章 IIR数字滤波器的设计 本章思路：滤波是信号处理中最为重要的方法，数字滤波器与模拟滤波器相比有很多优势 IIR数字滤波器的设计有两种方法：间接设计法和直接设计法间接设计法借助模拟滤波器的设计方法来设计数字滤波器，是本章的重点所以本章内容： a.滤波的基本概念 b.模拟滤波器设计 c.模拟滤波器到数字滤波器的设计方法 6.1滤波的基本概念滤波就是提取输入信号中的有用频率成分，抑制无用频率成分的信号处理过程。所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。所谓数字滤波器设计，就是要找出满足滤波要求的系统的单位脉冲响应h(n)，或者系统的系统函数H(z).正因为数字滤波通过数值运算实现滤波，所以数字滤波器处理精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。 傅立叶分析告诉我们，任何波形的时域信号都是由不同频率的正弦信号叠加形成的。通过频域分析我们可以发现该波形是单一频率正弦波调制的双边带信号与宽带噪声干扰的叠加，双边带信号的载波频率为100 Hz，而干扰噪声的频率大于170 Hz 滤波器模拟滤波器数字滤波器经典滤波器根据滤波特性来分：低通；高通；带通；带阻 (理想滤波器是不可实现的,只能在一定程度上去逼近)从单位脉冲响应长度来分：IIR-DF；FIR-DF现代滤波器寻找在某种准则下的最优解维纳滤波器，卡尔曼滤波器，自适应滤波器从对信号处理的作用来分：选频；其他 2 数字滤波器的技术指标常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的频率响应函数H(ej)用下式表示： H(ej)=|H(ej)|ej() 式中，|H(ej)|称为幅频特性函数; ()称为相频特性函数。幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅衰减情况，而相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。因此，即使两个滤波器幅频特性相同，而相频特性不同，对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。 1. p和s分别称为通带边界频率和阻带截止频率。2. 从p到s称为过渡带，过渡带上的频响一般是单调下降的3. 通带频率范围为0|p，在通带中要求(11)|H(ej)|1，阻带频率范围为s|，在阻带中要求|H(ej)|2。 显然，p 越小, 通带波纹越小，通带逼近误差就越小； s越大, 阻带波纹越小，阻带逼近误差就越小； p与s间距越小, 过渡带就越窄。所以低通滤波器的设计指标完全由通带边界频率p 、通带最大衰减p 阻带边界频率s和阻带最小衰减s确定。 (6.1.3a)(6.1.4a)pjjp 0,dB|)e(|min |)e(|maxlg20 HH js jmax| (e )|20lg dBmax| (e )|HH 通带中阻带中 片段常数特性： 对于选频型滤波器，一般对通带和阻带内的幅频响应曲线形状没有具体要求，只要求其波纹幅度小于某个常数，通常将这种要求称为“片段常数特性”。所谓片段，是指“通带”和“阻带”，常数是指“通带波纹幅度1”和“阻带波纹幅度2”，而通带最大衰减p和阻带最小衰减s是与1和2完全等价的两个常数。片段常数特性概念在选频型滤波器设计中很重要，尤其有助于理解IIR数字滤波器的双线性变换设计思想。 图6.1.3所示的单调下降幅频特性，p和s别可以表示为 如果将|H(ej0)|归一化为1，(6.1.3b)和(6.1.4b)式则表示为： dB|)e(| |)e(|lg20 pj 0jp HH (6.1.3b)(6.1.4b)dB|)e(| |)e(|lg20 sj 0js HH (6.1.5)(6.1.6)dB|)e(|lg20 pjp H dB|)e(|lg20 sjs H 当幅度下降到 时，标记=c，此时 dB，称c为3 dB通带截止频率。p、c和s统称为边界频率，它们是滤波器设计中所涉及到的很重要的参数。对其他类型的滤波器，(6.1.3b)式和(6.1.4b)式中的H(ej0)应改成 ，0为滤波器通带中心频率。2/2 3p)( 0jeH FIR滤波器不能采用间接法，常用的设计方法有窗函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。3 数字滤波器设计方法概述IIR滤波器设计方法有间接法和直接法间接法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的其设计步骤是： 先设计过渡模拟滤波器得到系统函数Ha (s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。 模拟高通、带通和带阻滤波器的设计过程是： 先将希望设计的各种滤波器的技术指标转换为低通滤波器技术指标，然后设计相应的低通滤波器，最后采用频率转换法将低通滤波器转换成所希望的各种滤波器。 IIR滤波器设计方法直接法间接法零极点累试法频域幅度平方误差最小法时域直接设计法脉冲响应不变法双线性变换法 6.2 模拟滤波器的设计巴特沃斯(Butterworth)滤波器:具有单调下降的幅频特性；切比雪夫(Chebyshev)滤波器:幅频特性在通带或者阻带有等波纹特性，可以提高选择性；椭圆(Ellipse)滤波器:选择性是最好的，但通带和阻带内均呈现等波纹幅频特性，相位特性的非线性也稍严重。贝塞尔(Bessel)滤波器:通带内有较好的线性相位特性； 图6.2.1 各种理想模拟滤波器幅频特性 6.2.1 模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法本书中，分别用ha(t)、a(s)、Ha(j)表示模拟滤波器的单位冲激响应、系统函数、频率响应函数，三者的关系如下： 可以用ha(t)、Ha(t)、Ha(j)中任一个描述模拟滤波器，也可以用线性常系数微分方程描述模拟滤波器。但是设计模拟滤波器时，设计指标一般由幅频响应函数|H a(j)|给出，而模拟滤波器设计就是根据设计指标，求系统函数Ha(s)。 a a a ja a a( ) LT ( ) ( )e d(j ) FT ( ) ( )e dst tH s h t h t tH h t h t t 2a a( ) 20lg (j ) 10lg (j ) dB A H H 损耗函数的优点是对幅频响应|H a(j)|的取值非线性压缩，放大了小的幅度，从而可以同时观察通带和阻带频响特性的变化情况。直接画出的损耗函数曲线图正好与幅频特性曲线形状相反，所以，习惯将A()曲线称为损耗函数 2p a p10lg| (j )|H 2s a s10lg| (j )|H )1lg(20 1p 2s lg20 滤波器的技术指标给定后，需要设计一个系统函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标。一般滤波器的单位冲激响应为实函数，因此 如果能由 p、p、 s和s求出|Ha(j)|2，那么就可以求出Ha(s)Ha(s)，由此可求出所需要的Ha(s)。Ha(s)必须是因果稳定的，因此极点必须落在s平面的左半平面，相应的H a(s)的极点必然落在右半平面。这就是由Ha(s)Ha(s)求所需要的Ha(s)的具体原则，即模拟低通滤波器的逼近方法。因此幅度平方函数在模拟滤波器的设计中起着很重要的作用。对于上面介绍的五种典型滤波器，其幅度平方函数都有确知表达式，可以直接引用。 )j()j(|)()(|)j(| *aajaa2a HHsHsHH s (6.2.6) 6.2.2 巴特沃斯低通滤波器的设计1 巴特沃斯低通模拟滤波器设计原理巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示： (6.2.7) 式中，N称为滤波器的阶数。当=0时，|Ha(j)|=1； = c时， ，c是3 dB截止频率。在=c附近，随加大，幅度迅速下降。 NH 2c2a 1 1|)j(| 2/1|)(| jHa 幅度特性与和N的关系如图6.2.4所示。幅度下降的速度与阶数N有关，N愈大，通带愈平坦，过渡带愈窄，过渡带与阻带幅度下降的速度愈快, 总的频响特性与理想低通滤波器的误差愈小。以s替换j，将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数： (6.2.8) NssHsH 2caa j1 1)()( 2 2( )N Ncs j (6.2.9)式中，k=0，1，2，2N-1。)2 1221(jcc21 e)j()1( NkNks S平面上有2N个极点等角距分布在半径为c的圆上，极点对称于实轴和虚轴，虚轴上无极点，N为奇数时实轴上有极点, N为偶数时实轴上没有 极点各极点之间的角距为N a a 1 10 0( ) ( ) .( ) ( )N Nk rk rA BH s H s s s s s a 2 *1( ) ( )( )N k kk AH s s s s s 10 ca )()( Nk kN sssH 2 2a 2 2 12*1 1(0) 1 1( )( ) N Nc cN N kk k kk kA AH As s s (6.2.11) 令p=+j=s/c，=/c，称为归一化频率， p称为归一化复变量，这样巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为 (6.2.12)a 1c 0 c c1N kksG ss 10a )(1)( Nk kpppG 式中，pk=sk/c, 为归一化极点，用下式表示： (6.2.13) 显然, 这样，只要根据技术指标求出阶数N，按照(6.2.13)式求出N个极点，再按照(6.2.12)式得到归一化低通原型系统函数G a(p)，如果给定c，再去归一化，即将p=s/c代入Ga(p)中(或由(6.2.14)式求出sk=cpk)，便得到期望设计的系统函数Ha(s)。 110 e 2 1221j ,N,kp Nkk ck ks p (6.2.14) 将极点表示式(6.2.13)代入(6.2.12)式，得到Ga(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示： （6.2.15） 归一化原型系统函数Ga(p)的系数bk，k=0，1，N1，以及极点pk，可以由表6.2.1得到。另外，表中还给出了Ga(p)的因式分解形式中的各系数，这样只要求出阶数N，查表可得到G a(p)及各极点, 而且可以选择级联型和直接型结构的系统函数表示形式，避免了因式分解运算工作。a 1 21 2 1 01( ) N N NN NG p p b p b p b p b 表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数 1) 计算阶数N和3 dB截止频率c的公式并考虑巴特沃斯滤波器的单调下降特性(边界频率点若满足指标，则其他频率点必然满足要求。)以及H(j0)=1，可以得到 由于巴特沃斯滤波器的幅度平方函数为 22)(lg10)(lg20 )(lg10)(lg20 sasas papap jHjH jHjH Nca jH 22 )(1 1)( 因此 上式两边取指数得到：)(1lg10)(lg10 )(1lg10)(lg10 22 22 NcSsas Ncppap jH jH 110)( 110)( )(110 )(110 1.02 1.02 21.0 21.0 spsp Ncs Ncp Ncp Ncp 两式相除消去c, 得到只有一个未知量N的方程：令 则 sp/10s /10p 10 110 1N s sp p sp/10sp /1010 110 1k spsplglgkN 用上式求出的N可能有小数部分，应取大于或等于N的最小整数。关于3 dB截止频率c，如果技术指标中没有给出，可以按照(6.2.16)式或(6.2.17)式求出。由(6.2.16)式得到： (6.2.19) N211.0pc )110( p 由(6.2.17)式得到：(6.2.20)N211.0sc )110( s 请注意，如果采用(6.2.19)式确定c，则通带指标刚好满足要求，阻带指标有富余； 如果采用(6.2.20)式确定c，则阻带指标刚好满足要求，通带指标有富余。总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下： (1) 根据技术指标p、 p、s和s，用(6.2.18)式求出滤波器的阶数N。(2) 按照(6.2.13)式，求出归一化极点pk，将pk代入(6.2.12)式，得到归一化低通原型系统函数Ga(p)。也可以根据阶数N直接查表6.2.1得到p k和Ga(p)。 (3) 将Ga(p)去归一化。将p=s/c代入Ga(p)，得到实际的滤波器系统函数 这里c为3 dB截止频率，如果技术指标没有给出c，可以按照(6.2.19)式或(6.2.20)式求出。【例6.2.1】 已知通带截止频率fp=5 kHz，通带最大衰减 p=2 dB，阻带截止频率fs=12 kHz，阻带最小衰减 s=30 dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。c|)()(a sppGsH 解 (1) 确定阶数N。sp0.1sp 0.1ssp p10 1 41.322310 12 2.42lg41.3223 4.25lg2.4k ffN 取N=5 (2) 按照(6.2.13)式，其极点为 按照(6.2.12)式，归一化低通原型系统函数为 上式分母可以展开成五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解式。这里不如直接查表6.2.1简单，由N=5直接查表得到： 57j456j3 j254j153j0 e e e ee pp ppp， 40a )(1)( k kpppG 极点：0.3090j0.9511， 0.8090j0.5878, 1.0000归一化低通原型系统函数为 式中, b0=1.0000，b1=3.2361，b2=5.2361，b3=5.2361，b4=3.2361分母因式分解形式为以上公式中的数据均取小数点后四位。 012233445a 1)( bpbpbpbpbppG )1)(16180.1)(16180.0( 1)( 22a ppppppG (3) 为将Ga(p)去归一化，先求3 dB截止频率c。按照(6.2.19)式，得到： 将c代入(6.2.20)式，得到: 10.1 2c p(10 1) 2 5.2755 krad/sp N s 10.1 2s c(10 1) 2 10.525 krad/sN 此时算出的比题目中给的s小，因此，过渡带小于指标要求。或者说，在s=212 krad/s时衰减大于30 dB，所以说阻带指标有富余量。将p=s/c代入Ga(p)中, 得到： s 5c04c123c232c34c45 5ca )( bsbsbsbsbssH 6.2.3 切比雪夫滤波器的设计1 切比雪夫滤波器的设计原理巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带还是阻带都是频率的单调减函数。因此，当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有较大富余量。因此，更有效的设计方法应该是将逼近精确度均匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时均匀分布在两者之内。这样，就可以使滤波器阶数大大降低。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。 切比雪夫滤波器的幅频特性就具有这种等波纹特性。它有两种形式： 振幅特性在通带内是等波纹的、在阻带内是单调下降的切比雪夫型滤波器； 振幅特性在通带内是单调下降、在阻带内是等波纹的切比雪夫型滤波器。采用何种形式的切比雪夫滤波器取决于实际用途。图6.2.7(a)和(b)分别画出不同阶数的切比雪夫型和型滤波器幅频特性。 图6.2.7 不同阶数的切比雪夫型和型滤波器幅频特性 6.2.4 椭圆滤波器的设计椭圆（Elliptic）滤波器在通带和阻带内都具有等波纹幅频响应特性。由于其极点位置与经典场论中的椭圆函数有关，所以由此取名为椭圆滤波器。又因为在1931年考尔（Cauer）首先对这种滤波器进行了理论证明，所以其另一个通用名字为考尔（Cauer）滤波器。椭圆滤波器的典型幅频响应特性曲线如图6.2.10所示。 由图6.2.10(a)可见，椭圆滤波器通带和阻带波纹幅度固定时，阶数越高, 过渡带越窄； 由图6.2.10(b)可见，当椭圆滤波器阶数固定时，通带和阻带波纹幅度越小, 过渡带就越宽。所以椭圆滤波器的阶数N由通带边界频率p、阻带边界频率s、通带最大衰减 p和阻带最小衰减 s共同决定。后面对五种滤波器的比较将证实，椭圆滤波器可以获得对理想滤波器幅频响应的最好逼近，是一种性能价格比最高的滤波器，所以应用非常广泛。 图6.2.10 椭圆滤波器幅频响应特性曲线 6.2.5 五种类型模拟滤波器的比较 前面讨论了四种类型的模拟低通滤波器（巴特沃思、切比雪夫型、切比雪夫型和椭圆滤波器）的设计方法，这四种滤波器是主要考虑逼近幅度响应指标的滤波器，第五种（贝塞尔滤波器）是主要考虑逼近线性相位特性的滤波器。 当阶数相同时，对相同的通带最大衰减 p和阻带最小衰减s，巴特沃思滤波器具有单调下降的幅频特性，过渡带最宽。两种类型的切比雪夫滤波器的过渡带宽度相等，比巴特沃思滤波器的过渡带窄，但比椭圆滤波器的过渡带宽。切比雪夫型滤波器在通带具有等波纹幅频特性，过渡带和阻带是单调下降的幅频特性。切比雪夫型滤波器的通带幅频响应几乎与巴特沃思滤波器相同，阻带是等波纹幅频特性。椭圆滤波器的过渡带最窄，通带和阻带均是等波纹幅频特性。 相位逼近情况: 巴特沃思和切比雪夫滤波器在大约3/4的通带上非常接近线性相位特性，而椭圆滤波器仅在大约半个通带上非常接近线性相位特性。贝塞尔滤波器在整个通带逼近线性相位特性，而其幅频特性的过渡带比其他四种滤波器宽得多。复杂性: 在满足相同的滤波器幅频响应指标条件下，巴特沃思滤波器阶数最高，椭圆滤波器的阶数最低，而且阶数差别较大。所以，就满足滤波器幅频响应指标而言，椭圆滤波器的性能价格比最高，应用较广泛。 图6.2.12 各种滤波器幅频特性曲线及边界频率示意图 6.3 IIR数字滤波器的设计 给定一个数字滤波器的技术指标，要求设计数字滤波器：1.首先将数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标2.设计相应的模拟滤波器，得到系统函数Ha(s)3.将模拟滤波器的系统函数Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z) 由模拟变换到数字的映射必须满足两条基 本 要 求：因果稳定的Ha(s)应能映射成因果稳定的H(z).为 保 持 滤 波 器 稳 定 性，S 平 面 的 左 半 平 面 必 须 映 射 到Z 平 面 的 单 位 圆 内， 即Res0 |z|1H(z)的频率响应要能模仿H a(s)的频率响应。S 平 面 的 虚 轴 j 必 须 映 射 到 Z 平 面 的 单 位 圆上 二、由模拟滤波器设计数字滤波器条件0S z- 1 10S z- 1 1 转换方法介绍两种：脉冲响应不变法，双线性变换法学习这两种转换方法，着重分析如下几点1.从Ha(s)到H(z)的公式2.分析这种转换方法的性能 (1)是否实现模拟因果稳定到数字因果稳定转换 (2)模拟系统虚轴是否转换到数字系统单位圆 (3)得到的数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应的相似程度3.优点和缺点 脉冲响应不变法 为了简化推导，设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点sk(k=1, 2, , N), 且分母多项式阶次高于分子多项式阶次，则Ha(s)可以用如下部分分式表示：(1) 对Ha(s)拉氏逆变换，求得单位冲激响应ha(t): Nk kka ss AsH 1)( ) ( ) kN s ta kkh t A e u t1 (2) 对ha(t)采样得到数字滤波器单位脉冲响应h(n): (3) 对h(n)进行Z变换得到数字滤波器系统函数H(z): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k kN Ns nT s T na k kk kh n h nT A e u nT A e u n 1 1( ) ( ) ( ) k kN Ns T n n kk s Tn k k AH z A e u n z e z 11 1 1 11 1( ) ( ) 1( kN Nk ka s Tk kkA AH s s H zs s e z z 平面）（平面） n nTtthth )()()( aa n snT stn stnTh tnTtth dtthsH e)( de)()( e)()( a aaa sTsT zn znn snT zHznhnhsH eea |)(|)(e)()( 上式表明理想采样信号的拉氏变换与相应的采样序列h(n)的Z变换之间的映射关系可用下式表示：sTez )(a th 设s=+j, z=rej, 则 rej=e (+j)T= eT ejT所以r=eT =T表明，数字频率与模拟频率之间是线性关系，这是脉冲响应不变法的优点之一。 =0时，r=1，s平面的虚轴映射为z平面的单位圆；0时，r1, s平面的左半映射为z平面的单位圆内； 0时，r1，s平面的右半映射为z平面的单位圆外。sTz e分析脉冲响应不变法的性能 ( ) ( )a ak kH j H jT T 1 2 k aj T kjHTeH )2(1)( ( )( ) j M TsT j T T j T T Tz e e e e e e M 2为整数 数字滤波器的频率响应增益随T变化，特别是T很小时增益很大，容易造成溢出，所以，工程实际中采用以下实用公式： h(n)=Tha(nT)这时 Nk Ts k zeTAzH k1 11)( ) ( )j akH e H j T k aj T kjHTeH )2(1)( Ha(s)的极点si一般是一个复数，且以共轭成对的形式出现，将(6.3.1)式中一对对复数共轭极点si和 放在一起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为 (6.3.13) 可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节(只有实数乘法)的形式为 (6.3.14)is2 2( ) i i i i is js ，极点为1 21 21 e cos1 2 e cos e ii iT iT Tiz Tz T z 如果模拟滤波器二阶基本节的形式为 (6.3.15) 则对应的数字滤波器二阶基本节的形式为 利用以上这些变换关系，可以简化设计，使实现结构中无复数乘法器。2 2 , j( )i i ii is 极点为(6.3.16)1 21 2e sin1 2 e cos eii iT iT Tiz Tz T z 脉冲响应不变法的优点是频率变换关系是线性的，即=T，如果不存在频谱混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好地重现原模拟滤波器的频响特性。另外一个优点是数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应波形，时域特性逼近好。但是，有限阶的模拟滤波器不可能是理想带限的，所以，脉冲响应不变法的最大缺点是会产生不同程度的频率混叠失真，其适合用于低通、带通滤波器的设计，不适合用于高通、带阻滤波器的设计。 用脉冲响应不变法设计数字滤波器方法是：如果已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)1. 将Ha(s)部分分式展开，2.再按公式得到数字滤波器系统函数H(z)。（T要选合适）如果已知数字滤波器的设计指标：p, p , s, s1、将数字滤波器性能指标变换为中间模拟滤波器的性能指标。采用:2、设计出符合要求的中间模拟滤波器的系统函数Ha(s)。3、将Ha(s)展成部分分式形式，利用公式求H(z) 。 （T可以随便选取）11 1( ) ( ) 1 kN Nk ka s Tk kkA AH s H zs s e z T 【例6.3.1】 已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)为 用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。解 首先将Ha(s)写成部分分式： 极点为 a 2 0.5012( ) 0.6449 0.7079H s s s 7772.0j3224.0 3224.0j7772.0j3224.0 3224.0j)(a sssH )7772.03224.0()7772.03224.0( 21 jsjs ， 那么H(z)的极点为 按照(6.3.4)式，并经过整理，得到： 式中, T是采样间隔，若T选取过大，则会使=附近频谱混叠现象严重。这里选取T=1 s和T=0.1 s两种情况，以便进行比较。设T=1 s时用H 1(z)表示，T=0.1 s时用H2(z)表示，则 TsTs zz 21 ee 21 ，26449.03224.01 13224.0 e)7772.0cos(e21 )7772.0sin3224.0e2)( zTz zTzH TT 转换时，也可以直接按照(6.3.14)、(6.3.16)式进行转换。首先将Ha(s)写成（6.3.15）式的形式，令极点s1, 2=1j1，则21 12 21 11 9375.09307.11 0485.0)( 5247.00328.11 3276.0)( zz zzH zz zzH 2121 12121 11a )(6449.0)(5012.0)( sssH 再按照（6.3.16）式，H(z)为 将T=1 s、 T=0.1 s分别代入H(z)中，得到H1(z)和H2(z)，其结果和前面得到的H1(z)、 H2(z)完全一样。将Ha(j)、H1(ej)和H2(ej)的幅度特性用它们的最大值归一化后，如图6.3.3所示。由图6.3.3（a）可见，模拟滤波器Ha(s)通带很窄，但阻带衰减慢，拖了很长的尾巴，不是带限滤波器。图6.3.3（b）表示的是两种采样频率（T=0.1 s, 1 s），转换成数字滤波器的损耗函数，它的横坐标是对归一化的数字频率。TT T zTz TzzH 11 1 2211 11 ecose21 sine6449.0)( 图6.3.3 例6.3.1中不同采样频率转换结果对比 【例6.3.2】 用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器，要求通带和阻带具有单调下降特性，指标参数如下: p=0.2 rad， p=1 dB, s=0.35 rad, s=10 dB。解 例6.3.1仅是将给定的模拟滤波器转换成数字滤波器，本例才是用脉冲响应不变法设计数字滤波器。根据间接设计法的基本步骤求解。（1） 将数字滤波器设计指标转换为相应的模拟滤波器指标。设采样周期为T，由（6.3.7）式得到： pp p0.2 rad/s, 1 dBT T ss s0.35 rad/s, 40 dBT T (2） 设计相应的模拟滤波器，得到模拟系统函数Ha(s)。根据单调下降要求，选择巴特沃斯滤波器。设计过程与例6.2.1完全相同，求出阶数N=4。求解计算留做读者练习。（3） 按照（6.3.1）和（6.3.4）式，将模拟滤波器系统函数Ha(s)转换成数字滤波器系统函数H(z)： 如上求解计算相当复杂。本例调用MATLAB信号处理工具箱函数进行设计。设计程序ep632.m如下。读者可以改变程序中的T值，观察T的大小与频谱混叠失真的关系。 4a 1( ) ,k kk AH s s s 4 11( ) 1 e kks Tk AH z z 图6.3.4 例6.3.2设计的模拟和数字滤波器的损耗函数 6.4 用双线性变换法设计IIR数字滤波器为了消除脉冲响应不变法带来的混叠影响，我们希望模拟频率与数字频率的映射关系满足如下要求：s平面整个虚轴z平面单位圆一周；=0 =0: 0+ : 0: 0 - : 0-当 1从/T经过0变化到 /T 时，则由经过0变到+，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的/T之间的转换。 TT 121tan2 1 1 11 1 1j /2 j /2 jj /2 j /2 j2 e e 21 ej e e 1 eT T TT T TT T 代入s=j, s1=j1, 得到: 1121 e1 e s Ts Ts T 再通过从s1平面转换到z平面上，得到： Tsz 1e 11112 zzTs 图6.4.1 双线性变换映射关系示意图 图 8.4.5 与的映射关系曲线图0 ,e1 e12j jj T 21tan2T 2. 双线性变换法的转换性能可以求出将s和z看成s平面和z平面的一般复变量 s=+j, z=rej sTz sT 22 (6.4. 4)2 2 jTz r jT 由上式可知： =0时，r=1，s平面的虚轴映射为z平面的单位圆； 0时, r1, s平面的左半映射为z平面的单位圆内； 0时，r1，s平面的右半映射为z平面的单位圆外。所以如果模拟滤波器因果稳定，则用双线性变换法将模拟滤波器H a(s)转换成数字滤波器H(z)后仍然因果稳定。 22 jTz r jT 双线性变换法的优缺点优点：避免了频率响应的混叠，数字域频率与模拟频率之间是单值映射。缺点：除了零频附近外，数字域频率与模拟频率之间存在严重非线性。 要求幅频特性具有片段常数特性，且必须进行预畸变 预畸变的解释 用双线性变换法设计数字滤波器方法是：如果已知模拟滤波器的系统函数Ha(s)将Ha(s)按公式得到数字滤波器系统函数H(z)如果已知数字滤波器的设计指标：p, p , s, s1、将数字滤波器性能指标变换为中间模拟滤波器的性能指标。采用:2、求模拟滤波器的系统函数H a(s)3、将Ha(s)按公式得到数字滤波器系统函数H(z)（T可以随便选取,所以为了计算方便，一般取T=2，这样K1）tanT 2 211211( ) ( )|a zs T zH z H s 预畸变 【例6.4.1】 试用脉冲响应不变法和双线性不变法将图6.4.4所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。解 首先按照图6.4.4写出该滤波器的系统函数Ha(s)为 利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z)为 利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H 2(z)为RCssH 1)(a ，11 e1)( zzH T 222 1 )1(|)()( 21 12 11112a2 11 TTTT zzsHzH zzTs ， 图6.4.5 例6.4.1中Ha(s)、H1(z)和H2(z)的幅频特性 总结利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。（1） 确定数字低通滤波器的技术指标： p、 p、s、 s。（2） 将数字低通滤波器的技术指标转换成相应的模拟低通滤波器的技术指标。这里主要是边界频率p和s的转换， p和 s指标不变。pp ss TT pp ss 2tan 22tan 2TT （3） 按照模拟低通滤波器的技术指标设计过渡模拟低通滤波器（4） 用所选的转换方法，将模拟滤波器Ha(s)转换成数字低通滤波器系统函数H(z)。 在设计过程中，要用到采样间隔T，下面介绍T的选择原则。1.如采用脉冲响应不变法，为避免产生频率混叠现象，要求所设计的模拟低通带限于/T/T区间。由于实际滤波器都是有限阶的，因此有一定宽度的过渡带，且频响特性不是带限于/T。当给定模拟滤波器Ha(s)，要求单向转换成数字滤波器H(z), 且 s足够大时，选择T满足|s|/T，可使频谱混叠足够小，满足数字滤波器指标要求。2.但如果先给定数字低通的技术指标时，情况则不一样。由于数字滤波器系统函数H(e j)以2为周期，最高频率在=处，因此，s，按照线性关系s=s/T，那么一定满足s/T，这样T可以任选。一般选T=1 s。 这时，频谱混叠程度完全取决于 s， s越大，混叠越小。 【例6.4.2】 设计低通数字滤波器，要求频率低于0.2 rad时，容许幅度误差在1 dB以内； 在频率0.3 到之间的阻带衰减大于15 dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试用双线性变换法设计数字滤波器。解 (1) 数字低通技术指标为 p=0.2 rad, p=1 dB s=0.3 rad, s=15 dB (2) 为了计算简单，取T=1 s，预畸变校正计算相应模拟低通的技术指标为 p p ps s s2 1tan 2tan0.1 0.6498rad/s, 1dB22 1tan 2tan0.15 1.0191rad/s, 15dB2TT (3) 设计巴特沃斯低通模拟滤波器。根据（6.2.18）式阶数N计算如下： 取N=6。将 s和 s代入（6.2.20）式，求得c=0.7663 rad/s。这样保证阻带技术指标满足要求，通带指标有富余。spssp p /10sp /10spsp 1.0191 1.5680.649810 1 10.875110 1lg lg10.8751 5.3056lg lg1.568k kN 根据N=6，查表6.2.1得到的归一化系统函数Ga(p)为将p=s/c代入Ga(p)，去归一化得到实际的Ha(s)为 a 2 2 21( ) ( 0.5176 1)( 1.1.4142 1)( 1.9319 1)G p p p p p p p )5871.0480.1)(5871.0083.1)(5871.0396.0( 2024.0)( 222a sssssssH (4) 用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z), 即本例设计的模拟和数字滤波器幅度特性分别如图6.4.6（a）和(b)所示。此图表明数字滤波器满足技术指标要求，且无频谱混叠。11a 121 1 61 2 1 2 1 2( ) ( )| 0.000 7378(1 ) (1 1.268 0.7051 )(1 1.010 0.358 )(1 0.9044 0.2155 )zs zH z H s zz z z z z z 图6.4.6 例6.4.2设计的模拟和数字滤波器幅度特性 5 已知模拟滤波器的系统函数如下： 脉冲响应不变法和双线性变换法将其转换为数字滤波器。设T=2 s。 132)( 2a ss bsH 9 设计低通数字滤波器，要求通带内频率低于0.2 rad时，容许幅度误差在1 dB之内； 频率在0.3到之间的阻带衰减大于10 dB。试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计，用脉冲响应不变法进行转换，采样间隔T=1 ms。