计算方法的课后答案

计算方法习题答案第一章 数值计算中的误差1什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算 2一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？ 答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤：实际问题f建立数学模型f构造数值算法f编程上机f获得近似结果4.利用秦九韶算法计算多项式P（x） = x - x3 + x5 - 4在X = -3处的值，并编程获得解。解：P(x)二 X5 + 0 - X4 X3 + 0 - X2 + X 4，从而10-101-4-3-39-2472-2191-38-2473-223所以，多项式P(x) = x x3 + x5 4在x = 3 处的值P(3) = 223。5. 叙述误差的种类及来源。答：误差的种类及来源有如下四个方面：（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的， 它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学 模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、 实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度 和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时 只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的 限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似 的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。6. 掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。答：设X*是某个量的精确值，x是其近似值，则称差E = X* X为近似值X的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数S使I E | = | X* X |8，称这个数为近似值X的绝对误差限（简称误差限或精度）。把绝对误差E与精确值x*之比ErX*称为近似值x的相对误差，称为近似值X的相对误差限e n ,r由于真值 X* 是未知的， 所以常常用x * 一 x e e = 来表示相对误差，于是相对误差可以从绝对误差求出。rxx7近似值的规格化表示形式如何？答：一般地，对于一个精确值X*，其近似值X的规格化形式为x = O.xxx X10m，1 2 p其中x丰0,x $）,1,2,9站=1,2,p）， p为正整数，m为整数。1i 8有效数字的概念是什么？掌握有效数字与误差的关系。答：若近似值x的（绝对）误差限是它的某一位的半个单位，也就是说该近似值准确到这一位，且从该位起直到前面第一个非零数字为止的所有数字都称为有效数字。1若近似值x的（绝对）误差限为lel = x* - x X10m-，则称x为具有n位有效数字的有效数，或称它精确到10 m一位，其中的每一位数字x，x，x都是x的有效数字。12 n设精确值X*的近似值X的规格化形式为X = 叫X2Xp X 10m，若 X具有n位有效数字，则其相对误差限为|e |丄x 101-n ；反之，若x的相对误差限为|e|r2（x +1） X叽，则X至少有位有效数字。 19下列各数都是对真值进行四舍五入后获得的近似值，试分别写出它们的绝对误差限，相 对误差限和有效数字的位数。(1)x = 0.024 (2)x = 0.4135 (3) x 二 57.50 (4)x = 60000(5) x 二 8x 105 ；2345解: (1) | e(2) e-x | 0.00005； |e | =2r| 0.0005 ； |e | =r=I- 0.0021 ；有三位有效数字。e= 0.000121；有四位有效数字。 x(3) | e | = |3-x4| 0.005 ；| 0.5 ； |=I- 0.000087 ；有四位有效数字。-x5| 0.5 ； |e | =rr 0.0000084 ；有五位有效数字。=I- 0.000000625 ；有六位有效数字。10. 为了使d9的相对误差 0.1%，问至少应取几位有效数字?解：由的首位数是4设近似数x*有n位有效数字，由定理4.1可知，相对误差e (x*) r1 X101-n 3.097，即取4位有效数字，近似数的相对误差2 x 4不超过 0.1%。11.已知 y = P(x) = x2 + x 1150,x* =罟，x = 33，计算y* = P(罟)及 y = P(33),并求x和y的相对误差。解: y* = P(罟)=(罟)2 + (罟)1150 - 5.55555 y = P(33) = (33)2 + (33) -1150 = 28|e( x)| =x* 一 x 0.333 e( x)x沁0.0101le( y )1 =y* - y沁 22.44444 e( y)y沁 0.801587 12.写出误差估计的一般公式(以二元函数z = f (x, y)为例)。解：二元函数z = f (x, y)的绝对误差:e(z) - f Ie(x) + f Ie(y)dx (x，y)dy (x，y)元函数的相对误差：e=空Qf I凹+0f |凹zox (x, y)zoy ( x, y)z兰Of |e (x) + 兰Of I e (y)z ox (x, y)r z oy ( x, y) r13.用电表测得一个电阻两端的电压和流过的电流范围分别为V = 220 士 2V , I = 10 士 0.1A，求这个电阻的阻值R，并估算其绝对误差和相对误差。V 0R 1 0Rv解: |e(V)| 2, |e(I)| 0，又 R =,=,=-。所以：I 0V I 0I12Ie(恥影 v,i)+ f Iv,i)e(I) dR |0V (V,I)ORe(V) + F ,i) ”(1)=x 2 + 220 x 0.1 = 0.4210 100er (R)=響 1- x 10-2。114.若 x* = 1.03 土 0.01, x* = 0.45 土 0.01，计算 y = x2 + ex2 的近似值，并估计 e(y)及1 2 1 2 其上界。1解：y q (1.03)2 + e 0.452le( y )1 =y* - y| = (x* + 2ex*) - (x1 + 2ex2) = (x* - x )(x* + x ) + 丄(ex； - ex2)111121(x* - x )(x* + x ) + (ex： - ex2)11112=2.06 x 10-2 + x egx 0.01, g e (x , x*) 2215 .已测得某场地长为I = 110m，宽d的值为d = 80m，已知|e(l)| = l* -1 0.2 m ，|e(d)| = |d* - d| 0.1m，试求面积s = Id的绝对误差限和相对误差限。解：由s = Id ,害=d,善=1， olod|e(1 )| = 1 * -1 0.2m , |e(d)| = |d* - d 0.1m 。0- 00-1e(1) + - Ie(d)01 (1 ,d)Od (1 ,d)=110 x 0.2 + 80 x 0.1 = 300s ,，八 育 Ie(1) +01 (1 ,d)0s-1e(d)Od (1 ,d)e (s)=凹 q 3.4 x 10-3。 rs16.掌握二元函数的加、减、乘、除和开方运算的绝对误差和相对误差估计公式 解：(1)加、减运算：由于d(x + y)/ dx= 1d(x+y)/ dy= 1, d(x - y)/dx= 1,d(x - y)/ dy= -1,所以e(x + y)u e(x)+ e(y)e Cx + y)u x/Cx + y)x e Cx)+ y /Cx + y)x e (y)e(x - y)u e(x)- e(y) e (x - y)u x/(x - y)x e (x)- y /(x - y)x e (y)从而有 I e (x - y)ll x/(x - y)I -e (x)I +r r r r rI y/(x-y)I-Ie (y)Ir(2)乘法运算：，从而rdx由于 吵=y,如=x，所以 e(xy). ye(x)+ xe(y) e (xy). e (x)+ e (y)I e(xy)ll y I -1 e(xh I x I -1 e(y)l3）除法运算：由于a ax=I a G厂=-疳以v）（x）-十e（y），4）乘方及开方运算：由于 =nxn-i，所以e（Lnxn-1 e（x）e CLne （x）0xrr17求方程 x2 - 56x +1 = 0的两个根，使它至少具有4位有效数字（783 27.982 ）。56 +、. (-56)2 - 4 x 1 x 12128 + 27.982 = 55.782c =1丁 = 55.7821沁 0.01786319.求方程x2 -16x +1 = 0的较小正根，要求有3位有效数字。解： x116 +%(-16)2 -4x 1 c =1丁 = 15.9371 1 u8 + 7.937 = 15.9372 x 1u 0.062747所以较小正根为x2 u 0.062747。20.设 I = 11 xnexdx, n = 0,1,2,104。n0(1)证明：I = e-nl ,n = 0,l,2,104 ；nn -1(2)给出一个数值稳定的算法，并证明算法的稳定性。(1)证明：I = J1 xnexdx = J*1 xndex = e-J*1 nxn-iexdx = e一nln 0 0 0n -1(2) I 二-(e - I )n -1 n n设|e |n=I * -1nn，则*-n-1en-1en-2*-n-2n-1n-21=en 21nn当n无限大时，e越小，所以该算法稳定。xnn21-用递推算法计算积分In =J；収n = O1210并验证算法的数值稳定性。=1 (J1 Xn-1 dx -JrLdx) = - 1 I4 001 + 4x4n 4 n-1”1 f, 4xn + xn-1 一 xn-1 ,解: In = 4 J0dx00|e 1= I * -11 r 11|e 1= I * -12 222=e42 0* -I10 10e410o所以该算法是稳定的。22设计一个计算 f (x) =X12 + 3x 24 + 16X36的最小计算量的算法。解： f (x) = x12 + 3x 24 + 16x 36 = x - x - x 2 - x4 - x 4 + 3 - x12 - x12 + 16 - x12 - x 2423什么是数值稳定的算法？数值计算应遵循的六条规则是什么？答：一个算法如果原始数据有误差(扰动)，而计算过程中舍入误差不增长或增长可以 控制，则称此算法是数值稳定的。否则，称此算法是数值不稳定的。数值计算应遵循的六条规则是：1) 选用数值稳定的算法(计算公式)；2) 尽量避免两个相近数相减；3) 尽量避免用绝对值很大的数作乘数；4) 尽量避免用绝对值很小的数作除数；5) 防止大数“吃掉”(或“淹没”)小数(即合理安排运算顺序)6) 简化计算步骤，减少运算次数。第二章 非线性方程的数值解法1叙述零点定理的内容。答：设函数f (X)在闭区间a, b上连续且f (a) - f (b) 0 ,则存在x * e (a, b)使f (x*)二0，即f (x)在区间(a,b)内存在实的零点，称区间a,b为方程的有根区间。2方程求根的两个步骤是什么？确定方程有根区间的方法有哪些？答：第一步确定方程f (x)二0的有根区间。第二步 近似根的精确化。确定方程有根区间的方法有两种：作图法和逐步搜索法3.利用作图法确定方程f (X) =x3-X-1二0的有根区间。由于f (0) =-1 0,于是，在区间(0,2)内至少有一个根，取步 长h二0.5向右进行根的搜索，即计算f (0.5), f (1.0), f (1.5)的值得到 f (0.5) 0,f (1.0) 0，从而，原方程的有根区间缩小为(1,1.5)4.利用逐步搜索法确定方程f (x) = x3 - 3x2 + 4x + 3 = 0的有根区间。解:由于f (0)二3 0,f (-1) = -5 0,于是，方程在(-1,0)内至少有一个实根，所以,1从x = -1，取步长h二0.5向右进行根的搜索，即计算f (-0.5)得到f (-0.5) =08，从而，原方程的有根区间缩小为(-1,-2)。5确定方程x3 + 4x2 -10 = 0的有根区间。解：由于函数f (x)二x3 + 4x2 -10的定义域为(-2,+)，用逐步搜索法：由于 f (0) = -10 0，于是，方程在(0,2)内至少有一个实根，所以，从x二0, 取步长h = 0.5向右进行根的搜索，即计算f (0.5), f (1.0), f (1.5)的值得到 f (0.5) 0,f (1) 0，从而原方程的有根区间缩小为(1,1.5)6. 二分发的基本思想是什么？解：二分发的基本思想是将方程f (x) = 0的有根区间逐步分半，通过判别f (x)在端 点的符号以及零点定理来缩小有根区间，使在足够小的区间内使方程f (x) = 0有且仅有一个根，并满足给定的精度要求为止。7. 以方程f (x) = 0的有根区间为b为例(f (a) 0)，简述二分法的具体作法。解：第一步：将有根区间,b分半，用区间Cz, b的中点J将la, b分为两个相等 区间，计算中点的函数值f (a+b)。若f (a+b) = 0，则x* = a+b就是方程f (x) = 0的 根；否则，若f (竺+) 0,则方程的有根区间变为a,，从而将新的有根区间记为fa ,b ,且区间la ,b 的长度仅为区间la,b的一半，即b - a = a。1 1 1 1 1 1 2l a + b第二步：对压缩了的有根区间la ,b又可施行同样的方法，即用中点七亠将区1 1 2间la ,b 再分为两半，然后通过根的搜索判定所求的根位于哪半个区间，从而又确定一个 11新的有根区间ta ,b ,该区间的长度是区间la ,b 的一半。2 2 1 1如此反复可得出一系列有根区间且具有关系ta,bLla ,b Ln la ,b L，1 1 k k其中后一个区间长是前一个区间长的一半，因此区间L , b 的长度b - a = 2,，当k Ta时，区间ta , b 的长度必趋于零，即这些区间 k kk k2 kk k最终收缩于一点x*，显然x*就是方程f (x) = 0的根。8以方程f (x) = 0的有根区间为la,b，精度要求为，试写出利用二分法求该方程的近似根所需二分次数k的计算公式。b-a b a山一解：若事先给定的精度要求为 0，则只需x* -x 一 2，k 2 k+1In 2此时x就是满足给定精度要求的近似值，k为二分法的次数。k9用二分法求下列方程在给定的有限区间及精度要求下的近似值及二分次数k (编程)(1)f (x) = xe x - 2(0.5,1JD = 0.0001解： x = 0.852600kk = 12(2)f ( x) = x3 - 3x 2 + 4x - 3l1,1.5JD =0.00001解： x = 1.499992kk =15(3)f (x) = x3 + 4x2 - 10l1,2JD = 0.0005解： x = 1.364746kk =10(4)f (x) = x3 - x -1l1,1.5JD =0.00005解： x = 1.324707kk =1310.若应用二分法求方程e - x-sm罕=0在区间H1上误差不超过 丄的近似值，应二分多少次？解：其近似根为0.437500 ，应分 k = 5次。11. 迭代法的基本思想是什么？解：迭代法是一种逐次逼近法，首先给定方程f(x) = 0的一个粗糙的初始近似根x，0 然后用一个固定公式反复校正这个根的近似值使之逐步精确化，直到满足预先给定的精度要 求为止。12. 迭代法的具体做法如何？解：(1)将方程f (x) = 0改写成等价形式x = 9 (x),在根x*的附近任取一个初始近似根x。0(2)构造近似根序列：将x代入p (x)计算得到x(x ), 一般x主x ,再把x/乍0 1 0 1 0 1为新的近似根代入p (x)得到x =9 (x )，重复上述步骤即可。2113. 迭代法的几何意义是什么？答：方程x = 9 (x)的求根问题在几何上就是确定曲线y = 9 (x)与直线y = x交点p*的 横坐标x*。设迭代初值为x ,曲线y =9(x)上以x为横坐标的点为p , 9(x )为p点的 0 0 0 0 0 纵坐标，过p点引平行于x轴的直线，并与直线y = x相交于P,其横坐标为x =p(x ),0 0 1 0然后过点P引平行线于y轴的直线，并与曲线y =pC)的交点记作pi,重复上述过程可得 01点列p , p，,p，,他们横坐标依次由迭代公式x =9(x ), k = 0,1所确定。如果1 2kk+1k点列p,p，,p，,逐步逼近p*，则迭代过程收敛，否则迭代过程发散。12k14叙述迭代过程收敛定理的内容。 解：假设迭代函数满足下列两个条件(1) 对任意的x e la,b有a 9 (x) b ；(2) 存在正数L 1，使对任意x e la,b有p (x) L 1。则(1)对任意初值x eta, b迭代过程x =9 (x )均收敛于方程x = 9 (x)的根x *,0k+1k即limx = x*(k Ta)。(2)误差事后估计公式为|x - x I。kk1 一 L k +115试构造收敛的迭代公式求解下列方程： cos x + sin x(1) x =2 sin( x +)cos x + sin x4解：(1)将方程x =改写为x =，从而得到迭代公式4v2 sin( x +)xk+1k =。丄2，。(2)将方程x = 4-2x改写为x = ln(4-x)，从而得到迭代公式x 二 ln(4 x ) k 二 0,1,2,。 k+ik16. 判断迭代法解方程f (x)二x ln(x + 2)二0在t),2内的根时所用的迭代过程的收敛性。解：将方程x - ln(x + 2)二0改写为x二ln(x + 2)，从而得到迭代公式1x= ln(x + 2),k = O，1，2，。则申(x) = ln(x + 2)为迭代函数。由 b(x)| = 1，k+1kx + 2由定理3.2可得该迭代法是收敛的。17. 用迭代法计算s二4；6 + 46 +習6 + 的近似值。19. 牛顿法的基本思想是什么？具体做法如何？ 解：基本思想：牛顿迭代法实质上是一种线性化的方法，其基本思想是将非线性方程f (x)二0逐步归结为某种线性方程来求解的方法。具体做法：设已知方程f (x)二0有近似根x ,将f (x)在x作一阶泰勒展开，于是方 kk程f (x)二0可近似地表示为f (x ) + f(x )(x x )二0是一个线性方程，设f(x )丰0, kkkkf ( x )f ( x )。则x = x 仁，于是就有牛顿迭代公式x = x 仁,k = 0,1,2,。k f(x )k+1k f(x )kk20. 牛顿法的几何意义是什么？解：牛顿迭代法实质上是用过点(x , f (x )的切线与x轴交点的横坐标x 来逐步逼 kkk +1近曲线y二f (x)与x轴交点的横坐标x *，所以牛顿法又叫切线法。22. 试证：用牛顿法求方程(x 2)2(x + 3) = 0在1,3内的根x*二2是线性收敛的。f ( x )证明：由牛顿迭代公式x = x 4, k = 0,1,2,，可得，k+1k f(x )kf ( x)2 x 2 + 3x + 6b (x) = x =，显然，b(2)丰0，所以该迭代过程是线性收敛的。f(x)3x + 423. 用牛顿法求方程x3 a二0，导出求立方根V的迭代公式，并讨论其收敛性。x 3 a解：设f (x) = x3 a = 0，得牛顿迭代公式为x = x k二,k = 0,1,，牛顿k+lk3x 2k2x3 + a,/、 2x3 2a .；迭代函数申(x)= ,申(x)= ,申(却a)二0 1，所以该迭代公式收敛。3 x 23x 326正割迭代法的基本思想是什么？具体做法如何？几何意义是什么？解：基本思想：用过两点(x ,f (x ), (x ，/(x )的直线的斜率这个差商来代替牛kkk 1k 1堆迭代公式中的倒数f(x )。 k具体做法：对方程f(x)二0经过k次迭代后得到近似根xk1，xk，从而取(f (xk) 一f (xk1)(x x )kk 1于是牛顿迭代公式变为xk+1f (x ) (f (x ) f (x ) kkk 1xk1)，此公式为正割法迭代公式。,f (xk1)的直线与x轴交点几可意义：正割迭代法是用过两点A(xk,f(xk)，B(xk1的横坐标x 来逐步逼近曲线f (x)与x轴交点的横坐标x*，因此正割迭代法又叫割线法。 k+127简述正割迭代法与牛顿迭代法的区别。解：牛顿迭代法在计算时只需要一个初值x，在计算x 只用到前一步的值Xk，但要0k +1计算f(x )；而正割法在计算时需要两个初值x，x1，在计算x 时要用到前两次的迭代k01k +1值 xk1，xk ，但不用计算导数。30使迭代法加速的方法有哪些？并分别写出它们的迭代公式。 答：使迭代法加速的方法有艾特肯加速公式和斯蒂芬森方法 艾特肯加速公式：校正：X=9(X )K+1K再校正：X =9 ) (K = 0,1,2,)K+2K+1改进：XK+1K+2K K+1XK2XK+1+XK+2= p（Y ）K = 02 ）K斯蒂芬森方法：迭代：YK= p(x ) ZKK加速： XK+1X _虽K_X）2K KZ _2Y +XK K K（K = 0丄 2,）第三章 线性方程组的数值解法1线性方程组的数值解法有哪两大类？并简述他们的概念。答：线性方程组的数值解法有两大类：（1）直接法 ：直接法就是在没有舍入误差的情况下，经过有限步算术运算可求得 方程组精确解的算法。（2）迭代法：迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法，即 先给定一个初始解向量，然后按新的迭代公式逐步求出解的更准确值的方法。2高斯消去法的基本思想是什么？答：高斯消去法的基本思想是用逐次消去未知量的方法把原来方程组AX二b化为与其 同解的三角形方程组，而求解三角形方程组就容易了。3高斯主元素消去法是在何种情况下提出来的？答：用高斯消去法解线性方程组AX二b的消元过程中，可能会出现以下两种情况：第 一是主元素全是 0 的情形，致使消元过程无法进行下去；第二即使主元素不为0，但其绝对 值很小时作除数可能会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的传播，使计算结果不可 靠。所以对于一般矩阵来说，最好每一步选取系数矩阵中绝对值大的元素作为主元素。4用高斯顺序消去法，完全主元素消去法和列主元素消去法解下列方程组，并写出高斯顺 序消去法的程序。2 x + x + 2 x = 5123(1) 5 x - x + x = 8 123x 3 x 4 x = 41233x x + 4 x = 7123(2) x + 2x 2x = 1。1232 x 3 x 2 x = 0123解：（1）将方程组的增广矩阵进行初等变化，并利用高斯顺序消去法得：2 1 2:5 2 12 : 5V 1 2:5、5-11: 80-7 -8 : -90 7 8: 9T J -3 -4 ：-4丿-7 -10：-13丿f 0 2: 4丿x2x1=1= 1 ；=22 12 ：5 W -11 : 8、r 5-11:8、r 51-1:8、5 -11 : 82 12 : 5078:9087:9,1-3-4 ：-4,1 -3 -4 ：-4,023:4 ,032:4 ,3利用完全主元素消去法得：,r51-1 :8、,087:9T ,005:-5丿利用列主元素消去法得：x =11x =23x = 125 -12 :5 、1 :8-4:-4 丿-1-31 : 8、- 4 : - 4丿(5 -18:9并利用高斯顺序消去法得：1 : 8 、5 : 10 丿0702=-1=2(3 -1 4:7、(3-14:7、(3-14:7、-1 2 -2:-1T05-2:4T05-2:42-3 -2:0丿、012:2丿、002:1丿2)将方程组的增广矩阵进行初等变化，T 利用完全主元素消去法得：x2(3-1:7 、(4-1-1-2: -1-2-3-2:0丿-2-33-121(4-1:7、:5=22331113:5:1丿:8丿=13 2x = 1 ；2x = 21(3 -1 4:7、(3-14:7、(3-14:7、-1 2 -2:-1T05-2:4T05-2:42-3 -2:0丿、012:2丿、002:1丿利用列主元素消去法得：T 5用矩阵的三角分解法解下列方程组，并掌握三角分解法的编程思路。x1x2-21)-418-6X15_X=82X7318-16-202)- 248 一100 u11u12u-418-16=l10)I0u13 )21122u)23-62-20ll1 I00u11313233解：(1)对系数矩阵A作如下的三角分解:根据矩阵的乘法可得：1 u = 2 n u = 2 ,11 111 - u=4nu12=4 , 1 - u13=8 n u13=2X114_X=182X20313253=8；l - u = 4 n l = 2 ,21 11 21l - u +1 - u = 18 n u = 10,21 12 22 221 - u +1 - u211323= -16 n u = -32 ；23l31= -6 n l = 3 ，1131l u +1311232-u22=2n132=1,l31-u13+1 u +1 u = 20 u = 76。 32233333于是有A =-100-110001010-32x15_x=82x731- 7608-32-76解方程组Ly = b，二LU，则原方程组可表示为12，得即35一248 _x1x25 _y=2。解方程组Ux = y，即010-32=21000-76x310，得x =123 一100 uuu1 111213252=l1o|ouu212223315ll10u11313233(2)对系数矩阵A作如下的三角分解:根据矩阵的乘法可得：1111121213131 -u = 2n12，1-u +1u= 5n u =1，211121211222 221-u + 1-u =2nu=4；1-u = 3 n 1=3，211323233111311 -u +1u =1n1=5，1-u +1 - u+1 - u = 5 n u31123222323113322333331 00 _123 一于是有 A =2 1001-4tttrwH工口 如 pt 丰=LU ，则原方程组可表示为3 -5100-24=2 n u= -24。11=2， 1 - u = 3 n u = 3 ；1 - u = 1 n u = 1， 1 - u23。解方程组 Ly = b ，即-29119021955382，得314y 二-10-722-100 _x1xT-12-1001)0-12-120x300-12x401解方程组Ux二y,即006用追赶法解下列方程组。解：（1）由A = LU得:2-1 00-1 2 -10 -1 20-10 -1a1Y200于是有a1二2, a1 卩卩223 _x1一 14_1-4x2100-24x3721得x = 2300a3Y40001000=j，Y 2 卩2-100 _x1-6 _-13-10x210-24-3x3200-35x412）i00P2P3na2二I，y =1, y P +a 二 2 na23=1, a P433=13nP 3 二-4,Y 4 P 3 +a 4200-1从而Ly = f为0 -10 0 -1404312131415Ux = y 为10004_25x113x3,解得 x 52x3x1245411_ 5 _ 5 _00341(2)由 A LU 得:2-100 -a1 y00厂卩B11100 _-13-10a00(0B02220-24-30ya01 001B33300-3500y4a4 JL00011二 3+ an a12122-2, 丫一1, 丫 卩1于是有匕卩2 1 n B2-賢,丫 卩1643卩3162一，丫 一2,丫 - B +a 4 n a53323_ 35 16。+a 5na416二亍丫 4=3, a - B 3332000 _3 _-1500y1-6 -821y15162，解得 y 30-20y2531835L y 4 I13400-316 _ 35 _从而Ly = f为Ux = y 为100012100025103 -142_35x187415x3523，解得x x938x43473435L3500151617. 设x （x ,x，,xe Rn，掌握常用向量范数的定义式|x| ,|x|,|x”，|x”1 2n182 P解：|x| - lx I+ kJ + + lx |- Y lx.|；1 12nii 1|x| = max|x | = maxjx |,|x |, |x |1 （又叫最大范数）8i12nx:x2 + x2 + x2 （工x2）2 ；X 12nii1|x| （工 |xp I） P。P1i18. 已知x （1,1,3,0）T，计算I|x|x| J|x ,|x182 P解：啊=|打+ |打+ |兀| =乙|兀| = 5；nii=1|x| = max| xg1=max jx I，|x，,|x |12n|x|= I x2 + x2 HF x22 *=( x2)2 = x/11 ；ii=1l|x| = Q xp ) p = (2 + 3p) p。Pii=19设A = (a ) e Rn“，掌握常用矩阵范数的定义式|A| ,|A| ,|A| ,|A|ij nxn1 g 2 F解：|A| = max 工 |a ；1 iji=1|x| = max 工 la；gijj=1A = 1X( At A)；2 r maxA = (Y a2)2。Fiji, j =12-1 n10已知 a = Q n，计算 |A| ,|A| ,|A| ,|A|。301 g 2 F解: A = max乙 a = 5 ；1 iji=1|x| = max 工 la = 3 ；gijj=1A = J X( At A)=它7 + 2、,10 ；2 / maxA = (Y a2)2 = J14 oFiji, j=112.解线性方程组的迭代法有哪三种方法？答：(1)雅可比迭代法(Jacobi)(2) 高斯-赛德尔迭代法(G-S)(3) 超松弛迭代法(S0R)5 x + 2 x + x = 121 2313设有方程组 x + 4 x + 2 x = 201232 x 一 3 x +10 x = 3123(1) 写出用Jacobi迭代法解此方程组迭代公式的分量形式和矩阵形式。(2) Jacobi 迭代法是否收敛？为什么？x = 一04x 一 0.2x 一 2.41 23解：该方程组可化为： x = 0.25x 一 0.5x + 5 ，从而得到Jacobi迭代法的公式：2 13x 一02 x + 0.3 x + 0.33 12x(k+i)=0.4x(k)一 0.2x(k)一 2.41 23 x(k+1) 0.25x(k)一 0.5x(k)+ 5，其矩阵形式为：X(k+1) 一D-1 (U + L)X(k)+ D-，2 13x(k+1) 一0.2 x(k) + 0.3x(k) + 0.33 125 0 0 0 2 1、0 0 0、-12、其中： D 0 4 0， U 0 0 2， L -10 0， b 20,0 0 10,0 0 0,2-3 0,3,521、(2)用Jacobi迭代法解此方程组是收敛的。因为系数矩阵A -1 4 2 是严格对角 2 -3 10 丿占优阵，所以 Jacobi 迭代法收敛。20 x + 2 x + 3 x 2412314设有方程组 x +8x +x 121232x 一 3x +15x 30123(1) 写出用G-S迭代法解此方程组迭代公式的分量形式。(2) G-S迭代法是否收敛？为什么？x -0.1x 一 0.15x +1.2123解：该方程组可化为： x 0.125x 0.125x +15,从而得到G-S迭代法的公式：213x 一0.133 x + 0.2x + 2312x(k+1) =-0.1x(k) 一 0.15x(k) 一 1.21 23 x(k+1) 0.125x(k+1) 一 0.125x(k) +1.5，2 13x 仗+1) =一0 133x 仗+1) + 0.2 x 仗+1) + 23 122023、(2)用G-S迭代法解此方程组是收敛的。因为系数矩阵A 181是严格对角占优2 -3 15丿阵，所以G-S迭代法收敛。x + 8 x + 0 x = 712315设有方程组 x + 0 - x + 9 x = 81239 x 一 x 一 x = 7123怎样改变方程的顺序使Jacobi迭代法和G-S迭代法均收敛。9 x 一 x 一 x = 7123解：将方程组变化成卜x + 8x + 0 - x二7123一 x + 0 x + 9 x = 81239，此时系数矩阵A二-1-1-180-10为严9 J格对角占优矩阵，所以Jacobi迭代法和G-S迭代法均收敛。a x + a x 二 b16.设方程组 11 112 2/a x + a x 二 b12 1 22 2 2x (k)(a11 a22丰0)，迭代公式为 Ix (k)211a22(b a x( k1)1 12 2(b ax( k1)2 21 1a a(k二1,2,)。求证：由上述迭代公式产生的向量序列k(k)J收敛的充要条件是ty 1。 a a11 22证明：由题设知：(aaA =1112.aa丿2122110+ a 丿22(0.a210+0丿(00a012，所以:( a 0 一1( 0a 1112、0a丿、a0丿迭代矩阵 B = 一22 21aa11aa22 a a=，所以由迭a a11 22代法收敛的充要条件P(B) 1,可得，上述迭代公式产生的向量序列x(k)丿收敛的充要条件a a是一21 _12a a11 221。18简述迭代法的基本定理的内容。答：设有方程组 X = BX + f，对于任意初始解向量 X (0)及任意f，迭代公式X(k+1)= BX(k) + f收敛的充要条件是P(B) 1。19设A为非奇异矩阵，则A的条件数的计算公式如何？掌握常用条件数的计算公式。解：Cond (A) = |A| J|A-1|