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2.2.3 向 量 数 乘 运 算 及 其 几 何 意 义 如 何 求 作 两 个 非 零 向 量 的 和 向 量 ？首 尾 相 接 首 尾 连OBABOA ab O AB aba b 提 示 : 如 何 求 作 两 个 非 零 向 量 的 差 向 量 ？首 同 尾 连 指 被 减BAOBOA O AB ab a b ab提 示 : 问 题 ： 一 只 兔 子 向 东 一 秒 钟 的 位 移 对 应 的 向 量 为 ，那 么 它 在 同 一 方 向 上 按 照 相 同 的 速 度 行 走 3秒 钟 的 位移 对 应 的 向 量 怎 样 表 示 ？ 是 吗 ？ 兔 子 在 相 反 方 向上 按 照 相 同 的 速 度 行 走 3秒 钟 的 位 移 对 应 的 向 量 又 怎样 表 示 ？ 是 吗 ? 请 同 学 们 自 己 思 考 . a3a3a 作 匀 速 直 线 运 动 的 飞 机 位 移 与 速 度的 关 系 是 吗 ？s=tv 带 着 上 面 的 问 题 ， 我 们 进 入 本 节 课 的 学 习 ！ 1.掌 握 向 量 的 数 乘 运 算 及 几 何 意 义 .2.熟 练 运 用 向 量 的 数 乘 运 算 律 进 行 计 算 .（ 重 点 ）3.理 解 两 个 向 量 共 线 的 条 件 ， 能 用 向 量 共 线 的 条 件证 明 点 共 线 和 直 线 平 行 . （ 重 点 、 难 点 ） 思 考 1： 已 知 非 零 向 量 ， 如 何 求 作 向 量 和 （ ） （ ） （ ） ？O A B C OMNP O C =uuur探 究 点 1 向 量 数 乘 的 定 义a a a aaaa aaaa a a a a a a （ ） （ ） （ ）O P a a a提 示 : 思 考 2： 向 量 和 (- )+(- )+(- )分别 如 何 简 化 其 表 示 形 式 ？a a a a a a思 考 3： 向 量 3 和 3 与 向 量 的 大 小 和 方 向 有什 么 关 系 ？O A B C OMNPa a aaaaa a a a 记 为 3 ，（ ） （ ） （ ） 记 为 3 .aaaa aaaa提 示 : 思 考 4： 设 为 非 零 向 量 ， 那 么 还 是 向量 吗 ？ 它 们 分 别 与 向 量 有 什 么 关 系 ？a 2a 2a3 和 -a2a3 a 2a-提 示 : （ 1） | |=| | |；（ 2） 0时 , 与 方 向 相 同 ； 0时 , 与 方 向 相 反 ； =0时 , = . aa思 考 5： 一 般 地 ， 我 们 规 定 实 数 与 向 量 的 积 是 一个 向 量 ， 这 种 运 算 叫 做 向 量 的 数 乘 .记 作 ， 该 向量 的 长 度 及 方 向 与 向 量 有 什 么 关 系 ？aa aa aa aa 0提 示 : 如 图 ， 设 点 M为 ABC的 重 心 ， D为 BC的 中 点 ， 那么 向 量 与 ， 与 分 别 有 什 么 关 系 ？BDuuur BCuuur AD DMuuuur AB CDM1BD BC2AD 3D M解 答 :【 即 时 训 练 】 探 究 点 2 向 量 数 乘 的 运 算 律 及 共 线 向 量 基 本 定 理思 考 1： 你 认 为 2 （ 5 ） ， 2 2 ， 可 分 别 转 化 为 什 么 运 算 ？ a （ 3+ 2） aa b-2 (5 )= -10 ；2 2 = 2( + )； (3 ) =3 2 a.2a aa aa ab b提 示 : 思 考 2： 一 般 地 ， 设 ， 为 实 数 ， 则 ( )，( ) ， ( )分 别 等 于 什 么 ？ aba a a a2 a6 )2(3 a)2(3 a 6a?=1 ( a) ( )a （ ）提 示 : (2 3)a a2 a32 ( )a a a （ ） (2 3) 2 3 ?a a a a提 示 : 2( ) 2 2 ?a b a b 3 ( )a b a b （ ） a bba 2 2a b A a2 b2B CD E提 示 : 提 升 总 结 ： 向 量 数 乘 的 运 算 律1 ( ) ( )a a （ ）2 ( )a a a （ ）3 ( )a b a b （ ） 思 考 3： 对 于 向 量 （ ） 和 ， 若 存 在 实 数 ， 使 = ， 则 向 量 与 的 方 向 有 什 么 关 系 ？ba a 0 b a a b思 考 4： 若 向 量 （ ） 与 共 线 ， 则 一 定 存 在 实 数 ， 使 = 成 立 吗 ？a bb a思 考 5： 综 上 可 得 向 量 共 线 定 理 ： 向 量 （ ） 与共 线 ， 当 且 仅 当 有 唯 一 一 个 实 数 ， 使 = . 若 ， 上 述 定 理 成 立 吗 ？ a bb aa 0 提 示 ： 共 线提 示 ： 一 定 存 在提 示 ： 不 成 立a 0 a 0 思 考 6： 若 存 在 实 数 ， 使 ， 则 A， B， C三点 的 位 置 关 系 如 何 ？ AB BC AB BC A， B， C三 点 共 线提 示 : 思 考 7： 向 量 的 加 、 减 、 数 乘 运 算 统 称 为 向 量 的 线性 运 算 ， 对 于 任 意 向 量 ， ， 以 及 任 意 实 数 ，x， y， (x y ） 可 转 化 为 什 么 运 算 ？aa (x y ） = x y . a b a bbb提 示 : A BPO1( )2O P O A O B如 图 ， 若 P为 AB的 中 点 ， 则 与 ， 的 关 系 如何 ？ OBOA OP解 答 :【 即 时 训 练 】 例 1.计 算（ 1） （ 3） 4 ； （ 2） 3（ ） 2（ ） ；（ 3） （ 2 3 ） （ 3 2 ） .aa a aa a c 【 解 析 】 （ 1） 原 式 =(-3 4)a=-12a;（ 2） 原 式 =3a+3b-2a+2b-a=5b;（ 3） 原 式 =2a+3b-c-3a+2b-c =-a+5b-2c.bb b bc向 量 与 实 数 之 间 可 以 像 多 项 式 一 样 进 行 运 算 . 【 变 式 练 习 】 A 23 O例 2.如 图 ， 已 知 任 意 两 个 非 零 向 量 试 作 你 能 判 断 A， B， C三 点 之 间 的位 置 关 系 吗 ？ 为 什 么 ？ ABC AC=2AB分 析 ： A， B， C三 点 共 线 .a,b ， OA a b ，OB a bOC a b 2 ， 3 .ba ab b b 【 解 析 】 分 别 作 向 量 ， 过 点 A， C作 直 线 AC.观 察 发 现 ， 不 论 向 量 怎 样 变 化 ， 点 B始 终 在 直 线 AC上 ， 猜 想 A， B， C三 点 共 线 . 事 实 上 ， 因 为 OAOBOC , ,AB OB OAa 2b (a b)b, = - 而 AC=OC-OA =a+3b-(a+b) =2b,于 是 AC=2AB. 所 以 ， A,B,C三 共 .点 线a b , 根 据 下 列 各 小 题 中 给 出 的 条 件 ， 分 别 判 断 四 边 形ABCD的 形 状 ， 并 给 出 证 明 . 1(1)AD BC; (2)AD BC3(3)AB DC, AB AD 且简 析 :（ 1） 平 行 四 边 形 ， 一 组 对 边 平 行 且 相 等 .（ 2） 梯 形 ， 一 组 对 边 平 行 且 不 相 等 .（ 3） 菱 形 ， 一 组 对 边 平 行 且 相 等 ， 一 组 邻 边 相 等 .【 变 式 练 习 】 例 3.如 图 ， ABCD的 两 条 对 角 线 相 交 于 点 M， 且 = ， = ， 你 能 用 , 表 示 ， ， 和 吗 ？ABAD MA MB MC MD 在 平 行 四 形 ABCD中 ， 因 AC=AB+AD=a+b, DB=AB-AD=a-b. 又 因 平 行 四 形 的 角 互 相 平 ，解 : 分边为为 边 两 条 对 线 1所 以 MA=- AC21 1 1 =- (a+b)=- a- b;2 2 2br abra MA B D Cabr 1 1 1 1MB= DB= (a-b)= a- b;2 2 2 2 1 1 1MC= AC= a+ b;2 2 2 1 1 1MD=-MB= - DB=- a+ b.2 2 2 如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ， 点 M是 AB的 中 点 ， 点 N在 线 段 BD上 ， 且 有 BN= BD， 求 证 ： M， N， C三 点 共 线 .31 A B CDM N提 示 ： 设 ，AB=a BC b, 则 1 1a b,6 3 1 a b2 M C 1 13 a b6 3 （ ） .MN【 变 式 练 习 】 1. , R, , ( )(1) 0,a 0, a a ;(5) 0,a 0, a a .A.2 B.3 C.4 D.5 已 知 则 在 以 下 各 命 题 中 正 确 的 说 法 共 有与 方 向 一 定 相 反与 方 向 一 定 相 同与 是 共 线 向 量与 方 向 一 定 相 同与 方 向 一 定 相 反个 个 个 个 D B C 2 12 定 义运 算 律数 乘 向 量 应 用 寻 求 真 理 的 只 能 是 独 自 探 索 的 人 ， 和 那 些 并 不 真心 热 爱 真 理 的 人 毫 不 相 干 。 帕 斯 捷 尔 纳 克
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