高三数学二轮复习 第一篇 专题通关攻略 专题七 概率统计 17_1 计数原理、二项式定理课件 理 新人教版

第一讲计数原理、二项式定理 【 知 识 回 顾 】1.排 列(1)定 义 ： 从 n个 不 同 元 素 中 取 出 m(m n)个 元 素 ， 按 照一 定 的 顺 序 排 成 一 列 ， 叫 做 从 n个 不 同 元 素 中 取 出 m个元 素 的 一 个 排 列 . (2)排 列 数 公 式 ： =n(n-1) (n-m+1)=_. n!n m !mnA 2.组 合(1)定 义 ： 从 n个 不 同 元 素 中 取 出 m(m n)个 元 素 _， 叫 做 从 n个 不 同 元 素 中 取 出 m个 元 素 的 一 个 组 合 .(2)组 合 数 公 式 ： =_=_.由 于 0！ =1， 所 以 =1.mm nn mmAC =A n!m! n m ! 合 成一 组 n n 1 n m 1m m 1 1 0nC (3)组 合 数 的 性 质m _n nm _ _n 1 n nC CC C C ， n mm m 1 3.二 项 式 定 理(1)定 义 ：这 个 公 式 所 表 示 的 定 理 叫 做 二 项 式 定 理 .第 k+1项 为 Tk+1=_. n 0 n 1 n 1 1 n nn n na b C a C a b _ C b (n N*). k n k knC a bk n k knC a b (2)二 项 式 系 数 的 有 关 性 质 ： 二 项 展 开 式 中 ， 偶 数 项 的 二 项 式 系 数 的 和 等 于 奇 数项 的 二 项 式 系 数 的 和 ， 即=_； 1 3 5 0 2 4n n n n n nC C C C C C 2n-1 若 f(x)=a0+a1x+a2x2+ +anxn，则 f(x)展 开 式 中 的 各 项 系 数 和 为 f(1)，奇 数 项 系 数 和 为 a0+a2+a4+ = ，偶 数 项 系 数 之 和 为 a1+a3+a5+ =_.f(1) f( 1)2 f(1) f( 1)2 【 易 错 提 醒 】1.忽 视 顺 序 ： 解 决 排 列 组 合 问 题 时 ， 易 忽 视 问 题 与 顺序 是 否 有 关 这 一 条 件 .2.混 淆 两 个 系 数 ： 二 项 展 开 式 中 某 一 项 的 系 数 与 某 一项 的 二 项 式 系 数 易 混 . 3.忽 视 k的 取 值 范 围 ： 在 利 用 Tk+1= 求 特 定 项时 ， k 0， 1， ， n易 漏 k=0的 情 况 .k n k knC a b 【 考 题 回 访 】1.(2016 全 国 卷 )如 图 ，小 明 从 街 道 的 E处 出 发 ， 先到 F处 与 小 红 会 合 ， 再 一 起 到 位 于 G处 的 老 年 公 寓 参 加志 愿 者 活 动 ， 则 小 明 到 老 年 公 寓 可 以 选 择 的 最 短 路 径条 数 为 ( )A.24 B.18 C.12 D.9 【 解 析 】 选 B.E F有 6种 走 法 ， F G有 3种 走 法 ， 由 分步 乘 法 计 数 原 理 知 ， 共 6 3=18种 走 法 . 2.(2016 全 国 卷 )定 义 “ 规 范 01数 列 ” an如 下 ：an共 有 2m项 ， 其 中 m项 为 0， m项 为 1， 且 对 任 意 k 2m，a1， a2， ， ak中 0的 个 数 不 少 于 1的 个 数 .若 m=4， 则 不同 的 “ 规 范 01数 列 ” 共 有 ( )A.18个 B.16个 C.14个 D.12个 【 解 析 】 选 C.由 题 意 得 必 有 a1=0， a2m=1具 体 情 况 如 下 ：00001111， 00010111， 00011011， 00011101，00100111， 00101011， 00101101， 00110011，00110101， 01000111， 01001011， 01001101，01010011， 01010101； 共 14个 . 3.(2015 全 国 卷 )(x2+x+y)5的 展 开 式 中 ， x5y2的 系数 为 ( )A.10 B.20 C.30 D.60【 解 析 】 选 C.在 (x2+x+y)5的 5个 因 式 中 ， 2个 取 因 式 中x2， 剩 余 的 3个 因 式 中 1个 取 x， 其 余 因 式 取 y， 故 x5y2的 系 数 为 =30.2 1 25 3 2C C C 4.(2016 全 国 卷 )(2x+ )5的 展 开 式 中 ， x3的系 数 是 _.(用 数 字 填 写 答 案 )x 【 解 析 】 设 展 开 式 的 第 k+1项 为 Tk+1， k 0， 1， 2， 3，4， 5，所 以 当 5- =3时 ， k=4， 即 答 案 ： 10 kk 55 kk k 5 k 2k 1 5 5T C 2x x C 2 x . k2 454 5 4 325 5T C 2 x 10 x . 热 点 考 向 一 排 列 、 组 合 的 应 用命 题 解 读 ： 主 要 考 查 两 个 计 数 原 理 、 排 列 、 组 合 的 简单 综 合 运 用 ， 有 时 与 概 率 相 结 合 ， 以 选 择 题 、 填 空 题为 主 . 【 典 例 1】 (1)(2016 四 川 高 考 )用 数 字 1， 2， 3， 4， 5组 成 没 有 重 复 数 字 的 五 位 数 ， 其 中 奇 数 的 个 数 为 ( )A.24 B.48 C.60 D.72 (2)(2016 安 庆 一 模 )从 正 方 体 六 个 面 的 对 角 线 中 任 取两 条 作 为 一 对 ， 其 中 所 成 的 角 为 60 的 共 有 ( )A.24对 B.30对 C.48对 D.60对 (3)(2016 洛 阳 一 模 )要 从 3名 骨 科 和 5名 内 科 医 生 中 选派 3人 组 成 一 个 抗 震 救 灾 医 疗 小 组 ， 则 骨 科 和 内 科 医 生都 至 少 有 1人 的 选 派 方 法 种 数 是 _(用 数 字 作答 ). 【 解 题 导 引 】 (1)根 据 排 列 组 合 公 式 及 分 步 乘 法 计 数 原理 求 解 .(2)找 出 与 一 个 面 上 的 两 条 对 角 线 成 60 的 角 的 直 线 对数 ， 再 乘 以 6进 行 分 析 即 可 求 解 ， 或 用 间 接 法 求 解 .(3)可 考 虑 用 间 接 法 求 解 ， 即 从 总 体 中 减 去 “ 全 是 骨 科 ”和 “ 全 是 内 科 医 生 ” 的 情 况 ， 即 可 得 出 答 案 . 【 规 范 解 答 】 (1)选 D.由 题 意 ， 要 组 成 没 有 重 复 数 字的 五 位 奇 数 ， 则 个 位 数 应 该 为 1， 3， 5， 其 他 位 置 共有 种 ， 所 以 其 中 奇 数 的 个 数 为 3 =72.44A 44A (2)选 C.方 法 一 ： 直 接 法 ： 如 图 ， 在 上 底 面 中 选 B1D1，四 个 侧 面 中 的 对 角 线 都 与 它 成 60 ， 共 8对 ， 同 样 A1C1对 应 的 也 有 8对 ， 因 此 一 个 面 上 的 2条 面 对 角 线 与 其 相邻 的 4个 面 上 的 8条 对 角 线 共 组 成 16对 ， 又 正 方 体 共 有 6个 面 ， 所 以 共 有 16 6=96(对 )， 又 因 为 每 对 被 计 算 了 2次 ， 因 此 成 60 的 面 对 角 线 有 96=48(对 ).12 方 法 二 ： 间 接 法 ： 正 方 体 的 12条 面 对 角 线 中 ， 任 意 两条 垂 直 、 平 行 或 成 角 为 60 ， 所 以 成 角 为 60 的 共 有 -12-6=48(对 ).212C (3)共 8名 医 生 ， 2个 科 类 ， 要 求 每 个 科 类 至 少 1名 医生 ， “ 骨 科 和 内 科 医 生 都 至 少 有 1人 ” 的 对 立 事 件 是“ 全 是 骨 科 或 全 是 内 科 医 生 ” .若 从 这 8名 医 生 中 任 选 3名 ， 不 同 的 选 法 有 种 ；38C 其 中 全 为 骨 科 医 生 的 选 法 只 有 1种 ， 全 为 内 科 医 生 的选 法 有 种 .所 以 所 求 选 派 方 法 有 =56-1-10=45(种 ).答 案 ： 4535C 3 38 5C 1 C 【 易 错 警 示 】 解 题 (3)时 易 出 现 从 骨 科 和 内 科 医 生 中 各选 一 人 ， 再 从 剩 余 的 人 中 选 出 一 人 ， 共 有 90种 选 法 的错 误 ， 此 种 错 误 的 原 因 是 出 现 了 重 复 的 情 况 . 【 母 题 变 式 】 若 题 (2)变 为 ： 若 两 条 异 面 直 线 所 成 的 角为 60 ， 则 称 这 对 异 面 直 线 为 “ 黄 金 异 面 直 线 对 ” ，在 连 接 正 方 体 各 顶 点 的 所 有 直 线 中 ， “ 黄 金 异 面 直 线对 ” 共 有 _对 . 【 解 析 】 依 题 意 ， 注 意 到 在 正 方 体 ABCD -A1B1C1D1中 ，与 直 线 AC构 成 异 面 直 线 且 所 成 的 角 为 60 的 直 线 有BC1， BA1， A1D， DC1， 注 意 到 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 共有 12条 面 对 角 线 ， 可 知 所 求 的 “ 黄 金 异 面 直 线 对 ” 共有 =24对 .答 案 ： 244 122 【 规 律 方 法 】1.求 解 排 列 、 组 合 问 题 的 关 注 点排 组 分 清 ， 加 乘 明 确 ； 有 序 排 列 ， 无 序 组 合 ； 分 类 相加 ， 分 步 相 乘 . 2.排 列 、 组 合 应 用 问 题 的 常 见 解 法(1)特 殊 元 素 (特 殊 位 置 )优 先 安 排 法 .(2)合 理 分 类 与 准 确 分 步 法 .(3)排 列 与 组 合 混 合 问 题 先 选 后 排 法 .(4)相 邻 问 题 捆 绑 法 .(5)不 相 邻 问 题 插 空 法 . (6)定 序 问 题 缩 倍 法 .(7)多 排 问 题 一 排 法 .(8)“ 小 集 团 ” 问 题 先 整 体 后 局 部 法 .(9)构 造 模 型 法 .(10)正 难 则 反 ， 等 价 转 化 法 . 【 题 组 过 关 】1.(2016 九 江 一 模 )8名 学 生 和 2位 老 师 站 成 一 排 合影 ， 2位 老 师 不 相 邻 的 排 法 种 数 为 ( )8 2 8 2 8 2 8 28 9 8 9 8 7 8 7A.A A B A C C A A D A C 【 解 析 】 选 A.不 相 邻 问 题 用 插 空 法 ， 8名 学 生 先 排 有 种 排 法 ， 产 生 9个 空 ， 2位 老 师 插 空 有 种 排 法 ，所 以 共 有 种 排 法 .88A 29A8 28 9A A 2.(2016 太 原 一 模 )有 5名 优 秀 毕 业 生 到 母 校 的 3个 班去 做 学 习 经 验 交 流 ， 则 每 个 班 至 少 去 一 名 的 不 同 分 派方 法 种 数 为 ( )A.150 B.180 C.200 D.280 【 解 析 】 选 A.分 两 类 ： 一 类 ， 3个 班 分 派 的 毕 业 生 人 数分 别 为 2， 2， 1， 则 有 =90种 分 派 方 法 ； 另 一类 ， 3个 班 分 派 的 毕 业 生 人 数 分 别 为 1， 1， 3， 则 有 =60种 分 派 方 法 .所 以 不 同 分 派 方 法 种 数 为 90+60=150. 2 2 35 3 322C C AA3 35 3C A 【 加 固 训 练 】 1.有 6名 男 医 生 、 5名 女 医 生 ， 从 中 选 出 2名 男 医 生 、 1名 女 医 生 组 成 一 个 医 疗 小 组 ， 则 不 同 的 选法 共 有 ( )A.60种 B.70种 C.75种 D.150种 【 解 析 】 选 C.从 中 选 出 2名 男 医 生 的 选 法 有 =15种 ，从 中 选 出 1名 女 医 生 的 选 法 有 =5种 ， 所 以 不 同 的 选法 共 有 15 5=75种 . 26C15C 2.(2016 温 州 二 模 )将 9个 相 同 的 小 球 放 入 3个 不 同 的盒 子 ， 要 求 每 个 盒 子 中 至 少 有 1个 小 球 ， 且 每 个 盒 子 中的 小 球 个 数 都 不 同 ， 则 不 同 的 放 法 数 为 ( )A.15 B.18 C.19 D.21 【 解 析 】 选 B.依 题 意 ， 对 这 3个 盒 子 中 所 放 的 小 球 的 个数 情 况 进 行 分 类 计 数 ： 第 一 类 ， 这 3个 盒 子 中 所 放 的 小球 的 个 数 是 1， 2， 6， 此 类 放 法 有 =6种 ； 第 二 类 ，这 3个 盒 子 中 所 放 的 小 球 的 个 数 是 1， 3， 5， 此 类 放 法有 =6种 ； 第 三 类 ， 这 3个 盒 子 中 所 放 的 小 球 的 个 数 是 2，3， 4， 此 类 放 法 有 =6种 .因 此 满 足 题 意 的 放 法共 有 6+6+6=18种 . 33A33A 33A 3.(2016 深 圳 一 模 )某 班 准 备 从 含 甲 、 乙 的 7名 男 生 中选 取 4人 参 加 4 100米 接 力 赛 ， 要 求 甲 、 乙 两 人 至 少 有一 人 参 加 ， 且 若 甲 、 乙 同 时 参 加 ， 则 他 们 在 赛 道 上 的顺 序 不 能 相 邻 ， 那 么 不 同 的 排 法 种 数 为 ( )A.720 B.520 C.600 D.360 【 解 析 】 选 C.根 据 题 意 ， 分 2种 情 况 讨 论 . 只 有 甲 、乙 其 中 一 人 参 加 ， 有 =480种 情 况 ； 若 甲 、 乙两 人 都 参 加 ， 有 =240种 情 况 ， 其 中 甲 、 乙 相 邻的 有 =120种 情 况 ， 不 同 的 排 法 种 数 为 480+240-120=600种 . 1 3 42 5 4C C A2 2 42 5 4C C A2 2 3 22 5 3 2C C A A 4.(2016 长 沙 一 模 )5名 乒 乓 球 队 员 中 ， 有 2名 老 队 员和 3名 新 队 员 ， 现 从 中 选 出 3名 队 员 排 成 1， 2， 3号 参 加团 体 比 赛 ， 则 入 选 的 3名 队 员 中 至 少 有 1名 老 队 员 ， 且 1，2号 中 至 少 有 1名 新 队 员 的 排 法 有 _种 . 【 解 析 】 分 两 类 ： 第 一 类 仅 有 1名 老 队 员 ， 此 时 有 2名新 队 员 ， 一 定 可 以 保 证 1， 2号 中 至 少 有 1名 新 队 员 ， 此时 有 =36种 排 法 ；第 二 类 有 2名 老 队 员 ， 此 时 ， 要 注 意 将 新 队 员 安 排 在1， 2号 中 ， 有 =12种 排 法 .于 是 ， 不 同 的 排 法 数 为 36+12=48.答 案 ： 481 2 32 3 3C C A 1 1 23 2 2C C A 热 点 考 向 二 二 项 式 定 理 的 应 用 命 题 解 读 ： 主 要 考 查 二 项 式 定 理 的 通 项 公 式 、 二 项 式系 数 、 二 项 式 特 定 项 (指 定 项 )， 以 选 择 题 、 填 空 题 为主 . 命 题 角 度 一 与 特 定 项 有 关 的 问 题【 典 例 2】 (2016 邯 郸 一 模 ) 展 开 式 中 的常 数 项 为 ( )A.-8 B.-12 C.-20 D.20【 解 题 导 引 】 先 将 式 子 x2+ -2变 形 为 完 全 平 方 式 ，再 利 用 通 项 公 式 求 特 定 项 . 2 321(x 2)x 21x 【 规 范 解 答 】 选 C.因 为 所 以 Tk+1= 令 6-2k=0得 k=3， 所 以 常 数项 为 (-1)3=-20. 2 3 621 1(x 2) (x )x x ，k 6 k k k k 6 2k6 61C x ( ) C ( 1) xx ，36C 命 题 角 度 二 求 展 开 式 中 系 数 的 和【 典 例 3】 (2015 全 国 卷 )(a+x)(1+x)4的 展 开 式 中 x的 奇 数 次 幂 的 项 的 系 数 之 和 为 32， 则 a=_.【 解 题 导 引 】 先 设 出 展 开 式 ， 再 用 赋 值 法 ， 分 别 令 x=1，x=-1， 将 两 式 相 减 ， 再 利 用 奇 数 次 幂 项 的 系 数 之 和 求 a. 【 规 范 解 答 】 设 (a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，令 x=1， 得 16(a+1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5， 令 x=-1， 得 0=a0-a1+a2-a3+a4-a5. - ， 得 16(a+1)=2(a1+a3+a5)， 即 展 开 式 中 x的 奇 数次 幂 的 项 的 系 数 之 和 为 a1+a3+a5=8(a+1)，所 以 8(a+1)=32， 解 得 a=3.答 案 ： 3 命 题 角 度 三 求 展 开 式 中 某 项 的 系 数【 典 例 4】 (2014 全 国 卷 )(x-y)(x+y)8的 展 开 式 中x2y7的 系 数 为 _.(用 数 字 填 写 答 案 )【 解 题 导 引 】 利 用 通 项 公 式 求 解 . 【 规 范 解 答 】 因 为 (x+y)8的 展 开 式 的 通 项 为 Tk+1= x8-kyk(0 k 8， k N)，当 k=7时 ， T8= xy7=8xy7， 当 k=6时 ， T7= x2y6=28x2y6， k8C78C 68C 所 以 (x-y)(x+y)8的 展 开 式 中 x2y7的 项 为 x 8xy7+(-y) 28x2y6=-20 x2y7， 故 系 数 为 -20.答 案 ： -20 【 规 律 方 法 】 与 二 项 式 定 理 有 关 的 题 型 及 解 法类 型 解 法求 特 定 项 或 其 系 数 常 采 用 通 项 公 式 分 析 求 解系 数 的 和 或 差 常 用 赋 值 法近 似 值 问 题 利 用 展 开 式 截 取 部 分 项 求 解整 除 (或 余 数 )问 题 利 用 展 开 式 求 解 【 题 组 过 关 】1.(2016 四 川 高 考 )设 i为 虚 数 单 位 ， 则 (x+i)6的 展 开式 中 含 x4的 项 为 ( )A.-15x4 B.15x4C.-20ix4 D.20ix4 【 解 析 】 选 A.二 项 式 (x+i)6展 开 的 通 项 Tr+1= x6-rir，则 其 展 开 式 中 含 x4的 项 是 当 6-r=4， 即 r=2， 则 展 开 式 中含 x4的 项 为 x4i2=-15x4. r6C26C 2.(2016 山 东 高 考 )若 的 展 开 式 中 x5的系 数 是 -80， 则 实 数 a=_.【 解 析 】 因 为 令 10- =5得 k=2， 所 以 =-80，解 得 a=-2.答 案 ： -2 2 51(ax )x 510 k5 kk 2 k k 5 k 2k 1 5 51T C ax ( ) C a xx 5k2 2 35C a 3.(2016 大 同 二 模 )二 项 式 的 展 开 式 中 只有 第 六 项 的 二 项 式 系 数 最 大 ， 则 展 开 式 中 常 数 项 为_. n22( x )x 【 解 析 】 因 为 的 展 开 式 中 只 有 第 六 项 的 二项 式 系 数 最 大 ， 所 以 n=10，令 5- =0， 则 k=2， T3= =180.答 案 ： 180 n22( x )x 510 k 5 kk k k k 2k 1 10 1022T C x ( ) 2 C xx ，5k2 2104C 【 加 固 训 练 】 (2014 浙 江 高 考 )在 (1+x)6(1+y)4的 展开 式 中 ， 记 xmyn项 的 系 数 为 f(m， n)， 则 f(3， 0)+ f(2，1)+f(1， 2)+f(0， 3)=( )A.45 B.60 C.120 D.210 【 解 析 】 选 C.由 二 项 展 开 式 的 通 项 性 质 可 知 xmyn项的 系 数 为 f(m， n)= 所 以 f(3， 0)+f(2， 1)+f(1， 2)+f(0， 3)=m n6 4C C ，3 2 1 1 2 36 6 4 6 4 4C C C C C C 120.