主成份分析 因子分析

1zf 2021-5-19 2cxt 因 子 分 析 的 重 点v1、 什 么 是 因 子 分 析 ？v2、 理 解 因 子 分 析 的 基 本 思 想v3、 因 子 分 析 的 数 学 模 型 以 及 模 型 中 公 共 因 子 、 因子 载 荷 变 量 共 同 度 的 统 计 意 义v4、 因 子 旋 转 的 意 义 v5、 结 合 SPSS软 件 进 行 案 例 分 析 2021-5-19 3cxt 6.1 因 子 分 析 的 基 本 理 论v1、 什 么 是 因 子 分 析 ？ 因 子 分 析 是 主 成 分 分 析 的 推 广 ， 也 是 利 用 降 维 的思 想 ， 由 研 究 原 始 变 量 相 关 矩 阵 或 协 方 差 矩 阵 的 内 部依 赖 关 系 出 发 ， 把 一 些 具 有 错 综 复 杂 关 系 的 多 个 变 量归 结 为 少 数 几 个 综 合 因 子 的 一 种 多 元 统 计 分 析 方 法 。v2、 因 子 分 析 的 基 本 思 想 ： 把 每 个 研 究 变 量 分 解 为 几 个 影 响 因 素 变 量 ， 将 每个 原 始 变 量 分 解 成 两 部 分 因 素 ， 一 部 分 是 由 所 有 变 量共 同 具 有 的 少 数 几 个 公 共 因 子 组 成 的 ， 另 一 部 分 是 每个 变 量 独 自 具 有 的 因 素 ， 即 特 殊 因 子 。 2021-5-19 4cxt v3、 因 子 分 析 的 目 的 ：l 因 子 分 析 的 目 的 之 一 ， 简 化 变 量 维 数 。 即 要 使 因 素 结 构简 单 化 ， 希 望 以 最 少 的 共 同 因 素 （ 公 共 因 子 ） ， 能 对 总变 异 量 作 最 大 的 解 释 ， 因 而 抽 取 得 因 子 愈 少 愈 好 ， 但 抽取 因 子 的 累 积 解 释 的 变 异 量 愈 大 愈 好 。l 在 因 子 分 析 的 公 共 因 子 抽 取 中 ， 应 最 先 抽 取 特 征 值 最 大的 公 共 因 子 ， 其 次 是 次 大 者 ， 最 后 抽 取 公 共 因 子 的 特 征值 最 小 通 常 会 接 近 0。 2021-5-19 5cxt v 例 ： 在 企 业 形 象 或 品 牌 形 象 的 研 究 中 ， 消 费 者 可 以 通 过 一 个 有24个 指 标 构 成 的 评 价 体 系 ， 评 价 百 货 商 场 的 24个 方 面 的 优 劣 。v 但 消 费 者 主 要 关 心 的 是 三 个 方 面 ， 即 商 店 的 环 境 、 商 店 的 服 务和 商 品 的 价 格 。 因 子 分 析 方 法 可 以 通 过 24个 变 量 ， 找 出 反 映 商店 环 境 、 商 店 服 务 水 平 和 商 品 价 格 的 三 个 潜 在 的 因 子 ， 对 商 店进 行 综 合 评 价 。 而 这 三 个 公 共 因 子 可 以 表 示 为 ：v 称 是 不 可 观 测 的 潜 在 因 子 ,称 为 公 共 因 子 。 24个 变 量共 享 这 三 个 因 子 ， 但 是 每 个 变 量 又 有 自 己 的 个 性 ， 不 被 包 含 的部 分 ， 称 为 特 殊 因 子 。 iiiiii FFFx 332211321 FFF 、 i 2021-5-19 6cxt v 4、 主 成 分 分 析 分 析 与 因 子 分 析 的 联 系 和 差 异 ： 联 系 ： （ 1） 因 子 分 析 是 主 成 分 分 析 的 推 广 ， 是 主 成 分 分 析 的 逆 问题 。 （ 2） 二 者 都 是 以 降 维 为 目 的 ， 都 是 从 协 方 差 矩 阵 或 相 关 系 数矩 阵 出 发 。 区 别 ： （ 1） 主 成 分 分 析 模 型 是 原 始 变 量 的 线 性 组 合 ， 是 将 原 始 变量 加 以 综 合 、 归 纳 ， 仅 仅 是 变 量 变 换 ； 而 因 子 分 析 是 将 原 始 变 量 加 以 分解 ， 描 述 原 始 变 量 协 方 差 矩 阵 结 构 的 模 型 ； 只 有 当 提 取 的 公 因 子 个 数 等于 原 始 变 量 个 数 时 ， 因 子 分 析 才 对 应 变 量 变 换 。 （ 2） 主 成 分 分 析 ， 中每 个 主 成 分 对 应 的 系 数 是 唯 一 确 定 的 ； 因 子 分 析 中 每 个 因 子 的 相 应 系 数即 因 子 载 荷 不 是 唯 一 的 。 （ 3） 因 子 分 析 中 因 子 载 荷 的 不 唯 一 性 有 利 于对 公 因 子 进 行 有 效 解 释 ； 而 主 成 分 分 析 对 提 取 的 主 成 分 的 解 释 能 力 有 限。 2021-5-19 7cxt v5、 因 子 分 析 模 型 ： 设 个 变 量 ， 如 果 表 示 为iX ),2,1( pi p1 1i i i im m iX a F a F )( pm 1 1 11 12 1 112 2 21 22 2 221 2 mmp p p p pm pmX FX FX F 或 X AF或 2021-5-19 8cxt（ 1）（ 2） 称 为 公 共 因 子 ， 是 不 可 观 测 的 变 量 ，他 们 的 系 数 称 为 因 子 载 荷 。 是 特 殊 因 子 ， 是 不 能 被前 m个 公 共 因 子 包 含 的 部 分 。 其 中 ：mFFF , 21 icov( , ) 0,F ,F 相 互 独 立 即 不 相 关 ；IFD 111)( mFFF , 21 即 互 不 相 关 ， 方 差 为 1。 2021-5-19 9cxt（ 3） 22221)( pD 即 互 不 相 关 ， 方 差 不 一 定 相 等 ， 。满 足 以 上 条 件 的 ， 称 为 正 交 因 子 模 型 如 果 （ ） 不 成 立 ， 即 各 公 共 因 子 之 间 不 独 立 ，则 因 子 分 析 模 型 为 斜 交 因 子 模 型 ),0( 2ii N IFD )( 2021-5-19 10cxt 公 因 子 F1 公 因 子F2 共 同 度hi 特 殊 因 子ix1=代 数 1 0.896 0.341 0.919 0.081x2=代 数 2 0.802 0.496 0.889 0.111x3=几 何 0.516 0.855 0.997 0.003x4=三 角 0.841 0.444 0.904 0.096x5=解 析 几 何 0.833 0.434 0.882 0.118特 征 值 G 3.113 1.479 4.959 0.409方 差 贡 献 率（ 变 异 量 ） 62.26% 29.58% 91.85%因 子 分 析 案 例F 1 体 现 逻 辑 思 维 和 运 算 能 力 ， F2 体 现 空 间 思 维 和 推 理 能 力 2021-5-19 11cxt v6、 因 子 分 析 模 型 中 的 几 个 重 要 统 计 量 的 意 义 ：（ 1） 因 子 负 荷 量 （ 或 称 因 子 载 荷 ） -是 指 因 子 结 构中 原 始 变 量 与 因 子 分 析 时 抽 取 出 的 公 共 因 子 的 相 关 程度 。 imim2i21i1*i FFFx ij ijm1i jm1ij*i Fj),cov()F,cov( )F,cov()F,Cov(x kik ikikFF )var(*)var( )*,cov(r ij ji ji Fx Fxr 2021-5-19 12cxt 在 各 公 共 因 子 不 相 关 的 前 提 下 ， （ 载 荷 矩 阵中 第 i行 ， 第 j列 的 元 素 ） 是 随 机 变 量 xi*与 公 共 因 子Fj的 相 关 系 数 ， 表 示 xi*依 赖 于 Fj的 程 度 。 反 映 了 第 i个原 始 变 量 在 第 j个 公 共 因 子 上 的 相 对 重 要 性 。 因 此 绝 对 值 越 大 ， 则 公 共 因 子 Fj与 原 有 变 量 xi的 关 系 越 强。 ijij 2021-5-19 13cxt （ 2） 共 同 度 -又 称 共 性 方 差 或 公 因 子 方 差 （ community或 common variance） 就 是 变 量 与 每 个 公 共 因 子 之 负 荷 量的 平 方 总 和 （ 一 行 中 所 有 因 素 负 荷 量 的 平 方 和 ） 。 变 量 的 共 同 度 是 因 子 载 荷 矩 阵 的 第 i行 的 元 素 的 平 方 和 。 记 为 从 共 同 性 的 大 小 可 以 判 断 这 个 原 始 实 测 变 量 与 公 共 因子 间 之 关 系 程 度 。 如 因 子 分 析 案 例 中 共 同 度 h12=(0.896)平 方 +(0.341)平 方 =0.919l 特 殊 因 子 方 差 （ 剩 余 方 差 ） -各 变 量 的 特 殊 因 素 影 响 大 小 就是 1减 掉 该 变 量 共 同 度 的 值 。 如 =1- 0.919 = 0.081 iX。 mj iji ah 1 22 2i 2021-5-19 14cxt 统 计 意 义 ： imimii FaFaX 11* 两 边 求 方 差 )()()()( 2112 imimii VarFVaraFVaraXVar 221 221 iimj iij ha 所 有 的 公 共 因 子 和 特 殊 因 子 对 变 量 的 贡 献 为 1。 hi2反 映 了 全部 公 共 因 子 对 变 量 Xi*的 影 响 ， 是 全 部 公 共 因 子 对 变 量 方 差 所 做 出 的贡 献 ， 或 者 说 Xi*对 公 共 因 子 的 共 同 依 赖 程 度 ， 称 为 公 共 因 子 对 变 量Xi*的 方 差 贡 献 。 Hi2接 近 于 1， 表 明 该 变 量 的 原 始 信 息 几 乎 都 被 选 取 的 公 共 因 子说 明 了 。 特 殊 因 子 的 方 差 ， 反 映 了 原 有 变 量 方 差 中 无 法 被 公 共 因 子描 述 的 比 例 。 *iX2i 2021-5-19 15cxt （ 3） 特 征 值 -是 第 j个 公 共 因 子 Fj对 于 X*的 每 一 分 量 Xi*所 提供 的 方 差 的 总 和 。 又 称 第 j个 公 共 因 子 的 方 差 贡 献 。 即 每 个 变量 与 某 一 共 同 因 素 之 因 素 负 荷 量 的 平 方 总 和 （ 因 子 载 荷 矩 阵中 某 一 公 共 因 子 列 所 有 因 子 负 荷 量 的 平 方 和 ） 。 如 因 子 分 析 案 例 中 F1的 特 征 值 G=（ 0.896） 平 方 +（0.802） 平 方 +（ 0.516） 平 方 +（ 0.841） 平 方 +（ 0.833） 平 方=3.113（ 4） 方 差 贡 献 率 -指 公 共 因 子 对 实 测 变 量 的 贡 献 ， 又 称 变 异量 方 差 贡 献 率 =特 征 值 G/实 测 变 量 数 p， 是 衡 量 公 共 因 子 相 对 重 要 性 的 指 标 ， G i越 大 ， 表 明 公 共因 子 Fj对 X*的 贡 献 越 大 ， 该 因 子 的 重 要 程 度 越 高 如 因 子 分 析 案 例 中 F1的 贡 献 率 为 3.113/5=62.26% 2021-5-19 16cxt 6.2 因 子 的 基 本 内 容v1、 因 子 分 析 的 基 本 步 骤 ：（ 1） 因 子 分 析 的 前 提 条 件 鉴 定 考 察 原 始 变 量 之 间 是 否 存 在 较 强 的 相 关 关 系 ， 是 否 适合 进 行 因 子 分 析 。 因 为 ： 因 子 分 析 的 主 要 任 务 之 一 就 是 对 原 有 变 量 中 信 息 重 叠的 部 分 提 取 和 综 合 成 因 子 ， 最 终 实 现 减 少 变 量 个 数 的 目 的。 所 以 要 求 原 有 变 量 之 间 应 存 在 较 强 的 相 关 关 系 。 否 则 ，如 果 原 有 变 量 相 互 独 立 ， 不 存 在 信 息 重 叠 ， 也 就 无 需 进 行综 合 和 因 子 分 析 。（ 2） 因 子 提 取 研 究 如 何 在 样 本 数 据 的 基 础 上 提 取 综 合 因 子 。 2021-5-19 17cxt （ 3） 因 子 旋 转 通 过 正 交 旋 转 或 斜 交 旋 转 使 提 取 出 的 因 子 具 有 可 解释 性 。（ 4） 计 算 因 子 得 分 通 过 各 种 方 法 求 解 各 样 本 在 各 因 子 上 的 得 分 ， 为 进一 步 分 析 奠 定 基 础 。 2021-5-19 18cxt v2、 因 子 分 析 前 提 条 件相 关 性 分 析 ：分 析 方 法 主 要 有 ：（ 1） 计 算 相 关 系 数 矩 阵 (correlation coefficients matrix) 如 果 相 关 系 数 矩 阵 中 的 大 部 分 相 关 系 数 值 均 小 于 0.3，即 各 变 量 间 大 多 为 弱 相 关 ， 原 则 上 这 些 变 量 不 适 合 进 行 因子 分 析 。（ 2） 计 算 反 映 象 相 关 矩 阵 （ Anti-image correlation matrix) 2021-5-19 19cxt 反 映 象 相 关 矩 阵 ， 如 果 其 主 对 角 线 外 的 元 素 大 多 绝 对值 较 小 ， 对 角 线 上 的 元 素 值 较 接 近 1， 则 说 明 这 些 变 量的 相 关 性 较 强 ， 适 合 进 行 因 子 分 析 。 其 中 主 对 角 线 上 的 元 素 为 某 变 量 的 MSA(Measure of Sample Adequacy)： 是 变 量 和 变 量 （ ） 间 的 简 单 相 关 系 数 ， 是变 量 和 变 量 （ ） 在 控 制 了 其 他 变 量 影 响 下 的 偏相 关 系 数 ， 即 净 相 关 系 数 。 取 值 在 0和 1之 间 ， 越 接近 1， 意 味 着 变 量 与 其 他 变 量 间 的 相 关 性 越 强 ， 越 接近 0则 相 关 性 越 弱 。 ij ij ijij ij iji pr rMSA 22 2 ijr ix jx ijijp ix jx ij iMSAix 2021-5-19 20cxt （ 3） 巴 特 利 特 球 度 检 验 （ Bartlett test of sphericity) 该 检 验 以 原 有 变 量 的 相 关 系 数 矩 阵 为 出 发 点 ， 其 零 假设 H0是 ： 相 关 系 数 矩 阵 为 单 位 矩 阵 ， 即 相 关 系 数 矩 阵 主 对角 元 素 均 为 1， 非 主 对 角 元 素 均 为 0。 （ 即 原 始 变 量 之 间 无相 关 关 系 ） 。 依 据 相 关 系 数 矩 阵 的 行 列 式 计 算 可 得 其 近 似 服 从 卡方 分 布 。 如 果 统 计 量 卡 方 值 较 大 且 对 应 的 sig值 小 于 给 定的 显 著 性 水 平 a时 ， 零 假 设 不 成 立 。 即 说 明 相 关 系 数 矩 阵不 太 可 能 是 单 位 矩 阵 ， 变 量 之 间 存 在 相 关 关 系 ， 适 合 做 因子 分 析 。 2021-5-19 21cxt （ 4） KMO(Kaiser-Meyer-Olkin)检 验 KMO检 验 的 统 计 量 是 用 于 比 较 变 量 间 简 单 相 关 系 数 矩 阵和 偏 相 关 系 数 的 指 标 ， 数 学 定 义 为 ： KMO与 MSA区 别 是 它 将 相 关 系 数 矩 阵 中 的 所 有 元 素 都 加 入到 了 平 方 和 计 算 中 。 KMO值 越 接 近 1， 意 味 着 变 量 间 的 相关 性 越 强 ， 原 有 变 量 适 合 做 因 子 分 析 ； 越 接 近 0， 意 味变 量 间 的 相 关 性 越 弱 ， 越 不 适 合 作 因 子 分 析 。 Kaiser给 出 的 KMO度 量 标 准 ： 0.9以 上 非 常 适 合 ； 0.8表 示 适 合； 0.7表 示 一 般 ； 0.6表 示 不 太 适 合 ； 0.5以 下 表 示 极 不适 合 。 ij ijij ij ij iji pr rKMO 22 2 2021-5-19 22cxt v3、 因 子 提 取 和 因 子 载 荷 矩 阵 的 求 解 ：因 子 载 荷 矩 阵 求 解 的 方 法 ： （ 1） 基 于 主 成 分 模 型 的 主 成 分 分 析 法 （ 2） 基 于 因 子 分 析 模 型 的 主 轴 因 子 法 （ 3） 极 大 似 然 法 （ 4） 最 小 二 乘 法 （ 5） a因 子 提 取 法 （ 6） 映 象 分 析 法 2021-5-19 23cxt （ 1） 基 于 主 成 分 模 型 的 主 成 分 分 析 法 Principal components 设 随 机 向 量 的 均 值 为 ， 协 方 差 为, 为 的 特 征 根 ， 为 对 应 的标 准 化 特 征 向 量 ， 则 pxxx , 21 x 021 p p21 u,u,u 1 2 p =U U AA +D 2021-5-19 24cxt 上 式 给 出 的 表 达 式 是 精 确 的 ， 然 而 ， 它 实 际 上 是 毫 无 价值 的 ， 因 为 我 们 的 目 的 是 寻 求 用 少 数 几 个 公 共 因 子 解 释 ，故 略 去 后 面 的 p-m项 的 贡 献 ， 有 ： p2uuuuuu ppp 2 112211 11 00 p 21 2 p puuu u u u 2 11 1 1m m m m m m p 1 1 2 2 p puu u u u u u u u u 2021-5-19 25cxt 上 式 有 一 个 假 定 ， 模 型 中 的 特 殊 因 子 是 不 重 要 的 ， 因 而 从的 分 解 中 忽 略 了 特 殊 因 子 的 方 差 。 1 2 m m m 1 1 2 2 AA + D u u u u u u D2 2 21 2 ( , , , )pdiag D 其 中 2 21 mi ii ijjs a 1 121 1 2 2 m m p m p m m p 2uuu u u D AA Du 2021-5-19 26cxt 例 : 假 定 某 地 固 定 资 产 投 资 率 ， 通 货 膨 胀 率 ，失 业 率 ， 相 关 系 数 矩 阵 为试 用 主 成 分 分 析 法 求 因 子 分 析 模 型 。1x 2x3x 15/25/1 5/215/1 5/15/11 2021-5-19 27cxt (1)求 解 特 征 根(2)求 解 特 征 向 量 ：(3)因 子 载 荷 矩 阵 ： 55.11 85.02 6.03 6.0707.085.0331.055.1629.0 6.0707.085.0331.055.1629.0 085.0883.055.1475.0A 707.0331.0629.0 707.0331.0629.0 0883.0475.0U 548.0305.0783.0 548.0305.0783.0 0814.0569.0 2021-5-19 28cxt (4)因 子 分 析 模 型 ： 可 取 前 两 个 因 子 F1和 F2为 公 共 因 子 ， 第 一 公 因 子 F1物 价就 业 因 子 ， 对 X的 贡 献 为 1.55。 第 一 公 因 子 F2为 投 资 因 子， 对 X的 贡 献 为 0.85。 共 同 度 分 别 为 1， 0.706， 0.706。211 814.0569.0 FFx 3212 548.0305.0783.0 FFFx 3213 548.0305.0783.0 FFFx 2021-5-19 29cxt （ 2） 基 于 因 子 分 析 模 型 的 主 轴 因 子 法 Principal axis factoring 是 对 主 成 分 方 法 的 修 正 ， 假 定 我 们 首 先 对 变 量 进 行 标准 化 变 换 。 则 R=AA+D R*=AA=R-D称 R*为 约 相 关 矩 阵 ， R*对 角 线 上 的 元 素 是 ,而 不 是 1。2ih 2021-5-19 30cxt 直 接 求 R*的 前 p个 特 征 根 和 对 应 的 正 交 特 征 向量 。 得 如 下 的 矩 阵 ： 21 12 1221 2 221 2 ppp p ph r rr h rR r r h R-D * * * * * *1 1 2 2 p p A u u u* * *1 0p R 特 征 根 ： * * *1 2, , , pu u u正 交 特 征 向 量 ： 2021-5-19 31cxt 当 特 殊 因 子 的 方 差 已 知 ：i21 22 2p R R * *1 1* * * * * * * 2 21 1 2 2 * *p p p p uuu u u u * * * * * *1 1 2 2 m m A u u u 21 21 1 00 ph h D 2021-5-19 32cxt 方 差 矩 阵 未 知 ， 估 计 的 方 法 有 如 下 几 种 ： 1） 取 ， 在 这 个 情 况 下 主 因 子 解 与 主 成 分 解 等 价 ； 2） 取 ， 为 xi与 其 他 所 有 的 原 始 变 量 xj的 复 相 关 系数 的 平 方 ， 即 xi对 其 余 的 p-1个 xj的 回 归 方 程 的 判 定 系 数 ， 这 是因 为 xi 与 公 共 因 子 的 关 系 是 通 过 其 余 的 p-1个 xj 的 线 性 组 合 联系 起 来 的 ； 3） 取 ， 这 意 味 着 取 xi与 其 余 的 xj的 简单 相 关 系 数 的 绝 对 值 最 大 者 ；12 ih 22 ii Rh 2iR )(|max2 ijrh iji 2021-5-19 33cxt 4） 取 ， 其 中 要 求 该 值 为 正 数 。 5） 取 ， 其 中 是 的 对 角 元 素 。 p jij iji rph ,12 11iii rh /12 iir 1R 2021-5-19 34cxt 例 ： 假 定 某 地 固 定 资 产 投 资 率 ， 通 货 膨 胀 率 ， 失 业 率 ，相 关 系 数 矩 阵 为试 用 主 因 子 分 析 法 求 因 子 分 析 模 型 。 假 定 用代 替 初 始 的 。 。1x 2x 3x 15/25/1 5/215/1 5/15/11 )(|max2 ijrh iji 2ih 52,1,51 232221 hhh 221 251 111515/25/25/1 5/215/1 5/15/15/1*R 2021-5-19 35cxt （ 1） 求 解 特 征 根 ：（ 2） 对 应 的 非 0特 征 向 量 ：（ 3） 因 子 载 荷 矩 阵 表 ：9123.01 0877.02 03 261.0657.0 261.0657.0 929.0369.0 0877.0261.09123.0657.0 0877.0261.09123.0657.0 0877.0929.09123.0369.0 077.0628.0 077.0628.0 275.0352.0 2021-5-19 36cxt （ 4） 因 子 分 析 模 型 ：（ 5） 新 的 共 同 度 ： 1211 275.0352.0 FFx 2212 077.0625.0 FFx 3211 077.0682.0 FFx 18129.0275.0352.0 2221 h 3966.0077.0625.0 2222 h 4710.0077.0682.0 2223 h 2021-5-19 37cxt v4、 因 子 旋 转 ：为 什 么 要 旋 转 因 子 ？ 建 立 了 因 子 分 析 数 学 目 的 不 仅 仅 要 找 出 公 共 因 子 以 及对 变 量 进 行 分 组 ， 更 重 要 的 要 知 道 每 个 公 共 因 子 的 意 义 ，以 便 进 行 进 一 步 的 分 析 ， 如 果 每 个 公 共 因 子 的 含 义 不 清 ，则 不 便 于 进 行 实 际 背 景 的 解 释 。 由 于 因 子 载 荷 阵 是 不 惟 一的 ， 所 以 应 该 对 因 子 载 荷 阵 进 行 旋 转 。 目 的 是 使 每 个 变 量在 尽 可 能 少 的 因 子 上 有 比 较 高 的 载 荷 ， 让 某 个 变 量 在 某 个因 子 上 的 载 荷 趋 于 1， 而 在 其 他 因 子 上 的 载 荷 趋 于 0。 即 ：使 载 荷 矩 阵 每 列 或 行 的 元 素 平 方 值 向 0和 1两 极 分 化 。 2021-5-19 38cxt 奥 运 会 十 项 全 能 运 动 项 目得 分 数 据 的 因 子 分 析 百 米 跑 成 绩 跳 远 成 绩 铅 球 成 绩 跳 高 成 绩 400米 跑 成 绩 百 米 跨 栏 铁 饼 成 绩 撑 杆 跳 远 成 绩 标 枪 成 绩 1500米 跑 成 绩 1X2X3X 4X 5X6X 7X 8X9X 10X 2021-5-19 39cxt 102.017.002.001.039.018.008.009.007.0 124.034.018.013.017.044.021.011.0 124.033.023.039.024.036.020.0 132.017.027.073.031.028.0 134.046.036.052.040.0 129.019.049.063.0 138.051.034.0 142.035.0 159.01 2021-5-19 40cxt 因子载荷矩阵 因 子 载 荷 矩 阵 可 以 看 出 ， 除 第 一 因 子 在 所 有 的 变 量 在 公 共 因 子 上 有较 大 的 正 载 荷 ， 可 以 称 为 一 般 运 动 因 子 。 其 他 的 3个 因 子 不 太 容 易 解 释 。 似 乎 是 跑 和 投 掷 的 能 力 对 比 ， 似 乎 是 长 跑 耐 力 和 短 跑 速 度 的 对 比 。 于是 考 虑 旋 转 因 子 ， 得 下 表 变 量 共 同 度 0.691 0.217 -0.58 -0.206 0.84 0.789 0.184 -0.193 0.092 0.7 0.702 0.535 0.047 -0.175 0.8 0.674 0.134 0.139 0.396 0.65 0.62 0.551 -0.084 -0.419 0.87 0.687 0.042 -0.161 0.345 0.62 0.621 -0.521 0.109 -0.234 0.72 0.538 0.087 0.411 0.44 0.66 0.434 -0.439 0.372 -0.235 0.57 0.147 0.596 0.658 -0.279 0.89 1F 2F 3F 4F1X2X3X4X5X6X 7X8X9X10X 2021-5-19 41cxt变 量 共 同 度0.844* 0.136 0.156 -0.113 0.840.631* 0.194 0.515* -0.006 0.70.243 0.825* 0.223 -0.148 0.810.239 0.15 0.750* 0.076 0.650.797* 0.075 0.102 0.468 0.870.404 0.153 0.635* -0.17 0.620.186 0.814* 0.147 -0.079 0.72-0.036 0.176 0.762* 0.217 0.66-0.048 0.735* 0.11 0.141 0.570.045 -0.041 0.112 0.934* 0.891F 2F 3F 4F1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X 旋 转 变 幻 后 因 子 载 荷 矩 阵 2021-5-19 42cxt 通 过 旋 转 ， 因 子 有 了 较 为 明 确 的 含 义 。 百 米 跑 ， 跳 远 和 400米 跑 ， 需 要 爆 发 力 的 项 目 在 有 较 大 的 载荷 ， 可 以 称 为 短 跑 速 度 因 子 ； 铅 球 ， 铁 饼 和 标 枪 在 上 有 较 大 的 载 荷 ， 可以 称 为 爆 发 性 臂 力 因 子 ； 百 米 跨 栏 ， 撑 杆 跳 远 ， 跳 远 和 为 跳 高 在 上 有 较 大 的 载 荷 ， 爆 发 腿 力 因 子 ； 长 跑 耐 力 因 子 。 2X5X 1F1F3X 7X 9X 2F6X 8X 2X 4X3F 3F4F 1X 2021-5-19 43cxt 旋 转 的 方 法 有 ： （ 1） 正 交 旋 转 ； （ 2） 斜 交 旋 转（ 1） 正 交 旋 转 由 初 始 载 荷 矩 阵 A左 乘 一 正 交 矩 阵 得 到 ； 目 的 是 新 的 载荷 系 数 尽 可 能 的 接 近 于 0或 尽 可 能 的 远 离 0； 只 是 在 旋 转 后的 新 的 公 因 子 仍 保 持 独 立 性 。 主 要 有 以 下 方 法 ：varimax:方 差 最 大 旋 转 。 简 化 对 因 子 的 解 释quartmax:四 次 最 大 正 交 旋 转 。 简 化 对 变 量 的 解 释equamax:等 量 正 交 旋 转 2021-5-19 44cxt A、 方 差 最 大 法 方 差 最 大 法 从 简 化 因 子 载 荷 矩 阵 的 每 一 列 出 发 ， 使和 每 个 因 子 有 关 的 载 荷 的 平 方 的 方 差 最 大 。 当 只 有 少 数 几个 变 量 在 某 个 因 子 上 有 较 高 的 载 荷 时 ， 对 因 子 的 解 释 最 简单 。 方 差 最 大 的 直 观 意 义 是 希 望 通 过 因 子 旋 转 后 ， 使 每 个因 子 上 的 载 荷 尽 量 拉 开 距 离 ， 一 部 分 的 载 荷 趋 于 1， 另 一部 分 趋 于 0。 2021-5-19 45cxt B、 四 次 方 最 大 旋 转 四 次 方 最 大 旋 转 是 从 简 化 载 荷 矩 阵 的 行 出 发 ， 通 过 旋 转初 始 因 子 ， 使 每 个 变 量 只 在 一 个 因 子 上 有 较 高 的 载 荷 ， 而在 其 它 的 因 子 上 尽 可 能 低 的 载 荷 。 如 果 每 个 变 量 只 在 一 个因 子 上 有 非 零 的 载 荷 ， 这 时 的 因 子 解 释 是 最 简 单 的 。 四 次 方 最 大 法 通 过 使 因 子 载 荷 矩 阵 中 每 一 行 的 因 子 载荷 平 方 的 方 差 达 到 最 大 。 2021-5-19 46cxt C、 等 量 最 大 法 等 量 最 大 法 把 四 次 方 最 大 法 和 方 差 最 大 法 结 合 起 来求 行 和 列 因 子 载 荷 平 方 的 方 差 的 加 权 平 均 最 大 。 2021-5-19 47cxt （ 2） 斜 交 旋 转 目 的 是 新 的 载 荷 系 数 尽 可 能 的 接 近 于 0或 尽 可 能 的 远 离 0； 只 是 在 旋 转 时 ， 放 弃 了 因 子 之 间 彼 此 独 立 的 限 制 ， 旋转 后 的 新 公 因 子 更 容 易 解 释 。 主 要 有 以 下 的 方 法 ：direct oblimin:直 接 斜 交 旋 转 。 允 许 因 子 之 间 具 有 相 关 性；promax:斜 交 旋 转 方 法 。 允 许 因 子 之 间 具 有 相 关 性 ； 2021-5-19 48cxt v5、 因 子 得 分因 子 得 分 的 概 念 前 面 我 们 主 要 解 决 了 用 公 共 因 子 的 线 性 组 合 来 表 示一 组 观 测 变 量 的 有 关 问 题 。 如 果 我 们 要 使 用 这 些 因 子 做 其他 的 研 究 ， 比 如 把 得 到 的 因 子 作 为 自 变 量 来 做 回 归 分 析 ，对 样 本 进 行 分 类 或 评 价 ， 这 就 需 要 我 们 对 公 共 因 子 进 行 测度 ， 即 给 出 公 共 因 子 的 值 。 2021-5-19 49cxt 例 ： 人 均 要 素 变 量 因 子 分 析 。 对 我 国 32个 省 市 自 治 区 的 要 素 状 况 作因 子 分 析 。 指 标 体 系 中 有 如 下 指 标 ：X1 ： 人 口 （ 万 人 ） X2 ： 面 积 （ 万 平 方 公 里 ）X3 ： GDP（ 亿 元 ） X4 ： 人 均 水 资 源 （ 立 方 米 /人 ）X5： 人 均 生 物 量 （ 吨 /人 ） X6： 万 人 拥 有 的 大 学 生 数 （ 人 ）X7： 万 人 拥 有 科 学 家 、 工 程 师 数 （ 人 ） Rotated Factor Pattern FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 -0.21522 -0.27397 0.89092 X2 0.63973 -0.28739 -0.28755 X3 -0.15791 0.06334 0.94855 X4 0.95898 -0.01501 -0.07556 X5 0.97224 -0.06778 -0.17535 X6 -0.11416 0.98328 -0.08300 X7 -0.11041 0.97851 -0.07246 2021-5-19 50cxt X1=-0.21522F1-0.27397F2+0.89092F3 X2=0.63973F1-0.28739F2-0.28755F3 X3=-0.15791F1+0.06334F2+0.94855F3 X4=0.95898F1-0.01501F2-0.07556F3 X5=0.97224F1-0.06778F2-0.17535F3 X6=-0.11416F1+0.98328F2-0.08300F3 X7=-0.11041F1+0.97851F2-0.07246F3 2021-5-19 51cxt 高 载 荷 指 标 因 子 命 名因 子 1 X2； 面 积 （ 万 平 方 公 里 ）X4:人 均 水 资 源 （ 立 方 米 /人 ）X5:人 均 生 物 量 （ 吨 /人 ） 自 然 资 源 因 子因 子 2 X6： 万 人 拥 有 的 大 学 生 数 （ 人 ）X7： 万 人 拥 有 的 科 学 家 、 工 程 师 数（ 人 ） 人 力 资 源 因 子 因 子 3 X1;人 口 （ 万 人 ）X3:GDP(亿 元 ) 经 济 发 展 总 量 因 子 2021-5-19 52cxt Standardized Scoring Coefficients FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 0.05764 -0.06098 0.50391 X2 0.22724 -0.09901 -0.07713 X3 0.14635 0.12957 0.59715 X4 0.47920 0.11228 0.17062 X5 0.45583 0.07419 0.10129 X6 0.05416 0.48629 0.04099 X7 0.05790 0.48562 0.04822F1=0.05764X1+0.22724X2+0.14635X3+0.47920X4+0.45583X5+0.05416X6+0.05790X7F2=-0.06098X1-0.09901X2+0.12957X3+0.11228X4+0.07419X5+0.48629X6+0.48562X7F3=0.50391X1-0.07713X2+0.59715X3+0.17062X4+0.10129X5+0.04099X6+0.04822X7 2021-5-19 53cxt 前 三 个 因 子 得 分REGION FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3beijing -0.08169 4.23473 -0.37983tianjin -0.47422 1.31789 -0.87891hebei -0.22192 -0.35802 0.86263shanxi1 -0.48214 -0.32643 -0.54219neimeng 0.54446 -0.66668 -0.92621liaoning -0.20511 0.46377 0.34087jilin -0.21499 0.10608 -0.57431 heilongj 0.10839 -0.11717 -0.02219shanghai -0.20069 2.38962 -0.04259 2021-5-19 54cxt 因 子 分 析 的 数 学 模 型 为 ： 原 变 量 被 表 示 为 公 共 因 子 的 线 性 组 合 ， 当 载 荷 矩 阵 旋转 之 后 ， 公 共 因 子 可 以 做 出 解 释 ， 通 常 的 情 况 下 ， 我 们 还想 反 过 来 把 公 共 因 子 表 示 为 原 变 量 的 线 性 组 合 。因 子 得 分 函 数 ： mpmpp mmn FFFXXX 2121 22221 1121121 pjpjj XXF 11 mj ,1 2021-5-19 55cxt 可 见 ， 要 求 得 每 个 因 子 的 得 分 ， 必 须 求 得 分 函 数 的 系数 ， 而 由 于 pm， 所 以 不 能 得 到 精 确 的 得 分 ， 只 能 通过 估 计 。 因 子 得 分 的 计 算 方 法 ：（ 1） 运 用 回 归 分 析 思 想 求 解（ 2） Bartlett（ 3） Anderson-rubin 2021-5-19 56cxt （ 1） 运 用 回 归 分 析 思 想 求 解 nmnmnn mmn FFFXXX 212121 22221 1121121 pjpjj XbXbF 11 mj ,1 mmpmm ppbbb bbb bbb bbb 2121 22221 11211 2021-5-19 57cxt )( jiFxij FXEji )( 11 pjpji XbXbXE ipjpij bb 11 jpjjipii bbbrrr 2121则 ， 我 们 有 如 下 的 方 程 组 ： 2021-5-19 58cxt pjjjjpjjpppp pp aaabbb 212121 22221 11211 j=1,2, ,m矩 阵为 原 始 变 量 的 相 关 系 数 pppp pp 21 22221 11211 2021-5-19 59cxt 个 因 子 得 分 函 数 的 系 数为 第 jbbbjpjj 21 列为 载 荷 矩 阵 的 第 jaaapjjj 21 注 ： 共 需 要 解 m次 才 能 解 出 所 有 的 得 分 函 数 的 系 数 。 2021-5-19 60cxt （ 2） Bartlett法 (即 ： 加 权 最 小 二 乘 法 ） 把 一 个 个 体 的 p个 变 量 的 取 值 X*当 作 因 变 量 ， 把 求 因 子 解中 得 到 的 A作 为 自 变 量 数 据 阵 ， 对 于 这 个 个 体 在 公 因 子 上的 取 值 f， 当 作 未 知 参 数 ， 而 特 殊 因 子 的 取 值 看 作 误 差 e，于 是 得 到 如 下 的 线 性 回 归 模 型 ： x*=Af+e， 则 称 未 知 参 数f为 取 值 为 X*的 因 子 得 分 。 *111 XAAAf een eAfX eAfX 1* 212121 其 中 ： 最 小 二 乘 法 2021-5-19 61cxt （ 3） Anderson-rubin（ 略 ） 2021-5-19 62cxt 案 例 分 析 ： 国 民 生 活 质 量 的 因 素 分 析 国 家 发 展 的 最 终 目 标 ， 是 为 了 全 面 提 高 全 体 国 民 的 生 活 质 量 ， 满足 广 大 国 民 日 益 增 长 的 物 质 和 文 化 的 合 理 需 求 。 在 可 持 续 发 展 消 费 的统 一 理 念 下 ， 增 加 社 会 财 富 ， 创 造 更 多 的 物 质 文 明 和 精 神 文 明 ， 保 持人 类 的 健 康 延 续 和 生 生 不 息 ， 在 人 类 与 自 然 协 同 进 化 的 基 础 上 ， 维 系人 类 与 自 然 的 平 衡 ， 达 到 完 整 的 代 际 公 平 和 区 际 公 平 (即 时 间 过 程 的最 大 合 理 性 与 空 间 分 布 的 最 大 合 理 化 )。 从 1990年 开 始 ， 联 合 国 开 发 计 划 署 (UYNP)首 次 采 用 “ 人 文 发 展 系数 ” 指 标 对 于 国 民 生 活 质 量 进 行 测 度 。 人 文 发 展 系 数 利 用 三 类 内 涵 丰富 的 指 标 组 合 ， 即 人 的 健 康 状 况 (使 用 出 生 时 的 人 均 预 期 寿 命 表 达 )、人 的 智 力 程 度 (使 用 组 合 的 教 育 成 就 表 达 )、 人 的 福 利 水 平 (使 用 人 均国 民 收 入 或 人 均 GDP表 达 )， 并 且 特 别 强 调 三 类 指 标 组 合 的 整 体 表 达 内涵 ， 去 衡 量 一 个 国 家 或 地 区 的 社 会 发 展 总 体 状 况 以 及 国 民 生 活 质 量 的总 水 平 。 2021-5-19 63cxt 在 这 个 指 标 体 系 中 有 如 下 的 指 标 ：X1预 期 寿 命X2成 人 识 字 率X3综 合 入 学 率X4人 均 GDP（ 美 圆 ）X5预 期 寿 命 指 数X6教 育 成 就 指 数X7人 均 GDP指 数 2021-5-19 64cxt 旋 转 后 的 因 子 结 构 Rotated Factor Pattern FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 0.38129 0.41765 0.81714 X2 0.12166 0.84828 0.45981 X3 0.64803 0.61822 0.22398 X4 0.90410 0.20531 0.34100 X5 0.38854 0.43295 0.80848 X6 0.28207 0.85325 0.43289 X7 0.90091 0.20612 0.35052 FACTOR1为 经 济 发 展 因 子 FACTOR2为 教 育 成 就 因 子 FACTOR3为 健 康 水 平 因 子 2021-5-19 65cxt 被 每 个 因 子 解 释 的 方 差 和 共 同 度 ： Variance explained by each factor FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 2.439700 2.276317 2.009490 Final Communality Estimates: Total = 6.725507 X1 X2 X3 X4 X5 0.987530 0.945796 0.852306 0.975830 0.992050 X6 X7 0.994995 0.976999 2021-5-19 66cxt Standardized Scoring Coefficients标 准 化 得 分 系 数 FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 -0 .1 8 8 7 5 -0 .3 4 3 9 7 0 .8 5 0 7 7 X2 -0 .2 4 1 0 9 0 .6 0 3 3 5 -0 .1 0 2 3 4 X3 0 .3 5 4 6 2 0 .5 0 2 3 2 -0 .5 9 8 9 5 X4 0 .5 3 9 9 0 -0 .1 7 3 3 6 -0 .1 0 3 5 5 X5 -0 .1 7 9 1 8 -0 .3 1 6 0 4 0 .8 1 4 9 0 X6 -0 .0 9 2 3 0 0 .6 2 2 5 8 -0 .2 4 8 7 6 *6*5*4*3*2*1 09230.017918.05399.035462.024109.018875.01 xxxxxxf *6*5*4*3*2*1 62258.031604.017336.050232.060335.034397.02 xxxxxxf *6*5*4*3*2*1 24876.081490.010335.059895.010234.085077.03 xxxxxxf 2021-5-19 67cxt 生 育 率 的 影 响 因 素 分 析 生 育 率 受 社 会 、 经 济 、 文 化 、 计 划 生 育 政 策 等 很 多 因 素 影 响， 但 这 些 因 素 对 生 育 率 的 影 响 并 不 是 完 全 独 立 的 ， 而 是 交 织 在一 起 ， 如 果 直 接 用 选 定 的 变 量 对 生 育 率 进 行 多 元 回 归 分 析 ， 最终 结 果 往 往 只 能 保 留 两 三 个 变 量 ， 其 他 变 量 的 信 息 就 损 失 了 。因 此 ， 考 虑 用 因 子 分 析 的 方 法 ， 找 出 变 量 间 的 数 据 结 构 ， 在 信息 损 失 最 少 的 情 况 下 用 新 生 成 的 因 子 对 生 育 率 进 行 分 析 。 选 择 的 变 量 有 ： 多 子 率 、 综 合 节 育 率 、 初 中 以 上 文 化 程 度比 例 、 城 镇 人 口 比 例 、 人 均 国 民 收 入 。 下 表 是 1990年 中 国 30个省 、 自 治 区 、 直 辖 市 的 数 据 。 2021-5-19 68cxt 多 子 率 （ %） 综 合 节 育 率 （ %） 初 中 以 上 文 化 程 度 比 例 （ %） 人 均 国 民 收 入 （ 元 ） 城 镇 人 口 比 例 （ %） 0.94 89.89 64.51 3577 73.08 2.58 92.32 55.41 2981 68.65 13.46 90.71 38.2 1148 19.08 12.46 90.04 45.12 1124 27.68 8.94 90.46 41.83 1080 36.12 2.8 90.17 50.64 2011 50.86 8.91 91.43 46.32 1383 42.65 8.82 90.78 47.33 1628 47.17 0.8 91.47 62.36 4822 66.23 5.94 90.31 40.85 1696 21.24 2.6 92.42 35.14 1717 32.81 7.07 87.97 29.51 933 17.9 14.44 88.71 29.04 1313 21.36 15.24 89.43 31.05 943 20.4 3.16 90.21 37.85 1372 27.34 9.04 88.76 39.71 880 15.52 12.02 87.28 38.76 1248 28.91 11.15 89.13 36.33 976 18.23 22.46 87.72 38.38 1845 36.77 24.34 84.86 31.07 798 15.1 33.21 83.79 39.44 1193 24.05 4.78 90.57 31.26 903 20.25 21.56 86 22.38 654 19.93 14.0