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24.1.2 垂 直 于 弦 的 直 径 知 识 点 一 知 识 点 二知 识 点 一 圆 的 轴 对 称 性 圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.名 师 解 读 :不能错误地说成“圆的任何一条直径都是圆的对称轴”,因为对称轴一定是直线,而圆的直径是线段.例 1下列交通标志中,是轴对称图形的是() 知 识 点 一 知 识 点 二解 析 :这些标志都是由圆和其他图形组成的,由于圆是轴对称图形,且对称轴是过圆心的直线,所以,只要与圆组合的图形是轴对称图形并且对称轴也过圆心即可,依次判断:A,不是轴对称图形,故本选项错误;B,是轴对称图形,故本选项正确;C,不是轴对称图形,故本选项错误;D,不是轴对称图形,故本选项错误.答 案 :B 知 识 点 一 知 识 点 二解答这类问题,既可以采取折叠的方法判断,也可以根据圆和与其组合图形是否有共同的对称轴进行判断. 知 识 点 一 知 识 点 二知 识 点 二 垂 径 定 理 及 其 推 论垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧;平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.名 师 解 读 :理解垂径定理可以从以下几个方面:(1)这类的垂“径”,可以是直径、半径或过圆心的直线或线段,其本质只要过圆心即可;(2)垂径定理中的“弦”可以是直径,是直径时,结论仍然成立;(3)垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据,也是计算圆中求线段的长度、求圆的半径、求角的度数的重要依据;(4)结合圆的对称性可以得出,弦的垂直平分线经过圆心,这也是找圆的圆心的重要方法. 知 识 点 一 知 识 点 二例 2如图,CD是O的直径,弦AB CD于点E, BCD=30,下列结论:AE=BE;OE=DE;AB=BC;BE= DE.其中正确的是()A.B.C.D. 知 识 点 一 知 识 点 二解 析 :根据垂径定理以及等边三角形的性质和判定定理即可作出判断. CD是O的直径,AB CD, AE=BE,故正确. BCD=30, BOD=60.又 OB=OD,OBD是等边三角形. AB CD, OE=DE,BE= DE,故正确. ACB=2 BCD=60,又 AC=BC,ABC是等边三角形. AB=BC,故正确.答 案 :D 知 识 点 一 知 识 点 二解答这类问题,首先要利用垂径定理得出相关结论,然后在结论的基础上进行推理,在进一步得出更多结论后,分别判断各个结论是否正确. 拓 展 点 一 拓 展 点 二 拓 展 点 三拓 展 点 一 垂 径 定 理 的 实 际 应 用例 1如图,有一拱桥呈圆弧形,它的跨度(所对弦长AB)为60 m ,拱高18 m ,当水面涨至其跨度只有30 m时,就要采取紧急措施.某次洪水来到时,拱顶离水面只有4 m ,问:是否要采取紧急措施?并说明理由. 拓 展 点 一 拓 展 点 二 拓 展 点 三分 析 :如图,设圆的半径是R m ,则ON=(R-4)m ,OM=(R-18)m .根据垂径定理求得AM的长,在RtAOM中,根据勾股定理求得R的值,在RtAON中,根据勾股定理求得AN的值,再根据垂径定理求得AB的长,从而作出判断.解 :如图,设圆的半径是R m ,则ON=(R-4)m ,OM=(R-18)m .根据垂径定理,得AM= AB=30 m ,在RtAOM中,AO 2=OM2+AM2,即R2=(R-18)2+900,解得R=34.在RtAON中,根据勾股定理得 ,根据垂径定理,得AB=2AN=3230.不用采取紧急措施. 拓 展 点 一 拓 展 点 二 拓 展 点 三解答这类实际问题,首先弄懂题意,把实际问题转化为数学问题,然后利用垂径定理和勾股定理相结合,构造出直角三角形,进而可解决计算弦长、半径、弦心距等问题. 拓 展 点 一 拓 展 点 二 拓 展 点 三拓 展 点 二 利 用 垂 径 定 理 确 定 圆 心 的 坐 标例 2如图所示,半径为5的P与y轴相交于M(0,-4),N(0,-10)两点,则圆心P的坐标为()A.(5,-4) B.(4,-5)C.(4,-7) D.(5,-7) 拓 展 点 一 拓 展 点 二 拓 展 点 三 拓 展 点 一 拓 展 点 二 拓 展 点 三解答这类找圆心的问题,注意数形结合,综合运用垂径定理,勾股定理等知识进行分析计算,明确弦的垂直平分线经过圆心是关键. 拓 展 点 一 拓 展 点 二 拓 展 点 三拓 展 点 三 与 垂 径 定 理 有 关 的 综 合 题例 3在O中,O的直径为26,弦AB弦CD,AB=10,CD=24,求AB与CD间的距离. 拓 展 点 一 拓 展 点 二 拓 展 点 三分 析 :作OE AB于E,OF CD于F,连接OA,OC,由垂径定理得 ,由于AB CD,易得E,O,F三点共线,在RtAOE和RtOCF中,利用勾股定理分别计算出OE与OF,然后分类讨论:当圆心O在弦AB与CD之间时,AB与CD的距离=OE+OF;当圆心O在弦AB与CD的外部时,AB与CD的距离=OE-OF. 拓 展 点 一 拓 展 点 二 拓 展 点 三解 :如图,作OE AB于E,OF CD于F,连接OA,OC,OA=OC=13,则 AB CD, E,O,F三点共线,当圆心O在弦AB与CD之间时,AB与CD间的距离=OE+OF=12+5=17;当圆心O在弦AB与CD的外部时,AB与CD间的距离=OE-OF=12-5=7.所以AB与CD间的距离是17或7. 拓 展 点 一 拓 展 点 二 拓 展 点 三解答圆的有关问题,当圆心或弦之间的位置关系没有明确时,注意要分类讨论,以免漏解.
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