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2.2.2向 量 减 法 运 算 及 其 几 何 意 义 【 自 主 预 习 】主 题 :向 量 减 法 运 算 及 几 何 意 义1.实 数 a的 相 反 数 是 -a,-a的 相 反 数 是 a,0的 相 反 数 是 0,若 把 实 数 a换 成 向 量 a,结 论 还 成 立 吗 ?提 示 :成 立 .向 量 a的 相 反 向 量 是 -a,-a的 相 反 向 量 是 a,0的 相 反 向 量 是 0. 2.我 们 知 道 ,在 数 的 运 算 中 ,减 去 一 个 数 等 于 加 上 这 个数 的 相 反 数 ,向 量 的 减 法 是 否 也 有 类 似 的 法 则 ?如 何 理解 向 量 的 减 法 呢 ?提 示 :向 量 的 减 法 有 类 似 的 法 则 ,即 a-b可 理 解 为 向 量 a加 上 向 量 b的 相 反 向 量 . 3.由 于 a-b=a+(-b).因 此 要 作 出 a与 b的 差 向 量 a-b,可以 转 化 为 作 a与 -b的 和 向 量 .已 知 向 量 a,b如 图 所 示 ,你能 利 用 平 行 四 边 形 法 则 作 出 差 向 量 a-b吗 ? 提 示 :利 用 平 行 四 边 形 法 则 .在 平 面 内 任 取 一 点 O,作 作 为 邻 边 作 平 行 四 边形 OAEC,则 OA ,OB a b OC , OA,OC 以bOE a b 通 过 以 上 探 究 ,总 结 向 量 减 法 的 概 念 及 几 何 意 义1.向 量 的 减 法 :相 反 向 量 :与 a长 度 _,方 向 _的 向 量 ,记 作 -a. 相 等 相 反 相 反 向 量 的 性 质 : 向 量 减 法 的 定 义 :a-b=a+(-b),即 减 去 一 个 向 量 相 当 于加 上 这 个 向 量 的 _. -(-a)=a a+(-a)=(-a)+a=0 若 a与 b是 相 反 向 量 ， 则 a=-b,b=-a,a+b=0相 反 向 量 2.向 量 减 法 的 几 何 意 义 :用 文 字 语 言 描 述 :在 平 面 内 任 取 一 点 O,作 即 a-b可 以 表 示 为 从 向 量 b的 _指 向 向量 a的 _的 向 量 .用 图 形 语 言 描 述 : OA OB ，a bBA 则，a b 终 点终 点 【 深 度 思 考 】结 合 教 材 P86例 3你 认 为 应 怎 样 求 作 两 向 量 a,b的 差 向 量 ?第 一 步 :_;第 二 步 :_.在 平 面 内 任 取 一 点 O， 作连 接 向 量 的 终 点 ， 则 即 为 a-b OA ,OB a bOA,OB BA 【 预 习 小 测 】1.在 平 行 四 边 形 ABCD中 , 等 于 ( )【 解 析 】 选 A. A.AB B.BA C.CD D.DB AC AD AC AD DC AB. 2.在 平 行 四 边 形 ABCD中 ,下 列 结 论 错 误 的 是 ( )A.AB DC B.AD BA ACC.AB AD BD D.AD CB 0 0 【 解 析 】 选 C.因 为 所 以 A正 确 ;因 为 所 以 B正 确 ;因 为 所 以 C错 误 ;因 为 所 以 所 以 D正 确 . AB DC, AB DC ，0AD BA AD AB AC, AB AD DB, AD BC, AD CB, AD CB ，0 3.在 平 行 四 边 形 ABCD中 ,向 量 的 相 反 向 量 为_.【 解 析 】 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ,向 量 与 向 量 互 为 相 反 向 量 .答 案 : AB BACD ，AB BACD ， 4.在 平 行 四 边 形 ABCD中 , =_.【 解 析 】 原 式 = =0+0=0.答 案 :0 BC CD BA AD BC AD BA CD 5. =_.【 解 析 】 因 为 答 案 : AB CB CD ED CB BC BC, ED DE DE,AB CB CD ED AB BC CD DE AE. 故AE 【 备 选 训 练 】 如 图 ,在 四 边 形 ABCD中 ,设 试 用 a,b,c表 示 (仿 照 教 材 P86例 4的 解 析 过程 )【 解 析 】 AB ,AD , a bBC , c DC.DC DA AB BC . a b c 【 互 动 探 究 】1.移 项 法 则 对 向 量 等 式 适 用 吗 ?即 若 a-c=b-d,则a+d=c+b成 立 吗 ?提 示 :成 立 ,移 项 法 则 对 向 量 等 式 适 用 . 2.若 |a|=|b|,则 a=b或 a=-b吗 ?提 示 :若 |a|=|b|,但 两 向 量 不 一 定 共 线 ,故 不 一 定 有a=b或 a=-b成 立 .3.作 两 个 向 量 的 差 的 前 提 是 什 么 ?提 示 :将 两 个 向 量 移 到 共 同 的 起 点 . 【 拓 展 延 伸 】 非 零 向 量 的 差 的 三 角 不 等 式(1)当 a,b不 共 线 时 ,根 据 三 角 形 边 长 的 不 等 关 系 知|a|-|b|a-b|b|,则 a-b与 a,b同 向 ,且 |a-b|=|a|-|b|;若 |a|b|,则 a-b与 a,b反 向 ,且 |a-b|=|b|-|a|. (3)当 a,b共 线 且 反 向 时 ,a-b与 a同 向 ,与 b反 向 ,且 |a-b|=|a|+|b|.综 上 所 述 ,对 于 任 意 两 个 非 零 向 量 ,总 有 下 列 向 量 不 等式 成 立 :|a|-|b| |a-b| |a|+|b|. 【 探 究 总 结 】知 识 归 纳 : 方 法 总 结 :向 量 减 法 运 算 的 常 用 方 法 【 题 型 探 究 】类 型 一 :向 量 的 减 法 及 其 几 何 意 义【 典 例 1】 (1)化 简 (2)如 图 ,已 知 向 量 a,b,c不 共 线 ,求 作 向 量 a+b-c. AB CD AC BD ； AC BO OA DC DO OB . 【 解 题 指 南 】 (1)可 能 通 过 相 反 向 量 ,把 向 量 减 法 运 算转 化 为 加 法 运 算 也 可 直 接 利 用 向 量 减 法 的 三 角 形 法 则 .(2)在 平 面 内 任 取 一 点 O,先 利 用 平 行 四 边 形 法 则 作 出a+b,然 后 再 用 向 量 减 法 的 三 角 形 法 则 作 a+b-c. 【 解 析 】 (1) AB CD AC BD AB BD AC CD （）（）（）（）AD AD ；0AC BO OA DC DO OB AC BA OC OBBC BC . （）（）（）（）0 (2)方 法 一 :如 图 1所 示 ,在 平 面 内 任 取 一 点 O,作OA ,AB , a b OB , OC , CB . 则再作则a b c a b c 方 法 二 :如 图 2所 示 ,在 平 面 内 任 取 一 点 O,作 OA ,AB , a bOB , CB , OC, OC . 则再作连接则a b c a b c 【 规 律 总 结 】求 作 两 个 向 量 的 差 向 量 的 两 种 思 路(1)转 化 为 向 量 的 加 法 来 进 行 ,如 a-b,可 以 先 作 -b,然后 作 a+(-b)即 可 . (2)直 接 用 向 量 减 法 的 三 角 形 法 则 ,即 把 两 向 量 的 起 点重 合 ,则 差 向 量 为 连 接 两 个 向 量 的 终 点 ,指 向 被 减 向 量的 终 点 的 向 量 . 【 巩 固 训 练 】(1)下 列 各 式 结 果 是 的 是 ( )A.AM MN MBB.AC BF CFC.AB DC CBD.AB FC BC AB【 解 析 】 选 B. AC BF CF AC CF BF AF FB AB. (2)如 图 ,已 知 向 量 a,b,c,求 作 向 量 a-b-c. 【 解 析 】 作 向 量 则 向 量 a-b= 再 作向 量 =c,则 向 量 =a-b-c.OA ,OB ，a b BA，BC CA 类 型 二 :用 已 知 向 量 表 示 其 他 向 量【 典 例 2】 如 图 所 示 ,四 边 形 ACDE是 平 行 四 边 形 ,B是 该平 行 四 边 形 外 一 点 ,且 试 用 向 量a,b,c,表 示 向 量 AB ,AC ,AE a b cCD,BC,BD. 【 解 题 指 南 】 解 答 本 题 要 注 意 及 向 量 加 法减 法 几 何 意 义 的 应 用 .【 解 析 】 因 为 四 边 形 ACDE是 平 行 四 边 形 ,CD AE ，CD AE BC AC ABBD BC CD 所以，故c b ab a c 【 延 伸 探 究 】1.本 例 条 件 不 变 ,试 用 向 量 a,b,c表 示 【 解 析 】 BE CE. 与BE AE AB ,CE AE AC . c a c b 2.本 例 中 的 条 件 “ 点 B是 该 平 行 四 边 形 ACDE外 一 点 ” 若换 为 “ 点 B是 平 行 四 边 形 ACDE内 一 点 ” ,其 他 条 件 不 变 ,其 结 论 又 如 何 呢 ? 【 解 析 】 因 为 四 边 形 ACDE是 平 行 四 边 形CD AE ,BC AC AB ,BD BC CD . 所以c b ab a c 【 规 律 总 结 】1.利 用 已 知 向 量 表 示 其 他 向 量 的 一 个 关 键 及 三 点 注 意(1)一 个 关 键 :一 个 关 键 是 确 定 已 知 向 量 与 被 表 示 向 量 的 转 化 渠 道 . (2)三 点 注 意 : 注 意 相 等 向 量 、 相 反 向 量 、 共 线 向 量 以 及 构 成 三 角形 三 向 量 之 间 的 关 系 ; 注 意 应 用 向 量 加 法 、 减 法 的 几 何 意 义 以 及 它 们 的 运算 律 ; 注 意 在 封 闭 图 形 中 利 用 多 边 形 法 则 . 2.用 已 知 向 量 表 示 其 他 向 量 的 一 般 步 骤(1)观 察 待 表 示 的 向 量 位 置 .(2)寻 找 相 应 的 平 行 四 边 形 或 三 角 形 .(3)运 用 法 则 找 关 系 ,化 简 得 结 果 . 【 补 偿 训 练 】 设 O是 ABC内 一 点 ,且若 以 线 段 OA,OB为 邻 边 作 平 行 四 边 形 ,第 四 个 顶 点 为 D,再 以 OC,OD为 邻 边 作 平 行 四 边 形 ,其 第 四 个 顶 点 为 H.试用 a,b,c表 示 OA OB OC ，a b cDC,OH,BH. 【 解 析 】 由 题 意 可 知 四 边 形 OADB为 平 行 四 边 形 , OD OA OBDC OC OD .ODHCOH OC OD ,BH OH OB . 所以，所以又四边形为平行四边形，所以所以a bc a bc a ba b c b a c
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