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2.5 平 面 向 量 应 用 举 例2.5.1 平 面 几 何 中 的 向 量 方 法2.5.2 向 量 在 物 理 中 的 应 用 举 例 由 于 向 量 的 线 性 运 算 和 数 量 积 运 算 具 有 鲜 明的 几 何 背 景 ,平 面 几 何 图 形 的 许 多 性 质 ,如 平 移 、全 等 、 相 似 、 长 度 、 夹 角 等 都 可 以 由 向 量 的 线 性运 算 及 数 量 积 表 示 出 来 ， 因 此 ， 可 用 向 量 方 法 解决 平 面 几 何 中 的 一 些 问 题 ， 下 面 我 们 通 过 几 个 具体 实 例 ， 说 明 向 量 方 法 在 平 面 几 何 中 的 运 用 . 向 量 概 念 源 于 物 理 中 的 矢 量 ， 物 理 中 的 力 、 位移 、 速 度 等 都 是 向 量 ， 功 是 向 量 的 数 量 积 ， 从 而 使得 向 量 与 物 理 学 建 立 了 有 机 的 内 在 联 系 ， 物 理 中 具有 矢 量 意 义 的 问 题 也 可 以 转 化 为 向 量 问 题 来 解 决 .因 此 ， 在 实 际 问 题 中 ， 如 何 运 用 向 量 方 法 分 析 和 解决 物 理 问 题 ， 又 是 一 个 值 得 探 讨 的 课 题 . 日 常 生 活 中 ,我 们 有 时 要 用 同 样 长 的 两 根 绳 子 挂 一个 物 体 (如 图 ).如 果 绳 子 的 最 大 拉 力 为 ,物 体 受 到的 重 力 为 你 能 否 用 向 量 的 知 识 分 析 绳 子 受 到 的 拉 力 的大 小 与 两 绳 之 间 的 夹 角 的 关 系 ？ FG. 1F 1.能 利 用 向 量 的 知 识 解 决 几 何 中 的 长 度 、 角 度 、垂 直 等 问 题 .2.建 立 直 角 坐 标 系 利 用 向 量 坐 标 运 算 解 决 长 度 、角 度 、 垂 直 等 问 题 .(重 点 、 难 点 ）3.通 过 力 的 合 成 与 分 解 模 型 、 速 度 的 合 成 与 分 解模 型 ， 掌 握 利 用 向 量 方 法 研 究 物 理 中 相 关 问 题 的步 骤 .4.掌 握 向 量 在 物 理 中 应 用 的 基 本 题 型 ， 进 一 步 加深 对 所 学 向 量 的 概 念 和 向 量 运 算 的 认 识 .（ 难 点 ） 1.长 方 形 对 角 线 的 长 度 与 两 条 邻 边 长 度 之 间 有 何 关系 ？提 示 ： 对 角 线 长 度 的 平 方 =两 邻 边 的 平 方 和 .平 行 四 边 形 有 类 似 的 数 量 关 系 吗 ？探 究 点 1 （ 长 度 问 题 ） 思 考 1： 如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ， 已 知 AB=2，AD=1， BD=2， 那 么 对 角 线 AC的 长 是 否 确 定 ？提 示 ： 确 定 A B CD思 考 2:在 平 行 四 边 形 ABCD中 ， 设 向 量 则 向 量 等 于 什 么 ？ 向 量 等 于 什 么 ？ AB a ， AD b ACDB DB a b,AC a b. 提 示 : 222 22 22, 4,2 4,2 4,1.2 由 得 =4即 （ ）所 以a b a ba ba a b ba a b ba b 2, 1, - 2, ?3 利 用 如 何 求等 于 多考 少 ？思 a b a b a bAC 22 22 2| | ( )22 6. AC a b a ba a b ba a b b提 示 : 【 即 时 训 练 】 例 1.平 行 四 边 形 是 表 示 向 量 加 法 与 减 法 的 几 何 模型 ， 如 图 ， 你 能 发 现 平 行四 边 形 对 角 线 的 长 度 与 两 条 邻 边 长 度 之 间 的 关 系吗 ？ A B CDAC AB AD,DB AB AD, , . ，解 ： 设则 AB a AD bAC a b DB a b 2 2 2( ) ( )2 (1)AC AC AC a b a ba a a b b a b ba a b b 2 2 22 (2) 同 理 DB a a b b 2 2 2 22 2(1) (2) 2( )2( ). 得 AC DB a bAB AD 注 意 这 种 求模 的 方 法 平 行 四 边 形 两 条 对 角 线 长 的 平 方 和 等 于 两条 邻 边 长 的 平 方 和 的 两 倍 . 如 果 不 用 向 量 方 法 ， 你 能 证 明 上 述 结 论 吗 ？ （ 1） 建 立 平 面 几 何 与 向 量 的 联系 ， 用 向 量 表 示 问 题 中 涉 及 的 几何 元 素 ， 将 平 面 几 何 问 题 转 化 为向 量 问 题 .（ 2） 通 过 向 量 运 算 ， 研 究 几 何元 素 之 间 的 关 系 ， 如 距 离 、 夹 角等 问 题 .（ 3） 把 运 算 结 果 “ 翻 译 ” 成 几何 元 素 .用 向 量 方 法 解 决 平 面 几 何 问 题 的 “ 三 步 法 ” ：【 方 法 规 律 】 几 何 问 题 向 量 化 向 量 运 算 关 系 化向 量 关 系 几 何 化 【 变 式 练 习 】 例 2.如 图 ， ABCD中 ， 点 E， F分 别 是 AD， DC边的 中 点 ， BE， BF分 别 与 AC交 于 R， T两 点 ， 你 能发 现 AR， RT， TC之 间 的 关 系 吗 ？A BDE FR T C猜 想 ： AR=RT=TC AB a,AD b,AR r, AC a b. 解 设： 则由 于 与 共 线 ， 故 设因 为 AR AC r n(a b),n R ，又 因 为 共 线 ，所 以 设 ER EB 与 1ER mEB m(a b).2 因 为 所 以 AR AE ER ，1 1r b m(a b).2 2 1 12 2 因 此 ( ) ( )，n a b b m a b 1EB AB AE a b,2 m 1(n m)a (n )b 0.2 即 因 向 量 a,b不 共 ,为 线n m 0m 1n 0.2 所 以 ，n m . 1=3解 得 ： 1 1 1AR AC, TC AC, RT AC.3 3 3 AR RT TC. 所 以 同 理 于 是故 利 用 待 定 系 数 法 ， 结 合 向 量 共 线 定 理 和 平面 向 量 基 本 定 理 ， 将 问 题 转 化 为 求 m， n的 值 ，是 处 理 线 段 长 度 关 系 的 一 种 常 用 手 段 .【 方 法 规 律 】 【 变 式 练 习 】 例 1.两 个 人 共 提 一 个 旅 行 包 ， 或 在 单 杠 上 做 引 体向 上 运 动 ， 根 据 生 活 经 验 ， 两 只 手 臂 的 夹 角 大 小与 所 耗 力 气 的 大 小 有 什 么 关 系 ？提 示 ： 夹 角 越 大 越 费 力 .探 究 点 2 利 用 向 量 解 决 力 （ 速 度 、 位 移 ） 的 合 成 与 分 解 思 考 1:若 两 只 手 臂 的 拉 力 为 物 体 的 重 力 为 那 么 三 个 力 之 间 具 有 什 么 关 系 ？1 2F F ， ， G,1 2F F G ， ，1 2F F G 0. 提 示 : 思 考 2:假 设 两 只 手 臂 的 拉 力 大 小 相 等 ， 夹 角 为 ，那 么 | |， | |， 之 间 的 关 系 如 何 ？1 |G|F |= ，2cos2 0 180 1F 2FGFG1F提 示 : 思 考 3:上 述 结 论 表 明 ， 若 重 力 一 定 ， 则 拉 力 的大 小 是 关 于 夹 角 的 函 数 .在 物 理 学 背 景 下 ， 这个 函 数 的 定 义 域 是 什 么 ？ 单 调 性 如 何 ？1 | | | ,2cos2 GF 0 180 G增 函 数提 示 : 思 考 4: | |有 最 小 值 吗 ？ | |与 | |可 能 相 等吗 ？ 为 什 么 ？ 1 10 ,2120 .时 ， 最 小 ， 最 小 值 为时 ， GF F G 1F 1F G提 示 : 用 向 量 解 力 学 问 题对 物 体 进 行 受 力 分 析画 出 受 力 分 析 图转 化 为 向 量 问 题 1.问 题 的 转 化 ,即 把 物 理 问 题 转 化 为 数 学 问 题 .2.模 型 的 建 立 ,即 建 立 以 向 量 为 主 题 的 数 学 模 型 .3.参 数 的 获 得 ,即 求 出 数 学 模 型 的 有 关 解 -理 论参 数 值 .4.问 题 的 答 案 ,即 回 到 问 题 的 初 始 状 态 ,解 释 相 关 的物 理 现 象 .【 方 法 规 律 】 10N【 互 动 探 究 】 122. d=500mA . v =10km/hv =2km/h( 0.1min) 例 如 图 ， 一 条 河 的 两 岸 平 行 ， 河 的 宽 度 ，一 艘 船 从 处 出 发 到 河 对 岸 已 知 船 的 速 度 ，水 流 速 度 ， 问 行 驶 航 程 最 短 时 ， 所 用 的时 间 是 多 少 精 确 到 ？AC B D 1 21 22 v v vv 10km / h, v 2km / hv v t. 如 图 ， 已 知 ，析 ， 求分 ：A 2v1v v C B D 2 0. 由 已 知 件 得解 ： v v条2 21 2| v | | v | | v | 96(km / h), 0.5 60 3.1(min).| | 96 所 以 dt v 答 ： 行 驶 航 程 最 短 时 ， 所 用 时 间 是 3.1 min. 【 变 式 练 习 】 1.在 四 边 形 ABCD中 AB BC=0， 且 AB=DC， 则 四 边 形ABCD是 （ ）A.平 行 四 边 形 B.矩 形C.菱 形 D.正 方 形B C B 【 解 题 关 键 】 代 入 法 求 轨 迹 方 程设 出 P（ x， y） 和 R（ x0， y0） 的 坐 标 ， 用 P的 坐标 表 示 R点 的 坐 标 ， 之 后 代 入 已 知 直 线 方 程 化 简即 得 。 1.用 向 量 方 法 证 明 几 何 问 题 时 ,首 先 选 取 恰 当 的 基底 ,用 来 表 示 待 研 究 的 向 量 ,在 此 基 础 上 进 行 运 算 ,进 而 解 决 问 题 .2.要 掌 握 向 量 的 常 用 知 识 ： 共 线 ； 垂 直 ； 模 ； 夹 角 ； 向 量 相 等 . 3.用 向 量 方 法 解 决 平 面 几 何 问 题 的 三 个 步 骤建 立 平 面 几 何 与 向 量 的 联 系 ， 用 向 量 表 示 问题 中 涉 及 的 几 何 元 素 ， 将 平 面 几 何 问 题 转 化为 向 量 问 题通 过 向 量 运 算 ， 研 究 几 何 元 素 之 间 的 关 系 ，如 距 离 、 夹 角 等 问 题把 运 算 结 果 “ 翻 译 ” 成 几 何 关 系转 化运 算翻 译 4.利 用 向 量 解 决 物 理 问 题 的 基 本 步 骤 ： 问 题 转 化 ， 即 把 物 理 问 题 转 化 为 数 学 问 题 ； 建 立 模 型 ， 即 建 立 以 向 量 为 载 体 的 数 学 模 型 ； 求 解 参 数 ， 即 求 向 量 的 模 、 夹 角 、 数 量 积 等 ； 回 答 问 题 ， 即 把 所 得 的 数 学 结 论 回 归 到 物 理 问 题 . 5.平 面 向 量 知 识 结 构 图 一 年 之 计 ， 莫 如 树 谷 ： 十 年 之 计 ， 莫 如 树 木 ； 终身 之 计 ， 莫 如 树 人 。 长 才 靡 入 用 ， 大 厦 失 巨 楹 。 邵 谒
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