含参变量的常义积分

对 多 元 函 数 其 中 的 一 个 自 变 量 进 行 积 分形 成 的 函 数 称 为 含 参 量 积 分 , 它 可 用 来 构 造新 的 非 初 等 函 数 . 含 参 量 积 分 包 含 正 常 积 分和 非 正 常 积 分 两 种 形 式 . ( , )f x y , , R a b c d 设 是 定 义 在 矩 形 区 域 上 的 定 义 在 , a b 上 以 x 为 自 变 量 的 一 元 函 数 . 倘 若 这 时 ( , )f x y , a b在 上 可 积 , 则 其 积 分 值 ( ) ( , )d , , (1)baI y f x y x y c d 是 定 义 在 , c d 上 的 函 数 .一 般 地 , 设 ( , )f x y 为 定 义 在 区 域二 元 函 数 .当 y 取 , c d 上 的 定 值 时 ,函 数 是( , )f x y ( , )| ( ) ( ), G x y c x y d x a x b上 的 二 元 函 数 , 其 中 c (x), d (x)为 定 义 在 , a b 上 的 连续 函 数 (图 1), , a b ( , )f x y若 对 于 上 每 一 固 定 的 x 值 , 作 为 y 的 函 O y xba G 数 在 闭 区 间 ( ), ( )c x d x 上 可 积 , 则 其 积 分 值 ( )( )( ) ( , )d , , (2)d xc xF x f x y y x a b 是 定 义 在 , a b 上 的 函 数 . ( )I y ( )F x用 积 分 形 式 (1) 和 (2) 所 定 义 的 这 函 数 与分 别 称 为 定 义 在 c, d与 a, b 上 的 含 参 变 量 y 与 x 的(正 常 )积 分 , 或 简 称 为 . ( )I y 的 连 续 性 ( , )f x y ( ) 若 二 元 函 数 在 矩 形 区 域 , , R a b c d 上 连 续 , 则 函 数( ) ( , )dbaI y f x y x在 c , d 上 连 续 . 设 对 充 分 小 的 , ,y c d , , y y y c d 有 (若 y 为 区 间 的 端 点 , 则 仅 考 虑 0 0y y 或 ), 于 是 ( ) ( ) ( , ) ( , )d ,baI y y I y f x y y f x y x 由 于 ( , )f x y 在 有 界 闭 区 域 R上 连 续 , 从 而 一 致 连 续 , 0, 0, 即 对 任 意 总 存 在 对 R内 任 意 两 点 1 1 2 2( , ) ( , )x y x y与 ， 只 要1 2 1 2| | ,| | ,x x y y 就 有 1 1 2 2| ( , ) ( , )| . f x y f x y 所 以 , | | ,y 当 时 | ( ) ( )| | ( , ) ( , )|dbaI y y I y f x y y f x y x d ( ).ba y b a 即 I (y) 在 , c d 上 连 续 .同 理 可 证 : 若 ( , )f x y 在 矩 形 区 域 R上 连 续 ,则 含 参 量 x 的 积 分 ( ) ( , )ddcJ x f x y y在 a ,b 上 连 续 . 对于定理1 的结论也可以写成如下的形式: 若 ( , )f x y 在 矩 形 区 域 R 上 连 续 ,则 对 任 何 0 , ,x a b 都 有 0 0lim ( , )d lim ( , )d .b ba ay y y yf x y x f x y x 这 个 结 论 表 明 ,定 义 在 矩 形 区 域 上 的 连 续 函 数 ,其 极限 运 算 与 积 分 运 算 的 , , , ,a b c d a b 上 连 续 可 改 为 在 上 连 续 其 中为 任 意 区 间 (开 的 、 闭 的 、 半 开 半 闭 的 、 有 限 或 由于连续性是局部性质, 定理1 中 条 件 f 在无 限 的 ). ( ( ) )F x 的 连 续 性 ( , )f x y 若 二 元 函 数 在 区 域 ( , )| ( ) ( ), G x y c x y d x a x b 上 连 续 , 其 中 c(x), d(x)为 , a b 上 的 连 续 函 数 , 则 函 数 ( )( )( ) ( , )dd xc xF x f x y y在 , a b 上 连 续 令 ( ) ( ( ) ( ).y c x t d x c x 当 y 在 c(x)与 d(x)之 间 取 值 时 , t 在 0, 1 上 取 值 , 且 d ( ( ) ( )d .y d x c x t 所 以 ( )( )( ) ( , )dd xc xF x f x y y10 ( , ( ) ( ( ) ( )( ( ) ( )d .f x c x t d x c x d x c x t 由 于 被 积 函 数 ( , ( ) ( ( ) ( )( ( ) ( )f x c x t d x c x d x c x在 矩 形 区 域 , 0,1a b 上 连 续 , 由 定 理 1 得 函 数 F(x) 在 a, b连 续 . ( )I y 的 可 微 性 ( , )f x y ( ) 若 函 数 与 其 偏 导 ( , )yf x y , , R a b c d 数 都 在 矩 形 区 域 上 连 续 , 则 函 数 ( ) ( , )dbaI y f x y x在 , c d 上 可 微 , 且d ( , )d ( , )d ( , )d .d b b bya a af x y x f x y x f x y xy y , c d , y y c d 对于 内 任 意 一 点 y, 设 (若 y 为 区 间 的 端 点 , 则 讨 论 单 侧 函 数 ), 则 ( ) ( ) ( , ) ( , )d .baI y y I y f x y y f x y xy y 由 微 分 学 的 Lagrange中 值 定 理 ， 得 ( ) ( ) ( , )d (0 1)b yaI y y I y f x y y xy 再 由 ( , )yf x y 的 连 续 性 及 定 理 1， 令 0,y 得0( ) lim ( , )db yayI y f x y y x 0lim ( , )db ya y f x y y x ( , )db ya f x y x , , R a b c d； , c d上 连 续 , a(y), b(y)为 定 义 在 上 ( ( ) )F y 的 可 微 性 ( , ), ( , )xf x y f x y设 在其 值 含 于 a, b内 的 可 微 函 数 , 则 函 数( )( )( ) ( , )db ya yF y f x y x在 , a b 上 可 微 , 且 ( )( )d( ) ( , )dd b ya yF y f x y xy ( )( ) ( , )d ( ( ), ) ( ) ( ( ), ) ( ).b y ya y f x y x f b y y b y f a y y a y 把 F(y) 看 作 复 合 函 数 : ( ) ( , , ) ( , )d ,BAF y H y A B f x y x ( ), ( ).A a y B b y 由 复 合 函 数 求 导 法 则 及 变 动 上 限 积 分 的 性 质 , 有 ( )( )( ) ( , )db ya yF y f x y x d d d( )d d dH H A H BF yy y A y B y ( )( ) ( , )d ( ( ), ) ( )b y ya y f x y x f b y y b y ( ( ), ) ( ).f a y y a y2 sin( ) d , ( ).yy yxF y x F yx设 求 2 3 22sin sin( ) cos d 2yy y yF y yx x y y y 2 3 2sin 2sin sinyyyx y yy y y 3 23sin 2sin .y yy 0( ) ln(1 cos )d , 1.I x x 求 其 中 本题直接积分较困难，故采用法1, (0,1), . : 1.b s t b 由 于 故 ( , ) ln(1 cos ), ( , ) ( , )f x x f x f x 设 易 得 和 0, ; , b b在 上 连 续 ， 由 定 理 3， 有0 0cos 1 1( ) d 1 d1 cos 1 cosxI x xx x 01 d1 cosx x tan ( ),2xt令 万 能 代 换 则 2 222d 1 d11 cos 1 1x t ttx t 22d(1 ) (1 )t t 22 1arctan tan .1 21 x C 22( ) 21I 于 是 21 11 21 1( ) d1I 从 而 21 1ln ln C 2ln(1 1 ) C (0) 0, ln2.I C 由 可 得 21 1( ) ln .2I 得 有时当被积函数含有对数函数，用“凑微分”、“分部积分”等常规方法求解较困难时，注意到对数函数的导数是有理函数，便于积分，故采用法，是求积分的高级方法.有时积分中无参数，为了计算积分，可以恰当地参数. 计算积分1 20 ln(1 )d1 xI xx 令1 20 ln(1 )( ) d , 0,1.1 xI xx 上 满 足 定 理 3 的 条 件 , 于 是 1 20( ) d .(1 )(1 )xI xx x 因 为 (0) 0, (1) ,I I I 0,1 0,1R 显 然 且 函 数 在( )I 2 2 21 ,(1 )(1 ) 1 1 1x xx x x x 1 1 12 2 20 0 01( ) d d d1 1 1 1xI x x xx x x 11 122 0 001 1arctan ln(1 ) ln(1 )1 2x x x 所 以 21 1ln2 ln(1 ) .1 4 2 1 1 20 0 1 1( )d ln2 ln(1 ) d1 4 2I 1 12 00 1ln(1 ) ln2arctan (1)8 2 I ln2 ln2 (1)8 8 I 因 而 ln2 (1).4 I 另 一 方 面 10 ( )d (1) (0) (1),I I I I (1) ln2.8I I 所 以 本题也可令x = tan，直接积分求出. ( , )f x y若 在 区 域 a, b； c, d上 连 续 ， 由 定 理 1 , , a b c d分 别 在 和 上 连 续 ， 故 可 积 .注 意 到( ) ( , )d ; ( ) ( , )d .d bc aJ x f x y y I y f x y x ( )d ( , )d d ;b b da a cJ x x f x y y x ( )d ( , )d d .d d bc c aI y y f x y x y 试 问 二 者 相 等 吗 ？ ( )积 分 换 序 定 理 ( , )f x y若 在 矩 形 区 域 , , D a b c d 上 连 续 ,则( , )d d ( , )d d .b d d ba c c af x y y x f x y x y 2( ) d ( , )d ,b ua cI u x f x y y 记 1 d( ) ( )d ( ) ( , )d .d u bc aI u I y y I u f x u xu 1 2 , , ( ) ( )u c d I u I u现 在 分 别 求 与 的 导 数 .其 中 1( ) d ( , )d ,u bc aI u y f x y x ( )I y 2 ( ) ( , )d .baI u H x u x2( ), ( , ) ( , )d ,ucI u H x u f x y y令 对 于 则 有( , )H x u ( , ) ( , )uH x u f x u因 为 与 都 在 D上 连 续 , 由 2 d( ) ( , )d ( , )dd b b ua aI u H x u x H x u xu ( , )d ( ).ba f x u x I u 定 理 3, 1 2( ) ( ) ( ).I u I u 为 常 数 1 2( ) ( ),I u I u , ,u c d故 得 因 此 对 一 切 有 1 2 ( ) ( ), , .I u I u u c d 当 时 , 1 2( ) ( ) 0, 0,I c I c 于 是 即 得u c取 就 得 到 所 要 证 明 的 结 论 .u d为 书 写 简 便 起 见 , 今 后 将 上 述 两 个 积 分 写 作 d ( , )db da cx f x y y d ( , )d .d bc ay f x y x 与 前 者 表 示 ( , )f x y 先 对 y 求 积 然 后 对 x 求 积 , 后 者 则表 示 求 积 顺 序 相 反 . 它 们 统 称 为在 ( , )f x y 连 续 , 则 累 次 积 分 与 求 积 分 顺 序 无 关 ， 即 ( , ) , , f x y a b c d在 矩 形 区 域若 上 连 续 ，则 d ( , )d d ( , )d . b d d ba c c ax f x y y y f x y x 求10 d ( 0).lnb ax xI x b ax 10d d .b yaI x x y d ,lnb ab ya x xx y x 所 以 因为又 由 于 函 数 0,1 , yx R a b在 上 满 足 定 理 6 的 条 件 , 所 以 交 换 积 分 顺 序 得 到10 1 1d d d ln .1+ 1b bya a bI y x x yy a 作 业 布 置 :249250: 2; 5(1),(2); 6.