杆件结构的有限元法

有 限 元 理 论 与 应 用 第 一 篇 有 限 元 法 第 一 篇 有 限 元 法第 二 章 杆 件 结 构 的 有 限 元 法 当 结 构 长 度 尺 寸 比 两 个 截 面 方 向 的 尺寸 大 得 多 时 ， 这 类 结 构 称 为 杆 件 。 工 程 中常 见 得 轴 、 支 柱 、 螺 栓 、 加 强 肋 以 及 各 类型 钢 等 都 属 于 杆 件 。 杆 件 结 构 可 分 为 珩 杆 和 梁 两 种 。和 其 他 结 构 采 用 铰 连 接 的 杆 称 为 珩 杆 。 珩 杆 的 连 接 处 可 以 自 由 转 动 ，因 此 这 类 结 构 只 承 受 拉 压 作 用 ， 内 部 应 力 为 拉 压 应 力 。 影 响 应 力 的几 何 因 素 主 要 是 截 面 面 积 ， 与 截 面 形 状 无 关 。和 其 他 结 构 采 用 固 定 连 接 的 杆 称 为 梁 。 链 的 连 接 处 不 能 自 由 转 动 ，因 此 梁 不 仅 能 够 承 受 拉 压 ， 而 且 能 承 受 弯 曲 和 扭 转 作 用 。 这 类 杆 件的 内 部 应 力 状 态 比 较 复 杂 ， 应 力 大 小 和 分 布 不 仅 与 截 面 大 小 有 关 ，而 且 与 截 面 形 状 和 方 位 有 很 大 关 系 。建 立 有 限 元 模 型 时 ， 这 两 类 杆 件 结 构 可 用 相 应 的 杆 单 元 和 梁 单 元 离 散 。 由 杆 件 组 成 的 机 构 体 系 称 为 杆 系 ， 如 起 重 机 、 桥 梁 等 。由 珩 杆 组 成 的 杆 系 称 为 珩 架 ， 由 梁 组 成 的 杆 系 称 为 刚 架 。 奥 运 会 场 馆 鸟 巢空 间 立 体 网 架 工 程 中 最 简 单 的 结 构 可 以 认 为 是 铰 支 的 杆 件 。 它 的 性 质 完 全 类 似 于 弹 簧 。弹 簧 系 统 力 F与 弹 簧 伸 长 量 （ 位 移 ） 之 间 关系 由 胡 克 定 律 有 kF 式 中 k为 弹 簧 的 刚 度 ， 是 弹 簧 的 固 有 参 数 。 它 对 应 于力 位 移 图 中 F- 关 系 直 线 的 斜 率 。当 k和 力 F已 知 时 ， 可 由 下 式 求 出 弹 簧 伸 长 量 弹 簧 力 位 移 间 关 系 Fk1 (41) 2-1 引 言 当 处 理 比 较 复 杂 的 铰 支 杆 系 统 时 ， 要 确 定 系 统 在 力 P的 作 用 下 ， 节 点 B、C、 D和 E处 的 变 形 。 以 便 计 算 各 杆 件 的 内 应 力 及 各 杆 所 受 的 轴 向 力 ， 可假 设 整 个 杆 件 系 统 也 具 有 像 式 (41)中 k值 一 样 的 刚 度 ， 这 样 在 力 P的 作用 下 各 点 的 位 移 就 可 以 用 类 似 式 (41)的 公 式 计 算 了 ， 不 过 这 时 的 系 统刚 度 应 采 用 一 个 矩 阵 来 表 示 ， 即 ， 同 理 ， 各 点 的 位 移 也 应 采 用 一 个矩 阵 来 表 示 ， 即 ， 再 加 上 矩 阵 ， 就 构 成 了 KF K F K 称 为 对 应 于 施 加 存 系 统 上 各 节 点 力 的 刚 度 矩 阵 。 问 题 ： 1、 复 杂 结 构 其 刚 度 矩 阵 是 多 少 阶 的 ？ 2、 如 何 求 出 ？ 3、 为 什 么 着 重 讨 论 系 统 的 刚 度 矩 阵 ？ 系 统 的 整 体 刚 度 矩 阵 求 出 所 受 外 力 作用 下 各 杆 件 节 点 处 的 位 移 计 算 各 杆 件 的受 力 和 应 力 212221 121121 uukk kkFF 21FF 21uu ku1,F1 u2,F2弹 簧 的 作 用 力 向 量 为位 移 向 量 为 从 而 这 个 弹 簧 的 刚 度 矩 阵 是 2x 2阶 的 。为 求 出 它 们 ， 将 图 24所 示 弹 簧 系 统 看 作 两 个 简 单 的 系 统 ， 然 后 合 成 。 一 、 单 个 弹 簧 的 刚 度 矩 阵2-2 弹 簧 系 统 的 刚 度 矩 阵 2121 222 111 uukk kkFF FFF FFF ba ba 11 kuF a 112 21 0 kuFF FF aa aa 由 力 的 平 衡 有 ku1F1a F2aA A (a) u2=0ku1=0F1b F2bu2B B(b)ku1F 1 u2 F2A A B B 1)只 有 节 点 1可 以 变 形 ,点 2固 定2)只 有 节 点 2可 以 变 形 ,点 1固 定 bb FkuF 122 3)根 据 线 弹 性 系 统 的 叠 加 原 理 ， 叠 加 1) 2)两 种 情 况 ， 就 得 到 与 原 始 问 题 一 样的 结 构 ， 如 图 （ c） ， 叠 加 结 果 为 ： (c)作 用 于 节 点 1上 的 合 力作 用 于 节 点 2上 的 合 力 kk kkKe刚 度 矩 阵对 成 、 奇 异 矩 阵 （ 2 5） （ 2 6） 11 ukF aa 112 ukFF aaa 22 ukkF bab 二 、 组 合 弹 簧 的 刚 度 矩 阵ka kbu1,F1 u2,F2 u3,F31 2 33u1,F1a ka F2a F3akbu 2 0 u3 0F1b ka kbu2,F2b F3bu1 0 u3 0F 1c ka kbF2c u3,F3cu1 0 u2 0(a)(b)(c) 1) 只 允 许 节 点 1有 位 移 u1， 力 F1a与 位 移 u1之 间 的 关 系由 于 u1 u2 0， 没 有 力 作 用 于 节 点 3， 因 此 ，考 虑 弹 簧 1-2， 由 静 力 平 衡 条 件 有03 aF2) 只 允 许 节 点 2有 位 移 u2， 这 时 由 于 位 移 的 连 续 性 ， 每 个弹 簧 在 节 点 2要 求 有 相 同 的 位 移 ， 即 ， 弹 簧 1-2的 伸 长 量 与弹 簧 2-3的 缩 短 量 相 等 。 对 弹 簧 1-2 有 拉 力 kau2， 对 弹 簧2-3 有 压 力 kbu2分 别 对 两 弹 簧 求 静 力 平 衡 ， 有 2321 , ukFukF bbab 3) 只 允 许 节 点 3有 位 移 u3， 类 似 于 情 况 1） ， 有33233 , ukFFukF bccbc 由 于 节 点 1、 2无 位 移 ， 有01 cF 321333231 232221 131211321 uuukkk kkk kkkFFF组 合 弹 簧 的 刚 度 矩 阵4) 合 成 。 对 整 个 系 统 来 说 有 3个 节 点 ， 每 个 节 点 只 有 一 个方 向 的 位 移 。 因 此 方 程 式 应 用 如 下 形 式 ：利 用 线 弹 性 系 统 的 叠 加 原 理 ， 找 出 3 3阶 刚 度 矩 阵 各 元 素的 表 达 式 323 32212 211 0 0ukukF ukukukukF ukukF bb bbaa aa bb bbaa aa kk kkkk kkK 0 0节 点 1处 的 合 力节 点 2处 的 合 力节 点 3处 的 合 力 对 成 、 奇 异 矩 阵 （ 2 8） 用 同 样 的 方 法 可 以 求 解 具 有 更 多 个 弹 簧的 串 连 系 统 ， 推 导 过 程 乏 味 。 知 道 单 个 弹 簧 的 刚 度 矩 阵 直 接 叠 加出 多 个 串 联 系 统 的 总 刚 度 矩 阵 。 32322121 uukk kkFFuukk kkFF bb bbaa aa知 道 单 个 弹 簧 单 元 的 刚 度 矩 阵 ， 直 接 叠 加 出 总 刚 度 矩 阵对 整 个 系 统 来 说 有 3个 节 点 ， 将 上 述 方 程 扩 大 成 3阶 方 程 ：整 个 系 统 有 3个 节 点 （ 位 移 ） ， 将 上 述 方 程 扩 大 成 3阶 方 程 ， 321321 0 0 uuukk kkkk kkFFF bb bbaa aa 321321 321321 00 000 000 00 uuukk kkFFF uuukk kkFFF bb bb aa aa按 矩 阵 相 加 原 理 将 两 式 叠 加 ， （ 2 9）矩 阵 扩 大 办 法单 元 数 量 增 多 时 ， 相 应 扩 大 后 的 矩 阵就 相 当 大 ， 扩 大 后 的 非 零 元 素 在 矩 阵的 什 么 位 置 ， 概 念 上 就 不 很 清 楚 了 。 按 节 点 号 将 相 应 单 元 的 刚 度 矩 阵 中 元 素 kij写 到 总 刚度 矩 阵 中 的 办 法 来 叠 加 。 aa aae kk kkK 1 000 00 122121 112111 kk kk以 上 面 两 个 弹 簧 系 统 为 例 ， 系 统 共 三 个 节 点 ， 每 个 节 点 有 一 个 自 由 度 ， 因 此 ， 该 系统 总 刚 度 矩 阵 应 该 是 3 3阶 的 矩 阵 。 第 1个 单 元 的 节 点 号 为 1和 2， 则 单 元 刚 度 矩 阵中 的 元 素 在 总 刚 度 矩 阵 中 应 在 位 置 第 1行 、 第 2行 的 第 1列 ， 第 2列第 2个 单 元 的 节 点 号 为 2和 3， 则 单 元 刚 度 矩 阵 叠 加 到 总 刚 度 矩 阵的 第 2行 、 第 3行 的 第 2列 、 第 3列 元 素 上 233232 22322200 000 kk kk 三 、 方 程 求 解 （ 约 束 条 件 的 引 入 ）由 式 （ 2 6） 和 式 （ 2 8） 可 知 ， 刚 度 矩 阵 是 一 个 奇 异 阵 ， 即 它 的 行 列式 的 值 为 零 ， 矩 阵 的 逆 不 存 在 。对 应 线 性 代 数 方 程 组 式 （ 2 7） 和 式 （ 2 9） 无 定 解 。物 理 概 念 解 释 ： 对 整 个 系 统 的 位 移 u1、 u2和 u3， 没 有 加 以 限 制 ， 从 而 在任 何 外 力 的 作 用 下 系 统 会 发 生 刚 体 运 动 。u1 u2 u3 u,且 u没 有 定 值 ， 所 以 方 程 无 定 解 。为 使 方 程 组 有 定 解 ， 只 需 给 系 统 加 上 一 定 的 约 束 （ 称 为 约 束 条 件 或 边 界 条 件 ）例 如 ： 两 弹 簧 系 统 ， 节 点 1固 定 不 动 ， 有 u 1 0， 则 式 （ 2 9） 成 为 321321 00 0 uuukk kkkk kkFFF bb bbaa aa从 而 可 得 到 定 解 。 通 过 解 上 述 方 程 可 得 到 各 个 节 点 的 位 移 ， 利 用 已 求 得 的 位移 就 可 计 算 出 每 个 弹 簧 所 受 力 的 大 小 。 弹 簧 1 2受 力 pa ka （ 弹 簧 1 2长 度 的 变 化 量 ） pa ka （ u2-u1） K kk kkKe有 限 元 方 法 求 解 弹 簧 系 统 受 力 问 题 的 基 本 步 骤 ： 形 成 每 个 单 元 的 刚 度 矩 阵 各 个 单 元 的 刚 度 矩 阵 按 节 点 号 叠 加 成 整 体 系 统 的 刚 度 矩 阵 引 入 约 束 条 件 以 节 点 位 移 为 未 知 量 求 解 线 性 代 数 方 程 组 用 每 个 单 元 的 力 位 移 关 系 求 得 单 元 力 。 KF 2 3 杆 件 系 统 的 有 限 元 法 一 、 铰 支 杆 系 统 的 有 限 元 计 算 格 式上 面 求 解 弹 簧 系 统 的 有 限 元 方 法 可 以 直 接 用 力 求 解 受 轴 向 力 的 杆 件 系 统 。均 质 等 截 面 铰 支 杆 ， 刚 度 值 可 由 材 料 力 学 中 力 与 变 形 的 关 系 中 获 得11 uLAEF LAEk 2121 11 11 uuLAEFF均 质 等 截 面 铰 支 杆 的 力 位 移 方 程 可 写 为 坐 标 变 换为 建 立 整 个 结 构 的 刚 度 矩 阵 ， 需 要 在 一 个 共 同 的 统 一 坐 标 系（ 即 总 体 坐 标 系 ） 中 建 立 平 衡 方 程 。 由 于 刚 架 各 单 元 的 空 间位 置 不 同 ， 各 个 单 元 的 局 部 坐 标 系 一 般 也 不 相 同 。实 际 杆 件 系 统 都 是 互 相 成 一 定 角 度 排 列 的 杆 件 连 接 在 一 起 的每 个 杆 件 的 单 元 坐 标 系 统 所 有 杆 件 的 都 适 用 的 整 体 坐 标 系 统 1 2o ux vy ux vyyx, 对 应 局 部 坐 标 ， x， y对 应 整 体 坐 标 系 统yx FFvu , 对 应 局 部 坐 标 系 的 位 移 和 作 用 力 ，yx FFvu , 对 应 整 体 坐 标 系 的 位 移 和 作 用 力 。注 意 ： (1)图 中 角 是 从 整 体 坐 标 系 x轴 正 向 起 算 逆 时 针 转 到 杆 件 方 向 。（ 2） 铰 支 连 接 的 杆 中 能 承 受 轴 向 力 和 产 生 轴 向 位 移 ,因 此 局 部坐 标 系 下 ， 。 xF u0yF 0v 22112211 0000 0101 0000 0101 vuvuLAEFFFFyxyx方 便 矩 阵 运 算 ， 将 力 和 位 移 的 矩 阵 用 四 阶 方 程 表 示 ： cossin sincos 111 111 yxy yxx FFF FFF将 上 式 从 局 部 坐 标 系 转 换 到 整 体 坐 标 系 ， 表 示 为 ：类 似 地 可 写 出 节 点 2处 的 表 达 式 。 令 ， ， 则 节 点 力 的 变 换 关 系 为 22112211 00 00 00 00 yxyxyxyx FFFFFFFF sin cos （ 2 13）或 FTF T 称 为 变 换 矩 阵 。与 力 的 坐 标 变 换 式 类 似 ， 斜 杆 在 两 节 点 的 位 移 有 同 样 的 坐 标 变 换 式 T （ 2 14） 利 用 式 （ 2 13） 和 式 （ 2 14） 可 以 把 局 部 坐 标 系 下 方 程 （ 2 12） 表 示 成整 体 坐 标 系 下 的 方 程 。 整 体 坐 标 系 下 单 元 的 刚 度 矩 阵 。 TTT 1 用 左 乘 上 式 两 边 TKTK eTe eT KTF eK eeT KTKTF （ 2 15）再 将 式 （ 2 14） 代 入 式 （ 2 15） ， 有 eKFT 1T单 元 刚 度 矩 阵 在 整 体 坐 标 系 下 的 表 达 式 可 以 用 局 部 坐 标 系 下 的 表 达 式 求 出 ， eT KTFTT 1 （ 2 16） 将 式 （ 2 13） 代 入 式 （ 2 12） 有有 ee eee kk kkLAELAEK 22 22 22 22 KF 求 解 整 体 坐 标 系 下 结 构 受 力 与 位 移 方 程 组 ji jiijij vv uuLAEp ,可 得 到 各 节 点 的 位 移 。 从 而 可 求 出 每 根 杆 的 受 力 。i， j整 体 坐 标 系 中 任 一 杆 单 元 的 两 个 节 点 号 。 二 、 刚 阵 存 储 与 节 点 排 列n根 杆 件 的 桁 架 ， 刚 度 矩 阵 的 阶 次 就 是 2n 2n阶 。压 缩 刚 度 矩 阵 的 存 储 。稀 疏 性 大 量 零 元 素 不 存 入 计 算 机对 称 性 、 带 状 分 布 只 存 带 状 区 域 内 的 元 素 等 带 宽 存 储减 小 最 大 半 带 宽 可 以 减 小 等 带 宽存 储 的 刚 度 矩 阵 存 储 量 ， 而 半 带宽 与 单 元 节 点 号 的 编 号 差 有 关 。 刚 度 矩 阵 的 最 大 半 带 宽 节 点 自 由 度 数 （ 单 元 中 节 点 最 大 编 号 差 1）