指数与指数函数

步步踏实是学有所成的根本！2017 年高考专题辅导五指数与指数函数1 根式的性 (1)( n a)n a.(2)当 n 奇数 n an a.当 n 偶数 n an a a 0 a a1)a na (a0， m、 nNn 分数指数 ： a m11 (a0，m、 n N *，且 n1)nmn ama n 0 的正分数指数 等于0,0的 分数指数 没有意 (2) 有理数指数 的性 ar as ar s( a0 ，r、s Q) ； (ar)s ars(a0，r、s Q)； (ab)r ar br(a0 ，b0，r Q)3 指数函数的 象与性 y axa10a0 ，(4) 当 x0 ， y1；性 0y1；x0 ， 0y1x1(7)在 (， )(6) 在 (， )上是增函数上是减函数1步步踏实是学有所成的根本！题型一指数幂的运算例 1 (1)计算： (124 22 3)12 2716 1634 2 (8 23) 1；11x2 x 2 2(2) 已知 x x 3，求33的值22 3x x22计算下列各式的值：(1)272 (0.002)1 10( 5 2) 1 ( 23)0 ；832(2) 1 ( 3 1)0 9 4 5；5 232 32(3)a bab(a0 ， b0) 1 141 1a4b2a 3b3题型二指数函数的图象、性质的应用例 2x b的图象如图所示，其中a， b 为常数，则下列结论(1)函数 f( x) a正确的是()A a1， b1， b0 C 0a0nD 0a1， b0 ，且 a1) 的图象可能是()1.4333(2014 武汉模拟 ) 设 a (2)， b 32， cln2，则 a， b， c 的大小关系是 ()A a bcB bc aC c abD ba c4(2014 东北三校联考) 函数 f(x) ax 1(a 0， a 1) 的图象恒过点 A，下列函数中图象不经过点 A 的是()A y 1 xB y |x 2|C y 2x 1D y log 2(2x)|2x 4|15若函数 f(x) a(a 0， a1) ，满足 f(1) 9，则 f(x)的单调递减区间是()A ( ， 2B 2 ，)C 2， )D ( ， 26函数 y ax b(a 0 且 a1) 的图象经过第二、三、四象限，则ab 的取值范围为 ()A (1 ， )B (0 ，)C (0 ， 1)D无法确定7若关于 x 的方程 |a x 1| 2a(a 0且 a1) 有两个不等实根，则a 的取值范围是3步步踏实是学有所成的根本！()1A (0 ， 1) (1 ， )B (0 ， 1) C (1 ， )D. 0， 2二、填空题a3(a 0) 的值是 _8.5aa41 x1 x9函数 y 4 2 1 在 x 3， 2 上的值域是 _10已知函数 f(x)a x(a 0，且 a1) ，且 f( 2) f( 3) ，则 a 的取值范围是 _ 三、解答题11求下列函数的定义域、值域及单调性16 x 2x22 |x|(1)y 2； (2)y 3.B 组课后强化训练一、选择题1函数 y a| x| ( a1) 的图像是 ()log 3 ，x2已知函数f() x，则f(9) (0) ()x2xxfA 0B 1C 2D 33已知函数ax ， x0，f ( x) a x 4a，x0，满足对任意 xfx1 fx20，且 a1) 有两个零点，则实数a 的取值范围是 _4步步踏实是学有所成的根本！2017 年高考专题辅导五指数与指数函数1 根式的性 (1)( n a)n a.(2)当 n 奇数 n an a.当 n 偶数 n an a a 0 a a1)a na (a0， m、 nNn 分数指数 ： a m11 (a0，m、 n N *，且 n1)nmn ama n 0 的正分数指数 等于0,0的 分数指数 没有意 (2) 有理数指数 的性 ar as ar s( a0 ，r、s Q) ； (ar)s ars(a0，r、s Q)； (ab)r ar br(a0 ，b0，r Q)3 指数函数的 象与性 y axa10a0 ，(4) 当 x0 ， y1；性 0y1；x0 ， 0y1x1(7)在 (， )(6) 在 (， )上是增函数上是减函数5步步踏实是学有所成的根本！题型一指数幂的运算例 1 (1)计算： (124 22 3)12 2716 1634 2 (8 23) 1；112 2x x 2(2) 已知 x x 3，求33的值22 3x x22解 (1)(124 22 3)12 2716 1634 2 (8 23)1 (11 3)2 12 33 16 24 34 2 823 ( 1)132 11332 2 2 233 11338 8 11.(2) x1 x1 3， (x1x1)2 9，2222 x 2 x 1 9， x x1 7， (x x1)2 49， x2 x2 47，又 x32 x 32 (x12 x 12) (x 1 x1) 3 (7 1) 18，x2 x22 3.33x2 x 2 3计算下列各式的值：(1) 27 2 (0.002) 1 10(5 2) 1 ( 23)0 ；832(2) 1 ( 3 1)0 9 4 5；5 2(3)a3b2 3ab2(a0 ， b0) 1 141 1a4b2a 3b3解(1)原式 27211108 3 500 2 1526步步踏实是学有所成的根本！821 273 5002 10(5 2) 14167 9 10 510 5 20 1 9 .(2)原式 5 215 2 2 ( 5 2) 1 (5 2) 1.3212 1a b a3b3 2311111(3)原式21 1 a26 13b13 23 ab .ab a3b3题型二指数函数的图象、性质的应用例 2 (1)函数 f( x) ax b 的图象如图所示，其中正确的是A a1， b1， b0 C 0a0 D 0a1 ， b0a， b 为常数，则下列结论()(2) 求函数 f(x) 3 x2 5x 4的定义域、值域及其单调区间解析由f(x) ax b 的图象可以观察出函数f(x) ax b 在定义域上单调递减，所以0a1.函数 f(x) axb 的图象是在f(x) ax 的基础上向左平移得到的，所以b1， 由复合函数的单调性，可知f(x) 3x2 5x 4在 ( ， 1上是减函数，在4， )上是增函数7步步踏实是学有所成的根本！x xe e()(1) 函数 y ex e x的图象大致为答案Aex ex2，当 x02xy 1解析y xx 12x时， e 10，且随着 x 的增大而增大，故eee 121 且单调递减 又函1 且随着 x 的增大而减小， 即函数 y 在(0， )上恒大于e2x1数 y 是奇函数，故只有A 正确(2) 若函数 f(x) e ( x )2 (e 是自然对数的底数 )的最大值是 m，且 f (x)是偶函数， 则 m _.答案1解析由于 f(x)是偶函数，所以f( x) f(x)，即 e ( x )2 e (x )2， (x )2 (x )2， 0， f(x) e x2.又 y ex 是 R 上的增函数，而x2 0， f(x)的最大值为e0 1 m， m 1.题型三指数函数的综合应用例 3k 为何值时，方程|3x 1| k 无解？有一解？有两解？解函数 y |3x1|的图象是由函数y 3x的图象向下平移一个单位后， 再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示当 k0 时，直线 y k 与函数 y |3x 1|的图象无交点，即方程无解；当 k 0 或 k 1 时，直线 y k 与函数 y |3x 1|的图象8步步踏实是学有所成的根本！有唯一的交点，所以方程有一解；当 0k0 ，且 a1) 的图象可能是()解析当 x 1 时， y 0，故函数 y ax a(a0 ，且 a1) 的图象必过点(1 ，0) ，显然只有 C 符合答案C1.4333(2014 武汉模拟 ) 设 a (2)， b 32， cln2，则 a， b， c 的大小关系是 ()A a bcB bc a9步步踏实是学有所成的根本！C c abD ba c32) 0 a (2) 1.4 (33解析cln 1 (2) b 3 ，故选 D.222答案D4(2014 东北三校联考) 函数 f(x)x 1(a 0， a 1)的图象恒过点 A，下列函数中图象 a不经过点 A 的是()A y 1 xB y |x 2|C y 2x 1D y log 2(2x)解析f(x) ax1 (a 0，a 1) 的图象恒过点 (1 ，1) ，又由0 1 1知 (1 ，1) 不在函数y1 x的图象上答案A5若函数 f(x) a|2x 4| (a 0， a1) ，满足 f(1)1，则 f(x)的单调递减区间是()9A ( ， 2B 2 ，)C 2， )D ( ， 2解析由 f(1) 1得 a21，99111 |2x 4| a 3或 a 3( 舍去 ) ，即 f(x) 3.由于 y |2x 4| 在 ( ， 2 上递减，在 2 ， ) 上递增，所以 f(x) 在 ( ， 2上递增，在 2 ， ) 上递减故选B.答案B6函数 y ax b(a 0 且 a1) 的图象经过第二、三、四象限，则ab 的取值范围为 ()A (1 ， )B (0 ，)C (0 ， 1)D无法确定解析函数经过第二、 三、四象限，所以函数单调递减且图象与y 轴的交点在负半轴上 而当 x 0 时， y a0 b 1 b，由题意得0 a 1， 解得0a 1， 所以 ab (0 ， 1) 1 b 0，b1，答案C7若关于x 的方程 |a x 1| 2a(a 0 且 a1) 有两个不等实根，则a 的取值范围是()A (0 ， 1) (1 ， )B (0 ， 1)10步步踏实是学有所成的根本！C (1 ， )D. 0， 12解析 方程 |a x 1| 2a(a 0且 a1) 有两个实数根转化为函数y|a x 1| 与 y 2a 有两个交点当 0 a 1 时，如图 (1) ，1 0 2a1，即 0 a2.当 a 1 时，如图 (2) ，而 y 2a1 不符合要求1综上， 0a 2.二、填空题a38.(a 0) 的值是 _a 5 a4解析a3a 5a417答案a101 x1 x9函数 y 4 2 1 在 x 3， 2 上的值域是 _1 x1解析因为 x 3， 2 ，若令 t 2，则 t ， 8.42t1 23则 y t t 14.2当 t 1时， ymin 3；当 t 8 时， ymax57.243所以所求函数值域为4， 57 .11步步踏实是学有所成的根本！答案3， 57410已知函数 f(x)a x(a 0，且 a1) ，且 f( 2) f( 3) ，则 a 的取值范围是 _ x1x解析因为 f(x) a a，且 f( 2) f( 3) ，所以函数 f(x)在定义域上单调递增，1所以 a 1，解得 0 a 1.答案(0 ， 1)三、解答题11求下列函数的定义域、值域及单调性16 x 2x22 |x|(1)y 2； (2)y 3.解 (1) 函数的定义域为 R，令 u 6x 2x2，则 y 1 u. 221 249二次函数 u 6 x 2x 2x 8 ，449函数的值域为 y18 .y22112又二次函数u 6 x2x的对称轴为x 4，在4，上 u 6 x 2x是减函数，1y1 u在 ， 4上是增函数，又函数2是减函数，1 6 x 2x21 y 2在，上是增函数，41在 ， 4上是减函数(2) 定义域为 R.2 |x|3|x|30 |x| 0， y 32 2 1.2 |x|故 y 3的值域为 y|y1 12步步踏实是学有所成的根本！2 |x|又 y 3是偶函数，2 |x|3 x（x0），2且 y 32 x（ x 0） .32 |x|所以函数 y 3在 ( ， 0 上是减函数，在 0 ， ) 上是增函数( 此题可借助图象思考 )B 组课后强化训练一、选择题1函数 y a| x| ( a1) 的图像是 ()解析 y a| x| axx，y ax( a1) 的图像相同； xx当 x0时，与指数函数a当 x0 时， ya x 与 y ax 的图像关于 y 轴对称，由此判断B 正确答案 Blog x， x2已知函数 f ( x) 3，则 f (9) f (0) ()2xxA 0B 1C 2D 3解析 f (9) log 39 2， f (0) 201， f (9) f (0) 3.答案Dax ， x0，3已知函数f ( x) ax 4a，x0，fx1 fx2满足对任意x1 x2，都有0 成立，则 a 的取值范围是_x1 x213步步踏实是学有所成的根本！解析f x1 fx2对任意 x1 x2，都有120 成立，说明函数 y f ( x) 在 R 上是减函数，xx1则 0a1，且 ( a3) 0 4a a0，解得 00，且 a1) 有两个零点，则实数a 的取值范围是 _解析 令 ax x a 0 即 ax xa，若 0a1， y ax 与 y x a 的图象如图所示答案(1 ，)14