定积分在物理学上的应

2021-4-23 第 六 章 定 积 分 的 应 用 1 定积分在物理学上的应用一 、 变 力 沿 直 线 所 作 的 功二 、 水 压 力三 、 引 力四 、 小 结第三节 2021-4-23 第 六 章 定 积 分 的 应 用 2 由 物 理 学 知 道 ， 如 果 物 体 在 作 直 线 运 动 的过 程 中 有 一 个 不 变 的 力 F作 用 在 这 物 体 上 ， 且 这 力 的 方 向 与 物 体 的 运 动 方 向 一 致 ， 那 么 ， 在物 体 移 动 了 距 离 s时 ， 力 F对 物 体 所 作 的 功 为sFW . 如 果 物 体 在 运 动 的 过 程 中 所 受 的 力 是 变 化 的 ， 就 不 能 直 接 使 用 此 公 式 ， 而 采 用 “ 微 元 法 ”思 想 . 一 、 变 力 沿 直 线 所 作 的 功 2021-4-23 第 六 章 定 积 分 的 应 用 3 例 1 把 一 个 带 q 电 量 的 点 电 荷 放 在 r 轴 上 坐 标 原 点 处 ， 它 产 生 一 个 电 场 这 个 电 场 对 周 围 的 电 荷 有 作 用 力 由 物 理 学 知 道 ， 如 果 一 个 单 位 正 电 荷 放 在 这 个 电 场 中 距 离 原 点 为 r 的 地 方 ， 那 么 电 场 对 它 的 作 用 力 的 大 小 为 2rqkF （ k是 常 数 ） ， 当 这 个 单 位 正 电 荷 在 电 场 中 从 ar 处 沿 r 轴 移 动 到 br 处 时 ， 计 算 电 场 力 F 对 它 所 作 的 功 2021-4-23 第 六 章 定 积 分 的 应 用 4 解 取 r为 积 分 变 量 ， roq a b 1r, bar drr 取 任 一 小 区 间 , drrr , 功 元 素 ,2 drrkqdw 所 求 功 为 drrkqw ba 2 barkq 1 .11 bakq如 果 要 考 虑 将 单 位 电 荷 移 到 无 穷 远 处drrkqw a 2 arkq 1 .akq图 6-3-1 2021-4-23 第 六 章 定 积 分 的 应 用 5 例 2 一 圆 柱 形 蓄 水 池高 为 5 米 ， 底 半 径 为 3 米 ， 池 内 盛 满 了 水 .问 要 把 池 内 的 水 全 部 吸 出 ， 需 作 多 少 功 ？解 建 立 坐 标 系 如 图 x ox dxx 取 x为 积 分 变 量 ， 5,0 x 5 取 任 一 小 区 间 , dxxx , 图 6-3-2 2021-4-23 第 六 章 定 积 分 的 应 用 6x ox dxx5这 一 薄 层 水 的 重 力 为dx238.9 功 元 素 为 ,2.88 dxxdw dxxw 2.8850 50222.88 x 3462 (千 焦 ) 图 6-3-2 2021-4-23 第 六 章 定 积 分 的 应 用 7解 设 木 板 对 铁 钉 的 阻 力 为 ,)( kxxf 第 一 次 锤 击 时 所 作 的 功 为 101 )( dxxfw ,2k.)(0 hh dxxfw 例 3 用 铁 锤 把 钉 子 钉 入 木 板 ， 设 木 板 对 铁 钉 的 阻力 与 铁 钉 进 入 木 板 的 深 度 成 正 比 ， 铁 锤 在 第 一 次锤 击 时 将 铁 钉 击 入 1厘 米 ， 若 每 次 锤 击 所 作 的 功相 等 ， 问 第 次 锤 击 时 又 将 铁 钉 击 入 多 少 ？n设 次 击 入 的 总 深 度 为 厘 米hn次 锤 击 所 作 的 总 功 为n 2021-4-23 第 六 章 定 积 分 的 应 用 8 hh kxdxw 0 ,22kh依 题 意 知 ， 每 次 锤 击 所 作 的 功 相 等 1nwwh 22kh ,2kn ,nh .1 nn次 击 入 的 总 深 度 为n第 次 击 入 的 深 度 为n 2021-4-23 第 六 章 定 积 分 的 应 用 9 如 果 平 板 垂 直 放 置 在 水 中 ， 由 于 水 深 不 同的 点 处 压 强 p不 相 等 ， 平 板 一 侧 所 受 的 水 压 力就 不 能 直 接 使 用 此 公 式 ， 而 采 用 “ 微 元 法 ” 思想 二 、 水 压 力 2021-4-23 第 六 章 定 积 分 的 应 用 10 例 4 一 个 横 放 着 的 圆 柱 形 水 桶 ， 桶 内 盛 有 半 桶 水 ，设 桶 的 底 半 径 为 R， 水 的 比 重 为 ， 计 算 桶 的 一 端 面 上 所 受 的 压 力 解 在 端 面 建 立 坐 标 系 如 图 xo 取 x为 积 分 变 量 ， ,0 Rx取 任 一 小 区 间 , dxxx x dxx 小 矩 形 片 上 各 处 的 压 强 近似 相 等 小 矩 形 片 的 面 积 为 .2 22 dxxR ,xp 图 6-3-3 2021-4-23 第 六 章 定 积 分 的 应 用 11 小 矩 形 片 的 压 力 元 素 为 dxxRxdP 222 端 面 上 所 受 的 压 力 dxxRxP R 220 2 )( 220 22 xRdxRR RxR 032232 .32 3R 2021-4-23 第 六 章 定 积 分 的 应 用 12 例 5 将 直 角 边 各 为 a及 a2 的 直 角 三 角 形 薄 板垂 直 地 浸 人 水 中 ， 斜 边 朝 下 ， 直 角 边 的 边 长 与 水 面 平 行 ， 且 该 边 到 水 面 的 距 离 恰 等 于 该 边 的 边长 ， 求 薄 板 所 受 的 侧 压 力 解 建 立 坐 标 系 如 图 xoa2 a2a面 积 微 元 ,)(2 dxxa dxxaaxdP 1)(2)2( dxxaaxP a )(2(20 .37 3a 图 6-3-4 2021-4-23 第 六 章 定 积 分 的 应 用 13 由 物 理 学 知 道 ， 质 量 分 别 为 21 , mm 相 距 为r的 两 个 质 点 间 的 引 力 的 大 小 为 2 21rmmkF ， 其 中 k为 引 力 系 数 ， 引 力 的 方 向 沿 着 两 质 点 的连 线 方 向 如 果 要 计 算 一 根 细 棒 对 一 个 质 点 的 引 力 ，那 么 ， 由 于 细 棒 上 各 点 与 该 质 点 的 距 离 是 变 化 的 ， 且 各 点 对 该 质 点 的 引 力 方 向 也 是 变 化 的 ，就 不 能 用 此 公 式 计 算 三 、 引 力 2021-4-23 第 六 章 定 积 分 的 应 用 14 例 6 有 一 长 度 为 l、 线 密 度 为 的 均 匀 细 棒 ，在 其 中 垂 线 上 距 棒 a 单 位 处 有 一 质 量 为 m的 质 点M ， 计 算 该 棒 对 质 点 M的 引 力 2l 2l xyo Ma解 建 立 坐 标 系 如 图 取 y为 积 分 变 量 取 任 一 小 区 间 , dyyy ,2,2 lly将 典 型 小 段 近 似 看 成 质 点小 段 的 质 量 为 ,dy ry dyy图 6-3-5 2021-4-23 第 六 章 定 积 分 的 应 用 15 小 段 与 质 点 的 距 离 为 ,22 yar 引 力 ,22 ya dymkF 水 平 方 向 的 分 力 元 素 ,)( 2322 ya dyamkdFx 2322 )( 22 ya dyamkF l lx ,)4( 2 2122 laa lkm 由 对 称 性 知 ， 引 力 在 铅 直 方 向 分 力 为 .0yF 2021-4-23 第 六 章 定 积 分 的 应 用 16 利 用 “ 微 元 法 ” 思 想 求 变 力 作 功 、水 压 力 和 引 力 等 物 理 问 题 （ 注 意 熟 悉 相 关 的 物 理 知 识 ） 四 、 小 结 2021-4-23 第 六 章 定 积 分 的 应 用 17 思 考 题 一 球 完 全 浸 没 水 中 ， 问 该 球 面 所 受 的 总压 力 与 球 浸 没 的 深 度 有 无 关 系 ？ 它 所 受 的 总压 力 与 它 在 水 中 受 到 的 浮 力 有 何 关 系 ？ 2021-4-23 第 六 章 定 积 分 的 应 用 18 思 考 题 解 答 该 球 面 所 受 的 总 压 力 方 向 向 上 （ 下 半 球面 所 受 的 压 力 大 于 上 半 球 面 ） ， 其 值 为 该 球排 开 水 的 重 量 ， 即 球 的 体 积 ， 也 就 是 它 在 水中 受 到 的 浮 力 因 此 该 球 面 所 受 的 总 压 力 与球 浸 没 的 深 度 无 关 2021-4-23 第 六 章 定 积 分 的 应 用 19 一 、 直 径 为 20厘 米 ， 高 为 80厘 米 的 圆 柱 体 内 充 满 压 强为 310 厘 米牛 的 蒸 汽 ， 设 温 度 保 持 不 变 ， 要 使 蒸 汽 体 积 缩 小 一 半 ， 问 需 要 作 多 少 功 ？二 、 一 物 体 按 规 律 3tcx 作 直 线 运 动 ， 媒 质 的 阻 力 与 速 度 的 平 方 成 正 比 ， 计 算 物 体 由 0 x 移 至 ax 时 ， 克 服 媒 质 阻 力 所 作 的 功 . 三 、 有 一 等 腰 梯 形 闸 门 ， 它 的 两 条 底 边 各 长 610 米 和米 ， 高 为 20米 ， 较 长 的 底 边 与 水 面 相 齐 .计 算 闸 门 的 一 侧 所 受 的 水 压 力 . 练 习 题 2021-4-23 第 六 章 定 积 分 的 应 用 20 练 习 题 答 案作 业P291-292 1； 2； 4； 6； 9.