《定积分及简单应用》PPT课件.ppt

1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 1.下列积分的值为1的是( )CA. B.C. D.10 xdx10 xdx 10 ( 1)x dx10 12dx =x =1. 10 xdx 10 2.曲线y=cosx(0 x )与坐标轴所围成图形的面积是( )B 32A.2 B.3 C. D.452 由曲线y=cosx(0 x )的图象及面积意义知，所求面积为S= |cosx|dx=3 cosxdx= 3sinx =3.32 320 2020 3. |x|dx等于 ( )C11A. xdx B. (-x)dxC. (-x)dx+ xdx D. xdx+ (-x)dx11 0 111 1001 10 因为|x|= x (x0) -x (x0),所以 |x|dx= (-x)dx+ xdx.1 1 01 10 4.一物体在力F(x)=4x-1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向,从x=1运动到x=3处(单位:m),则力F所做的功为( ) DA.8 J B.10 JC.12 J D.14 J 由变力做功公式有W= (4x-1)dx=(2x2-x) =14 J. 31 31 5.做匀变速直线运动的物体，初速度为30 m/s,t s后的速度v=30-1.5t-4 ，则该物体停止运动时，运动的路程是 m.t1150081 设物体经过t s后停止.由30-1.5t-4 =0,得t= ,所以运动路程为s= (30-1.5t-4 )dt=(30t- t2- )=30 - ( )2- = (m). t1009 10090 t 34 3283t 091001009 1009 83 32100( )9341150081 1.定积分的概念如果函数f(x)在区间a,b上连续，用分点a=x0 x1xi-1xixn=b将区间a,b等分成n个小区间，在每个小区间xi-1,xi上任取一点i(i=1,2,n),作和式 f(i)x= .当n时，上述和无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分， 1ni 1 ( )n ii b a fn 记作： f(x)dx,即 f(x)dx= .a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a,b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做积式. (1)定积分 f(x)dx是一个常数；ba ba 1lim ( )n in i b an ba (2)定积分的几何意义： ()当函数f(x)在区间a,b上恒为正时,定积分 f(x)dx的几何意义是由曲线 和直线 所围成的曲边梯形的面积(如图中阴影部分). bay=f(x) x=a, x=b(ab), y=0 ()一般情况下定积分 f(x)dx的几何意义是介于x轴，函数y=f(x)的图象以及直线 , 之间的曲边梯形面积的代数和(如图)，其中在x轴上方的面积取正号,在x轴下方的面积取负号. x=a x=b ba (3)定积分的性质. kf(x)dx=k f(x)dx(k为常数)； f(x)g(x)dx= f(x)dx g(x)dx; f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx(其中acb). 2.微积分基本定理 如果f(x)是区间a,b上的连续函数，并且 ,则 f(x)dx=F(x) = F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的一个原函数.ba baba ba baba ca bcF(x)=f(x) ba baba 3.求定积分的方法 (1)定义法： ()分割：n等分区间a,b； ()近似代替：取点ixi-1,xi，用f(i)近似地代替f(x)在xi-1,xi上的函数值; ()求和 f(i); ()取极限: f(x)dx= f(i). 1ni b an ba 1lim nn i b an (2)利用微积分基本定理求定积分 f(x)dx. ()求f(x)的一个原函数F(x); ()计算F(b)-F(a). (3)利用定积分的几何意义求定积分. 4.定积分的简单应用 (1)定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积. ba (2)定积分在物理中的应用： 求变速直线运动的路程:s= (v(t)为速度函数). 求变力所做的功:W= .v(t)dtbaF(x)dxba 例1 求下列定积分：（1） dx；（2） (4-x-|x-2|)dx.1140 21 x （1）因为 dx表示曲线y= 与直线x=，x=1及x轴所围成的面积（如图），所以 dx= .11 21 x21 x11 21 x 2 (2) (4-x-|x-2|)dx= (4-x)dx- |x-2|dx表示OBD的面积与OAE及ABC和的差(如图), 故 (4-x-|x-2|)dx= 44-2 22=4. 40 40 40 40 12 12 解定积分的概念，利用定积分的几何意义求定积分是常用技巧之一. (2010广东潮州调研)已知f(x)为偶函数且 f(x)dx=8，则 f(x)dx等于( )40 66 DA.0 B.4 C.8 D.16 原式= f(x)dx+ f(x)dx，因为原函数为偶函数，所以在y轴两侧的图象对称，所以对应的面积相等， 则 f(x)dx=2 f(x)dx=16.0 6 6066 66 计算下列定积分:(1) (2sinx-3ex+2)dx;(2) (sinx-sin2x)dx；(3) dx.例203020 1 sin2x (1) (2sinx-3ex+2)dx=2 sinxdx-3 exdx+2 dx=2(-cosx) -3ex +2x=-2(cos-cos0)-3(e-e0)+2(-0)=7-3e+2.(2)函数y=sinx-sin2x的一个原函数为 y=-cosx+ cos2x,所以 (sinx-sin2x)dx=(-cosx+ cos2x) =(- - )-(-1+ )=- .00 0 00 0 012 30 12 0312 14 1412 (3)原式= dx= |sinx-cosx|dx= |sinx-cosx|dx+ |sinx-cosx|dx= |cosx-sinx|dx+ |sinx-cosx|dx= sinx+cosx) -(cosx+sinx)=2( -1). 20 2(sin cos )x x2040 244 0 2404 242 利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积分函数的原函数.求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算,因此应熟练掌握一些常见函数的导数.此外,如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分的性质 f(x)dx = f(x)dx+ f(x)dx，根据函数的定义域,将积分区间分解为若干部分,代入相应的解析式,分别求出积分值，相加即可. baca bc 例3 求由曲线y2=x,y=x2所围成的图形的面积. 如图所示.由 y2=x y=x2，得出交点的横坐标为x=0及x=1.因此所围成图形的面积S= dx- x2dx=( - ) = - = .10 10 x 10 3223 x 313 x 23 13 13 求平面图形的面积，关键是弄清该图形的生成函数关系及其位置. 例4 一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度v=t2-4t+3(m/s)运动，求： (1)在t=4 s时的位置； (2)在t=4 s时运动的路程. (1)在时刻t=4 s时该点的位置为 (t2-4t+3)dt=( t3-2t2+3t) = (m),即在t=4 s时刻该点距出发点 m. 40 40 434313 (2)因为v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3)，所以在区间0,1及3,4上，v(t)0，在区间1,3上，v(t)0,所以在t=4 s时的路程为s= (t2-4t+3)dt+| (t2-4t+3)dt|+ (t2-4t+3)dt= (t2-4t+3)dt- (t2-4t+3)dt+ (t2-4t+3)dt=4(m).即在t=4 s时运动的路程为4 m.1 0 31 4310 31 43 因为位置决定于位移，所以它是v(t)在0,4上的定积分，而路程是位移的绝对值之和，因此需判断在0,4上，哪些时间段的位移为负值. 若直线l:y=t2-t(0t ,t为常数)与函数f(x)=x2-x的图象以及y轴所成的封闭图形的面积为S1(t)，若直线l与函数f(x)的图象所围成的封闭图形的面积为S2(t),已知g(t)=S1(t)+S2(t),当g(t)取最小值时，求t的值. 12 先确定出封闭图形S1(t),S2(t)的面积,建立面积的函数关系式，最后求最值. 由y= x2-x y=t2-t,得交点坐标为(t,t2-t)和(1-t,t2-t),又因为0t ，所以t2-t=(t- )2- (- ,0)，而函数y=x2-x的顶点坐标为( ,- )，1212 14 14 12 14 由定积分的几何意义，得g(t)=S1(t)+S2(t)= (x2-x)-(t2-t)dx+2 (t2-t)-(x2-x)dx=( x3- x2)-(t2-t)x +2(t2-t)x-( x3- x2)= t3- t2-t3+t2+2(t2-t) -( - )-(t2-t)t+ t3- t2=-2t3+ t2-t+ .0t 12t13 12 t0 13 12 t1313 12 12 13 18 12 1413 125 2 16 故g(t)=-6t2+5t-1=-(3t-1)(2t-1).令g(t)=0，解得t= 或t= (舍去).当t (0, )时，g(t)0，函数g(t)在区间( , )上单调递增.故当t= 时，函数g(t)有最小值.13 121313 12 13 121 3 13 解决此问题的关键是正确的确定图形的位置，再利用定积分的几何意义求得图形面积函数的解析式. 1.定积分的概念.(1)定积分的定义是由实际问题抽象概括出来的，它的解决过程充分体现了“由直到曲”、由“有限到无限”的极限的思想.(2)利用定积分的定义求定积分可以分为四步：分割、近似代替、求和、取极限.注意：定积分是一个数值(极限值)，它只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关,即 f(x)dx= f(t)dt= f(u)du. ba ba ba f(x)dx, |f(x)|dx,| f(x)dx|三者在几何意义上的不同.当f(x)0,即函数f(x)的图象全部在x轴上方时， f(x)dx= |f(x)|dx=| f(x)dx|，都表示界于x轴、曲线y=f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边形的面积；当f(x)0，即函数f(x)的图象全部在x轴下方时， |f(x)|dx=| f(x)dx|表示界于x轴、曲线y=f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边形的面积，而 f(x)dx0,其结果是面积的相反数；ba ba baba ba ba ba baba 当函数f(x)的图象在x轴上方和下方都有时, |f(x)|dx表示界于x轴、曲线y=f(x)以及直线x=a,x=b之间各部分面积,如图阴影部分所示.ba 2.微积分基本定理使我们找到了求定积分的一般方法，不需要根据定义求和式的极限，只要求出积函数的任意一个原函数，并且一般使用不含常数的原函数，再计算原函数在积分区间上的改变量即可.分段函数的定积分及绝对值函数的定积分问题，都可以实施分段求解的方法.3.定积分的应用主要有求平面图形面积、变速运动路程及变力做功三个方面.(1)利用定积分求平面图形面积的关键是画出几何图形，结合图形位置， 确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的表达式，再利用微积分基本定理求出积分值.对于由两条曲线所围成的图形面积计算问题，一定要注意结合图形特征，适当地进行分段处理，要善于进行分解. (2)利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题，关键是求出物体作变速运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求. 学 例 1 (2009广东卷)已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶甲车、乙车的速度曲线分别为v甲、v乙(如图所示)，那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( ) AA.在t1时刻,甲车在乙车前面B.t1时刻后,甲车在乙车后面C.在t0时刻,两车的位置相同D.t 0时刻后,乙车在甲车前面 在t0时刻之前，因为v甲v乙，所以甲车一直在乙车前面.在t0时刻以后，因为v乙v甲,所以乙车会在t0后的某个时刻追上甲车，然后超过甲车.所以C，D两个判断都不正确. 由定积分的物理意义可知，速度曲线与直线x0，xt1及x轴所围成的平面图形的面积为物体在0t1时段内的位移.由图知,在0t1时段内甲车的位移大于乙车的位移,所以在t1时刻,甲车在乙车前面,故选A. 学 例 2 (2009福建卷) (1+cosx)dx等于( )DA. B. 2C. -2 D. +222 因为原式=(x+ sinx) =( +sin )- - +sin(- )=+2，故 选D. 222222 本 节 完 ， 谢 谢 聆 听立足教育，开创未来