《函数极限的性质》PPT课件.ppt

3.2 函 数 极 限 的 性 质一 .极 限 的 性 质二 . 利 用 函 数 极 限 的 性 质 计 算 某 些 函 数 的 极 限 v定 理 3.2 如 果 当 xx0时 f(x)的 极 限 存 , 那 么 这 极 限 是 唯 一 的 证 明 ， x x f B A 时 的 极 限 当 都 是 设 0 , , ) ( 0 , 0 , 0 1 0 1 e d d e - - $ A x f x x 时 有 当 则 , ) ( 0 , 0 2 0 2 e d d - - $ B x f x x 时 有 当 故 有 同 时 成 立 时 则 当 取 ， x x ) 2 ( ), 1 ( 0 ), , min( 0 2 1 d d d d - = . 2 ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( e $ = = . 1 ) ( 1 ) ( + - A x f A x f . ) ; ( ) ( 0 内 有 界 在 即 d x U x f o 3. 局 部 保 号 性 ).0)(0)(,),(,0 ),0(0,)(lim00 0 dd$ = xfxfxUx AAAxfxx 或时当则 或且若定 理 3.4证 明 设 A 0,对 任 何 0, , A- ,r A re =取d则 存 在 0,使 得 对 一 切 0;x U x d o 有 ,f x A re- = 这 就 证 得 结 论 .对 于 A 0的 情 形 可类 似 地 证 明 . ).0(0),0)(0)( ,),(,0,)(lim 000 dd$= AAxfxf xUxAxfxx 或则或 时当且若推 论 v定 理 3.4(函 数 极 限 的 局 部 保 号 性 ) 如 果 f(x)A(xx0), 而 且 A0(或 A0), 那 么 对 任 何正 数 rA (或 r r0 (或 f(x) -r $ - = 使 得 则 取 设 . ) ( r A x f = - e 有 . 0 的 情 形 类 似 可 证 对 于 r 推 论 如 果 在 x0的 某 一 去 心 邻 域 内 f(x)0(或 f(x)0), 而 且 f(x)A(xx 0), 那 么 A0(或 A0) 3. 局 部 保 号 性 v定 理 3.5(函 数 极 限 的 保 不 等 式 性 ) 证 明 ). ( lim ) ( lim ), ( ) ( ) ; ( ) ( ), ( 0 0 0 0 x g x f x g x f x U x g x f x x x x x x 则 内 有 极 限 都 存 在 且 在 时 如 果 d o , ) ( lim , ) ( lim 0 0 B x g A x f x x x x = = 设 ) 1 ( ), ( 0 , 0 , 0 1 0 1 x f A x x - - $ e d d e 时 有 当 则 ) 2 ( . ) ( 0 , 0 2 0 2 e d d + - $ B x g x x 时 有 当 于 是 有 同 时 成 立 与 不 等 式 时 则 当 令 ， x g x f x x ) 2 ( ), 1 ( ) ( ) ( , 0 , , , min 0 2 1 - = d d d d d , ) ( ) ( e e + - B x g x f A . , 2 B A B A + 的 任 意 性 知 由 从 而 e e 4 保 不 等 式 ).()(),(,0 ,)(lim,)(lim 00 00 xgxfxUx BABxgAxf xxxx d$ = 有则 且设推 论 v定 理 3.6 如 果 函 数 f(x)、 g(x)及 h(x)满 足 下 列 条 件 (1) g(x)f(x)h(x), (2)lim g(x)=A, lim h(x)=A, 那 么 lim f(x)存 在 , 且 lim f(x)=A 证 明 ), ( 0 , 0 , 0 1 0 1 x g A x x ， - - $ e d d e 时 有 当 按 假 设 . ) ( 0 , 0 2 0 2 e d d + - $ A x h x x 时 有 当 故 有 同 时 成 立 时 上 两 不 等 式 与 则 当 令 , ( ) ( ) ( 0 , , min 0 2 1 x h x f x g x x - = d d d d , ) ( ) ( ) ( e e + - A x h x f x g A . ) ( lim ) ( 0 A x f ， A x f x x = = Be ， 由 Bxgxx = )(lim0 ， 01 $d 使 得 当 100 d- xx时 ， 有 2)( BBxg e , 仍 然 由 Bxg xx = )(lim0 ， .02 $d ，使 得 当 200 d- xx 时 ， 有 e2)( 2BBxg - . 取 ),min( 21 ddd = ， 则 当 d- 00 xx 时 ， 有 ee =-=- 22)(2)()(1)(1 222 BBBxgBBxg BxgBxg Bxgxx 1)(1lim 0 =即 推 论 1 ).(lim)(lim ,)(lim xfcxcf cxf = 则为 常 数而存 在如 果常 数 因 子 可 以 提 到 极 限 记 号 外 面 .推 论 2 .)(lim)(lim ,)(lim nn xfxf nxf = 则是 正 整 数而存 在如 果 定 理 的 条 件 ： )(lim),(lim xgxf 存 在商 的 情 形 还 须 加 上 分 母 的 极 限 不 为 0 定 理 简 言 之 即 是 ： 和 、 差 、 积 、 商 的 极 限等 于 极 限 的 和 、 差 、 积 、 商 定 理 中 极 限 号 下 面 没 有 指 明 极 限 过 程 ， 是 指 对任 何 一 个 过 程 都 成 立 二 、 利 用 函 数 极 限 的 性 质 计 算 某 些 函 数 的 极 限 . 已 证 明 过 以 下 几 个 极 限 ： ;coscoslim ,sinsinlim ,lim ,lim 000 0000 xxxxxxCC xxxxxxxx = .2lim ,01lim = arctgxx xx（ 注 意 前 四 个 极 限 中 极 限 就 是 函 数 值 ） 利 用 极 限 性 质 ， 特 别 是 运 算 性 质 求 极 限 的 原 是 ：通 过 有 关 性 质 , 把 所 求 极 限 化 为 基 本 极 限 , 代 入 基 本极 限 的 值 , 即 计 算 得 所 求 极 限 . 这 些 极 限 可 作 为 公 式 用 . 在 计 算 一 些 简 单 极 限时 , 有 五 组 基 本 极 限 作 为 公 式 用 , 参 阅 4P3738. 我 们 将 陆 续 证 明 这 些 公 式 . 利 用 “ 迫 敛 性 ” 和 “ 四 则 运 算 ” ， 可 以 从 一 些“ 简 单 函 数 极 限 ” 出 发 ， 计 算 较 复 杂 函 数 的 极 限 。例 求 0 1limx x x .4lim ( 1)x xtgx -例 求.例 求 . 224sinsinlim4 = xx.22coslim4 = xx ( 利 用 极 限 和 ) 31 1 3lim . ( 1 )1 1x x x- - - + + ee +- 11 xa只 须 )1(log)1(log ee +- aa x又 只 须 )1(log,1 1minlog eed +-= aa令 时当 d |0 x )1(log1 1log edde +- aa xee +- 11 xae= aaxx证 0e （ 不 妨 设 1）e- |1| xa要 使 .523 735lim 233 + +- xx xxx例 6 求例 5 求 x x註 : 关 于 的 有 理 分 式 当 时 的 极 限 . 参 阅 4P37 .11lim 1071 - xxx ).1)(1(1 21 +-=- - aaaaa nnn 利 用 公 式 .74lim 222 -=- + Bx BAxxx 求 A和 B. 16 20( , .)3 3A B= - =补 充 题 : 已 知 求 极 限 方 法 举 例例 7 .53 1lim 2 32 +- - xx xx求解 )53(lim 22 +- xxx 5lim3limlim 2222 +-= xxx xx 5limlim3)lim( 2222 +-= xxx xx 52322 +-= ,03 =53 1lim 2 32 +- - xx xx )53(lim 1limlim 22 232 +-= xxxx xx 3 123 -= .37= 小 结 : 则 有设 ,)(.1 110 nnn axaxaxf += - nnxxnxxxx axaxaxf += - 110 )lim()lim()(lim 000 nnn axaxa += - 10100 ).( 0 xf= 则 有且设 ,0)(,)( )()(.2 0 = xQxQ xPxf )(lim )(lim)(lim 000 xQ xPxf xx xxxx = )( )( 00 xQ xP= ).( 0 xf=.,0)( 0 则 商 的 法 则 不 能 应 用若 =xQ 例 8 .32 14lim 21 -+ - xx xx求解 )32(lim 21 -+ xxx ,0= 商 的 法 则 不 能 用)14(lim1 - xx又 ,03=14 32lim 21 - -+ x xxx .030 =由 无 穷 小 与 无 穷 大 的 关 系 ,得.32 14lim 21 =-+ - xx xx 例 9 .32 1lim 2 21 -+ - xx xx求解 .,1 分 母 的 极 限 都 是 零分 子时x )00( 型 .1后 再 求 极 限因 子先 约 去 不 为 零 的 无 穷 小 -x )1)(3( )1)(1(lim32 1lim 12 21 -+ -+=-+ - xx xxxx x xx 31lim1 += xxx .21= (消 去 零 因 子 法 ) 例 10 .147 532lim 23 23 -+ + xx xxx求解 ., 分 母 的 极 限 都 是 无 穷 大分 子时x )( 型.,3 再 求 极 限分 出 无 穷 小去 除 分 子 分 母先 用 x 3323 23 147 532lim147 532lim xx xxxx xx xx -+ +=-+ + .72=(无 穷 小 因 子 分 出 法 ) 小 结 : 为 非 负 整 数 时 有和当 nmba ,0,0 00 =+ + - , ,0 ,lim 00110 110 mn mn mnbabxbxb axaxa nnn mmmx 当当 当无 穷 小 分 出 法 :以 分 母 中 自 变 量 的 最 高 次 幂 除 分子 ,分 母 ,以 分 出 无 穷 小 ,然 后 再 求 极 限 . 例 11 ).21(lim 222 nnnnn + 求解 是 无 穷 小 之 和 时 ,n 先 变 形 再 求 极 限 .2222 21lim)21(lim n nnnnn nn +=+ 2 )1(21lim nnnn += )11(21lim nn += .21= 由 以 上 几 例 可 见 ， 在 应 用 极 限 的 四 则 运 算 法 则 求极 限 时 ， 必 须 注 意 定 理 的 条 件 ， 当 条 件 不 具 备 时 ，有 时 可 作 适 当 的 变 形 ， 以 创 造 应 用 定 理 的 条 件 ， 有时 可 以 利 用 无 穷 小 的 运 算 性 质 或 无 穷 小 与 无 穷 大 的关 系 求 极 限 。三 、 复 合 函 数 极 限定 理 （ 复 合 函 数 极 限 运 算 法 则 变 量 代 换 法 则 ）AufxfAuf axxax auxxau xx = = )(lim)(lim,)(lim ,)(,)(lim 00 0 则又 的 某 去 心 邻 域 内但 在设 证 知由 Aufau = )(lim 0,0 $ e 有时使 当 ,|0 - au e$ d ，对 上 述 有时使 当 ,|0 0 d- xx - |)(| axax )(又 - |)(|0 axe - |)(| Axf由 极 限 定 义 得 Aufxf auxx = )(lim)(lim 0 此 定 理 表 明 ： 满 足 定 理 的 条 件与若 )()( xuf 则 可 作 代 换 转 化 为把 求 )(lim)( 0 xfxu xx = )(lim),(lim 0 xauf xxau =这 里 极 限 过 程 的 转 化注 1 AufAuf xax uau = = )(lim)(lim )(lim)(lim 换 成 换 成如 将 可 得 类 似 的 定 理注 2 定 理 中 的 限 制 条 件 0U x x a o“ 在 某 内不 能 少 ,例 如 ,令 0,x = 1, 0,0, 0,uf u u= 0 0lim 0, 1 lim 1u xf u f x f x = = =则 而 例 9 求 3 9lim 23 - xxx 例 12 解 3 92-= xxy 是 由 uy= 与 3 92-= xxu 复 合 而 成 的 解 因 为 63 9lim 23 =- xxx , 所 以 6lim3 9lim 623 =- uxx ux 因 为 63 9lim 23 =- xxx , 所 以 6lim3 9lim 623 =- uxx ux 因 为 63 9lim 23 =- xxx , 所 以 6lim3 9lim 623 =- uxx ux 因 为 63 9lim 23 =- xxx , 所 以 6li3 9lim 23 =- uxxx 6） .极 限 的 四 则 运 算 法 则 及 其 推 论 ;2.极 限 求 法 ： a.多 项 式 与 分 式 函 数 代 入 法 求 极 限 ;b.消 去 零 因 子 法 求 极 限 ;c.无 穷 小 因 子 分 出 法 求 极 限 ;d.利 用 无 穷 小 运 算 性 质 求 极 限 ;e.利 用 左 右 极 限 求 分 段 函 数 极 限 .四 、 小 结1 函 数 极 限 的 性质1） .唯 一 性 ； 2） . 局 部 有 界 性 ； 3. 局 部 保 号 性 ； ；4 ） 保 不 等 式 ； 5） 迫 敛 性 ；7).复 合 函 数 的 四 则 运 算 法 则 . 作 业 P47: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8 , 9 .