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考纲要求 考情分析 1.了解导数概念的实际背景 2.理解导数的几何意义 3.能根据导数的定义求函数 y c， y x， y x2， y 的 导数 4.能利用给出的基本初等函数 的导数公式和导数的四则运 算法则求简单函数的导数 . 1.导数是高考命题的热点，是 必考内容，主要考查导数的 概念、导数的几何意义、导 数的计算等 2.考查形式以选择题、填空题 为主，在解答题中通常出现 在解答过程中 . 1 x 一、导数的概念 1 函数 f ( x ) 从 x 1 到 x 2 的平均变化率 函数 f ( x ) 从 x 1 到 x 2 的平均变化率为 ，若 x x 2 x 1 ， y f ( x 2 ) f ( x 1 ) ，则平均变化率可表示为 y x . f x 2 f x 1 x 2 x 1 2 f ( x ) 在 x x 0 处的导数 函数 y f ( x ) 在 x x 0 处的瞬时变化率是 _ lim x 0 y x ，称其为函数 y f ( x ) 在 x x 0 处的导数，记作 f ( x 0 ) 或 ，即 f ( x 0 ) _ . lim x 0 f x 0 x f x 0 x y|x x0 lim x 0 f x 0 x f x 0 x 3 导函数 当 x变化时 ， f(x)称为 f(x)的导函数 ， 则 f(x) y . lim x 0 f x x f x x 1 f(x)与 f(x0)相同吗 ？ 提示： f(x)是一个函数 ， f(x0)是常数 ， f(x0)是函数 f(x)在点 x0处的函数值 二 、 导数的几何意义 函数 y f(x)在 x x0处的导数 ， 就是曲线 y f(x)在点 P(x0， y0) 处的切线的 ， 过点 P的切线方程为： 斜率 y y0 f(x0)(x x0) 2 曲线 y f(x)在点 P0(x0， y0)处的切线与过点 P0(x0， y0)的切 线 ， 两种说法有区别吗 ？ 提示： 两种说法有区别 在点 P0(x0， y0)处的切线说明点 P0 在曲线 y f(x)上 ， 且 P0为切点；过点 P0(x0， y0)的切线则点 P0不一 定在曲线上 ， 或点 P0在曲线上也不一定为切点 三 、 几种常见函数的导数 函数 导函数 f(x) c f(x) xn(n Q*) f(x) sin x f(x) cos x f(x) ax(a 0且 a1) f(x) ex f(x) logax(a 0且 a1) f(x) ln x f(x) 0 f(x) nxn 1 f(x) cos_x f(x) sin_x f(x) axln_a(a 0且 a1) f(x) ex f ( x ) 1x ln a ( a 0 且 a 1) f ( x ) 1x 四、可导函数的四则运算法则 (1) f ( x ) g ( x ) ； (2) f ( x ) g ( x ) ； (3) f x g x ( g ( x ) 0) f(x) g(x) f(x)g(x) f(x)g(x) f x g x f x g x g x 2 五 、 复合函数的导数 (理 ) 复合函数 y f(g(x)的导数和函数 y f(u)， u g(x)的导数间 的关系为 yx ， 即 y对 x的导数等于 y对 u的导数与 u 对 x的导数的积 yuux 函数求导的原则 对于函数求导 ， 一般要遵循先化简 、 再求导的原则 ， 求导 时 ， 不但要重视求导法则的应用 ， 而且要特别注意求导法则对 求导的制约作用 在实施化简时 ， 首先必须注意变换的等价 性 ， 避免不必要的运算失误 1 在曲线 y x 2 1 的图象上取一点 (1,2) 及附近一点 (1 x, 2 y ) ，则 y x 为 ( ) A x 1 x 2 B x 1 x 2 C x 2 D 2 x 1 x 答案： C 解析： y (1 x ) 2 1 1 2 1 ( x ) 2 2 x ， y x x 2. 2 已知 f ( x ) ax 3 3 x 2 2 ，若 f ( 1) 4 ，则 a 的值为 ( ) A. 10 3 B. 13 3 C. 16 3 D. 19 3 解析： 由条件知 f ( x ) 3 ax 2 6 x ，所以 f ( 1) 3 a 6 4 ，得 a 10 3 . 答案： A 3 曲线 y x x 2 在点 (1 ， 1) 处的切线方程为 ( ) A y x 2 B y 3 x 2 C y 2 x 3 D y 2 x 1 解析： y x 2 x x 2 2 2 x 2 2 ，故 y | x 1 2 ，因此 所求切线方程为 y ( 1) 2( x 1) ，即 y 2 x 1. 答案： D 4 若曲线 f(x) x4 x在点 P处的切线平行于直线 y 3x， 则 点 P的坐标为 _ 解析： 设切点 P为 (x0， f(x0)， f(x) 4x3 1， 由题意知 f(x0) 4x 1 3， x0 1， f(x0) 0. 切点 P为 (1,0) 答案： (1,0) 5 (2013 淄博模拟 ) 已知函数 f ( x ) f 4 cos x sin x ，则 f 4 的值为 _ 解析： f ( x ) f 4 sin x cos x ， f 4 2 2 f 4 2 2 ， f 4 2 1 ， f 4 ( 2 1) 2 2 2 2 1. 答案： 1 【 考向探寻 】 1 利用导数的概念求有关变化率 2 利用导数的概念 ， 解决有关的实际问题 【典例剖析】 用导数定义求函数 f ( x ) x 在 x 1 处的导数 解决本题的关键是正确的求出 y ， y x ，然后求出极限 即可，需要严格按照定义来求解 解： y f (1 x ) f (1) 1 x 1 ， y x 1 x 1 x 1 1 x 1 ， lim x 0 1 1 x 1 1 2 . f (1) 1 2 . 【互动探究】 若将本例改为 “ 利用导数的定义求函数 y 1 x 的导 数 ” ，结果如何？ 解： y 1 x x 1 x x x x x 2 x x x x 2 x x x x x ， y x 1 x 2 x x x x x ， lim x 0 y x 1 2 x x 1 2 x 3 2 ， 即 y 1 2 x 3 2 . (1)根据导数的概念求函数的导数是求导的基本方法 确定 y f(x)在 x x0处的导数有两种方法：一是导数定义法 ， 二是导函 数的函数值法 (2)求函数 y f(x)在 x x0处的导数的求解步骤 【 考向探寻 】 1 利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则求导数 2 求复合函数的导数 (理 ) 【典例剖析】 求下列函数的导数： (1) y x 1 x x 2 ； (2) y 3 x e x 2 x e ； (3) y ln x x 2 1 ； (4) y x co s x sin x ； ( 理 ) (5) y (3 2 x ) 5 ； (6) y ln ( x 2 1) (理 )运用导数公式和导数的运算法则及复合函数求导法则求 导 (文 )运用导数公式和导数的运算法则求导即可 解： (1) y x 1 x x 2 x 1 x x 2 1 x x 2 2 1 x x 2 x 0 1 2 x 1 x x 2 2 1 x 2 1 x x 2 2 . (2) y (3 x e x ) (2 x ) e (3 x ) e x 3 x (e x ) (2 x ) 0 (3 x ln 3) e x 3 x e x 2 x ln 2 (3e ) x ln( 3 e ) 2 x ln 2. (3) y ln x x 2 1 ln x x 2 1 x 2 1 2 1 x x 2 1 2 x ln x x 2 1 2 x 1 2ln x 1 x x 2 1 2 . (4) y x cos x x (co s x ) cos x cos x x s in x cos x x sin x . ( 理 ) (5) 令 u 3 2 x ， y u 5 ，则 u ( x ) 2 ， y ( u ) 5 u 4 5(3 2 x ) 4 ， y ( x ) u ( x ) y ( u ) 2 5(3 2 x ) 4 10(3 2 x ) 4 . (6) 令 u x 2 1 ， y ln u ，则 u ( x ) 2 x ， y ( u ) 1 u 1 x 2 1 ， 一般说来 ， 分式函数求导 ， 要先观察函数的结构特征 ， 可 化为整式函数或较为简单的分式函数；对数函数的求导 ， 可先 化为和 、 差的形式；三角函数的求导 ， 先利用三角函数公式转 化为和或差的形式 对较复杂的函数求导时 ， 应先化简再求 导 ， 特别是对数函数真数是分式或根式时 ， 可运用对数的运算 性质转化真数为有理式或整式求解更为方便 【活学活用】 1 求下列各函数的导数： (1) y x x 5 sin x x 2 ； (2) y s in x ln x . 解： (1) y x x 5 sin x x 2 x 3 2 x 3 si n x x 2 ， y 3 2 x 5 2 3 x 2 ( 2 x 3 sin x ) x 2 cos x 3 2 x 5 2 3 x 2 2 x 3 s in x x 2 cos x . (2) y cos x ln x sin x 1 x cos x ln x 1 x sin x . 【 考向探寻 】 1 求曲线的切线方程 2 求曲线的切线倾斜角的取值范围 3 与曲线的切线有关的综合问题 【典例剖析】 (1) (2013 江门模拟 ) 若曲线 f ( x ) x s in x 1 在 x 2 处的切线与直线 ax 2 y 1 0 互相垂直，则实数 a 等于 A 2 B 1 C 1 D 2 (2) (2013 海口模拟 ) 已知曲线 y 1 2 1 x 与 y 2 x 3 x 2 2 x 在 x x 0 处切线的斜率的乘积为 3 ，则 x 0 的值为 A 2 B 2 C. 1 2 D 1 (3) (12 分 ) 已知曲线 y 1 3 x 3 4 3 . 求曲线在点 P (2,4) 处的切线方程； 求曲线过点 P (2,4) 的切线方程； 题号 分析 (1) 求导数，得 f ，根据两直线位置关系求 a. (2) 求导数，得斜率，根据条件求 x0. (3) 求导数，求切线斜率，写出切线方程； 设切点，求切点坐标，写出切线方程； 设切点，由 k 1求切点坐标，写出切线方程 . 2 (1) 据已知可得 f ( x ) sin x x c os x ， 故 f 2 1 ，由两直线垂直可得 a 2 1 1 ， 解得 a 2. 答案： D (2) 由题知 y 1 1 x 2 ， y 2 3 x 2 2 x 2 ， 所以两曲线在 x x 0 处切线的斜率分别为 1 x 2 0 ， 3 x 2 0 2 x 0 2 ，所以 3 x 2 0 2 x 0 2 x 2 0 3 ，解得 x 0 1. 答案： D (3) y x 2 ， 在点 P (2,4) 处的切线的斜率 k y | x 2 4. 2 分 曲线在点 P (2,4) 处的切线方程为 y 4 4( x 2) ， 即 4 x y 4 0.4 分 设曲线 y 1 3 x 3 4 3 与过点 P (2,4) 的切线相切于点 Ax 0 ， 1 3 x 3 0 4 3 ，则切线的斜率 k y | x x 0 x 2 0 .5 分 切线方程为 y 1 3 x 3 0 4 3 x 2 0 ( x x 0 ) ， 即 y x 2 0 x 2 3 x 3 0 4 3 .6 分 点 P (2,4) 在切线上， 4 2 x 2 0 2 3 x 3 0 4 3 ， 即 x 3 0 3 x 2 0 4 0 ， x 3 0 x 2 0 4 x 2 0 4 0 ， x 2 0 ( x 0 1) 4( x 0 1) ( x 0 1) 0 ， ( x 0 1) ( x 0 2) 2 0 ， 解得 x 0 1 或 x 0 2 ， 7 分 故所求的切线方程为 4 x y 4 0 或 x y 2 0.8 分 设切点为 ( x 0 ， y 0 ) ， 故切线的 斜率为 k x 2 0 1 ， 解得 x 0 1 ，故切点为 1 ， 5 3 ， ( 1,1).1 0 分 故所求切线方程为 y 5 3 x 1 和 y 1 x 1 ， 即 3 x 3 y 2 0 和 x y 2 0.12 分 (1)函数 y f(x)在点 P(x0， y0)处的导数 f(x0)表示函数 y f(x)在 x x0处的瞬时变化率 ， 导数 f(x0)的几何意义就是函数 y f(x)在 P(x0， y0)处的切线的斜率 ， 且在该点处的切线方程为 y y0 f(x0)(x x0) (2)利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤 求出函数 y f(x)在点 x0处的导数 f(x0)； 根据直线的点斜式方程 ， 得切线方程 y y0 f(x0)(x x0) 求曲线的切线要注意 “ 过点 P的切线 ” 与 “ 在点 P处的切线 ” 的差异 ， 过点 P的切线中 ， 点 P不一定是切 点 、 点 P也不一定在已知曲线上 ， 而在点 P处的切线 ， 必以点 P为 切点 【 活学活用 】 2 已知直线 l1为曲线 y x2 x 2在点 (1,0)处的切线 ， l2为该 曲线的另一条切线 ， 且 l1 l2. (1)求直线 l2的方程； (2)求由直线 l1、 l2和 x轴所围成的三角形的面积 解： (1) y 2 x 1 ， y | x 1 3. 直线 l 1 的方程为 y 3 x 3. 设直线 l 2 与曲线 y x 2 x 2 的切点为 B ( b ， b 2 b 2) ， 则 l 2 的方程为 y (2 b 1) x b 2 2. 因为 l 1 l 2 ，则有 2 b 1 1 3 ， b 2 3 ， 所以直线 l 2 的方程为 y 1 3 x 22 9 . (2) 解方程组 y 3 x 3 ， y 1 3 x 22 9 ， 得 x 1 6 ， y 5 2 . 所以直线 l 1 和 l 2 的交点的坐标为 1 6 ， 5 2 . l 1 、 l 2 与 x 轴交点的坐标分别为 (1,0) 、 22 3 ， 0 . 所以所求三角形的面积为 S 1 2 25 3 | 5 2 | 125 12 . 已知曲线 y 13 x 3 上一点 P 2 ， 83 ，求过 点 P 的切线方程 由 y 1 3 x 3 x 2 ，得 y | x 2 4 ，即过点 P 的切线方 程的斜率为 4. 则所求的切线方程是 y 8 3 4( x 2) ，即 12 x 3 y 16 0. 在导数几何意义的应用问题中，往往只考虑导数本身的 应用问题，而没有充分考虑导数本身的应用与实际问题的结 合，导致错误虽然点 P 2 ， 8 3 在曲线上，但过点 P 的切线 不一定以 P 为切点要充分考虑导数本身的应用与实际问题 的结合，本题中所求的是 “ 过 P 点的切线 ” ，而不只是求 “ 切 点是 P ” 的切线，所以过点 P 但不以 P 为切点的切线方程也 是符合题意的 解： (1) 当 P 为切点时，同上解； (2) 当 P 点不是切点时，设切点为 Q ( x 0 ， y 0 ) ，则切线方 程为 y 1 3 x 3 0 x 2 0 ( x x 0 ) ， 因为切线过点 P 2 ， 8 3 ，把 P 点的坐标代入以上切线方 程，求得 x 0 1 或 x 0 2( 即点 P ，舍去 ) ， 所以切点为 Q 1 ， 1 3 ， 即所求切线方程为 3 x 3 y 2 0 ； 综上所述，过点 P 的切线方程为 12 x 3 y 16 0 或 3 x 3 y 2 0. 对于点不在曲线上的切线问题 ， 要先确定所给的点的坐标 不满足曲线方程 ， 此时要先设出相应的切点坐标 ， 利用导数的 几何意义求出相应的切线的斜率 ， 再结合直线的点斜式方程求 出含参数的切线方程 ， 再把已知点代入求解出对应的参数 ， 进 而解得切线方程 点击进入 W ORD 链接 活 页 作 业 谢谢观看！
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