数学史AHistoryofMathema

数 学 史 A History of Mathematics 纪志刚 上海交通大学科学史系 人生几何，大哉言数 -数学思想发展的历史巡礼 引 子 人生有几何， 为何学几何？ 学了几何几何用？ 不学几何又几何！ -20世纪 30年代的 “ 打油诗 ” First encounter between East and West:1607 下学工夫，有理有事。 此书为益。能令学理者 怯其浮气，练其精心； 学事者资其定法，发其 巧思，故举世无一人不 当学。 徐光启 几何原本杂议 历史的警示 1607年，利玛窦和徐光启合译 几何原 本 ，西方数学第一次传入中国。徐光启 认为此书 “ 由显入微，从疑得信，盖不用 为用，众用所基。 ” （ 刻几何原本 序 ），又希望 “ 百年之后，必人人习之， 即又以为习之晚也 ” （ 几何原本杂 议 ）。 未曾想， 300年后却有此打油诗：是幽默？ 是无奈？还是中国人就不懂数学？ “几何 ” 乃人类思维之灵魂 我请读者透过各个年代考察一下 “ 几何 ” 这门学 科的效果。人们看到它渐渐地，很慢但有把握地 取得了这样的权威，即任何一项研究、任何一项 实验都倾向它，不屈不挠地向它借取严谨的步骤、 对 材料 的精打细算、细致的方法，而这种慎 之又慎使它可以从事最 “ 胆大妄为 ” 的事业。现 代科学就是从这堂庑宏大的教育中产生的。结果， 从机械技术、应用科学、战争或和平的手段等观 点来看，世界各地区之间的不平等就出现了。欧 洲人的优势就是建立在这个不平等之上的。 法国诗人：保罗 瓦莱里（ Paul Valery,1871-1945) “算术 ” 乃社稷民生之大用！ 昔者周公问于商高曰：窃闻乎大夫善数也。请问 古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可 得尺寸而度。请问数安从出？ 商高曰：数之法出于圆方。圆出于方，方出于矩， 矩出于九九八十一。 故折矩以为句广三，股修四， 径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成 三四五。 两矩共长二十有五，是谓积矩。故 禹之 所以治天下者，此数之所生也 。 周公曰：大哉言数。 - 周髀算经 既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五 “几何 ” 完善于希腊， “ 算术 ” 则是东方的 强项，二者通过 “ 代数 ” 结合在一起后， “ 解析几何 ” 就诞生了（笛卡儿），进而微 积分的出现就是历史的必然产物（牛顿、莱 布尼兹），和着工业革命，数学进入了新的 时代 “分析 ” 的时代（ 18-20世纪）。 进入了 21世纪的今天，数学又是一个什么 模样呢？ 2000 World Mathematics Year 国际数学年 2000 On May, 6th, 1992, in Rio de Janeiro (Brazil), the International Mathematical Union declared that the Year 2000 will be the World mathematical Year. The Declaration of Rio sets three aims : - The great challenges of 21st Century - Mathematics, a key for Development - The image of mathematics 伦敦地铁的数学海报 一月：自然之数（ maths counts) 二月：数学漩涡（ maths stirs ） 三月：混沌中的数学（ maths predicts） 四月：数学也很 “ 酷 ” ：（ maths is cool-突变理论） 五月：太阳黑子的数学之谜（ maths hots up） 六月：数学联通天下（ maths connects） 七月：让数学告诉你机遇（ maths even the odds） 八月：数学展翅翱翔（ maths takes off） 九月：数学解读生命玄机（ maths is vital） 十月：数学 “ 密电码 ” （ maths breaks the code） 十一月：数学波澜（ maths makes waves） 十二月：大哉言数（ maths is for ever） 大哉数学！ 自然科学 工程技术 医药卫生 哲学思想 政治学说 经济理论 逻辑思维 音乐、建筑 艺术、美学 战争、军事 1 什么是数学 历史的理解 “万物皆数 ” 毕达哥拉斯学派 “ 数学是量的科学 ” 亚里士多德 “ 凡是以研究顺序和度量为目的的科学都 与数学有关 ” 笛卡尔 “ 纯粹数学的对象是现实世界的空间形式 与度量关系 ” 恩格斯 “数学是绝对自由发展的学科，它只服从明显的思 维。也就是说它的概念必须摆脱自相矛盾，并且 必须通过定义而明确地、有秩序地与先前建立和 存在的概念相联系 ” -康托（ 1883） “ 纯粹数学完全由这样一类论断组成，假定某个 命题对某些事物成立，则可推出另外某个命题对 同样这些事物也成立。这里既不管第一个命题是 否确实成立，也不管使命题成立的那些事物究竟 是什么， 只要我们的假定是关于一般的事物， 而不是某些特殊的事物，那么我们的推理就构成 为数学。这样，数学可以定义为这样一门学科， 我们永远不知道其中所说的是什么，也不知道所 说的内容是否正确。 ” -罗素（ 1901） “数学 这个领域已被称作模式的科学 （ science of pattern），其目的是要揭 示人们从自然界和数学本身的抽象世界中 所观察到的结构和对称性 ” -Renewing US Mathematics: A Plan for 1900s 2 数学史的意义 与其他知识部门相比，数学是一门 “ 历史 性 ” 很强的学科：基本概念、基本方法几 乎亘古未变，即使重大的数学理论也总是 在继承和发展原有理论的基础上建立起来 的。 数：自然数、分数、负数、无理数、复数 几何：欧式几何、非欧几何 代数：初等代数、 “ 四元数 ” -非交换代数、 抽象代数 在数学的进化过程中，几乎没有发生彻底推 翻前人建筑的情况。但是在其他学科情况就 大不相同，比如： 天文学：从 “ 地心说 ” 到 “ 日心说 ” 物理学：从 “ 以太说 ” 到 “ 相对论 ” 化学： 从 “ 燃素说 ” 到 “ 氧化说 ” “ 在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代 人所拆毁，一个人的创造被另一个人所破坏。 唯独数学，每一代人都在古老的大厦上添加 一层楼 ” -H. Hankel,1894 数学史并不是单纯数学成就的编年记录。数学的 发展可谓 “ 历经艰辛 ” ：有犹豫徘徊、有危机冲 突， 。这是这些，构成了数学发展的恢宏画 卷。遗憾的是，现在的教科书是以定理到定理的 形式包装起来的，无法展示数学创造的真实过程。 知道那些 “ 经过深思熟虑而得到的重大发明的真 正起源是很有益的。这不仅在于历史可以给每一 个发明者以应有的评价，从而鼓舞其他人去争取 同样的荣誉，而且在于通过一些光辉的范例可以 促进发现的艺术，揭示发现的方法 ” 。 -莱布尼茨（ 1714） 因此，数学史为我们提供了一个理解数学的最佳 途径。 3 数学史的分期 数学来源于人类的生产实践活动，即来源 于原始人捕获猎物和分配猎物、丈量土地 和测量容积、计算时间和制造器皿等实践， 并随着人类社会生产力的发展而发展。一 般说来，可以从三个时期来大致了解数学 的发展。 一、初等数学时期 数学与人类文明相伴而生，经过漫长时间 的萌芽阶段，在生产的基础上积累了丰富 的有关数和形的感性知识。数学知识在古 巴比伦、埃及、印度和中国产生，并形成 系统的数学知识体系。 到了公元前三世纪，希腊几何学的出现成 为第一个转折点，数学从此由具体的、实 验的阶段，过渡到抽象的、理论的阶段， 开始创立初等数学。此后又经过不断的发 展和交流，最后形成了几何、算术、代数、 三角等独立学科。这一时期的成果可以用 “ 初等数学 ” (即常量数学 )来概括，它大致 相当于现在中小学数学课本的主要内容。 罗马人征服了希腊也摧毁了希腊的文化。 公元前 47年，罗马人焚毁了亚历山大里亚 图书馆，两个半世纪以来收集的藏书和 50 万份手稿付之一炬。基督教徒又焚毁了希 腊神庙，大约 30万种手稿被焚。公元 640 年，回教徒征服埃及，残留的书籍被阿拉 伯征服者焚毁。由于外族入侵和古希腊后 期数学本身缺少活力，希腊数学衰落了。 从 5世纪到 15世纪，数学发展的中心转移到 了东方的印度、阿拉伯国家和中国。在这 1000多年时间里，数学主要是由于计算的 需要，特别是由于天文学的需要而得到迅 速发展。和以前的希腊数学家大多数是哲 学家不同，东方的数学家大多数是天文学 家。从公元 6世纪到 17世纪初，初等数学在 各个地区之间交流，并且取得了重大进展。 阿拉伯数学指阿拉伯科学繁荣时期 (公元 8 至 15世纪 )在阿拉伯语的文献中看到的数学。 七世纪以后，阿拉伯语言不仅是阿拉伯国 家的语言，而且成为近东、中东、中亚细 亚许多国家的官方语言。阿拉伯数学有三 个特点：实践性；与天文学有密切关系； 对古典著作做大量的注释。它的表现形式 和写文章一样，不用符号，连数目也用阿 拉伯语的数词书写，而 “ 阿拉伯数字 ” 仅 用于实际计算和表格。 对于阿拉伯文化来说，数学是外来的学问，在伊 斯兰教创立之前，只有极简单的计算方法。七世 纪时，通过波斯传进了印度式计算法。后来开始 翻译欧几里得、阿基米得等人的希腊数学著作。 花拉子模著的 代数学 成为阿拉伯代数学的范 例。在翻译时代 (大约 850年之前 )过去之后，是 众多数学家表现创造才能著书立说的时代 (1200 年之前 )。梅雅姆、纳速 拉丁、阿尔 卡西等等， 使阿拉伯数学在 11世纪达到顶点。 1200年之后，阿拉伯数学进入衰退时期。初期的 阿拉伯数学在 12世纪被译为拉丁文，传播到西欧， 使西欧人重新了解到希腊数学。 15世纪开始了欧洲的文艺复兴。随着拜占 庭帝国的瓦解，大批学者带着希腊典籍的 回到意大利。大约在这个世纪的中叶，受 中国人发明的影响，改进了印刷术，彻底 变革了书籍的出版条件，加速了知识的传 播。在这个世纪末，哥伦布发现了美洲， 不久麦哲伦船队完成了环球航行。在商业、 航海、天文学和测量学的影响下，西欧作 为初等数学的发展中心，终于后来居上。 二、变量数学时期 变量数学时期从 17世纪中叶到 19世纪 20年 代。这一时期的主要成果是解析几何、微 积分、高等代数等学科，它们构成了现代 大学数学课程 (非数学专业 )的主要内容。 十六、十七世纪，欧洲封建社会开始解体，代之 而起的是资本主义社会。由于资本主义工场手工 业的繁荣和向机器生产的过渡，以及航海、军事 等的发展，促使技术科学和数学急速向前发展。 原来的初等数学已经不能满足实践的需要，在数 学研究中自然而然地就引入了变量与函数的概念， 从此数学进入了变量数学时期。 在数学史上，引人注目的 17世纪是一个开创性的 世纪。这个世纪中发生了对于数学具有重大意义 的三件大事。 首先是 伽里略实验数学方法 的出现，它表明了数学 与自然科学的一种崭新的结合。其特点是在所研 究的现象中，找出一些可以度量的因素，并把数 学方法应用到这些量的变化规律中去。具体可归 结为： (1)从所要研究的现象中，选择出若干个可以用数量 表示出来的特点； (2)提出一个假设，它包含所观察各量之间的数学关 系式； (3)从这个假设推导出某些能够实际验证的结果 (4)进行实验观测 改变条件 再现测，并把观察结 果尽可能地用数值表示以来； (5)以实验结果来肯定或否定所提的假设； (6)以肯定的假设为起点，提出新假设，再度使新假 设接受检验。 第二件大事是 笛卡儿的解析几何 1637年，笛卡尔发表了重要著作 方法 谈 ，在附录 几何学 中，引入了运动 着的一点的坐标的概念，引入了变量和函 数的概念。由于有了坐标，平面曲线与二 元方程之间建立起了联系，由此产生了一 门用代数方法研究几何学的新学科 解 析几何学。这是数学的一个转折点，也是 变量数学发展的第一个决定性步骤。 第三件大事是 微积分学的建立 ，最重要的工作是 由牛顿和莱布尼兹各自独立完成的。 17世纪的数学，发生了许多深刻的、明显的变革。 在数学的活动范围方面，数学教育扩大了，从事 数学工作的人迅速增加，数学著作在较广的范围 内得到传播，而且建立了各种学会。在数学的传 统方面，从形的研究转向了数的研究，代数占据 了主导地位。在数学发展的趋势方面，开始了科 学数学化的过程。最早出现的是力学的数学化， 它以 1687年牛顿写的 自然哲学的数学原理 为 代表，从三大定律出发，用数学的逻辑推理将力 学定律逐个地、必然地引申出来。 工业革命刺激了变量数学发展 1705年英国工程师纽可门制成了第一台可 供实用的蒸汽机； 1768年瓦特制成了近代 蒸汽机。由此引起了英国的工业革命，以 后遍及全欧，生产力迅速提高，从而促进 了科学的繁荣。法国掀起的启蒙运动，人 们的思想得到进一步解放，为数学的发展 创造了良好条件。 18世纪数学的特点 ： (1)以微积分为基础，发展出宽广的数学领域， 成为后来数学发展中的一个主流； (2)数学方法完成了从几何方法向解析方法的 转变； (3)数学发展的动力除了来自物质生产之外， 还来自物理学； (4)已经明确地把数学分为纯粹数学和应用数 学。 三、现代数学时期 现代数学时期是指由 19世纪 20年代至今，这一时 期数学主要研究的是最一般的数量关系和空间形 式，数和量仅仅是它的极特殊的情形，通常的一 维、二维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情 形。抽象代数、拓扑学、泛函分析是整个现代数 学科学的主体部分。它们是大学数学专业的课程， 非数学专业也要具备其中某些知识。变量数学时 期新兴起的许多学科，蓬勃地向前发展，内容和 方法不断地充实、扩大和深入。 19世纪数学的三项革命性突破 “非欧几何 ” 大约在 1826年，人们发现了与通常的欧几 里得几何不同的、但也是正确的几何 非欧几何。这是由俄罗斯罗巴契夫斯基首 先公布，而德国高斯和匈牙利波约也先后 作出。非欧几何的出现，改变了人们认为 欧氏几何唯一地存在是天经地义的观点。 它的革命思想不仅为新几何学开辟了道路， 日后成为 20世纪相对论的数学基础。 “四元数 ” 1843年，哈密顿发现了一种乘法交换律不 成立的代数 四元数代数。不可交换代 数的出现，改变了人们认为存在与一般的 算术代数不同的代数是不可思议的观点。 它的革命思想打开了近代代数的大门。 “群论 ” ：近世代数 一元五次方程根式求解条件的探究，引进 了群的概念。 19世纪 20 30年代，阿贝尔 和伽罗华开创了近世代数学的研究。近代 代数是相对古典代数来说的，古典代数的 内容是以讨论方程的解法为中心的。群论 之后，多种代数系统 (环、域、格、布尔代 数、线性空间等 )被建立。这时，代数学的 研究对象扩大为向量、矩阵，等等，并渐 渐转向代数系统结构本身的研究。 1945年，第一台电子计算机诞生以后，由 于电子计算机应用广泛、影响巨大，围绕 它很自然要形成一门庞大的科学。粗略地 说，计算机科学是对计算机体系、软件和 某些特殊应用进行探索和理论研究的一门 科学。计算数学可以归入计算机科学之中， 但它也可以算是一门应用数学。 20世纪 40年代以后，涌现出了大量新的应 用数学科目，内容的丰富、应用的广泛、 名目的繁多都是史无前例的。例如对策论、 规划论、排队论、最优化方法、运筹学、 信息论、控制论、系统分析、可靠性理论 等。这些分支所研究的范围和互相间的关 系很难划清，也有的因为用了很多概率统 计的工具，又可以看作概率统计的新应用 或新分支，还有的可以归入计算机科学之 中等等。 20世纪 40年代以后，基础理论也有了飞速的发展， 出现许多突破性的工作，解决了一些带根本性质 的问题。在这过程中引入了新的概念、新的方法， 推动了整个数学前进。例如，希尔伯特 1990年在 国际教学家大会上提出的尚待解决的 23个问题中， 有些问题得到了解决。 60年代以来，还出现了如 非标准分析、模糊数学、突变理论等新兴的数学 分支。此外，近几十年来经典数学也获得了巨大 进展，如概率论、数理统计、解析数论、微分几 何、代数几何、微分方程、泛函分析、数理逻辑 等等。 课程结构 第一讲 埃及、巴比伦的数学（ 1次） 第二讲 古代希腊数学（ 2次） 第三讲 古代中国数学（ 2次） 第四讲 印度与阿拉伯的数学（ 1次） 讨论课 东西方数学的比较 第五讲 数学在欧洲的复兴（ 1次） 第六讲 微积分的创立（ 1次） 第七讲 微积分在 18世纪的发展（ 1次） 讨论课 数学与科学革命 第八讲 代数学变革（ 1次） 第九讲 非欧几何革命（ 1次） 第十讲 分析算术化与数学基础（ 1次） 讨论课 数学丧失真理性了吗？ -15次 第十一讲 费马大定理（ 1次 -待定） 第十二讲 吴文俊与数学机械化（ 1次 -待定）