构造解析-2-赤平投影

第二章 赤平投影原理 1. 直线和平面的几何性质（略） 2. 球面几何基本原理 3. 球面投影 4. 赤平极射投影 5. 赤平极射投影网 6. 赤平圆外投影或赤平极外投影 7. 等面积投影网 8. 基本作图方法 第八节 基本作图方法 赤平投影用的工具有投影网、透明纸、圆规、铅 笔、三角板、方格纸，中心及边缘密度针或大头 针等。 在作图之前，检查投影网。 为了保护网，应用一小块透明胶或胶布贴在网的 背面圆心处，并将网固定于图板或桌子上，随后， 用一张比网大一些的透明纸覆盖在网上，描绘出 基圆，标注正北、正东方向，在基圆中心画一 “ +”符号，用针插在其中心。 第八节 基本作图方法 1、平面投绘。设一平面产状为 SW245 30 ，作图步 骤为： （ 1）在基圆上找到方位角 245度位置并作一记号； （ 2）旋转透明纸使记号与网上代表正西或正东特征点重 合；自基圆起于东西向直径上量度 30度确定一点，描绘出 该点所在经线大圆弧，此经线大圆弧即为平面的迹式赤平 投影； （ 3）保持透明纸位置不变，在东西直径上由圆心起在平 面倾斜反方向查数 30度确定一点，则该点即为平面的极点 投影点。 （ 4）旋转透明纸回复到初始位置（正位），操作完成 （图 27）。 第八节 基本作图方法 2、直线投绘。设一直线产状为 NE42 62 ，作图步 骤为： （ 1）在基圆上找到 42度位置标一记号； （ 2）旋转透明纸使记号与网上代表正东的特征点重合； 自基圆起沿东西直径查数 62度标一点，该点即为所给直线 的赤平投影。 （ 3）旋转透明纸回到初始位置（图 28）。 第八节 基本作图方法 3、投绘一个包含一条直线的平面。设一平面产状为 SW245 30 ，其上有一条侧伏角为 53 SW的直线。 投绘方法是： （ 1）按 1投绘平面； （ 2）使平面的走向与网的北端重合；沿平面所在经线大 圆自网的南端起数 53度确定一点。 （ 3）旋转透明纸回到初始位置（图 29）。 该直线的倾伏角 ： sin=sinsin=sin53 sin30 =0.4， 故 arcsin0.4 23.5 。倾伏角、倾伏向均可从图上读 出。 第八节 基本作图方法 4、投绘包含两条已知直线的平面。设两条已知直线产状 分别为 SW258 40 及 NE42 62 。投绘步逐是： （ 1）按 2分别投绘两已知直线； （ 2）旋转透明纸使用两直线投影点落在同一经线大圆上， 描绘出该大圆。 （ 3）旋转透明纸回到初始位置（图 30）。 第八节 基本作图方法 5、求两已知平面的交线。设两平面产状分别为 SW245 30 及 SE145 48 。求交线产状： （ 1）按 1投绘两平面；代表两平面的经线大圆交点即为所 求交线； （ 2）画一连圆心和交点的直线并延长与基圆相交，旋转 透明纸使该直线与网的东西直径重合，沿东西直径自基圆 起向交点数度数，代表交线的倾伏角。 （ 3）继续旋转透明纸使其回到初始位置，这时圆心交点 间的连线与基圆的交点，则为所求交线的倾伏方向（图 31）。 另一种方法是先分别投绘两已知平面的极点，据 4将两极 点旋转到同一经线大圆上，该经线大圆的极点必定是所求 交线。 第八节 基本作图方法 6、求一条已知直线在一个已知平面上的正投影。设已知 平面产状为 NW310 55 ，已知直线产状为 NE59 46 。作图步骤是： （ 1）分别按 1、 2投绘已知平面及直线。 （ 2）同时投绘已知平面的极点，旋转透明纸使该点与直 线投影点落在同一经线大圆上，这一大圆与已知平面大圆 交点，即为所求直线在已知平面上的正投影。 （ 3）依 5读出正投影的产状（图 32），并使透明纸 回到初始位置。 第八节 基本作图方法 7、求两条已知直线夹角。设两条已知直线产状分别为 SW258 40 及 NE42 62 。求夹角步骤是： （ 1）据 2投绘两直线； （ 2）旋转透明纸使两直线投影点复于同一经线大圆上， 沿该经线大圆读两直线夹角，通常锐角即球面上最短距离， 为所求夹角。 （ 3）旋转透明纸回到初始位置（图 33）。 第八节 基本作图方法 8、求两个已知平面间的夹角。仍设两平面产状分别为 SW245 30 及 SE145 48 。作图步骤为： （ 1）按 5投绘两平面，并标绘出交点； （ 2）旋转透明纸使交点复于网的东西直径上，标绘出以 此交点为极点的平面大圆，大圆与两已知平面相交，则用 7的办法可以读出所给两平面夹角。 （ 3）若用极点投影，可把两已知平面极点旋转到同一经 线大圆上，用 7办法直接获得所求数据，并最终将透明纸 回到初始位置（图 34）。 第八节 基本作图方法 9、求一个已知平面与一条已知直线间的夹角。仍设已知 平面产状 NW310 55 ，已知直线产状为 NE59 46 。求它们之间夹角步骤为： （ 1）按 6投绘平面和直线；将平面极点和直线旋转到同一 经线大圆上，描绘出该大圆，直线与其在平面上正投影之 间夹角即为所求。 （ 2）也可由直线与平面极点间夹角来代表，但它是真正 的夹角之余角，需要特别注意区分。 （ 3）旋转透明纸使其回到初始位置（图 35）。 第八节 基本作图方法 10、平分两已知直线间夹角 的等分面 。 仍设两直线产状 为 SW258 40 及 NE42 62 。步骤为： （ 1）按 7投绘两直线，并求出它们之间的夹角。 （ 2）在包含两直线大圆上平分两直线夹角确定两点。再 作分别以这两点为极点的平面，即可获得垂直包含所给两 直线平面，又平分两直线间夹角的两个平分面。 （ 3）旋转透明纸使其回到初始位置（图 36）。 第八节 基本作图方法 11、平分两已知平面间夹角 的等分面 。 仍设两平面产状 为 SW245 30 及 SE145 48 。作图步骤为： （ 1）按 8标绘两平面大圆迹线，求出交点。 （ 2）将交点旋转到网的东西直径上，作以交点为极点的 平面大圆，该大圆与所给两平面相交， 分别求出已知两平 面夹角平分线点（ P1、 P2）。 （ 3）旋转透明纸使两平面交点（ P）与平分线点（ P1、 P2）落到同一经线大圆上，所得两个面（ PP1、 PP2）即 为所求平分面。 （ 4）利用平面极点求等分面也可以，而且操作更为简便。 （ 5）旋转透明纸使其回到初始位置（图 37）。 第八节 基本作图方法 12、求以已知角与一条已知直线相交的直线移动轨迹。设 已知直线 L1水平，走向为 NE42 ，求以已知角 40 与 L1 相交的直线移动轨迹。步骤为： （ 1）按 2投绘 L1，因为直线水平，所以投影点必落在基 圆上。 （ 2）旋转透明纸使 L1与网的北端重合，直接可以描绘出 与其交角 40 的直线移动轨迹（纬线小圆）。 （ 3）旋转透明纸使其回到初始位置（图 38a） 若 L1线是倾斜的，则描绘与其相交的线之移动轨迹比较 复杂。方法是先投绘 L1，旋转透明纸使 L1依次落在网的 经线大圆上，在每个大圆弧上于 L1两边，按夹角大小标 绘两点，连接这些点所得小圆即为移动轨迹（图 38b）。 第八节 基本作图方法 13、求以已知角度与两条或几条已知直线相交的一直线。 设三条已知直线 L1、 L2、 L3（产状已知），求分别以 40 、 30 、 50 夹角与它们相交的直线 L4。步骤是： （过程图略） （ 1）按 12投影 L1、 L2、 L3，作围绕各以知直线的小圆 （半径为所给夹角）。 （ 2）三个小圆所交的共同点既为所求。 （ 3）旋转透明纸使其回到处始位置（图 39）。 第八节 基本作图方法 14、旋转操作：所谓旋转操作，即指把投影图上的平面或 直线投影，沿着指定方向和角度旋转的过程。其中又分在 一固定投影面内的旋转操作和投影的旋转操作。 （ 1）围绕投影面一直径的旋转： 设一平面 P产状为 SW227 52 ,要求绕走向 NE81 的水平线 R（逆时针） 旋转 50 （图 40a）。首先旋转透明纸，使 R与网的 南北向直径重合，而后使平面极点 P按要求沿所在纬线小 圆移至 P，由 P绘出极线大圆。最后使透明纸回到初始位 置（图 40b）。 亦可用大圆进行旋转，方法是把代表平面的大圆按指定方 向和角距旋转，而后联接各点构成一新的大圆。 亦可用大圆进行旋转 第八节 基本作图方法 （ 2）围绕与投影面斜交的轴的旋转： 设一平面产状 SE173 52 ，要求把该平面绕产状 NE42 30 的 轴 R按顺时针方向（面向 NE）旋转 80 。 先按 12，以 R为中心，平面极点 p与 R的角距为半径作一 投影小圆（图 41a） ; 再作垂直 R的平面 P1的大圆和包含 R、 p的平面 P2的大圆， 两个平面相交于 L，把 L按所要求方向旋转 80 到 L; 作包含 R和 L的大圆，该大圆与先期作的小圆交于两点， 其中 p为所求点 所给平面旋转后的极点。 第八节 基本作图方法 （ 2）围绕与投影面斜交的轴的旋转： 另一种方法是先把 R旋转到水平位置，再按（ 1）进行旋转。 具体步骤是把 R移到网的东西直径上，并移到基圆的 R0处， 与此同时，把已知平面极点 p沿所在纬线小圆向同一方向移 动相同角距到 p。 接着把 R0旋转到与网的北端重合，围绕 R0 把 p按所要求方 向移动 80 至 p。 最后把 R0旋转回到网的东西直径上，按 R0转回到 R的同一方 向把 p旋转 30 到 p，则 p即为旋转后的平面极点位置（图 40b）。 第八节 基本作图方法 （ 3）倾斜面向水平面的旋转： 设平面产状为 SW227 52 ，为使该平面旋转至水平，最常用的方法 是绕其走向旋转（图 42）。不过，为了把平面旋至水 平，可以绕不同的轴进行旋转，虽然达到的结果（旋至水 平）是一样的，但平面上各点的移动轨迹及最终位置是不 相同的。 第八节 基本作图方法 （ 4）投影面的旋转： 在构造分析时，有时需要组合和对 比两个组构资料，因之，要把一个投影面及其上标绘的所 有点旋转到另一个投影面上， 旋转轴就是两个投影面的交 线 。 例如要求旋转标绘在面向 c-看的 ab平面上的资料，使它们 出现在面向 c+看的平面上。步骤是把一张透明纸向下翻个 面，然后把原来的点子描绘清楚，改变参考轴的符号即可 （图 43）。 （相当于沿 a+a为轴旋转 180 ） 在对比测自同一手标本两个平行侧面资料时，就常进行这 种操作。投影面的旋转角度，可据问题的性质和要求而定。 第八节 基本作图方法 （ 5）图形的旋转： 在实际工作中，有时需要对投影图形 （如等密线图）整体进行旋转。在旋转时，可在图形上找 几个特征点，按要求将这些特征点进行旋转，而后用光滑 曲线或原来的几何图形线把这些点连起来。显然，旋转后 的图形与原来图形保持完全一样是很困难的（图 44）。 第八节 基本作图方法 15、吴氏网上小圆的求解问题 （ 1）求小圆上两点间的弧度 图 45A上小圆投影圆心为 K，小圆上两点 L、 G。欲求 L、 G间的弧度，可先转动透明纸使 K点落在网的东西线上， 作以 K为极点的对应大圆（图 45B），依照上述球面 几何定理和基本作图法，分别作过 K、 L和 K、 G的大圆弧， 它们与以 K为极点的大圆弧相交于 L、 G，则 L、 G间角 距就是小圆上 L、 G两点间的弧度（图 45C）也可以将 小圆旋转至网的中心，直接用半圆仪或在基圆上度量弧度。 第八节 基本作图方法 （ 2）已知小圆投影圆心及半径，作一小圆。 利用投影直接绘小圆，上面已经讲过。这里介绍用圆规和 直尺等工具制作小圆。 假若以投影圆心 SE150 20 和半径为 40 作小圆，其 步骤是：将投影圆心移至网的东西直径上（ K），自 K点 起向两侧各数 40 ，得两点 A和 B。为求小圆的作图圆心， 作出 B的对蹠点 B， AB中点即为作图圆心，用圆规绘出 小圆（图 46）。由于小圆一部分越出基圆以外，所以 还必须求出 A的对蹠点，而把基圆外的部分在网的直径或 一端绘出来，才能构成一个完整的小圆。 实际操作时，可 以在网上先找出 D、 C对蹠点 D 、 C ，利用 C 、 B和 D 三点即可求得一个作图圆心，从而绘出越出基圆以外的部 分。 第八节 基本作图方法 （ 3）过三个已知点作一个小圆 假设投影图上有三个点（ L1、 L2、 L3，代表三条直线的投 影），作过三点小圆的步骤是： 、作 L1 L2的等分面大圆（ q）； L1 L2（面） 及 L2 L3（面）的等分面大圆（ p L2）；两等分面大圆交点 即为小圆的投影圆心 K（ K 相当于旋转轴） ； 、在网上度量 K L1角度，就是小圆半径； 、按前述办法绘出小园（图 47）。 第八节 基本作图方法 16、等密线图的绘制 当线、面构造资料数据很多时，需要绘制等密线图，从 而来确定组构要素的优选方位的性质，以及所代表的几 何和地质意义。 首先按 1、 2投绘平面（用极式法）和直线的投影，形成 点图 。而后先用下列方法绘制等密线图。 第八节 基本作图方法 施密特法或网格法： 把透明纸点图覆于方格纸上，而后用 中心密度计及边缘密度计的圆心分别置于方格纸交点上， 把密度计小圆内的点数查清楚写在透明纸上，依次移动密 度计把所有的点统计后就形成了一幅密度图。 最后根据总的点数和密度图特征，确定等值线间距，绘出 等密线图（图 48）。 第八节 基本作图方法 无论采用那种统计方法，都要求算出投影网 1/100面积内 投影点数占总点数的百分数。假如网的直径为 20厘米，密 度计小圆直径为 2厘米，它的面积是投影图的 1%。 若投影总点数 300，那末密度计小圆内 12个点的等密线代 表的密度为 4%， 9个点的为 3%， 1个点的为 0.33%等。 第八节 基本作图方法 为了图解明晰、美观和重点突出，要求： 在一张图上，等密线条数一般不应超过六条。 极密区的范围应在图面缩小后仍能显示出来。意思是说， 极密区画得不能太小。 在同一张图上等密线间距要统一。 最低一条等密线应画出 1%面积内含 1个点的位置上。 等密线在与基圆相交时，应在对蹠点处同时出现。 每条等密线应当封闭完整，相互间不能交叉和重合。