广义积分与含参变量的积分复习

第十一章 广义积分与含参变量的积分 复习 1 广义积分 1.无穷积分 (1)定义 a：设函数 f(x)在 a,+)上有定义，且对任意 Aa, f(x)在 a,A上可积。若 存在，则称 无穷积分 收敛 ，并定义 否则称无穷积分 发散 。 AaA dxxf )(lim ； AaAa dxxfdxxf )(lim)( a dxxf )( 1 广义积分 1.无穷积分 (1)定义 b:设函数 f(x)在 (-,b上有定义，且对任意 A1时积分有值 xxxx b p bp 1 0 d1limd1 )1 1 1 1(l i m 1 p bp p b )11( p 1 1 p d 1 px x 1.无穷积分 (2)无穷积分的性质 若两个无穷积分 与 都收敛， 则无穷积分 也收敛，且 其中 k1,k2为常数。 a dxxg )(a dxxf )( a dxxgkxfk )()( 21 ,)()()()( 2121 aaa dxxgkdxxfkdxxgkxfk 1.无穷积分 (3)无穷积分收敛的充要条件 柯西收敛原理 :无穷积分 收敛的充要条件是 : 任给 0,存在正数 A0a,只要 AA0, AA0,便有 a dxxf )( .|)(| A A dxxf 1.无穷积分 (4)无穷积分绝对收敛与条件收敛的定义 若 收敛，则称 绝对收敛 ； 若 收敛，但 发散，则称 条件收敛 。 命题 :若 收敛 ,则 也收敛。 a dxxf |)(| a dxxf )( a dxxf )( a dxxf |)(| a dxxf )( a dxxf |)(| a dxxf )( 1.无穷积分 (4)无穷积分绝对收敛与条件收敛的定义 命题 :若 收敛 ,则 也收敛。 .|)(|)( A A A A dxxfdxxf a dxxf |)(| a dxxf )( (5)无穷积分收敛的判别法 无穷积分收敛的充要条件 引理：若 f(x)是 a,+)上的 非负 可积函数，则 收敛的充要条件是：对一切 Aa， 积分 有界。 a dxxf )( Aa dxxf )( (5)无穷积分收敛的判别法 定理 1（ 比较判别法 ） :设 f(x)与 g(x)在 a,+)上有定义， 且当 xXa时有 0f(x)g(x). 又设 f(x)与 g(x)在任一区间 a,b上可积，则 (1)由 收敛可推出 也收敛； (2)由 发散可推出 也发散。 a dxxg )( a dxxg )(a dxxf )( a dxxf )( (5)无穷积分收敛的判别法 推论（比较判别法的极限形式） :设当 xa 时， f(x)0， g(x) 0， 它们在任意区间 a,b上都可积，且 则有以下结论： (1)当 0k+时 ,若 收敛则 收敛； (2)当 0k +时 ,若 发散则 发散。 当 0k0使 又设函数 g(x)在 a,+ )上单调且趋于零 (当 x+ 时 )，则 上述无穷积分收敛。 .)()( a dxxgxf .,)( aAMdxxfA a Aa dxxf )( (5)无穷积分收敛的判别法 定理 3(阿贝尔判别法 ): 设 f(x)与 g(x)在 a,+)上有定义， 并考虑无穷积分 若无穷积分 收敛，且函数 g(x)在 a,+ ) 上单调有界，则无穷积分 收敛。 .)()( a dxxgxf Aa dxxf )( a dxxgxf )()( 2. 瑕积分 (1)定义 a：设函数 f(x)在 (a,b上有定义，且 f(x)在任意 区间 a+,b上可积 ,但 xa+0 时 f(x)无界，我们称 a为 瑕点 。若极限 存在，则称瑕积分 收敛 ，并定义 否则称瑕积分 发散 。 ba dxxf )(l i m00 ； b a b a dxxfdxxf )(lim)( 00 ba dxxf )( 2. 瑕积分 (1)定义 b：设函数 f(x)在 a,b)上有定义，且 f(x)在任意 区间 a, b -上可积 ,但 xb -0时 f(x)无界，我们称 b为 瑕点。若极限 存在，则称瑕积分 收敛，并定义 否则称瑕积分发散。 ba dxxf )(lim 00 ； b a b a dxxfdxxf )(lim)( 00 ba dxxf )( .p， ,p， dx x b p 1发 散 1收 敛1 0 2. 瑕积分 (1)定义 c：设函数 f(x)在 (a,b)上有定义，且 f(x)在任意 区间 a+ , b -上可积 , a与 b均为 f(x)的瑕点。 若极限 与 都存在，则称瑕 积分 收敛，并定义 若上述两个极限中至少有一个极限不存在，就称 瑕积分 发散。 ca dxxf )(l i m00 ； ca bcba dxxfdxxfdxxf .)(lim)(lim)( 0000 ba dxxf )( bc dxxf )(l i m00 ba dxxf )( 2. 瑕积分 (2)瑕积分收敛的充要条件 柯西收敛原理 :以 a为瑕点的瑕积分 收敛的 充要条件是 : 任给 0, 存在 0, 只要 0 1 , 0 2 , 便有 ba dxxf )( .|)(| 2 1 a a dxxf 2. 瑕积分 (3)瑕积分的绝对收敛与条件收敛 若瑕积分 收敛，则称瑕积分 绝对收敛 ； 若瑕积分 收敛，但瑕积分 发散，则称瑕 积分 条件收敛 。 命题 :若瑕积分 收敛 ,则 也收敛。 ba dxxf |)(| ba dxxf )( ba dxxf )( ba dxxf |)(| ba dxxf )( ba dxxf |)(| ba dxxf )( 2. 瑕积分收敛的判别法 定理 4（ 比较判别法 ） :设 f(x)与 g(x)在 (a,b上有定义， 且 a是它们的瑕点。设当 x (a,c) 属于 (a,b)时有 0f(x)g(x)， 则 (1)由 收敛可推出 也收敛； (2)由 发散可推出 也发散。 ba dxxg )( ba dxxg )(ba dxxf )( ba dxxf )( 2. 瑕积分收敛的判别法 推论（ 比较判别法的极限形式 ） :若 f(x)与 g(x)在 (a,b有定义， 且 f(x) 0， g(x) 0， 并有 则 (1)当 0k+时 ,若瑕积分 收敛则 收敛； (2)当 0k +时 ,若瑕积分 发散则 发散。 当 0k+时 ,两瑕积分同时收敛或同时发散。 ba dxxg )( ba dxxg )( ba dxxf )( ba dxxf )( ),()( )(l i m 0 可以为kkxg xf ax 2. 瑕积分收敛的判别法 定理 (狄利克莱判别法 ):设积分 有唯一的瑕点 a, 是 的有界函数， g(x) 单调且当 xa 时趋于零，则积分 收敛。 ba dxxgxf )()( ba dxxgxf )()( ba dxxf )( 2. 瑕积分收敛的判别法 定理 (阿贝尔判别法 ):设积分 有唯一 的瑕点 a, 收敛， g(x)单调有界，则积分 收敛。 ba dxxgxf )()( ba dxxgxf )()( ba dxxf )( 2 含参变量的正常积分 含参变量的积分 设 u=f(x,y)是 a,b c,d上的一个连续函数，对任意 的 y c,d, y到积分值的对应 形成了 c,d上的一个函数。 ba dxyxfy ),( 010 s i n ,s i n: 2 dxx xx d xe x例如 2 含参变量的正常积分 1.连续性 定理 1：设二元函数 f(x,y)在闭矩形域 a,b c,d上 连续，则参变量积分 在区间 c,d 上连续。即对任意的 y0 c,d, 有 ba dxyxfyg ),()( .),(l i m),(),(l i m 00 0 b a yy b a b ayy dxyxfdxyxfdxyxf 2 含参变量的正常积分 2.可积性 定理 2：设二元函数 f(x,y)在闭矩形域 a,b c,d上 连续，则函数 在区间 c,d上可积。 且 即 ba dxyxfyg ),()( ba dcdc dxdyyxfdyyg ,),()( ba dcbadc dyyxfdxdxyxfdy .),(),( 2 含参变量的正常积分 3.可微性 定理 3：设二元函数 f(x,y) 与 fy(x,y) 都在闭矩形域 a,b c,d上连续，则函数 在区 间 c,d上可微。且 即 ba dxyxfyg ),()( ,),()( b a y dxyxfyg b a y b a dxyxfdxyxf dy d .),(),( 2 含参变量的正常积分 4.积分上下限是参变量的函数的情况 考虑参变量积分 若 f(x,y)在 a,b c,d上连续 ,u(y),v(y) 在 c,d上连续 , 且值域包含于 a,b之内 ,则 g(y)在 c,d上连续并可积。 若 f(x,y)及 fy(x,y)在 a,b c,d上均连续 ,u(y),v(y)在 c,d 上可导，且值域包含于 a,b之内 ,则 g(y)在 c,d上可导 , 并有 )( )( ),()( yv yu dxyxfyg )( )( ).(),()(),(),()( yvyu y yuyyufyvyyvfdxyxfyg 3 含参变量的广义积分 1.含参变量的无穷积分 (1)无穷积分点点收敛 设二元函数 f(x,y)在 ax0, 存在 N(依赖 和 y0),当 AN时， a dxyxf ),( 0 .|)(),(| 00 ygdxyxfAa .,),()( dycdxyxfyg a ).(),(lim 00 ygdxyxfAaA 3 含参变量的广义积分 (3)含参变量无穷积分一致收敛 定义：设无穷积分 对于区间 Y中的一切 y都 收敛 (Y 可以是开区间，闭区间，半开半闭区间或无穷区间 )。若 对任给 0，存在一个与 y无关的实数 Na，使当 AN时，对一切 y Y，都有 则称含参变量的无穷积分 在 Y上一致收敛。 a dxyxfyg ),()( a dxyxf ),( ,|),(|),(-),(| Aa A a dxyxfdxyxfdxyxf 3 含参变量的广义积分 (4)无穷积分一致收敛的几何意义 (5)无穷积分不一致收敛的充分条件 命题：设含参变量的无穷积分 在 Y上点点收敛。若存在常数 l0,不论 N多么大 , 总存在 AN及 yA Y，使 则无穷积分在 Y上不一致收敛。 a dxyxf ),( ,0),(l i m|),(| 0 kdxyxfldxyxf AyyA A 或者 3 含参变量的广义积分 (5)无穷积分一致收敛的充要条件 柯西收敛准则 :无穷积分 在区间 Y上一致收敛 的充要条件是 :对任给 0,存在与 y无关的实数 N，使当 AN, AN时，对一切 y Y,都有 a dxyxf ),( .|),(| A A dxyxf (6)无穷积分一致收敛的 M判别法 定理 1（ 比较判别法 ） :设当 y Y时，对任意 Aa,函数 f(x,y)关于 x在区间 a,A上可积。又当 xa时，对一切 y Y， 有 且无穷积分 收敛，则含参变量积分 在 Y上一致收敛 。 a dxx)( a dxyxf ),( )(|),(| xyxf (7)无穷积分一致收敛的狄利克莱判别法 定理 2(狄利克莱判别法 ) 若函数 f(x,y)与 g(x,y)满足： (1)当 x充分大后 g(x,y)是 x的单调函数 ( y Y), 且当 x+ 时 ， 对 y Y， g(x,y)一致趋于 0; (2)对任意 Aa，积分 存在且对 y Y 一致有界， 即存在常数 M， 使对任意 Aa及一切 y Y ，都有 则含参变量无穷积分 在 Y上一致收敛。 a dxyxgyxf ),(),( Aa Mdxyxf ,|),(| Aa dxyxf ),( (8)无穷积分一致收敛的阿贝尔判别法 定理 3(阿贝尔判别法 ):若函数 f(x,y)与 g(x,y)满足 ： (1)当 x充分大后 g(x,y)是 x的单调函数 ( y Y), 且 对 y Y 一致 有界，即存在常数 M， 使当 x a,+ )， y Y时，有 (2) 在 Y上一致收敛。 则含参变量无穷积分 在 Y上一致收敛。 a dxyxf ),( a dxyxgyxf ),(),( ;|),(| Myxg (9)含参变量无穷积分的连续性和可积性 定理 4：设函数 f(x,y)在区域 a,+) c,d上 连续，且积分 在 c,d上一致收敛，则 (1) g(y) 在 c,d上连续； (2) g(y) 在 c,d上可积，且 a d ca d c d c dyyxfdxdxyxfdydyyg .),(),()( a dycdxyxfyg ,),()( (10)含参变量无穷积分的可微性 定理 5：设函数 f(x,y)及 在区域 a,+) c,d 上连续，且积分 在 c,d上点点收敛。 又设积分 在 c,d上一致收敛，则含参变 量积分 g(y)在 c,d上可导，且 a dx y yxfyg .),()( a dxy yxf ),( a dxyxfyg ),()( y yxf ),( (11)两个累次无穷积分可交换积分次序的充分条件 定理 6：设函数 f(x,y)在区域 a,+) c,+ )上连续。又设 两个参变量积分 分别关于 y及 x在任意有穷区间 c,d及 a,b上一致收敛， 并且两积分 中至少有一个 存在，则两积分 都存在且相 等，即 亦即可交换积分次序。 acca dxyxfdydyyxfdx |),(|),(| 与 xadyyxfycdxyxf ca ,),(,),( 及 acca dxyxfdydyyxfdx ),(),( 与 acca dxyxfdydyyxfdx .),(),( 定理 6：设函数 f(x,y)在区域 a,+) c, +)上二元连续。 又 分别关于 y及 x在任意有穷 区间 c+,d及 a+,b上一致收敛，且 中至少有一个存在，则 acca dxyxfdydyyxfdx |),(|),(| 与 ca dyyxfdxyxf ),(),( 与 acca dxyxfdydyyxfdx .),(),( (11)两个累次无穷 瑕积分 可交换积分次序的充分条件 2. 含参变量的瑕积分 (1)定义 ：设函数 f(x,y)在 (a,b Y(区间 )上有定义， 且在 a+,b Y上连续 ,这里 是任意充分小的数。此 外对任意固定的 y Y， f(x,y)作为 x的函数在 x=a点附 近无界，即 a为瑕点。则称 是一个以 a为瑕点的含参变量的瑕积分。 Yydxyxfyg b a ,),()( 2. 含参变量的瑕积分 (2)一致收敛的定义 定义：设含参变量的瑕积分 在 Y上点点收敛。若对任给 0， 存在与 y无关的正数 0， 使得当 00, 存在与 y无关的 0, 只 要 0 1 , 0 2 , 对一切 y Y， 都有 Yydxyxfba ,),( .|),(| 2 1 a a dxyxf (4)含参变量的瑕积分一致收敛的 M判别法 定理 7:设函数 f(x,y)在 (a,b Y(区间 )上连续，且对于任意的 y Y， f(x,y)以 a为瑕点。又设 f(x,y)在 (a,b Y上满足下列条件： 其中 g(x)是定义在 (a,b上的 连续函数 ,且使得瑕积分 收敛，则瑕积分 在 Y上一致收敛。 ba dxxg )( ba Yydxyxf ,),( ),(|),(| xgyxf 2.含参变量的瑕积分 (5)含参变量的瑕积分收敛的狄利克莱判别法 (6)含参变量的瑕积分收敛的阿贝尔判别法 (7)含参变量的瑕积分的连续性和可积性 定理 8:设函数 f(x,y)在 (a,b c,d连续，且含参变量 的瑕积分 在 c,d上一致连续，则 (1) g(y)在区间 c,d上连续； (2) g(y)在 c,d上可积，且 ba dxyxfyg ),()( dcbabadc dyyxfdxdxyxfdy .),(),( 2.含参变量的瑕积分 (8)含参变量的瑕积分的可导性 定理 9：设函数 f(x,y) 与 fy(x,y) 都在区域 (a,b c,d上连续，瑕积分 在区间 c,d 上点点收敛，而瑕积分 在 c,d上一致 收敛，则含参变量的瑕积分 g(y)在 c,d上可导， 且 ba dxyxf ),( ba dxy yxf ),( .),()( b a dx y yxfyg 3. 函数与 函数 (1)函数 是一个无穷瑕积分 (当 0时，积分收敛。 . 0,)( 1 1 1 0 1 0 1 dxexdxex dxex xx x 3. 函数与 函数 (2) 函数的性质 !. . .)()1( ,)( ,1)1( ,0),()1( 2 1 0 nnnn dxe x 0,)( 0 1 dxex x 3. 函数与 函数 (3) ()在 (0,+)连续 ； .)( 1 11 0 1 dxexdxex xx 0,)( 0 1 dxex x ).,0(,),0( 00 dcdc 使都存在区间任取 连续。在证明： ),0()( 1 110 1 dxexdxex xx 一致收敛。在 上连续在连续在 , , 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 dc dxex dxex dc dxex dxex dxex dxex x x x x x x 一致收敛。在时收敛，因而当而 时，当 一致收敛。在证明： ,0 ,10 , 1 0 1 1 0 1 11 1 0 1 dcdxexcdxex exexdcx dcdxex xxc xcx x 一致收敛。在均收敛，因而对任意的而 时，当 一致收敛。在证明： , ,1 , 1 1 1 1 11 1 1 dcdxexddxex exexdcx dcdxex xxd xdx x 3. 函数与 函数 (4) 函数 当 p1,q1是正常积分； 当 p1,x=0是瑕点； 当 q0且 q0时， 积分收敛。 .)1()1( 0,0,)1(),( 1 11 0 11 1 0 11 2 1 2 1 dxxxdxxx qpdxxxqp qpqp qp 3. 函数与 函数 (6) 函数在 (0,+) (0,+)上连续。 1 0 11 )1(),( dxxxqp qp