机械振动学习题解答

机械振动学 习题解答（一） 陈一凡 邮箱 电话 189 172 17582 此课件已上传至 ftp:/ 用户名 yfchen 密码 public 2012-04-13 1 4 一简谐振动频率为 10 Hz，最大速度为 4.57 m/s， 求其振幅、周期和最大加速度。 解： 简谐振动的位移 速度 速度幅值 加速度 加速度幅值 由题意， 所以， 圆频率 振幅 周期 最大加速度 ( ) s i n ( )nx t A t ( ) c o s ( )nnx t A t 2( ) sin( )nnx t A t m a x nxA 2m ax nxA m a x1 0 H z , 4 . 5 7 m / snfx m a x 0 .0 7 2 7 3 4 m n xA 1 / 0 . 1 snTf 22m a x m a x 2 8 7 . 1 4 m /snnx A x 2 2 0nn f 1 6 一台面以一定频率作垂直正弦运动，如要求台 面上的物体保持与台面接触，则台面的最大振幅可 有多大？ 解： 对物体受力分析 当 N = 0 时，物体开始脱离台面， 此时台面的加速度为最大值。即 又由于 所以 x m g N m x N mg m a xm g m x 2m ax nxA 2/ nAg 物体 台面 1 7 计算两简谐运动 和 之和。其中 。如发生拍的现象，求其振幅和拍 频。 解： 当 时， 拍振的振幅为 2X，拍频为 （不是 ） tXx c o s1 2 c o sx X t 12 22 c os( ) c os( ) 22x x X t t 12 2 c o s( ) c o s2x x X t t 可变振幅 12= 8 0 = 4 5 1 0 c o s ( 2 ) c o s ( 8 0 )X x x t t 例 ： 当 ， ， 时 ， 2f 振幅为 10 拍频为 2Hz 拍的周期为 0.5s（不是 1s） 4 0 0. 5 1 1. 5 2 -10 0 10 1 0 c o s( 2 )t 1 0 c o s( 2 )t 可变振幅 拍振的振幅为 （假设 X2较小），拍频为 补充 若两简谐运动振幅和频率都不同： 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 c os c os( ) c os c os c os c os( ) c os 2 c os c os 2 c os c os 22 x x x X t X t X t X t X t X t X X t X t t X X X t t 2f 振幅为 13 拍频为 1Hz 1 2 2( ) 2 c os 2A t X X X t m a x m in 22A A X 可变振幅 0 0. 5 1 1. 5 2 -13 0 13 12 12 = 8 0 = 4 8 5 3 1 0 c o s ( 2 ) c o s ( 8 0 ) XX x x t t 例 ： 当 ， ， ， 时 ， 3 1 0 c o s( 2 )t 2 2 如图所示，长度为 L、质量为 m 的均质刚性杆 由两根刚度为 k 的弹簧系住，求杆绕 O点微幅振动的 微分方程。 解 ：（ 力法 ） 假设杆顺时针 偏转 了 角， 则杆受到重力 mg 和弹簧弹力 F 产生的 力矩（均为逆时针方向） ,其中 F为两边 弹簧弹力之和 由动量矩定理 得 又由于 上式可化简为 2 sin2LFk mg F iiJT 2 c o s s in3 2 2m L L LF m g 1c o s,s in 0223 kLmgm （ 能量法 ）设系统处于静平衡位置时势能为 0。当 杆 顺时针 偏转 角时 势能 动能 由能量守恒原理 化简得 c o s122s i n2212 LmgLkU 2 3 2 2 12 2 1 mLJV 03 2 s i n22 2 mLLmgkL 0223 kLmgm 0)( VUdtd 列系统微分方程的一般步骤 力法 1）设系统相对于平衡位置发生了广义位移 x（或 ）； 2）分析系统受到的所有力 （或力矩 ）； 3）由牛顿第二定律 （或动量矩定理 ） 列方程。 能量法 1）设系统相对于平衡位置发生了广义位移 x（或 ）； 2）写出系统势能 U（包括重力势能 mgh和弹簧弹性势 能 ），动能 V= （或 ），耗散能 P： 3）由能量守恒原理 列方程。 iF ( ) 0d U V Pdt iT ii F mx i i TJ 21 2kx 21 2mx 2 1 2 J 2dP cx dt 2 5 求图示弹簧质量滑轮系统的振动微分方程。 解 ：（ 力法 ） 静平衡时有： （ 为弹簧的伸长量） 假设弹簧相对于平衡位置伸长 x，则圆 盘沿逆时针方向转过 x/r角 质量 m 圆盘 M 联立得 mg F x M, r k m g k mx mg F 2 ()2M r x F r k x rr 02 kxxmM 考虑 若假设弹簧相对于平衡位置缩短 x，会如何？ F F （ 能量法 ）设系统处于静平衡位置时势能为 0， 当弹簧相对于平衡位置伸长 x时 势能 动能 由能量守恒原理 化简得 2 2 12 2 1 2 2 12 2 1 kxm g xkxkx m g xkxkU m x M, r k 2 2 12 2 2 2 1 xm r xMrV 0)( VUdtd 02 kxxmM kmg静平衡关系注意：重物和弹簧满足 可见，计算势能时，若系统静平衡时已有弹簧 发生静变形，则参与静平衡的质量的重力势能 恰好与弹簧静变形的弹性势能抵消，可以不写。 解 ：（ 力法 ） 静平衡时（假设此时弹簧被压缩，即 m3 的力矩大于 m1的力矩） 假设 L2杆 顺时针 旋转 角 由动量矩定理 化简得 2 3 243434332211 24332 22 2 11 cLLLkLLkLLgmgLmgLm LLmLmLm 2 6 图示系统垂直放置， L2杆处于铅垂位置时系统 静平衡，求系统作微振动的微分方程。（刚性杆质 量忽略） TJ 1143433 gLmLLkLLgm 222 2 21 1 2 2 3 3 4 3 2 2 3 4 0m L m L m L L c L m g L k L L 注：阻尼元件的耗散能等于阻尼力所做的功，即 所以 （ 能量法 ）设系统处于静平衡位置时势能为 0 势能 动能 耗散能 由能量守恒原理 化简得 223cLPdtd 0 PVUdtd 222 2 21 1 2 2 3 3 4 3 2 2 3 4 0m L m L m L L c L m g L k L L 0 xP cxd x 2dP dP dx c x x c x dt dx dt m1和 m3参与静平衡， 重力势能抵消了弹 簧静变形的势能。 2 2 2 1 1 2 2 3 3 4 1 1 1( ) ( ) ( ) 2 2 2V m L m L m L L 2 3 4 2 2 1 ( ) ( 1 c os ) 2U k L L m gL 2 7 求图示系统的振动微分方程。（刚性杆质量忽 略） 解 ：（ 能量法 ） 设系统处于静平衡位置时势能为 0 动能 势能 由能量守恒原理 化简得 2 22 1 2 2 11 22 raU k k r b 0)( VUdtd m1参与静平衡，重力势能抵消了弹簧 k1和 k2静变形的势能。 22 2 2 22 1 1 1 2 2 22 0aJ M r m r k r k rb 2 11 求图所示系统对于广义坐标 x 的等效刚度。 解 ： 对小车 m沿 x方向施加作用力 F，使小车产生位移 x。则弹簧 k1伸长 ，弹簧 k2伸长 。小车受力 其中 所以等效刚度 cosx /ax b 11 22 2 2 2 2 2 c o s / / F k x F b F a k a x b a F k x a b 2 2 212/ c os /ek F x k k a b 12c o sF F F 2F F2 F F1 F2 2 12 一质量为 m、长度为 L 的均匀刚性杆，在距 左端 O为 nL 处设一支承点，如图所示。求杆对 O点 的等效质量。 解 ： 设弹簧 k以速度 发生变形，则杆的质心的运动 速度为 于是系统动能： 而等效系统的动能： 由 Ve=V，得 绕质心转动 随质心平动 x 222 221 1 1 1 1 2 2 2 2 12 2 2cc m L x nV J m x m x nL n 2 12 2 L c nL nx x x nL n 21 2eeV m x 2 111 3emm nn 2 13 如图所示，悬臂梁长度为 L，弯曲刚度为 EI， 质量不计。求系统的等效刚度和等效质量。 解 ： 当悬臂梁在自由端受到弯曲力 F时，自由端的 位移为 ，所以悬臂梁自由端的等效刚度为 33 3 kLEI E Ik bkk bkkek 3 3 3 3 / L EI EI FLFxFbk 而系统的等效刚度相当于悬臂 梁的等效刚度与弹簧 k串联 系统的等效质量 emm 3 3 FLx EI 计算系统等效刚度、等效质量的方法 1）计算等效刚度的原则是利用等效前后系统弹性势 能不变。但通常只需根据刚度的定义即可算出。即： 在质量上施加外力 F，使其发生位移 x，则 ke=F/x。 2）计算等效质量的原则是利用等效前后系统动能不 变。即：令弹簧以速度 发生变形， 3）计算系统等效刚度时，也可“分部”计算，即： 把系统分成几个部分，计算每部分的等效刚度，再把 各个刚度串联或并联起来。 x 3 1 如图所示，设杆 a和杆 b为质量和转动惯矩可忽 略的刚性杆，并能在图示平面内自由移动和转动。 求质量 m上、下振动的固有频率。 解 ： 在 a点施加竖直作用力 Fa，使其产生位移 xa，并设此时 k1变形 x1， k2变形 x2。由杆 a受到 的力矩平衡，知 。所以 a点等效刚度 12 /2ax x x 1 1 2 2 2 2 121 2 2 2 1 2 2 114 / 2 / / 2 a a a F k x k x k xk kkx x x k x k x 3 3 1 2 3 1 1 1 1 111 44a ak k k k k k 1 1 2 2k x k x ka与 k3串联后的等效刚度为 b点的等效刚度计算与 a点类似： 于是质量 m的固有频率 / nbkm 3 4 1 2 3 4 1 1 1 1 1 144 44b ak k k k k k k 3 3 如图所示，一长度为 L、质量为 m的均匀刚性杆 铰接在 O点，并以弹簧和粘性阻尼器支承。求： (1) 系统作微振动的微分方程； (2) 系统的无阻尼固有频 率； (3) 系统的临界阻尼。 解 ： (1)（力法） 化简得 (2) (3)根据临界阻尼时的条件 得到 注意：临界阻尼是指阻尼元件 c的临界值，不是系统阻尼项的临界值。 3 5 如图所示，质量为 m1的重物悬挂在刚度为 k 的弹簧上并处于静平衡位置，质量为 m2的重物从高 度为 h 处自由降落到 m1 上而无弹跳，求系统的 运动 规律 。 解 ： 系统的运动规律为简谐振动： 且系统位于平衡位置处的弹簧伸长量 所以系统的初始位移，即 m1单独悬挂时的弹簧 伸长量减去 平衡位置处弹簧伸长量 而系统的初始速度可根据两物体接触瞬间所满足的动量定理得到 m2 m1 k 210 mgcx k kmm ghmxc 21 2202 21 mm k 12 /m m g k 2 1 2 02m g h m m x 5 2 一振动系统具有下列参数：质量 m = 17.5kg， 弹簧刚度 k = 70.0 N/cm，粘性阻尼系数 c = 0.70 Ns/cm。求： (1)阻尼比 ； (2)有阻尼固有频率； (3)对 数衰减率； (4)任意二相临振幅比值。 解 ： (1) (2) (3) (4) 1.07 0 0 05.172 70,2 cc cmkcc )/(9.195.177 0 0 001.0121 sr a dnd 6 3 1.02 1 2 1 1.879n n x e x 5 4 带粘性阻尼的单自由度系统，等效质量 m = 5 kg，等效刚度 k = 10 kN/m，其任意两相邻振幅比为 1： 0.98，求： (1)系统的有阻尼固有频率； (2)对数衰减 率； (3)阻尼系数 c； (4) 阻尼比 解 ： (2)由 得 (4)由 得 (1) (3) 0 2 0 4.198.0:11 enx nx 21 2 0 0 3 2.0224 2 )/(7.445100000032.0121 sr a dnd msNkmccc /43.12 对数衰减率：时间 -位移曲线上两相邻极大值之比再取对数。 0 2 0 2.00 2 0 4.1ln